命题与量词、基本逻辑联结词

教学过程一、课堂导入问题：怎样区分全称性量词与存在性量词？逻辑联结词表示的含义是什么？二、复习预习“或”作为逻辑联结词，与生活用语中“或者”相近，但二者有区别。

生活语言中“或者”是指从联结的几部分中选一，而逻辑联结词“或”都是指联结的几部分中至少选一。

“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既……”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替。

“非”作为逻辑联结词的意义就是日常生活用语中的“否定”，而且是“全盘否定”。

“或（∨）”、“且（∧）”、“非（￢）”这些词叫逻辑联结词。

存在量词与存在性命题。

短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∂“表示，读作“p且q”。

三、知识讲解考点1 命题能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．考点2 量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．考点3 逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题真值表：四、例题精析考点一含有逻辑联结词命题的真假判断例1命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0【规范解答】函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 是真命题． 由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“￢p ”为真． 【总结与反思】“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．考点二含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∂x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【规范解答】否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．(1)￢p：∂x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题．(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4)￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．【总结与反思】(1)含一个量词的命题的否定方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．考点三逻辑联结词与命题真假的应用例3 已知p：∂x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围。

【规范解答】依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.【总结与反思】以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．五、课堂运用【基础】1、命题“∀x∈R，∂m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)规范解答】 由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．2、下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数；③∂α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∂x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________．【规范解答】①②显然正确；③中，若α＝π，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，2等式成立，∴③正确；④中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，∴④正确，故填①②③④.【巩固】1、已知命题p：若a>1，则a x>log a x恒成立；命题q：在等差数列{a n}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是a n＋a m＝a p＋a q的充分不必要条件(m，n，p，q∈N＋)．则下面选项中真命题是()A．￢p∧￢q B．￢p∨￢q C．￢p∨q D．p∧q【规范解答】对于命题p，如图所示，作出函数y＝a x(a>1)与y＝log a x(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝a x的图象在函数y＝log a x图象的上方，即当a>1时，a x>log a x恒成立，故命题p为真命题．对于命题q，可知当公差不为0时，m＋n＝p＋q是a n＋a m＝a p＋a q的充要条件，故命题q为假命题．∴命题￢p为假，￢q为真，故￢p∨￢q为真．2、下列命题中，真命题是( )A ．∂x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∂x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x【规范解答】对于选项A ，∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题为假命题；对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题； 对于选项C ，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴此命题为假命题；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，∴此命题为假命题．故选B.【拔高】1、设有两个命题，p：不等式e x4＋1e x>a的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围。

【规范解答】记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]，而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)， 所以1≤a <22、设p：关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【规范解答】根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎨⎧ a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．课程小结1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．3．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．4．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.5．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．。