函数、映射的概念

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高等数学上册1.1 映射与函数

第一节映射与函数
一、映射
二、函数
第一章函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.

X
定义域
D =X
第一节映射与函数

()

()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
注映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.

Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.

函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示[要点梳理]1．函数与映射的概念类别函数映射两个集合A 、B设A ，B 是两个非空数集设A ，B 是两个非空集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法函数y ＝f (x )，x ∈A映射：f ：A →B2．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数是特殊的映射，是A ，B 为非空数集的映射，其特征：第一，在A 中取元素的任意性；第二，在B 中对应元素的唯一性．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．一、思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．()(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．()(3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(5)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧<-≥0101x x ，表示同一函数．()(6)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．()二、小题查验1．函数y ＝x ln (1－x )的定义域为()A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧≤>030log 2x x x x，则f (f (41))的值是()A ．9B ．19C ．－9D ．－193．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是()4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是______________.5．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域是__________________.6．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.1．下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．42．下列各组函数中，表示同一函数的是()A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－13．设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2x －2－x;⑤f (x )＝2sin x －1.其中是“美丽函数”的序号有______________.[命题角度1]用换元法与配方法求函数解析式1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝__________________.2．已知f (x2＋1)＝lg x ，则f (x )的解析式为________________.[命题角度2]用待定系数法求函数解析式3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝_____________.4．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则f (x )的解析式为__________________.[命题角度3]用解方程组法求函数解析式5．定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为_____________________．6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (x1)·x －1，则f (x )＝_____________.[命题角度1]求给定函数解析式的定义域1．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________________.2．函数y ＝lg (2－x )12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是________________.[命题角度2]求抽象函数的定义域3．已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1，1)B ．(－1，—21)C ．(－1，0)D ．(21，1)4．已知函数f (2x ＋1)的定义域是(－1，0)，则f (x )的定义域为____________.5．已知f (2x )的定义域是[－1，1]，则f (log 2x )的定义域为_____________.[命题角度3]已知定义域确定参数问题6．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为______________.[命题角度1]求函数值、值域(最值)1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧≥<-+-121)2(log 112x x x x ，则f (－2)＋f (log 212)＝()A ．3B ．6C ．9D ．122．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________________.[命题角度2]解方程或解不等式问题3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧≥<+0201x x e x ，则方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是__________.4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧>≤+0201x x x x，则满足f (x )＋f (x —21)＞1的x 的取值范围是____________.5．设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<-11311x xx ex ，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是_______________.[课时训练]一、选择题1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()2．函数y ＝－x 2－x ＋2ln x的定义域为()A ．(－2，1)B ．[－2，1]C ．(0，1)D ．(0，1]3．已知f (x x+1)＝x 2＋1x2＋1x ，则f (x )＝()A ．(x ＋1)2(x ≠1)B ．(x －1)2(x ≠1)C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧>+-≤-1)1(log 1221x x x x ，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝()A ．－74B ．－54C ．－34D ．－145．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤13412x x x x x ，则f (x )的定义域是()A ．[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[0，1)∪(1，＋∞)6．设函数f (x )＝x －1，则f (2x)＋f (x 4)的定义域为()A ．[21，4]B ．[2，4]C ．[1，＋∞)D ．[41，2]7．已知f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+10201212x x x x x ，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是()A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12D ．12<m ≤1二、填空题8．图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝_____________.9．若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是____________. 10．已知函数f(x)＝ax－b(a＞0)，f(f(x))＝4x－3，则f(2)＝__________.11．若函数f(x)＝x2＋2ax－a的定义域为R，则a的取值范围为____________.三、解答题12．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.13．已知函数f(x)＝x·|x|－2x.(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝x2200＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．(1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．。

映射与函数知识点总结

映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。

记作f：A→B。

2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。

记作f：A→B。

3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。

二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。

换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。

2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。

3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。

4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。

5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。

这样的函数g称为函数f的反函数。

三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。

2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。

大一高数知识点映射与函数

大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。

在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。

一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。

在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。

映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。

映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。

即不同的元素在映射中有不同的对应元素。

2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。

即每一个元素都有对应的映射元素。

3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。

二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。

函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。

函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。

2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。

3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。

4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。

5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。

三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。

下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。

2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。

3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。

4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

函数映射

函数映射
函数是数学中的一个重要概念，是一种映射关系。

在现代数学中，函数是指一个集合中的每个元素都有且仅有一个映射到另一个集合中
的元素，这种关系被称为函数映射。

函数映射在数学、物理、工程学
等多个领域都有广泛的应用，下面就来分步骤阐述函数映射的相关概
念和应用。

1. 函数映射的定义
函数是指在两个集合之间的映射关系，也可以理解成是将一个数
集中的数值映射到另一个数集中的数值。

函数的定义包括定义域、值
域和映射关系。

其中定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指
函数的因变量的取值范围，映射关系是指对于定义域中的每一个元素，都对应着唯一的值域中的元素。

