高中数学口诀的编写与应用

高中数学口诀的编写与应用
摘要
数学是研究自然科学的重要工具，但中学生在学习数学中遇到的普遍困难则表现在：对数学概念与性质不能深刻理解；对数学原理和公式不能准确记忆；对数学方法和规律不能正确使用；这其中最主要的原因还是在知识学习的过程中缺乏对知识的总结整理而导致知识遗忘过快所致。

因此，如何准确理解、记忆知识成为了学生学好数学的重要环节，而“数学口诀”的特征正是解决记忆困难的最佳方法。

文章就如何编辑数学口诀和使用数学口诀提出了一些思路和具体的操作方法。

关键词：高中数学口诀编写应用
绪论
“一一得一，一二得二，一三得三，……”朗朗上口的九九乘法口诀让我们每一个人受益终身。

在学习高中数学的诱导公式中，我们又用“奇变偶不变，符号看象限”十个字高度概括了五十四个诱导公式。

将它们的记忆规律囊括其中，从而使学生能轻易的记住这些诱导公式，方便于在解决问题当中的实际操作运用。

其显著的运用功能和记忆效果使这则口诀成为了初等数学中脍炙人口的杰作。

数学公式烦多，如何合理编辑使用口诀，帮助数学学习者准确无误记忆公式，同时又让枯燥的数学变得有趣呢？笔者在多年的教学第一线进行该项研究时，收集整理编写了一部分高中数学口诀，在教学中使用取得初步成效，下面根据自己的实践谈谈对高中数学口诀教学的一些做法与体会。

1 两个概念
首先“数学口诀”是指在数学概念、公式、定理、方法等教学过程中，根据教学对象的特点，对其特征、本质和规律用生动、形象、简练的语言进行提炼概括并编成便于学生理解、记忆、学习和掌握的语句。

其次“数学口诀教学法”是指在数学教学过程中通过使用“数学口诀”帮助学生准确理解和深刻记忆数学知识的教学方法。

2 理论根据
关于兴趣
古人说：知之者不如好知者，好知者不如乐知者。

兴趣是事业成功的前导，也是激发学习热情，产生内在动力的关键。

苏联兴趣问题专家休金娜明确提出：“认识兴趣是现代教学理论的重要问题。

”在她看来，“认识兴趣的问题已经成为苏维埃教学理论的有机组成部分，这个问题很有希望的揭示教学过程内部和外部的各种途径……可以把认识兴趣看作对学生的最重要的个性教育”。

由此看来，兴趣已影响到教学的各个方面和职能，对学生的个性发展有着不可低估的作用，因此，教学理论必须把兴趣作为一个重要课题来研究。

3 教学实践中对“数学口诀”的认识
在多年的数学课堂教学和课改教学实践中我们深刻体会到：激发学生主动学习积极性的关键在于使学生在学习中能获得的成功的体验，而成功的标志在于学生能较好的理解知识、记忆规律、掌握方法。

而对知识、规律、方法掌握的最佳途径除练习外，通过“口诀”理解和记忆则是又一条良好途径。

事实上，好的“数学口诀”具有永久的生命力，不仅以前、现在,还是将来都将在数学教学中发挥它特有的功能。

华罗庚教授倡导的读书法是：“由薄到厚，再由厚到薄。

”其中第二个“薄”即指对书本精髓的提炼概括。

像这样的提炼概括在数学教科书中比比皆是，就说概念名称吧，如直线方程的“点斜式”、“斜截式”、“截距式”等都是对整个定义的概括浓缩.说它是数学口诀,也未尝不可。

再说“截距”，它的定义是：“曲线与x（或y）轴交点的横（或纵）坐标”，是可以取一切实数的，但学生在学习的过程中总是习惯从字面上把它误解为距离；而当老师用“截距非距”这一数学口诀去阐述它的本质时，同学们马上就能准确的记住了“截距不是距离”这一事实，真可谓“四字传神”啊。

4 应用“数学口诀”教学的必要性
众所周知，数学是研究自然科学的重要工具，较好的掌握初等数学知识是一个优秀的高中生所必须具备的基本能力；但中学生在学习数学中遇到的普遍困难则表现在：对数学概念与性质不能深刻理解；对数学原理和公式不能准确记忆；对数学方法和规律不能正确使用；这其中最主要的原因还是在知识学习的过程中缺乏对知识的总结整理而导致知识遗忘过快所致。

