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高二数学上学期第一次月考试题 理

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广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷解析版

广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷解析版

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。

高二数学上学期第一次月考试题理含解析

高二数学上学期第一次月考试题理含解析

HY中学2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题理〔含解析〕一、单项选择题〔此题有14小题，每一小题5分，一共70分．每一小题只有一个正确答案〕1．圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是〔〕A．〔2，3〕B．〔﹣2，3〕C．〔﹣2，﹣3〕D．〔2，﹣3〕2．过点A〔2，3〕且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线方程为〔〕A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y+5＝0 3．假设直线Ax+By+C＝0〔A2+B2≠0〕经过第一、二、四象限，那么系数A，B，C满足条件为〔〕A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 4．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+45．F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，那么C的方程为〔〕A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝16．假设变量x，y满足约束条件，那么z＝2x+y的最大值等于〔〕A．7 B．8 C．10 D．117．动直线l：x+my+2m﹣2＝0〔m∈R〕与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，那么弦AB 的最短为〔〕A．2 B．2C．6 D．48．椭圆+＝1〔a＞5〕的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，那么△ABF2的周长为〔〕A．10 B．20 C．2D．49．设a是直线，α是平面，那么以下选项里面，可以推出a∥α的是〔〕A．存在一条直线b，a∥b，b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β10．变量x，y满足约束条件，假设使z＝ax+y获得最大值的最优解有无穷多个，那么实数a的取值集合是〔〕A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1} 11．假设直线x﹣y+1＝0与圆〔x﹣a〕2+y2＝2有公一共点，那么实数a取值范围是〔〕A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3]C．[﹣3，1] D．〔﹣∞，﹣3]∪[1，+∞〕12．点F1、F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是〔〕A．0 B．1 C．2 D．13．椭圆E：+＝1〔a＞b＞0〕的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y ＝0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的间隔不小于，那么椭圆E的离心率的取值范围是〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，1〕D．[，1〕14．N为圆x2+y2＝1上的一个动点，平面内动点M〔x0，y0〕满足|y0|≥1且∠OMN＝30°〔O 为坐标原点〕，那么动点M运动的区域面积为〔〕A．﹣2B．﹣C．+D．+二、填空题〔此题有4小题，每一小题5分，一共20分〕15．椭圆：的焦距为4，那么m为．16．假设x，y满足约束条件那么的最大值．17．由动点p〔x，y〕引圆x2+y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，假设∠APB＝90°，那么点P的轨迹方程为．18．椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A〔0，2〕，当点P在椭圆上运动时，△APF的周长的最大值为三、解答题〔此题有5大题，每一小题12分，一共60分〕19．直线l1经过点A〔﹣1，5〕和点B〔﹣3，6〕，直线l2过点C〔2，4〕且与l1平行．〔1〕求直线l2的方程；〔2〕求点C关于直线l1的对称点D的坐标．〔要求写出求解过程〕20．设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．〔Ⅰ〕证明：BD⊥平面A1CO；〔Ⅱ〕假设BD＝2，求直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值．22．圆x2+y2+x﹣6y+m＝0和直线x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，且OP⊥OQ〔O为坐标原点〕，求该圆的圆心坐标及半径．23．椭圆的离心率为，其左焦点到点P〔2，1〕的间隔为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕假设，求△ABP的面积．2021-2021学年一中高二〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、单项选择题〔此题有14小题，每一小题5分，一共70分．每一小题只有一个正确答案〕1．圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是〔〕A．〔2，3〕B．〔﹣2，3〕C．〔﹣2，﹣3〕D．〔2，﹣3〕【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y＝0化成HY方程，得〔x﹣2〕2+〔y+3〕2＝13∴圆表示以C〔2，﹣3〕为圆心，半径r＝的圆应选：D．2．过点A〔2，3〕且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线方程为〔〕A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y+5＝0 【解答】解：过点A〔2，3〕且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y﹣3＝〔x﹣2〕，化简可得x﹣2y+4＝0，应选：A．3．假设直线Ax+By+C＝0〔A2+B2≠0〕经过第一、二、四象限，那么系数A，B，C满足条件为〔〕A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 【解答】解：假设B＝0，方程化为：Ax+C＝0，不满足条件，舍去．∴B≠0，直线方程化为：y＝﹣x﹣，因此直线经过第一、二、四象限，那么系数A，B，C满足条件为：﹣＜0，﹣＞0，∴AB＞0，AC＜0．应选：D．4．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的外表积S＝2×π+〔2+π〕×2＝3π+4，应选：D．5．F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，那么C的方程为〔〕A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝1【解答】解：F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕是椭圆C的两个焦点，可得c＝1，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，可得，2〔a2﹣c2〕＝3a，即：2a2﹣2﹣3a＝0解得a＝2，那么b＝，所求的椭圆方程为：+＝1．应选：C．6．假设变量x，y满足约束条件，那么z＝2x+y的最大值等于〔〕A．7 B．8 C．10 D．11【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B〔4，2〕时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z＝2×4+2＝10，应选：C．7．动直线l：x+my+2m﹣2＝0〔m∈R〕与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，那么弦AB 的最短为〔〕A．2 B．2C．6 D．4【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2＝0〔m∈R〕，∴〔x﹣2〕+〔y+2〕m＝0，∴动直线l：x+my+2m﹣2＝0〔m∈R〕过定点M〔2，﹣2〕，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心C〔1，﹣2〕，半径r＝＝3，d＝|MC|＝＝1，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，∴弦AB的最短间隔为：2＝2＝4．应选：D．8．椭圆+＝1〔a＞5〕的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，那么△ABF2的周长为〔〕A．10 B．20 C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+＝1的b＝5，c＝4，a＝＝，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝4．应选：D．9．设a是直线，α是平面，那么以下选项里面，可以推出a∥α的是〔〕A．存在一条直线b，a∥b，b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β【解答】解：由线面平行的断定定理，必须指明直线a在平面α外，故排除A，a⊥b，b ⊥α，那么a可能在平面α内，故排除B，由面面平行的定义可知假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确；垂直于同一平面的一条直线与一个平面可能在一个面内，故排除D，应选：C．