2. 函数映射的分类
函数映射可以分为线性函数和非线性函数两种类型。

线性函数是
指函数的图像是一条直线，而非线性函数则是除线性函数外的其他类型。

3. 函数映射的应用
函数映射的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：
（1）在数学和物理学中，函数映射被广泛应用于研究各种自然
现象的规律性，例如物理中的运动、电路中的电压等等。

（2）在计算机科学中，函数映射也是非常重要的一种概念，被
广泛应用于编写程序、进行数据处理、进行模拟等等。

（3）在金融学中，函数映射可以被用于研究股票市场、期货市
场等金融交易的规律性。

（4）在生物学中，函数映射可以被用于研究基因、生命活动等
方面的规律性。

总之，函数映射是一种非常重要的概念，在多个领域都有着广泛
的应用。

学好和熟练应用函数映射，可以为我们的学习和工作带来很多便利和帮助。

映射的概念和函数的概念

映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。

虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。

下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。

映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。

简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。

映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。

其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。

映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。

例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。

在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。

我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。

函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。

函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。

函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。

这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。

函数在数学中有很多重要的属性和性质。

比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。

函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。

函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。

第2讲函数与映射的概念js

第二讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

高数课件-映射与函数

义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映射
与
主讲人：日期 :
函数
第一节映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ，对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1

函数映射及其类型

函数映射及其类型函数映射是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。

函数映射是指从一个集合到另一个集合的规则，它将每个元素从第一个集合映射到第二个集合中的唯一对应元素。

本文将介绍函数映射的基本概念、性质以及常见的函数映射类型。

一、函数映射的基本概念函数映射可以形式化地表示为f：A→B，其中A为定义域，B为值域。

对于每个a∈A，都存在唯一的b∈B与之相对应。

例如，考虑一个函数映射f：自然数→整数，对于每个自然数n，它可以映射到整数n的相反数。

这意味着函数映射对于每个输入都有唯一的输出。

二、函数映射的性质1. 单射性：如果每个不同的元素a在函数映射f下都有不同的对应元素b，则该函数映射为单射。

也就是说，对于不同的a和a'∈A，当且仅当f(a)≠f(a')时，a≠a'。

单射函数映射又称为一对一映射。

2. 满射性：如果函数映射f的值域B等于目标集合B，即对于每个b∈B，存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，那么该函数映射为满射。

满射函数映射又称为映满函数或上满函数。

3. 双射性：若一个函数映射既是单射又是满射，则称其为双射函数映射。

双射函数映射是一种一一对应的映射关系，它要求函数映射既满足每个不同的元素都有不同的对应元素，也满足每个目标元素都有对应的原始元素。

三、常见的函数映射类型1. 线性函数映射：线性函数映射是指满足线性性质的函数映射。

对于实数域上的线性函数映射f(x)=ax+b，其中a和b为常数，a不等于零。

线性函数映射在经济学、物理学等领域中有广泛的应用，用于描述两个变量之间的线性关系。

2. 复合函数映射：复合函数映射是指将一个函数映射的输出作为另一个函数映射的输入，从而得到一个新的函数映射。

例如，给定两个函数映射f(x)和g(x)，我们可以定义一个新的函数映射h(x)=f(g(x))。

复合函数映射在计算机科学、数学建模等领域中有广泛应用。

3. 反函数映射：反函数映射是指满足特定条件的函数映射。

一函数与映射的基本概念

一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。

例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。

3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|．其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数．用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式．如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。

映射与函数的概念与性质

映射与函数的概念与性质随着数学领域的不断发展，映射与函数的概念与性质也逐渐被人所熟知。

那么，什么是映射与函数呢？它们又有哪些特性呢？让我们一起来探讨一下。

一、映射的概念和性质映射是指将集合A中的每一个元素都对应唯一的集合B中的一个元素的规律。

我们也可以将其称之为映照、映像或者变换。

关于映射，我们可以了解以下几点性质：（1）如果A中的每一个元素都有对应B中的元素，则我们称之为映射f：A→B。

其中A称之为“定义域”，B称之为“到达域”。

（2）如果集合A中有两个元素x和y，在B中它们分别对应了f(x)和f(y)，那么就表示f(x)和f(y)具有重合的情况。

（3）如果B中存在一个元素y，使得在A中有多个元素x1、x2、……、xn，它们对应的f(x1)、f(x2)、……、f(xn)均为y，则我们称f(x1)、f(x2)、……、f(xn)在B中具有重合的情况。

