简单的三角恒等变换公开课
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简单的三角恒等变换 课件(经典公开课)
(或 asin x+bcos x= + cos(x-θ)).
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
高中数学3.2 简单的三角恒等变换精品公开课ppt课件
上的单调增区间是 0，π3 ， 56π ，π。
课堂小结
半角公式：
sin α = 1 - cosα
(2)sinθ + sinφ = 2sin θ + φ cos θ - φ
2
2
证明：(1)∵ sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
将上两式相加得
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ
cos α 2sin α
2
2
2
= sinα 1 + cosα
= 1 - cosα sinα
代数变换与三角变换的不同：
代数变换往往着眼于式子结构形式的变换。
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的关系，并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式。
例2：求证：
(1)sinαcosβ = 1 [sin(α + β) + sin(α - β)] 2
注意：
（1）sin α 、cos α 、tan α 的符号有 α 所在的象限决定。
2
2
2
2
(2)正切半角公式的推导：
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
2
2
2
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2sin α
2
2
和最小值；并写出该函数在 0，π 上的单调递增区间。
课堂小结
半角公式：
sin α = 1 - cosα
(2)sinθ + sinφ = 2sin θ + φ cos θ - φ
2
2
证明：(1)∵ sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
将上两式相加得
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ
cos α 2sin α
2
2
2
= sinα 1 + cosα
= 1 - cosα sinα
代数变换与三角变换的不同：
代数变换往往着眼于式子结构形式的变换。
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的关系，并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式。
例2：求证：
(1)sinαcosβ = 1 [sin(α + β) + sin(α - β)] 2
注意：
（1）sin α 、cos α 、tan α 的符号有 α 所在的象限决定。
2
2
2
2
(2)正切半角公式的推导：
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
2
2
2
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2sin α
2
2
和最小值；并写出该函数在 0，π 上的单调递增区间。
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
《-简单的三角恒等变换(第一课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】全
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置
3.2简单的三角恒等变换(优质课课件)
1 sin cos sin sin 2
2018年1月12日星期五
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin . cos 2 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
2018年1月12日星期五
例1 试用cos 表示 sin
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
解 是
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 tan 1 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
升角降次
2018年1月12日星期五
1-cos2 sin2 = 2 1+cos2 cos2 = 2 1-cos2 tan2 = 1+cos2 称为降幂公式
8
2018年1月12日星期五
小结
1.降幂公式
2 1 cos 2 cos . 2 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子 结构. 4.换元思想.
2018年1月12日星期五
sin
2
1 cos
2 =
，
2018年1月12日星期五
例3 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
2018年1月12日星期五
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin . cos 2 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
2018年1月12日星期五
例1 试用cos 表示 sin
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
解 是
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 tan 1 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
升角降次
2018年1月12日星期五
1-cos2 sin2 = 2 1+cos2 cos2 = 2 1-cos2 tan2 = 1+cos2 称为降幂公式
8
2018年1月12日星期五
小结
1.降幂公式
2 1 cos 2 cos . 2 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子 结构. 4.换元思想.
2018年1月12日星期五
sin
2
1 cos
2 =
，
2018年1月12日星期五
例3 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
高考数学复习第三章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变换文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT
(2)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域．
29/35
[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
3sin(π－C)＝ 3sin C，又 cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故
3sin C＝1－cos C，即 3sin C＋cos C＝1，即 2sinC＋π6＝1， 即 sinC＋π6＝12，由于π6＜C＋π6＜76π，故只有 C＋π6＝56π，即 C
＝23π.
第三章 三角函数、解三角形
第4讲 简单三角恒等变换
1/35
常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明． (1)化简：要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值， 常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式 及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充 分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角．
所以 fα2－π8
＝2sin α＝
23，即 sin α＝
3 4.
又 α 是第二象限的角，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 432＝－ 413，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 43×－
413＝－
39 8.