10．变量x，y满足约束条件，假设使z＝ax+y获得最大值的最优解有无穷多个，那么实数a的取值集合是〔〕A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1} 【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，假设a＝0时，直线y＝﹣ax+z＝z，此时获得最大值的最优解只有一个，不满足条件．假设﹣a＞0，那么直线y＝﹣ax+z截距获得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y＝﹣ax+z与y＝x﹣2平行，此时﹣a＝1，解得a＝﹣1．假设﹣a＜0，那么直线y＝﹣ax+z截距获得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y＝﹣ax+z与y＝﹣3x+14平行，此时﹣a＝﹣3，解得a＝3．综上满足条件的a＝3或者a＝﹣1，故实数a的取值集合是{3，﹣1}，应选：B．11．假设直线x﹣y+1＝0与圆〔x﹣a〕2+y2＝2有公一共点，那么实数a取值范围是〔〕A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3]C．[﹣3，1] D．〔﹣∞，﹣3]∪[1，+∞〕【解答】解：∵直线x﹣y+1＝0与圆〔x﹣a〕2+y2＝2有公一共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的间隔为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1应选：C．12．点F1、F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是〔〕A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴＝2，可得＝2||当点P到原点的间隔最小时，||到达最小值，同时到达最小值．∵椭圆x2+2y2＝2化成HY形式，得＝1∴a2＝2且b2＝1，可得a＝，b＝1因此点P到原点的间隔最小值为短轴一端到原点的间隔，即||最小值为b＝1 ∴＝2||的最小值为2应选：C．13．椭圆E：+＝1〔a＞b＞0〕的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y ＝0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的间隔不小于，那么椭圆E的离心率的取值范围是〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，1〕D．[，1〕【解答】解：如下图，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，那么四边形AFBF′是平行四边形，∴4＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝2．取M〔0，b〕，∵点M到直线l的间隔不小于，∴，解得b≥1．∴e＝＝≤＝．∴椭圆E的离心率的取值范围是．应选：A．14．N为圆x2+y2＝1上的一个动点，平面内动点M〔x0，y0〕满足|y0|≥1且∠OMN＝30°〔O 为坐标原点〕，那么动点M运动的区域面积为〔〕A．﹣2B．﹣C．+D．+【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN＝30°．反过来，假如∠OMT≥30°，那么⊙O上存在一点N使得∠OMN＝30°．∴假设圆C上存在点N，使∠OMN＝30°，那么∠OMT≥30°．∵|OT|＝1，∴|OM|≤2．即〔|y0|≥1〕．把y0＝1代入，求得A〔〕，B〔〕，∴，∴动点M运动的区域面积为2×〔〕＝．应选：A．二、填空题〔此题有4小题，每一小题5分，一共20分〕15．椭圆：的焦距为4，那么m为4或者8 ．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2＝4，所以m＝4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m＝4，所以m＝8，综上，m＝4或者8．故答案为：m＝4或者8．16．假设x，y满足约束条件那么的最大值﹣1 ．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如下图；那么表示平面区域内的点P〔x，y〕与点M〔5，﹣3〕连线的斜率k的值；由图形知，当P点与A点重合时，k获得最大值；由，求得A〔1，1〕，所以k的最大值为＝﹣1．故答案为：﹣1．17．由动点p〔x，y〕引圆x2+y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，假设∠APB＝90°，那么点P的轨迹方程为x2+y2＝8 ．【解答】解：∵∠APO〔O为圆心〕＝∠APB＝45°，∴PO＝OA＝2．∴P的轨迹是一个以原点为圆心，半径为2的圆，∴点P的轨迹方程为x2+y2＝8．故答案为：x2+y2＝8．18．椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A〔0，2〕，当点P在椭圆上运动时，△APF的周长的最大值为14【解答】解：如下图设椭圆的左焦点为F′，，|AF|＝＝4＝|AF′|，那么|PF|+|PF′|＝2a＝6，∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，∴△APF的周长＝|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4＝14，当且仅当三点A，F′，P一共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于14．故答案为：14．三、解答题〔此题有5大题，每一小题12分，一共60分〕19．直线l1经过点A〔﹣1，5〕和点B〔﹣3，6〕，直线l2过点C〔2，4〕且与l1平行．〔1〕求直线l2的方程；〔2〕求点C关于直线l1的对称点D的坐标．〔要求写出求解过程〕【解答】解：〔1〕＝＝﹣．∵直线l2过点C〔2，4〕且与l1平行，∴y﹣4＝﹣〔x﹣2〕，化为：x+2y﹣10＝0．〔2〕直线l1的方程为：y﹣5＝﹣〔x+1〕，化为：x+2y﹣9＝0．设点C关于直线l1的对称点D的坐标〔a，b〕，那么，解得a＝，b＝．可得D．20．设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程．【解答】解：设M〔x0，y0〕，由题意可得N〔x0，0〕，设P〔x，y〕，由点P满足．可得〔x﹣x0，y〕＝〔0，y0〕，可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；故答案为：x2+y2＝2．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．〔Ⅰ〕证明：BD⊥平面A1CO；〔Ⅱ〕假设BD＝2，求直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵A1O⊥AB，A1O⊥BC．又∵AB∩BC＝B，AO，AB，BC⊂平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD；∵BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，∴CQ⊥BD，又∵A1O∩OC＝O，AO，∴BD⊥平面A1CO，〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕可知OA，OB，OC两两垂直，那么以O为原点，建立空间直角坐标系，如图，∵BD＝AB＝AA1＝2，∴OB═OD＝1，AO＝，OA1＝1，那么A〔，0，0〕，D〔0，﹣1，0〕，C〔﹣，O，0〕，A1〔0，0，1〕，，，．设平面AA1D1D的法向量为，由，可取，那么cos＝．∴直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值为．22．圆x2+y2+x﹣6y+m＝0和直线x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，且OP⊥OQ〔O为坐标原点〕，求该圆的圆心坐标及半径．【解答】解：设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，∵∴5y2﹣20y+12+m＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝，x1x2＝〔3﹣2y1〕〔3﹣2y2〕＝9﹣6〔y1+y2〕+4y1y2＝9﹣24+＝；∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2＝0，∴+＝0，∴5m＝15，∴m＝3；∴圆的方程为：x2+y2+x﹣6y+3＝0，∴D＝1，E＝﹣6，F＝3，∴圆心〔﹣，3〕，半径为＝．23．椭圆的离心率为，其左焦点到点P〔2，1〕的间隔为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕假设，求△ABP的面积．【解答】解：〔1〕设椭圆左焦点为F〔﹣c，0〕，由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为：＝1；〔2〕设点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，线段AB的中点为M，当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去，故可设直线AB的方程为y＝kx+m〔m≠0〕，由消去y，整理得〔3+4k2〕x2+8kmx+4m2﹣12＝0，那么△＝64k2m2﹣4〔3+4k2〕〔4m2﹣12〕＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以线段AB的中点M〔﹣，〕，因为点M在直线OP上，所以＝，解得m＝0〔舍去〕或者k＝﹣，此时x1+x2＝m，x1x2＝，所以AB＝•|x1﹣x2|＝×＝，∴m＝±2，所以直线，设点P到直线AB的间隔为d，那么d＝＝，或者d＝＝，所以△ABP的面积为：×＝．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)