（4）我们可以将映射看作是一种相对关系，即若A与B中仅有x和y两个元素，则我们可以有以下三种类型的映射：①单射：若x和y在B中的形式不同，则我们称此时的映射是“单射”。

②满射：若映射中每个元素都被映射到了B中，则我们称此时的映射是“满射”。

③一一映射：如果一个映射既是单射，又是满射，则我们称之为“一一映射”。

二、函数的概念和性质函数也是映射的一种，它实际上是将一个集合映射到另一个集合的过程中，其中定义域和到达域都是实数集。

对于函数，我们可以了解以下几点性质：（1）如果函数y=f(x)既有定义域又有到达域，则可以认为f(x)是一个函数。

（2）函数的定义域和到达域都必须是实数集，同时，函数的定义域中的每一个元素都必须在函数的定义范围内。

（3）函数的定义域中两个元素x1和x2必须是不同的。

如果它们是相同的，则我们认为f(x1)和f(x2)也是相同的。

（4）每一个实数，都必须有且只有一个对应的函数值。

（5）如果函数y=f(x)中所有的函数值都大于零，则我们称f(x)是正函数。

函数和映射的区别和联系

函数和映射的区别和联系许多人将函数和映射混为一谈，但它们虽然是一类概念，但它们还是有着紧密的关系与不同之处的。

本文将就函数和映射的区别和联系作一个详细的介绍，以加深对这两个概念的理解。

首先，让我们来了解一下函数和映射。

函数是一种特定类型的数学关系，它主要用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，例如y=a*x+b，两边的x 和y是变量，而a和b是常量，当我们改变x的值时，y的值也会相应发生变化。

而映射将一个特定的值映射到另一个特定的值，其中可以存在多对一的映射，一对多的映射，多对一的映射和多对多的映射，而且当映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。

其次，我们来看函数和映射之间的关系。

首先，函数可以被看作是一种特殊的映射，可以将函数看作是一种特殊的一对一的映射，即给定一个x值，就可以求得其对应的y值，而且不管如何改变x值，y值都是唯一的，这正是函数的定义和特征。

其次，两者还有着共同的特点，比如它们都可以用来描述两个不同的实体之间的某种联系，而且都可以用来构建某种变换关系，例如将函数应用到映射中，可以将原来的映射变换成新的映射，而且它们之间也可以相互转换，将函数转换成映射，将映射转换成函数，甚至变换成多项式之类的结构。

最后，我们再来总结一下函数和映射的区别和联系。

函数是一种特定类型的数学关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，两边的x和y是变量，而a和b是常量，当改变x的值时，y的值也会相应发生变化，而映射是将一个特定的值映射到另一个特定的值，可以存在多对一，一对多，多对多的映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。

函数和映射之间有着非常紧密的关系，可以将函数看作是特殊的一对一映射，也具有一些共同的特点，比如可以用来构建某种变换关系，而转换成一个另外函数或者映射，两者之间也可以相互转换。

综上所述，函数和映射是一类概念，有着相互关联的特征，但仍有不少的区别，两者之间的关系可以通过函数转换成映射或者映射转换成函数来实现，用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，对此，我们应当做到分清概念，从而可以更好地理解它们之间的不同之处。