17/35
2．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°. [解] 原式＝
29/35
[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
3sin(π－C)＝ 3sin C，又 cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故
3sin C＝1－cos C，即 3sin C＋cos C＝1，即 2sinC＋π6＝1， 即 sinC＋π6＝12，由于π6＜C＋π6＜76π，故只有 C＋π6＝56π，即 C
＝23π.
第三章 三角函数、解三角形
第4讲 简单三角恒等变换
1/35
常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明． (1)化简：要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值， 常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式 及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充 分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角．
所以 fα2－π8
＝2sin α＝
23，即 sin α＝
3 4.
又 α 是第二象限的角，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 432＝－ 413，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 43×－
413＝－
39 8.
17/35
2．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°. [解] 原式＝
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
第四章§4.3第2课时 简单的三角恒等变换课件(共张86PPT)
1－－232＝
5 3.
2.(2020·江苏改编)已知 sin2π4＋α＝23，则 sin 2α 的值是
√ A.－13
1 B.3
C.－23
2 Dห้องสมุดไป่ตู้3
解析 ∵sin2π4＋α＝23， ∴1－cos2π2＋2α＝23， 即1＋s2in 2α＝23，
∴sin 2α＝13.
3.(2019·全国Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α 等于
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1＋12－12×71 71＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ant2aαn－2αttaannββ＝1－34＋34×71 71＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0，
思维升华
(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻 找转化方法. (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
6 A. 2
√ 3
5
B.2
C.4
D.1＋
3 4
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.
2·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×9＋6 1＋ 2×11－＋99＋ 22＝0.
简单的三角恒等变换 课件
tan α？
αα
α
提示：sin_α＝2sinα2·cosα2＝s2isn2inα22＋·ccooss2
2
2tan 2
α2 ＝1＋tan2
α.
2
cos2
cos_α＝cos2_α2－sin2_α2＝cos2
α2 －sin2 α2 ＋sin2
α
2 1－tan2
α2 ＝1＋tan2
α
2
α.
2
α
tan_α＝csoins
2cos α2；
(2)已知 sin α＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证： tan(α＋β)＝cossinββ－A.
(2)因为 sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 所以 sin α＝Asin(α＋β)化为 sin(α＋β)cos β－cos(α ＋β)·sin β＝Asin(α＋β)， 所以 sin(α＋β)(cos β－A)＝cos(α＋β)sin β， 所以 tan(α＋β)＝cossinββ－A.
2
（－cos
cosα2
α）
.
又∵180°<α<360°，
∴90°<α2<180°，∴cosα2<0，
α
cos ∴原式＝
2
·（－cos
α
α）
－cos 2
＝cos α.
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式 子中各角之间的联系，通过拆、凑等手 段消除角之间的差异，合理选择联系它 们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异， 尽量统一函数的名称，如统一为弦或统 一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差 异，选择适当的变形途径．如升幂、降 幂、配方、开方等．
αα
α
提示：sin_α＝2sinα2·cosα2＝s2isn2inα22＋·ccooss2
2
2tan 2
α2 ＝1＋tan2
α.
2
cos2
cos_α＝cos2_α2－sin2_α2＝cos2
α2 －sin2 α2 ＋sin2
α
2 1－tan2
α2 ＝1＋tan2
α
2
α.
2
α
tan_α＝csoins
2cos α2；
(2)已知 sin α＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证： tan(α＋β)＝cossinββ－A.
(2)因为 sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 所以 sin α＝Asin(α＋β)化为 sin(α＋β)cos β－cos(α ＋β)·sin β＝Asin(α＋β)， 所以 sin(α＋β)(cos β－A)＝cos(α＋β)sin β， 所以 tan(α＋β)＝cossinββ－A.
2
（－cos
cosα2
α）
.
又∵180°<α<360°，
∴90°<α2<180°，∴cosα2<0，
α
cos ∴原式＝
2
·（－cos
α
α）
－cos 2
＝cos α.