高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)

2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：D ．2.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】C【解析】由直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，可得直线的斜率为3-02-1=3，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=3，又0°≤θ<180°，所以θ=60°.故选：C .3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-1【答案】C【解析】向量a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，则a +2b =1+2x ,4,4-y ,2a -b =2-x ,3,-2y -2 ，因a +2b ⎳2a -b ，于是得1+2x 2-x =43=4-y -2y -2，解得x =12,y =-4，所以x =12,y =-4.故选：C .4.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =55【答案】D【解析】由已知可得，2×-3 --1 ×a =0，解得a =6.代入ax -3y +6=0化简可得，2x -y +2=0.根据两条平行线之间的距离公式可得，d =3-222+-1 2=55.故选：D .5.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c【答案】B【解析】由题意可得，MN =ON -OM =12OB +OC -23OA =-23a +12b +12c.故选：B6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6∪3π4,πD.π6,π2 ∪3π4,π 【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，0≤θ<π，k P A =-1-10--2 =-1，k PB =1--1 23-0=33，因为直线l 经过点P 0,-1 ，且与线段AB 总有公共点，所以k ∈-∞,-1 ∪33,+∞ ，因为0≤θ<π，所以π6≤θ≤3π4.故选：B .7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,2【答案】A【解析】若空间三个向量a ，b ，c 能构成空间的基底，则向量a ，b ，c 不共面，反之亦然，对于A ，由a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 ，得c =12a -22b，即向量a ，b ，c共面，不能构成空间基底；对于B ，令c =xa +yb ，则(0,0,2)=(x ,y ,0)，不成立，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于C ，令c =xa +yb ，则(2,1,2)=(x ,y ,x +y )，即x =2y =1x +y =2 无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于D ，令c =xa +yb ，则(1,0,2)=(x ,x +y ,x )，即x =1x +y =1x =2无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底.故选：A8.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0【答案】A【解析】将直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )变形得x +y -2+λ(3x +y -4)=0，由x +y -2=03x +y -4=0 ，解得x =1y =1 ，因此直线l 过定点A (1,1)，当AP ⊥l 时，点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大，最大值为AP =(-2-1)2+(-1-1)2=13，又直线AP 的斜率k AP =-1-1-2-1=23，所以直线l 的方程为y -1=-32(x -1)，即3x +2y -5=0.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =53【答案】AD【解析】AP ⋅AB =(-2)×1+1×(-2)+4×1=0,AP ⋅AC=1×4+(-2)×2+1×0=0，所以AP ⊥AB ,AP ⊥AC ,AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP是平面ABC 的一个法向量，故A 正确；设AB =λAC +μAQ，则-2=4λ1=2λ+4μ4=4μ，无解，所以A ,B ,C ,Q 四点不共面，故B 错误；PQ =AQ -AP =(-1,6,3),BC =AC -AB =(6,1,-4),-16≠61≠3-4，所以PQ 与BC 不平行，故C 错误；|BC|=62+12+(-4)2=53，故D 正确；故选：AD .10.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =23【答案】ABD【解析】由l 1：x +a -1 y +1=0易知y =0⇒x =-1，故A 正确；由l 2：ax +2y +2=0⇒x =0,y =-1，故B 正确；若两直线平行，则有1×2=a a -1 且1×2≠a ×1，解得a =-1，故C 错误；若两直线垂直，则有a ×1+2×a -1 =0⇒a =23，故D 正确.故选：ABD11.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354【答案】ACD【解析】对于A ，三棱锥Q -PCD 的体积等于三棱锥P -QCD 的体积，V 三棱锥P -QCD =13S △QCD ×AA 1=13×12×2×1×2=23是定值，A 正确；以A 1为坐标原点，A 1B 1,A 1D 1,AA 1分别为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q (2,1,-2)，设P (x ,y ,0)(0<x <2,0<y <2)，则QP=(x -2,y -1,2)对于B ，AA 1=(0,0,2)，使得PQ 与AA 1所成的角α满足：cos α=QP ⋅AA 1 QP ⋅AA 1 =2×2x -2 2+y -1 2+4×2，因为0<x <2,0<y <2，故0<x -2 2+y -1 2<5，故cos α∈23,1，而cos60°=12∉23,1 ，B 错误；对于C ，平面A 1ADD 1的法向量n=(1,0,0)，所以直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角β的正弦值为：sin β=x -2(x -2)2+(y -1)2+4，因为0<x <2,0<y <2，故-2<x -2<0故x -2 (x -2)2+5<x -2 (x -2)2+(y -1)2+4≤x -2(x -2)2+4，而x -2 (x -2)2+5=11+5(x -2)2∈0,23 ，x -2 (x -2)2+4=11+4(x -2)2∈0,22，故0<x -2(x -2)2+(y -1)2+4<22即sin β的取值范围为0,22，C 正确；对于D ，D 1(0,2,0),D 1P=(x ,y -2,0)，由PD 1=PQ ，可得x 2+(y -2)2=(x -2)2+(y -1)2+4，化简可得4x -2y -5=0，在xA 1y 平面内，令x =0，得y =32，令y =0，得x =54，则P 的轨迹的长度为2-54 2+32 2=354，D 正确；故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.