因此，如何准确理解、记忆知识成为了学生学好数学的重要环节，课改中研究知识记忆的方法已经成为了当务之急，教学内容的增加也使记忆方法的研究成为了必要。

而“数学口诀”的特征正是解决记忆困难的最佳方法。

5 我们目前收集或自己编写使用的一部分数学口诀
5.1 对数学概念、性质的记忆与理解方面：
1）复数三角形式的记忆
z=r(cosθ+isinθ)
口诀：“非负数，余正弦；角相同，加相连。

”
2）三角函数在各象限的符号记忆
αsin αcos
αtan αcot
αsec αcsc
1
图5-1
口诀：“一正，二正弦，三切，四余弦。

”
5.2 对数学公式的记忆与理解方面的：
1）完全平方公式的记忆
2222)(b ab a b a +±=±
口诀：“首平方，尾平方，两倍首尾放中央。

”
2）同角三角函数的关系的记忆
倒数关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα
商数关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan 平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin
图5-3
口诀：“上弦中切下边割，左正右余中间1。

”（结合上图正六边形）
3）两角和与差的正弦公式的记忆
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β
口诀：“正余余正符号同。

”
4）两角和与差的余弦公式的记忆
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β
+ + -
- sin ɑ + - - + cos ɑ +
- - + tan ɑ
口诀：“余余正正符号反。

”
5）向量减法运算（几何）三角形法则的记忆
BA OB OA =- O A B
图5-4
口诀：“合起点，连终点，指被减。

”
5.3 对解题规律和方法的记忆与理解方面：
1）对数轴标根解高次或分式不等式方法的记忆
例如：解不等式：0)3)(1()1)(2(2>--++x x x x
图5-5
口诀：“偶次重根穿而不过；奇次重根留一个。

”
2）对两位整数与11相乘的运算记忆
例：26⨯11 68226
口诀：“两边拉，中间加。

”
3）对空间图形斜二测画法规则的记忆
口诀：“横同竖半角四五，与轴平行性不变。

”
4）对二分法求方程近似解的记忆
-2 -1 1 3 + +
+ - - x
口诀：“定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办? 精确度上来判断.”
5.4 对学法指导方面的：
1）圆锥曲线学习
口诀：“圆锥曲线不可怕，我说几点你记下。

定义性质要熟练，图象随手都可画。

渐近线和焦半径，关键时刻别忘记。

轨迹方程步步来，回来一看别犯傻。

交于两点用韦达，细心运算要到家。

最值问题要转化，数形结合效果佳。

勤奋思练成绩优，学习进步笑哈哈。

6 数学教学中口诀编写与技巧
6.1 优秀口诀的特点：
1）描述概念简洁准确
如：映射的元素对应特点：
口诀：“一对一，多对一”
2）阐述特征生动形象
如π的近似值：3.1415926535897932384626
口诀：“山巅一寺一壶酒；
尔乐苦煞吾；
把酒吃；
酒杀尔；
杀不死；
乐而乐。

”
3）叙述规律有趣易记
如414
.1
2 ，
口诀：（偶尔给朋友买点礼物）表示：一点意思意思。

6.2 书写“口诀”的要点：
押韵易读好上口，文字简练易记熟。

6.3 编写“口诀”的技巧：
1）深钻教材，细研教法
善于发现数学概念、公式以及解题规律的特征，有意识的提炼“记忆口诀”。

“记忆口诀”的质量是教材教法研究深度的体现。

如：在学了重要不等式，应用它来求函数值域时，要精心设计问题，层层深入引导学生发现规律，用简洁的语言总结规律。

问题：求下列函数的值域
（1）)0(1)(>+
=x x x x f ； （2）
)0(1)(<+=x x x x f ； （3）
)0(1)(2>+=x x x x f ； （4）
)0(1)(2>+=x x x x f ； （5）)0(13)(2>+=x x x x f ；
（6）2221
2)(x x x f +++=。

第（1）题学生轻而易取地获得结论：函数的值域为：[2，+∞）。

老师再问：函数什么时候取得最小值？学生易得1=x 时函数取得最小值。

第（2）题学生有点犯愁了，明显0<x ，不能直接用重要不等式。

要转化成
)1()(x x -+-才能用重要不等式得到2)1()(≥-+-x
x ，再用不等式的性质得到：21)(-≤+=x
x x f ，进而得到函数的值域为：（-∞，-2]。