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式 子中各角之间的联系，通过拆、凑等手 段消除角之间的差异，合理选择联系它 们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异， 尽量统一函数的名称，如统一为弦或统 一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差 异，选择适当的变形途径．如升幂、降 幂、配方、开方等．
三角恒等变换公开课
简单的三角恒等变换 -----三角函数式求值
A
一、回顾 简单的三角恒等变换常用策略：
1、变“角”
观察角之间的和、差、倍、补、余的关系，减少 角的种类，变为同角或特殊角。 2、变“名” 切弦转化；变异名为同名 3、变“次数” 二倍角的应用----正用，逆用
一、化简求值
例1：求下列各式的值 3 sin70 (1) 2 2 cos 10 (2) cos50 (tan10 3) 2cos10 sin 20 (3) sin 70
三、小结
Байду номын сангаас
应用简单的三角恒等变形求值
一种思想： 化归的思想 两种题型： 化简求值；“条件”求值 三种策略： 变角；变名；变次数
思考：
思考：
已知A, B,C 为ABC 三内角, 向量m ( 1, 3), n ( cos A, sin A), 且m n 1 (1)求角A 1+ sin 2 B (2)若 3, 求 tan C . cos 2 B
二、“条件”求值
例2: 3 sin 2 x 2cos2 x 若 cos x , x (0, )求 的值. 5 1 tan x
变式 3 sin 2 x 2cos2 x 若cos( x ) , x (0, ),求 的值. 4 5 1 tan x
1 练习：已知0 , 0, cos( ) , 2 2 4 3 3 cos( ) , 则 cos( ) 4 2 3 2
A
一、回顾 简单的三角恒等变换常用策略：
1、变“角”
观察角之间的和、差、倍、补、余的关系，减少 角的种类，变为同角或特殊角。 2、变“名” 切弦转化；变异名为同名 3、变“次数” 二倍角的应用----正用，逆用
一、化简求值
例1：求下列各式的值 3 sin70 (1) 2 2 cos 10 (2) cos50 (tan10 3) 2cos10 sin 20 (3) sin 70
三、小结
Байду номын сангаас
应用简单的三角恒等变形求值
一种思想： 化归的思想 两种题型： 化简求值；“条件”求值 三种策略： 变角；变名；变次数
思考：
思考：
已知A, B,C 为ABC 三内角, 向量m ( 1, 3), n ( cos A, sin A), 且m n 1 (1)求角A 1+ sin 2 B (2)若 3, 求 tan C . cos 2 B
二、“条件”求值
例2: 3 sin 2 x 2cos2 x 若 cos x , x (0, )求 的值. 5 1 tan x
变式 3 sin 2 x 2cos2 x 若cos( x ) , x (0, ),求 的值. 4 5 1 tan x
1 练习：已知0 , 0, cos( ) , 2 2 4 3 3 cos( ) , 则 cos( ) 4 2 3 2
11简单的三角恒等变换公开课
α 2 α 请用 cosα表示cos 和tan . 2 2
2
结论
1 cos sin , 2 2
2
从左到右升角降幂
1 cos cos , 2 2
2
(降幂公式）
1 cos tan . 2 1 cos
2
以上三个式子，你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗？
知识回顾 1、 同角三角函数的基本关系
sin α cos α 1
2 2
sinα tanα cosα
π (α kπ，k Z) 2
知识回顾 2、 和（差）角的正弦、余弦、正切公式
sin(α β) sinαcos cossin cos(α β) coscos sinsin
巩固练习1
返回 返回1
sin 1、求证： tan . 1 cos 2
分析：等式的两边函数 的名称不同 可以考虑用同角 ， 三角函数的基本关系。
α s in α 2 证法二： tan α 2 cos 2 α α s in 2cos 2 2 s inα .得 证 . α α 1 cosα cos 2cos 2 2
cos2α 2 cos 1
2
1 2sin α
2
也可把 cos α、sin α 解出来得
2 2
1 cos 2α cos α 2 1 - cos 2α 2 sin α 2
2
知识回顾
5、辅助角公式
asinx bcos x a b sin(x )
2 2
b 其中tan . a
例题讲解一
α 例1 试以cosα表示sin . 2
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所 以sin2 α 1 cosα .