【答案】216/1621【解析】∵a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，∴cos <a ，b >=a ⋅b a b=2+2+314×6=216.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．【答案】233/233【解析】因为A 1,0,0 、B 0,2,1 ，所以AB=-1,2,1 ,记平面ABC 的一个法向量为n=1,y 0,-1 ，则n ⋅AB=-1 ×1+2y 0+1×-1 =0，解得y 0=1，故平面ABC 的一个法向量为n=1,1,-1 .因为M 0,0,1 ，所以MA=1,0,-1 ,所以点M 到平面ABC 的距离为d =MA ⋅n n=1+0+1 1+1+1=233.14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为【答案】4【解析】直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0化为x +y -2+m y -2 =0，当y -2=0x +y -2=0，得x =0y =2 ，即直线l 1恒过点0,2 ，即点A 0,2 ，直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0化为x -y -2+m x -2 =0，当x -y -2=0x -2=0，得x =2y =0 ，即直线l 2恒过点2,0 ，即点B 2,0 ，且两条直线满足1×m +1 +m +1 ×-1 =0,∴l 1⊥l 2,即P A ⊥PB ，∴P A 2+PB 2=AB 2=22+22=8,∴P A +PB ≤2P A 2+PB 2 =4,当且仅当P A =PB 时，等号成立，∴P A +PB 的最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．【答案】(1)k =2；(2)15,0,-25.【解析】(1)依题意，a =(1,1,0),b =(-1,0,2),c =(-2,-1,2)，ka +b=(k ,k ,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2)，由ka +b 与c 垂直，得(ka +b )⋅c =-2(k -1)-k +2×2=0，解得k =2，所以k =2.(2)由(1)知，a ⋅b =-1，|b |=5，所以a 在b 上的投影向量为a ⋅b |b |2b =-15b =15,0,-25 .16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.【答案】(1)x -3y +6=0；(2)4x +3y -16=0.【解析】(1)因为△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 ，所以直线AC 的斜率为k AC =6-02-4=-3，所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD =13，所以直线BD 的方程为y -2=13x ，化为一般式方程为x -3y +6=0；(2)因为B 0,2 ,C 2,6 ，所以BC 的中点为E 1,4 ，又因为A 4,0 ,E 1,4 ，所以直线AE 的斜率为k =-43，所以直线AE 的点斜式方程为y -0 =-43x -4 ，化为一般式为4x +3y -16=0.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．【答案】(1)AN =AA 1 +A 1N =23a +23b +c ；(2)MN =296【解析】(1)AN =AA 1 +A 1N =AA 1 +23(A 1B 1 +A 1D 1 )=c +23(a +b )=23a +23b +c.(2)AM =AB +12BD 1 =AB +12(BA +AD +DD 1 )=12a +12b +12c ，NM =AM -AN =12a +12b +12c -23a +23b +c =-16a -16b -12c ，所以|NM |=-16a -16b -12c 2=136a 2+136b 2+14c 2+118a ∙b +16a ∙c +16b ∙c=136×4+136×4+14×1+16×2×1×12+16×2×1×12=296.所以MN =296.18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．【答案】(1)x +4y -8=0；；(2)x +2y -6=0.【解析】(1)由题意设A a ,0 ，B (0,b )，其中a ，b 为正数，可设直线的方程为xa +y b=1，因为直线l 过点P 4,1 ，所以4a +1b =1，由基本不等式可得1=4a +1b ≥24a ⋅1b =4ab，所以ab ≥4，ab ≥16，当且仅当4a +1b =14a=1b即a =8b =2时，ab 取得最小值16，所以△AOB 面积S =12ab ≥8，所以当a =8，b =2时，△AOB 面积最小，此时直线l 的方程为x8+y 2=1，即x +4y -8=0，(2)因为4a +1b=1，a >0,b >0 ，所以OA +OB =a +b =a +b 4a +1b =5+4b a +ab ≥5+24b a ⋅a b=5+2×2=9，当且仅当4ba =ab 4a+1b =1即a =6b =3时等号成立，所以当a =6，b =3时，OA +OB 的值最小，此时直线l 的方程为x6+y 3=1，即x +2y -6=0．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC =∠BCD =90°，BC =1，CD =3，PD =2，∠PDA =60°，∠P AD =30°，且平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A -PB -C 的正弦值；(3)在线段P A 上存在一点M ，使直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为277，求PM 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)77；(3)32.【解析】(1)因为BO ⊥AD ，因为BC ⎳AD ，∠ADC =∠BCD =90°，所以四边形BODC 为矩形，在△PDO 中，PD =2，DO =BC =1，∠PDA =60°，则PO =PD 2+OD 2-2PD ⋅OD cos60°=3，∴PO 2+DO 2=PD 2，∴PO ⊥AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD 平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ；(2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PO =3，∠P AD =30°，可得AO =3，则O (0,0,0)，A (3,0,0)，P 0,0,3 ，B 0,3,0 ，C -1,3,0 ，设平面APB 的法向量为m=(x ,y ,z )，P A =3,0,-3 ，PB =0,3,-3 ，由P A ⋅m=3x -3z =0PB ⋅m =3y -3z =0，取m =1,3,3 .设平面CPB 的法向量为n=(a ,b ,c )，PC =-1,3,-3 ，由n ⋅PB=3b -3c =0n ⋅PC =-a +3b -3c =0，取n =(0,1,1)，cos m ,n =m ⋅n m n=237×2=427.∵二面角A -PB -C 是钝角，∴二面角A -PB -C 的正弦值为77.(3)设AM =λAP ，则BM =BA +AM =3,-3,0 +λ-3,0,3 =3-3λ,-3,3λ ，又平面P AD 的法向量为OB=0,3,0 ，直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为cos OB ,BM =33×(3-3λ)2+3+3λ2=27，解得λ=34，∴PM =14AP =14PO 2+OA 2=32.。

