命题与量词、基本逻辑联结词

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教学过程

一、课堂导入

问题:怎样区分全称性量词与存在性量词?逻辑联结词表示的含义是什么?

二、复习预习

“或”作为逻辑联结词,与生活用语中“或者”相近,但二者有区别。生活语言中“或者”是指从联结的几部分中选一,而逻辑联结词“或”都是指联结的几部分中至少选一。

“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”,“与”代替。

“非”作为逻辑联结词的意义就是日常生活用语中的“否定”,而且是“全盘否定”。

“或(∨)”、“且(∧)”、“非(¬)”这些词叫逻辑联结词。

存在量词与存在性命题。短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∂“表示,读作“p且q”。

三、知识讲解

考点1 命题

能够判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.

考点2 量词

(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.

(2)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做

存在量词,并用符号“∃”表示.

考点3 逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词.

(2)命题真值表:

四、例题精析

考点一含有逻辑联结词命题的真假判断

例1命题p :将函数y =sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象;命题q :函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6cos ⎝ ⎛⎭

π3-x 的最小正周期为π,则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”为真命题的个数是( )

A .1

B .2

C .3

D .0

【规范解答】函数y =sin 2x 的图象向右平移π3个单位后,所得函数为y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x -2π3,

∴命题p 是假命题.

又y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=12-12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3, ∴其最小正周期为T =2π

2=π,∴命题q 是真命题. 由此,可判断命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,“¬p ”为真. 【总结与反思】“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p 、q 的真假;

(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假.

考点二含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)p:∀x∈R,x2-x+1

4≥0;

(2)q:所有的正方形都是矩形;

(3)r:∂x0∈R,x20+2x0+2≤0;

(4)s:至少有一个实数x0,使x30+1=0.

【规范解答】否定量词,否定结论,写出命题的否定;判断命题的真假.

(1)¬p:∂x0∈R,x20-x0+1

4<0,假命题.

(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.

(3)¬r:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题.

(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0,假命题.

【总结与反思】(1)含一个量词的命题的否定方法

①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.

②对原命题的结论进行否定.

(2)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立.

考点三逻辑联结词与命题真假的应用

例3 已知p:∂x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,求实数m的取值范围。

【规范解答】依题意知,p ,q 均为假命题.当p 是假命题时,mx 2+1>0恒成立,则有m ≥0;当q 是假命题时,则有Δ=m 2

-4≥0,m ≤-2或m ≥2.因此由p ,q 均为假命题得⎩⎨⎧

m ≥0

m ≤-2或m ≥2

,即m ≥2.

【总结与反思】以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.

五、课堂运用

【基础】

1、命题“∀x∈R,∂m∈Z,m2-m

规范解答】 由于∀x ∈R ,x 2+x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34≥3

4,因此只需m 2-m <34,即-12

所以当m =0或m =1时,∀x ∈R ,m 2-m

2、下列四个命题:

①∀x ∈R ,x 2+x +1≥0;②∀x ∈Q ,12x 2+x -1

3是有理数;

③∂α,β∈R ,使sin(α+β)=sin α+sin β;④∂x ,y ∈Z ,使3x -2y =10. 所有真命题的序号是________.

【规范解答】①②显然正确;③中,若α=π

,β=0,则sin(α+β)=1,sin α+sin β=1+0=1,

2

等式成立,∴③正确;④中,x=4,y=1时,3x-2y=10成立,∴④正确,故填①②③④.

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