2
2
请用 cosα表示cos 2 α 和tan 2 α .
2
2
结论
sin2 1 cos ,
2
2
cos2 1 cos ,
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
从左到右升角降幂
(降幂公式）
以上三个式子，你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗？
2sin(2x π ) 1 4
所 以， 此 函数 的 最小 正周 期为，最 大值 为 2 1，
最 小值 为1- 2。
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总结与提高
1、三角恒等变换的一般思路：
(1)找差异 (2)消除差异——由角的联系选择公式 (3)对公式变形
2、三角恒等变换的应用：
将y=asinx+bcosx转换为 y Asin(x ) b，达到研究
1、求证：sin tan .
1 cos
2
分析：等式的两边函数的名称不同，可以考虑用同角
三角函数的基本关系。 证 法 二 ：tan α 2
sin cos
α
2 α
2
sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
sinα .得 证 . 1 cosα
2
2
返回
例题讲解二
1、求证：tan 1 cos . 2 sin
2、若a (sin x, m),b (sin x 3 cos x,1) ,设 f (x) a b
（1）写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；
（2）若 x [0, ]， f(x)的最小值为2，求m的值。
3
作业 教材Ｐ143 A组
巩固练习1
1、求证：sin tan .
1 cos
2
分析：α是 α 的倍角，所以可以考虑用倍角公式 2
证 法 一 ：sinα 1 cosα
sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
2
2
sin α 2
tan α .得 证 .
cos α
2
2
返回 返回1
巩固练习1
2
cos cos 2 1 2sin 2
2
2
与 有什么关系？
2
是 的倍角
2
例题讲解一
解 ：α是 α 的 二 倍 角 . 2
在 倍 角 公 式cos2α 1 2sin2α中，
以α代 替2α， 以 α 代 替α， 即 得 2
cosα 1 2sin2 α , 2
例2 求函数y sinx 3cosx的周期、最大值和最小值.
分析：利用三角恒等变换，先化简函数式，再求解.
解： y sin x 3 cos x
例题小结:本例是
2
1 2sinFra bibliotekx
3 2
cos
x
三角恒等变换在数 学中应用的举例， 它使三角函数中对
2sin x cos cos x sin
tan(α β) 1tantαanαttaannββ
知识回顾 3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2 2sin cos
cos2 cos2α sin2α
tan2
1
2 tan tan2
知识回顾 4、二倍角的余弦变形公式
cos2α 2cos2 1
第1题（1）（3）（5）（7）
第3、5题
原函数变换为 y Asin(x ) b 形式求解。 解： y 2sinx(sinx cosx) 2sin2 x 2sinxcosx
1 cos2x sin2x (sin2x cos2x) 1
2( 2 sin2x 2 cos2x) 1
2
2
y=asinx+bcosx的性质的目的.
3、思想上的收获：整体代换(换元)、化归.
2 4
总结与提高
4、三角恒等变换中一系列的三角公式的作用： (1)同角三角函数关系——可实现函数名称的转化； 1 (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现 角的形式的转化； 2 (3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂 或降幂的转化，同时也可完成角的转化。 3
知识回顾
1、 同角三角函数的基本关系
sin2α cos2α 1
sinα tanα cosα
(α π kπ，k Z) 2
知识回顾
2、 和（差）角的正弦、余弦、正切公式
sin(α β) sinαcos cossin cos(α β) coscos sinsin
3
3
函数的性质研究得 到延伸，体现了三 角变换在化简三角
2sin x
函数式中的作用.
3
所以,所求函数的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
返回
巩固练习2
2、求函数 y 2sinx(sinx cosx) 的最小正周期、
最值。 分析：先去括号，再用倍角公式、辅助角公式将
1 2sin2α
也可把 cos2α、sin2α 解出来得 cos2α 1 cos2α 2 sin2α 1 - cos2α 2
知识回顾 5、辅助角公式
asinx bcosx a2 b2sin(x ) 其中tan b .
a
例题讲解一
例1 试以cosα表示sin2 α .