高二数学上学期第一次月考试题含解析

高二数学上学期第一次月考试题含解析

智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。

江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)

江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)

江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）C.3【答案】D 【解析】 分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】 【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】 【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==． 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值 【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。

高二数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

高二数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年河南省驻马店市上蔡一高高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题（每个小题5分，共60分）1．把二进制数11000转换为十进制数，该十进制数为（）A．48 B．24 C．12 D．62．数列{a n}中，，则a2015=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．3．设{a n}是任意的等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为P，Q，R，则下列等式中恒成立的为（）A．P+R=2Q B．Q（Q﹣P）=P（R﹣P）C．Q（Q﹣P）=R D．Q2=PR4．在△ABC中，a+b+10c=2（sinA+sinB+10sinC），A=60°，则a=（）A．4 B．C．D．不确定5．数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．46．某人年初用98万元购买了一条渔船，第一年各种费用支出为12万元，以后每年都增加4万元，而每年捕鱼收益为50万元．第几年他开始获利？（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a5=（）A．108 B．C．161 D．8．已知函数f（x）=，（a＞0，a≠1）．若数列{a n}满足a n=f（n）且a n+1＞a n，n∈N*，则实数a的取值范围是（）A．（7，8）B．[7，8）C．（4，8）D．（1，8）9．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C．D．10．直线被圆x2+y2﹣5x=0所截得的n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差，则n的最大取值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．10012．已知函数为奇函数，g（x）=f（x）+1，若，则数列的前2015项之和为（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A，B，C三点不共线（该直线不过O点），则S11= ．14．已知数列{a n}中a1=1且（n∈N），a n= ．15．已知向量，，n∈N*，其中s n为数列{a n}的前n项和，若，则数列的最大项的值为．16．设m∈N+，log2m的整数部分用F（m）表示，则F（1）+F（2）+…+F17．下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a n，b n，c n）．（1）请写出数列{a n}，{b n}，{c n}的通项公式，（无需证明）（2）若数列{c n}的前n项和为M n，求M10．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，a=5．（1）若A=60°，求b的值；（2）若函数f（x）=x2﹣7x+m的两零点分别为b，c，求m的值．19．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1=2a n﹣a n﹣1+2（n≥2）．（1）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列．（2）求（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知数列{a n}满足（1）求数列{a n}的通项公式（2）设b n=1+tana n+1•tana n+2，求数列{b n}的前n项和．21．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项为S n，满足a2n+1=2s n+n+4，且a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，数列{c n}的前n项和为T n，且恒成立，求实数m的取值范围．22．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和．（1）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；（2）设，，b n=λa n﹣n2，若数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．2015-2016学年河南省驻马店市上蔡一高高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每个小题5分，共60分）1．把二进制数11000转换为十进制数，该十进制数为（）A．48 B．24 C．12 D．6【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】把二进制数转化为十进制数，只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【解答】解：11000（2）=0×20+0×21+0×22+1×23+1×24=24，即11000（2）=24．故选：B．【点评】此题主要考查了二进制数与十进制数互化的方法，属于基础题．2．数列{a n}中，，则a2015=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：∵，∴a2===2，a3===﹣1，a4===，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，又∵2015=3×671+2，∴a2015=a2=2，故选：A．【点评】本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．3．设{a n}是任意的等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为P，Q，R，则下列等式中恒成立的为（）A．P+R=2Q B．Q（Q﹣P）=P（R﹣P）C．Q（Q﹣P）=R D．Q2=PR【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质得：P，Q﹣P，R﹣Q也成等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是任意的等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为P，Q，R，∴由等比数列的性质得：P，Q﹣P，R﹣Q也成等比数列，∴（Q﹣P）2=P（R﹣Q），整理，得Q2﹣PQ+P2﹣PR=0，∴Q（Q﹣P）=P（R﹣P）．故选：B．【点评】本考查恒成立的等式的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．在△ABC中，a+b+10c=2（sinA+sinB+10sinC），A=60°，则a=（）A．4 B．C．D．