老师再问：函数什么时候取得最大值？学生易得1-=x 时函数取得最大值。

老师提醒学生及时总结，这两题说明用重要不等式时第一个要注意什么？学生不难发现，变量要是正数。

不是正数时要转化为正数再用重要不等式求解。

第（3）题，第（4）题明显不能直接用重要不等式求出函数的值域，老师提
示学生：它们与第（1）题的区别是什么？学生容易发现，21x x 与、x
x 12与的积不是常数。

老师，第（3）题21x
x 与的积是分母多了一个x ，如何恒等变形能使它们的积是常数？学生不难做到：
3322222
312231221)(=⋅≥++=+=x x x x x x x x x f 。

故函数的值域为),223[3+∞。

老师再问：函数什么时候取得最小值？学生易得32=x 时函数取得最小值。

有了上一题的基础，学生很快可以完成第（4）题
3322222
32121321211)(=⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x x f 。

故函数的值域为),223[3+∞。

老师再问：函数什么时候取得最小值？学生易得2
43
=x 时函数取得最小值。

老师提醒学生及时总结，这两题说明用重要不等式时第二个要注意什么？学生发现，含有变量的几项的乘积应变为常数。

第（5）题学生可能很快这样处理
33222231231213)(=⋅⋅≥++=+=x
x x x x x x x x f 。

故函数的值域为),23[3+∞。

老师再问：函数什么时候取得最小值？此时学生将发现问题函数值取不到
323，即：323不是函数的最小值。

老师问：刚才做的第（5）题与第（3）
（4）题的区别在哪里？学生：第（3）题
2122x x x ==方程有解，第（4）题x
x x 21212==方程也有解，但第（5）题212x x x ==方程无解。

老师问：怎样处理也能使方程有解？学生不难调整3322218231232331232313)(=⋅⋅≥++=+
=x x x x x x x x x f 。

故函数的值域为),182
3[3+∞。

在第（5）题的基础上，学生再做第（6）题已感觉到有问题了。

老师问：能求出函数的值域吗？学生摇头。

老师：为什么不能用重要不等式求呢？学生：不等式中的等号不能成立。

老师提醒学生这两题说明用重要不等式时第三个要注意什么？学生肯定地回答，要注意不等式中等号成立的条件。

老师：正因为这样，第（6）题求函数的值域不能用重要不等式来求，而要用别的方法，这种方法以后会学。

老师问：那么应用重要不等式求函数值域时要注意哪些？
学生：一、变量要是正数。

二、乘积应为常数。

三、注意不等式中等号成立的条件。

老师：能不能浓缩一点？
学生：一正、二常、三要等号条件。

老师：很好，当一个数为常数时，我们又称它为定值，故我们可以更简单总结为：“一正、二定、三相等”。

至此，应用应用重要不等式时的注意事项口诀就生成了。

再比如：在解决线性规划问题时，我们一般要先设变量，再根据约束条件，列不等式组，写出目标函数，画出可行域，找到目标函数表示的几何意义，根据几何意义移动直线或点，直观了解取到最值的量的位置，再由方程找到最优解，从而得到所求的最值。

将上述解题步骤可总结为记忆口诀：“设、列、画；移、求、答。

”
2）结合教情、学情，合理改编已有的 “记忆口诀”
结合教情、学情，合理改编已有的“记忆口诀”是编写口诀的另一条有效途径。

如利用数学归纳法证明整除性的规律记忆：
【记忆口诀】
提出因子，凑成假设；
数字不符，多退少补。

改编后：“提因子，凑假设；数不符，注意补。

”
总之“口诀”编写技巧是：善于提炼，合理改编。

7 数学口诀教学的应用
数轴标根法解不等式的应用
让学生先回忆高次不等式的解法----数轴标根法。

（“偶次重根穿而不过；奇次重根留一个。

”）
解不等式：
03)2)(1()1(<--+x x x ； 03
)2)(1()2(≤--+x x x ； 03)2)(1()3(2
≤--+x x x ； 03
)2)(1()4(3<--+x x x 。

（1）问题引导：老师：高次整式不等式已经会求解了，分式不等式能否向高次整式不等式转化？学生：其实03)2)(1(<--+x
x x 就是让分子分母异号，故有 0)3)(2)(1(03)2)(1(<--+⇔<--+x x x x
x x 至此学生欣喜，很快用数轴标根法
图7-1 得出结论：
03)2)(1(<--+x
x x 的解集为}32,1|{<<-<x x x 或。