映射的概念分类及与函数的关系

映射的概念分类及与函数的关系1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。

这就叫做从A到B得一个映射。

记作f:A→B。

通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。

为了理解透彻，对其有两点说明：（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中的任何元素与之对应。

（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫做对应。

所以可以说映射是对应的一个子集。

同时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足唯一性。

2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在A中只有一个a与之对应。

即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。

3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与之对应。

即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩余”的。

即“满”之意。

当然，也允许“多对一”。

4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍历，并除去了“多对一”的情况。

换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。

这大概就是“双”的意思吧。

其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。

5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。

法则f就抽练为函数表达式。

显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。

其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。

函数与映射的关系

函数与映射的关系函数与映射是数学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

函数是映射的一种特殊形式，而映射则是函数的一种更普遍的表达方式。

首先，我们来了解函数的概念。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。

在函数中，每个输入都有且只有一个对应的输出。

我们可以将函数想象成一台黑盒子，它接收输入并返回输出，而我们无需关心黑盒子内部的运作过程。

函数的定义通常由一个公式或者算法给出，从而确定每个输入所对应的输出。

而映射是函数的一般形式，它描述了一个集合中的元素如何对应到另一个集合中的元素。

映射可以是一对一的，即每个输入对应到唯一一个输出；也可以是多对一的，即多个输入对应到同一个输出；还可以是一对多或多对多的。

映射的表达方式有多种，例如集合表示法、图表、箭头图等。

映射中的每个元素对我们可以理解为函数中的一个输入-输出对。

函数和映射在数学建模中具有重要的作用。

它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题。

例如，在经济学中，我们可以将不同的产量和对应的成本通过函数来描述，进而研究成本最小化的问题；在计算机科学中，我们可以通过映射来实现数据的转换和处理，从而实现各种算法和程序。

函数和映射的概念也被广泛应用于物理学、工程学、生物学等学科中。

在数学教学中，函数和映射也是重要的基础概念。

它们可以帮助学生理解抽象的数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

通过学习函数和映射，学生可以了解到不同数学对象之间的联系，例如函数之间的复合和逆运算。

此外，函数和映射还可以帮助学生更好地理解数学的实际应用，从而提升他们的学习兴趣和动力。

总结起来，函数和映射是数学中不可或缺的两个概念。

函数是映射的一种特殊形式，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，并满足每个输入有且只有一个输出的条件。

映射则是更广义的表达方式，它描述了集合中元素之间的对应关系。

函数和映射在数学建模和教学中都具有重要的作用，它们帮助我们解决实际问题，培养思维能力，理解数学对象之间的联系。

第2讲函数与映射的概念,定义域,值域

第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

函数和映射的区别和联系

函数和映射的区别和联系函数和映射是数学中两个概念，但有时会经常被混淆。

它们之间存在一定的区别和联系，例如从功能和表示方法的差异。

虽然它们有一些相似性，它们也有显著的差异和区别。

本文的目的是弄清楚这些差别，以及他们之间的联系。

首先，我们来看一下函数和映射之间的区别。

函数是一个关系，其中每个输入值都会有唯一的输出值。

它可以表示为一个方程：如果x是一个实数，那么y=f(x)是一个函数。

映射涉及多个输入和多个输出。

它们没有规律，每个输入可以有多个输出，但不一定会有任何输出。

它可以表示为一个表格，如：（x，y）=（1，2）映射。

此外，函数和映射还可以通过它们的表示方法进行区分。

函数可以表示为曲线或图表，而映射可以表示为表格或图形。

函数可以用函数图表和函数方程来表示，而映射可以用表格和图形来表示。

当然，函数和映射之间还有许多明显的差异。

例如，函数是单射的，而映射可以是双射或多射的。

函数可以用方程表示，而映射不能用方程表示。

此外，函数只允许一个输入对应一个输出，而映射可以有多个输入对应一个输出。

虽然有一定的区别，但函数和映射之间仍然存在很多联系。

首先，函数可以被看作是特殊的映射，它们之间存在相同的基本概念。

函数和映射都是把一个输入变成一个输出，但函数是一个特殊的映射，它遵循一定的规则。

此外，函数和映射之间还有着共同的目的，那就是把一种东西变换成另一种东西。

此外，函数和映射还可以用来实现同样的任务。

例如，函数和映射都可以用来同构，即映射一种数据结构到另一种数据结构。

此外，函数和映射也可以用来处理数据，如将两个数字相加或两个字符串拼接。

总之，函数和映射是数学中两个重要概念，它们之间存在一定的差异和联系。

函数是一个关系，其中每个输入值都会有唯一的输出值，可以表示为一个函数方程和图表；而映射则涉及多个输入和多个输出，可以表示为一个表格或图形。

函数比映射更加简单，但它们有很多相同的用途和相同的目的。

高等数学映射与函数笔记

高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。

本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。

2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。

三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。

2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。

四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。

2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。

3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。

4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。

五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。

例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。

2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。

3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。

六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。

函数、映射的概念

高等数学上册1.1 映射与函数

函数的概念及其表示

映射与函数知识点总结

大一高数知识点映射与函数

函数 映射

映射的概念和函数的概念

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高数课件-映射与函数

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一函数与映射的基本概念

映射与函数的概念与性质

函数和映射的区别和联系

映射的概念分类及与函数的关系

函数与映射的关系

第2讲 函数与映射的概念,定义域,值域

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高等数学映射与函数笔记

函数映射

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第2讲函数与映射的概念,定义域,值域