不确定【考点】正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】利用正弦定理与比例的性质即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，∴=，∴2=，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理与比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】由a m+n=a m•a n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a1求出数列的各项，发现此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，而S n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值．【解答】解：令m=1，n=1，得到a2=a12=，同理令m=2，n=1，得到a3=a2•a1=所以此数列是首项为公比，以为公比的等比数列，则S n==∵S n＜a恒成立即而=∴则a的最小值为故选A【点评】此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．6．某人年初用98万元购买了一条渔船，第一年各种费用支出为12万元，以后每年都增加4万元，而每年捕鱼收益为50万元．第几年他开始获利？（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】通过纯收入与年数n的关系f（n）=﹣2n2+40n﹣98，进而问题转化为求不等式﹣2n2+40n﹣98＞0的最小正整数解，计算即得结论；【解答】解：由题意，每年的费用支出是以12为首项、4为公差的等差数列，∴纯收入与年数n的关系f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=﹣2n2+40n﹣98，由题设知，f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣98＞0，解得10﹣＜n＜10+，又∵n∈N*，∴2＜n＜18，即n=3，4，5， (17)故第3年开始获利；故选：C．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．7．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a5=（）A．108 B．C．161 D．【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】因为a1=1，且a n+1=，则令n=1并把a1代入求得a2，再令n=2并把a2代入求得a3，依此类推当n=4时，求出a5即可．【解答】解：因为a1=1，且a n+1=，则令n=1并把a1代入求得a2==；把n=2及a2代入求得a3==，把n=3及a3代入求得a4==，把n=4及a4代入求得a5==．故选D．【点评】考查学生会利用数列的递推式求数列各项，解题时学生要注意计算要准确．8．已知函数f（x）=，（a＞0，a≠1）．若数列{a n}满足a n=f（n）且a n+1＞a n，n∈N*，则实数a的取值范围是（）A．（7，8）B．[7，8）C．（4，8）D．（1，8）【考点】数列与向量的综合；分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】利用一次函数和指数函数的单调性，注意a6＜a7，列出不等式组，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a n=f（n）且a n+1＞a n，n∈N*，∴，即有，解得4＜a＜8．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的应用、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．9．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题． 【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：==•=；故选C ．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角． 10．直线被圆x 2+y 2﹣5x=0所截得的n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差，则n 的最大取值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点P （，）的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n 项，再根据等差数列的公差，求出n 的取值集合，即可得出结论．．【解答】解：圆x 2+y 2﹣5x=0的圆心为C （，0），半径为r=．过点P （，）最短弦的弦长为a 1=2=4过点P （，）最长弦长为圆的直径长a n =5， ∴4+（n ﹣1）d=5， ∴d=，∵， ∴≤≤，∴6≤n≤8，∴n的最大取值为8．故选：C．【点评】此题重点考查了圆中求解弦的最大与最小，还考查了等差数列的任意两项间的通项公式及利用公差的范围和n的取值范围逼出n的数值．11．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【考点】数列的求和；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D【点评】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．12．已知函数为奇函数，g（x）=f（x）+1，若，则数列的前2015项之和为（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由已知可得函数g（x）=f（x）+1的图象关于点（，1）对称，即g（x）+g（1﹣x）=2，进而得到答案．【解答】解：∵函数为奇函数图象关于原点对称，∴函数f（x）的图象关于点（，0）对称，∴函数g（x）=f（x）+1的图象关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，∵，∴数列的前2015项之和为+++…++=2015，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数求值，根据已知得到g（x）+g（1﹣x）=2，是解答的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A，B，C三点不共线（该直线不过O点），则S11= 11 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得到a4+a8=2，由此能求出S11的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，，且A，B，C三点不共线（该直线不过O点），∴a4+a8=2，∴S11=（a1+a11）===11．故答案为：11．【点评】本题考查数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．已知数列{a n}中a1=1且（n∈N），a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．【解答】解：根据题意，a n+1a n=a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1=1，得，所以；故答案为．【点评】解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前n项和的重要方法15．已知向量，，n∈N*，其中s n为数列{a n}的前n项和，若，则数列的最大项的值为．【考点】数列的函数特性；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】由，可得=0，可得s n=，利用递推关系可得a n．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴=2s n﹣n（n+1）=0，∴s n=，∴当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n．当n=1时也成立，∴a n=n．∴==≤=，当且仅当n=2时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、递推关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设m∈N+，log2m的整数部分用F（m）表示，则F（1）+F（2）+…+F+F（2）+F（3）+F （4）+F（5）+F（6）+F（7）+F（8）+…+F+F（2）+F（2）+F（4）+F（4）+F（4）+F（4）+F（8）+…+F+10设S=1×2+2×22+3×23+4×24+…+9×29则2S=1×22+2×23+3×24+…+8×29+9×210∴两式相减得：﹣S=2+22+23+…+29﹣9×210==﹣8×210﹣2∴S=8×210+2∴F（1）+F（2）+…+F17．