初三圆的综合复习教案

圆综合复习
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
2．判定一个点P是否在⊙O上．
3．与圆有关的角
(1)圆心角(2)圆周角
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：
4．圆的性质：
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
6．切线的判定、性质：
7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
8．直线和圆的位置关系：
9．圆和圆的位置关系：
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长．
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．
弓形的面积
圆锥的侧面积
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
例1：已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2)．将割线、相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
【中考热点】
近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点．
例2已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
例3如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A．B．C．D．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，
M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，
．
(1)求EM的长．
(2)求sin∠EOB的值．
练习1、如图23-13，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x 的方程
(其中m 为实数)的两根．
(1)求证：BE ＝BD ； (2)若
，求∠A 的度数．
练习2、如图6，BE 是⊙O 的直径，点A 在EB 的延长线上，弦PD ⊥BE ，垂足为C ，连结OD ，且∠AOD=∠APC.
（1） 求证：AP 是⊙O 的切线； （2） 若OC ：CB=1：2，且AB=9，求⊙O
的半径及sinA 的值.
练习3、如图，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA = EC 。

⑴ 求证：AC 2 = AE ·AB ；
⑵ 延长EC 到点P ，连结PB ，若PB = PE ，试判断PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

C B A
P
D
E
O
O
P
F E D
C
B
A
·。