简单的三角恒等变换公开课

2sin(2x π ) 1 4
所 以， 此 函数 的 最小 正周 期为，最 大值 为 2 1，
最 小值 为1- 2。
返回 返回2
总结与提高
1、三角恒等变换的一般思路：
(1)找差异 (2)消除差异——由角的联系选择公式 (3)对公式变形
2、三角恒等变换的应用：
将y=asinx+bcosx转换为 y Asin(x ) b，达到研究
tan(α β) 1tantαanαttaannββ
知识回顾 3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2 2sin cos
cos2 cos2α sin2α
tan2

1
2 tan tan2
知识回顾 4、二倍角的余弦变形公式
cos2α 2cos2 1
知识回顾
1、 同角三角函数的基本关系
sin2α cos2α 1
sinα tanα cosα
(α π kπ，k Z) 2
知识回顾
2、 和（差）角的正弦、余弦、正切公式
sin(α β) sinαcos cossin cos(α β) coscos sinsin
所 以sin2 α 1 cosα .
2
2
请用 cosα表示cos 2 α 和tan 2 α .
2
2
结论
sin2 1 cos ,
2
2
cos2 1 cos ,
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
从左到右升角降幂
(降幂公式）
以上三个式子，你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗？
巩固练习1
1、求证：sin tan .
1 cos
2
分析：α是 α 的倍角，所以可以考虑用倍角公式 2
证 法 一 ：sinα 1 cosα

sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
2
2

sin α 2
tan α .得 证 .
cos α
2
2
返回 返回1
巩固练习1
1、求证：tan 1 cos . 2 sin
2、若a (sin x, m),b (sin x 3 cos x,1) ,设 f (x) a b
（1）写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；
（2）若 x [0, ]， f(x)的最小值为2，求m的值。
3
作业 教材Ｐ143 A组
第1题（1）（3）（5）（7）
第3、5题
2
cos cos 2 1 2sin 2
2
2
与 有什么关系？
2
是 的倍角
2
例题讲解一
解 ：α是 α 的 二 倍 角 . 2
在 倍 角 公 式cos2α 1 2sin2α中，
以α代 替2α， 以 α 代 替α， 即 得 2
cosα 1 2sin2 α , 2
1、求证：sin tan .
1 cos
2
分析：等式的两边函数的名称不同，可以考虑用同角
三角函数的基本关系。 证 法 二 ：tan α 2
sin cos
α
2 α
2

sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α

sinα .得 证 . 1 cosα
2
2
返回
例题讲解二
1 2sin2α
也可把 cos2α、sin2α 解出来得 cos2α 1 cos2α 2 sin2α 1 - cos2α 2
知识回顾 5、辅助角公式
asinx bcosx a2 b2sin(x ) 其中tan b .
a
例题讲解一
例1 试以cosα表示sin2 α .
y=asinx+bcosx的性质的目的.
3、思想上的收获：整体代换(换元)、化归.
2 4
总结与提高
4、三角恒等变换中一系列的三角公式的作用： (1)同角三角函数关系——可实现函数名称的转化； 1 (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现 角的形式的转化； 2 (3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂 或降幂的转化，同时也可完成角的转化。 3
例2 求函数y sinx 3cosx的周期、最大值和最小值.
分析：利用三角恒等变换，先化简函数式，再求解.
解： y sin x 3 cos x
例题小结:本例是

2
1 2
sin
x

3 2
cos
x

来自百度文库
三角恒等变换在数 学中应用的举例， 它使三角函数中对
2sin x cos cos x sin
原函数变换为 y Asin(x ) b 形式求解。 解： y 2sinx(sinx cosx) 2sin2 x 2sinxcosx
1 cos2x sin2x (sin2x cos2x) 1
2( 2 sin2x 2 cos2x) 1
2
2

3
3
函数的性质研究得 到延伸，体现了三 角变换在化简三角
2sin x
函数式中的作用.
3
所以,所求函数的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
返回
巩固练习2
2、求函数 y 2sinx(sinx cosx) 的最小正周期、
最值。 分析：先去括号，再用倍角公式、辅助角公式将