下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a n，b n，c n）．（1）请写出数列{a n}，{b n}，{c n}的通项公式，（无需证明）（2）若数列{c n}的前n项和为M n，求M10．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知条件分别写出a n，b n，c n的前5项，总结规律，能求出数列{a n}，{b n}，{c n}的通项公式．（2）由，利用分组求和法能求出数列{c n}的前10项和为M10．【解答】解：（1）∵（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a n，b n，c n），∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，…=2，，，，，…c1=3=1+2，，，，，…由此猜想：…..（2）∵，数列{c n}的前n项和为M n，∴M10=（1+2+3+...+10）+（2+22+23+ (210)==2101．…..【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，a=5．（1）若A=60°，求b的值；（2）若函数f（x）=x2﹣7x+m的两零点分别为b，c，求m的值．【考点】正弦定理；解三角形．【专题】函数的性质及应用；解三角形．【分析】（1）先求sinB的值，由正弦定理可得b的值．（2）由韦达定理可得：8+c=7①，8c=m②，即可解得m的值．【解答】解：（1）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，∵a=5，A=60°，∴由正弦定理可得：b===8．（2）∵函数f（x）=x2﹣7x+m的两零点分别为b，c，∴8+c=7①，8c=m②，∴由①②可解得：c=7，m=56﹣64．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了正弦定理，韦达定理的应用，属于基本知识的考查．19．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1=2a n﹣a n﹣1+2（n≥2）．（1）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列．（2）求（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1=2a n﹣a n﹣1+2（n≥2）．变形为（a n+1﹣a n）﹣（a n ﹣a n﹣1）=2，即b n﹣b n﹣1=2，即可证明．（2）由（1）可得：b n=2n﹣1．可得a n+1﹣a n=2n﹣1，利用“累加求和”可得：a n=n2﹣2n+2．因此c n==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1=2a n﹣a n﹣1+2（n≥2）．∴（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）=2，即b n﹣b n﹣1=2，b1=a2﹣a1=1，∴{b n}是等差数列，首项为1，公差为2．（2）解：由（1）可得：b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴a n+1﹣a n=2n﹣1，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=[2（n﹣1）﹣1]+[2（n﹣2）﹣1]+…+（2×1﹣1）+1=﹣（n﹣1）+1=n2﹣2n+2．∴c n===．∴数列{c n}的前n项和S n=++…++==﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足（1）求数列{a n}的通项公式（2）设b n=1+tana n+1•tana n+2，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由于数列{a n}满足，可得=2n（n+1），可得S n=，利用递推关系即可得出a n．（2），利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足，∴=2n（n+1），解得S n=，∴当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n．∴a n=n．（2），∴，∴．【点评】本题考查了递推关系、指数幂的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项为S n，满足a2n+1=2s n+n+4，且a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，数列{c n}的前n项和为T n，且恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；作差法；定义法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据条件得出a2n+1=2S n+n+4，①和a2n=2S n﹣1+n+3，②，通过两式相减得到a n+1=a n+1，即为等差数列，再求b n的通项；（2）先运用错位相减法求得c n的前n项和T n，再用作差法判断单调性，最后求m的范围．【解答】（1））∵a2n+1=2S n+n+4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①∴n≥2时，a2n=2S n﹣1+n﹣1+4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②，得：a n+12﹣a n2=2a n+1，∴a n+12=a n2+2a n+1=（a n+1）2，∵a n＞0，∴a n+1=a n+1，因此，数列{a n}是公差为1的等差数列，又a2=a1+1，a22=2a1+1+4，解得a1=2或a1=﹣2（舍），∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．∵a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项，∴b1=2+1﹣1=2，b2=a3=3+1=4，b3=a7=7+1=8，∴q=2，∴b n=2×2n﹣1=2n，所以，a n=n+1，b n=2n；（2）根据题意，c n==，运用错位相减法得T n=2﹣，下面证明T n单调递增，T n+1﹣T n=（2﹣）﹣（2﹣）=[（2n+4）﹣（n+3）]=＞0恒成立，所以，所以{T n}单调递增，所以，要使T n＞恒成立，只需满足T1＞即可，解得，m＜2．因此，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求法，涉及等差数列和等比数列的定义和性质，以及错位相减法的应用和单调性的证明，属于中档题．22．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和．（1）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；（2）设，，b n=λa n﹣n2，若数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列的函数特性；数列的应用；等差关系的确定．【专题】计算题．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，根据等差中项的性质可知2S10=S4+S7，代入等比数列求和公式整理得1+q3=2q6．进而根据等比数列的通项公式可推断a1+a4=2a7．进而证明原式．（2）把等比数列的求和公式代入S3和S6，两式相除即可求得q，把q代入S3求得a1，进而可得数列{a n}的通项公式，根据数列{b n}是单调递减数列可知b n+1＜b n，把b n=λa n﹣n2代入不等式，进而根据当n是奇数时，当n=1时取最大值；n是偶数时，当n=2时取最大值，进而得到λ的范围．【解答】解：（1）证明：设数列{a n}的公比为q，因为S4，S10，S7成等差数列，所以q≠1，且2S10=S4+S7．所以，因为1﹣q≠0，所以1+q3=2q6．所以a1+a1q3=2a1q6，即a1+a4=2a7．所以a1，a7，a4也成等差数列．（2）因为，，所以，①，②由②÷①，得，所以，代入①，得a1=2．所以，又因为b n=λa n﹣n2，所以，由题意可知对任意n∈N*，数列{b n}单调递减，所以b n+1＜b n，即，即对任意n∈N*恒成立，当n是奇数时，，当n=1时，取得最大值﹣1，所以λ＞﹣1；当n是偶数时，，当n=2时，取得最小值，所以λ．综上可知，，即实数λ的取值范围是．【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查了学生根据已知条件，分析和解决问题的能力．。

