正弦定理(下)三角形面积公式

下课了!
•在数学领域中,重视
学习的过程比重视学 习的结果更为重要.
课后补充练习
1、 在 ABC 中，B 45,C 60,
a 2( 3 1) ，求 ABC 的面积S．
解 A 180 (B C) 75
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3 1)( 2 ) 2 4
即 16 4 242cos A 16 36 246cos A.
解得 cos A 1 , 所以 sin A sin C 3 ,
2
2
所以
S ABCD

1 2
AB
AD sin
A
1 2
CB CD sin
C

8
3.
解答二:补形.延长CD,BA交于点E,
C
设DE=x,AE=y,由于EAD ECD
3 2.
∵0°＜∠C＜150°，∴∠C＝60°或∠C＝120°.
当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝
2 3. 当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sin A＝ 3.
∴△ABC 的面积为 2 3或 3.
例3.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,
sin A
6 2
4
SABC

1 absinC 2

1 2( 2
3 1) 4 ( 3) 6 2 2
3
1
1
1
SABC

2
absin C

bc sin 2
A
ac sin B 2
2 在△ABC 中，已知 tanB＝ 3，cosC＝13，
AC＝3 6，求△ABC 的面积．
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，
由 tanB＝ 3，得 B＝60°，∴sinB＝ 23，cosB＝12.
又 sinC＝ 1－cos2C＝232，应用正弦定理，得
c＝bssiinnBC＝3
6×2
3×
3 2
2＝8.
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 23×13＋12×232
＝
63＋
2 3.
故 S△ABC＝12bcsinA＝6 2＋8 3.
因为:
SABC

1 2
absin C

1 2
bc sin
A

1 2
பைடு நூலகம்
ac sin
B
a b c 2R (R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
所以:
abc S△＝ 4R ，R
为外接圆半径．
和
S△＝2R2sinAsinBsinC
三角形面积的其他相关公式
三角形面积公式 S△＝12(a＋b＋c)r＝ pp－ap－bp－c， 其中 r 为△ABC 内切圆半径， p 为半周长．
附:根据已知条件选择适当公式使用。
例2 在△ABC 中，已知∠B＝30°，AB＝2 3， AC＝2，求△ABC 的面积．
【分析】 要求S△ABC，已知AB、AC，只需求∠A， 根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以 先求出AB的对角∠C，使问题得到解决．
【解】
由正弦定理，得
sinC＝ABA·sCinB＝
CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
C
分析:解答本题有几点要弄清,(1)圆
内接四边形的性质,(2)四边形的面积 计算没有公式,需对四边形进行分割
D
或补形,(3)必须求三角形的一个角.
解答一:分割.连结BD,则
A
B
BD2 AD2 AB2 2AD AB cos A CD2 CB2 2CDCB cos( A).
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=2，
cos B 2 5 , 求三角形ABC的面积．
A
25
C ,
4
分析：题中已知三角形中三个条件，
故三角形是可解的，根据三角形的面
积公式知，只需求出b或c即可.
B
C
解答：因为cos B 2 5，由二倍角公式得：cos B 4 ,sin B 3 .
S△＝2R2sinAsinBsinC
三角形面积公式的推导
因为: SABC

1 2
aha

1 2
bhb

1 2
chc
A
又 ha =bsinC hb =csinA
c
b
ha
B
aC
hc =asinB
所以:
SABC

1 2
absin C

1 bc sin 2
A

1 2
ac sin
B
三角形面积公式的推导
25
5
5
所以 sin A sin( B C) sin(B C) 2 (sin B cos B) 7 2 .
由 a c 得 c 10 .
2
10
sin A sin C
7
所以
SABC

1 2
ac sin
B

4. 7
点评:将多边形转化为三角形是解三角形中的一重要手段.
归纳总结
三角形面积公式
S
△
＝
1 2
aha
＝
1 2
absinC
＝
abc 4R
＝
1 2
(a
＋
b
＋
c)r
＝
2R2sinAsinBsinC＝ pp－ap－bp－c，
其中 r 为△ABC 内切圆半径，R 为外接圆半径， p 为半周长．
结束寄语
所以 AD ED EA ,
D
CB EB EC
即 4 x y , 6 y2 x4
E
A
B
解得 x 28 , y 32 .
5
5
在△EAD中,根据余弦定理得
cos
E

11 ,
从而
sin
E

5
3.
14
14
所以
S ABCD

1 2
EC

EB sin
E

1 2
EA
ED sin
E

8
3.
三角形的面积公式
湖南省耒阳市振兴学校 高中数学老师欧阳文丰制作
温故知新
一、三角形的面积公式：
A
1
1
1
SABC 2 aha 2 bhb 2 chc
c
b
ha
B
aC
二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?
SABC

1 2
absin C

1 bc sin 2
A

1 2
ac sin
B
abc S△＝ 4R ，R 为外接圆半径．