老师让学生代一个值检验一下，不难发现，这是一个错误的解集。

问题在哪？ 部分学生会发现0)3)(2)(1(<--+x x x 不具备数轴标根的前提条件，应把0)3)(2)(1(<--+x x x 转化为0)3)(2)(1(>--+x x x 才能用数轴标根，至此有原不等式的解集为}321|{><<-x x x 或。

这个例子告诉我们，任何一个口诀的使用和公理、定理的使用一样是有先决条件的，当条件不具备时是不可以使用口诀的。

数轴标根法的前提条件有二：一是不等式的一边是0，另一边全部因式分解；
-1 2 3
二是分解因式后的未知数的系数要为正。

例如：13
)2)(1(<--+x x x 也是不可以直接用数轴标根法的。

（2）问题引导：老师：不等式（2）与（1）的差异是什么？学生：不等式（2）有等号。

老师：等号意味着什么？学生：因子可以为0。

老师：所有因子都可以为0吗？学生：分母的因子不可以为0。

老师：那有等号的不等式与没有等号的不等式的解集有何区别呢？学生：增加了分子因子为0的几个根而已。

老师：那么这个不等式的解集是什么？ 学生：不等式03
)2)(1(≤--+x x x 的解集为：}32,1|{<≤-≤x x x 或。

（3）问题引导：老师：不等式（3）与（2）的差异是什么？学生：不等式（3）有两重根2。

老师：两重根意味着什么？学生：数轴标根时在根2处穿而不过。

老师：那么这个不等式的解集是什么？学生解答
图7-2 有：03
)2)(1(2
≤--+x x x 的解集为：}31|{<≤-x x 。

（4）问题引导：老师：不等式（4）与（3）的差异是什么？学生：不等式（3）有三重根2且不等式中没有等号了。

老师：三重根意味着什么？没有等号又意味着什么？学生：数轴标根时在根2处当一个根处理，且每一个因子都不能为0。

老师：那么这个不等式的解集是什么？学生解答
图7-3 有：03
)2)(1(3
<--+x x x 的解集为：}32,1|{<<-<x x x 或 通过这样过程的学习，让学生感受到如何发现、概括、总结知识规律的方法，获取口诀及如何运用口诀解决问题。

进而实现培养学生思维的深刻性和创造性的目的。

同时感受数学的一种简洁美，收获成功的喜悦。

由于“数学口诀”本身具有的吟诵与观赏价值能大大提高学生的学习兴趣，从而能达到活跃课堂气氛、准确记忆知识目的。

8 使用“数学口诀”教学时应注意的事项
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-1 2
3
首先不是所有的内容都要采用“口诀教学”，因为它毕竟不是万能的。

况且“口诀”也需要教学，因此我们只是针对一些难以理解、记忆、掌握的知识才尽可能编辑口诀来帮助学生学习掌握数学知识，当然我们也可以发动学生自己编写“口诀”。

其次在某些内容方面，也许有比“口诀”更好的记忆方法。

比如在记忆两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数时，采用图形记忆更为直观。

在记忆指数、对数函数的性质时，采用图形记忆也是非常方便直观的。

最后在使用“数学口诀”教学时，要注意先查看使用这一口诀的先决条件是否具备。

比如应用数轴标根法的两个前提条件：一是不等式的一边是0，另一边全部因式分解；二是分解因式后的未知数的系数要为正。

另外由于“数学口诀”是经过浓缩提炼出来的，它的每一字都有深刻的含义，在使用“数学口诀”之前一定要对它的一字一句理解透彻，才能准确无误地使用口诀，达到事半功倍的效果。

口诀在各科教学中早就被广泛的使用，但高中数学教学中对“口诀教学法”进行深入、系统的研究案例，国内外尚未发现，国内高中数学教学中数学口诀的现状是：传统数学内容口诀稀少，鲜见珍品；而新增教学内容口诀空缺，亟待开发。

本人仅以此抛砖引玉，希望各位同行能加入到搜集编写数学口诀的行列中来，通过对数学口诀的编写，达到活跃课堂气氛、准确记忆知识、提高学生的学习兴趣，从而提高教学质量的目的。

同时通过“数学口诀”的编写，也可以引导学生自己概括、总结知识与方法，进而实现培养学生思维的深刻性和创造性的目的。

参考文献
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2011年3月28日。