四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。

西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷

西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷

长安一中2022—2023学年度第一学期第一次质量检测高二年级数学（理科）试题时间：100分钟总分：150分一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}2.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)4.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里 6.如图，在四面体ABCD 中，已知AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，那么点D 在平面ABC 内的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部7．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝⌝∧8.已知椭圆及以下3个函数：①②③；其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A, 1个 B ,2个 C, 3个 D,0个9.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．1610.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-11.若不等式组2022020x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）A ．－3B ．1C ．43D ．3 12.直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]13.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．334B ．938 C ．6332 D ．9414.在△ABC 中，AC =3，BC =4，∠C =90∘.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−5,3]B. [−3,5]C. [−6,4]D. [−4,6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。

高二数学第一次月考试卷理科 试题

高二数学第一次月考试卷理科 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年地区高二数学第一次月考试卷(理科)说明：本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

试卷总分值是150，考试时间是是120分钟。

第Ⅰ卷(选择题一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将所选答案填在指定的答题栏内。

1．函数f(x)=2x+5，当x 从2变化到4时，函数的平均变化率是〔〕A2B4 C2D-2 2．以下求导运算正确的选项是〔〕 A 、3211)1(x x x -='+B 、2ln 1)(log '2x x =C 、'2)cos (x x =-2xsinxD 、e xx 3'log 3)3(= 3．一个物体的运动方程为21s tt 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是〔〕A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒4．设f(x)在[a,b]上连续，将[a,b]n 等分，在每个小区间上任取i ξ，那么dx x f b a)(⎰是〔〕A 、∑=∞→ni i n f 1)(lim ξB 、∑=∞→-•ni i n n ab f 1)(lim ξC 、∑=∞→•n i i i n f 1)(lim ξξD 、∑=∞→ni i n f 1)(lim ξ•-i ξ()1-i ξ 5．函数2mnymx 的导数为3'4x y =，那么〔〕A 、m=－1,n=－2B 、m=－1,n=2C 、m=1,n=－2D 、m=1,n=2 6．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的〔〕A 、充要条件B 、即不充分又不必要条件C 、充分非必要条件D 、必要非充分条件7．函数1ln 1ln xyx的导数为〔〕A 、2')ln 1(2x y +-=B 、2')ln 1(2x x y +=C 、2')ln 1(1x x y +-=D 、2')ln 1(2x x y +-=8、以下积分不正确的选项是〔〕A 、3ln 131=⎰dx x B 、xdx sin 0⎰π=-2 C 、31210=⎰dx x D 、23ln 29)1(232+=+⎰dx xx9．函数5224+-=x x y 的单调减区间是〔〕A 、[-1,1]B 、[-1，0]，[1，+∞]C 、〔-∞，-1〕，〔0，1〕D 、(-∞,-1),[1,+∞] 10．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短间隔是〔〕 A 、5B 、25C 、35D 、011．方程076223=+-x x在〔0，2〕内根的个数有〔〕A ．0B ．1C ．2D ．312、设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，那么角α的取值范围是 A ．2[0,)[,)23πππ⋃B ．5[0,)[,)26πππ⋃C ．),32[ππD ．)65,2(ππ第二卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中的横线上． 13、定积分cdx b a⎰〔c 为常数〕的几何意义是：。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

高二数学上册第一次月考测试题(有答案)

高二数学上册第一次月考测试题(有答案)

高二数学上册第一次月考测试题（有答案）“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”四地六校联考2011--2012学年上学期第一次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝252.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填（A）k＞4?（B）k＞5?（C）k＞6?（D）k＞7?（第3题）3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．B．C．D．4.将51转化为二进制数得()A.100111(2)B.110110(2)C.110011(2)D.110101(2)5．读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILEiS=S+iI=i+1WENDPRINTSENDI=5S=0DOS=S+iI=i－1LOOPUNTILiPRINTSEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（）A程序不同，结果不同B程序不同，结果相同C程序相同，结果不同D程序相同，结果不同6.（如图）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=－10则输出的是（）A.1B.0C.20D.－208..若点P（1，1）为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．B．C．D．9.三个数390,455,546的最大公约数是()A.65B.91C.26D.1310.数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是（）Ａ．和Ｂ．和Ｃ．和Ｄ．和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为()..12.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一､高二､高三各年级抽取的人数分别为________.14.已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2v1=2×5－5=5则v3=________.15.把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分)对甲､乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲､乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.（本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图；(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19．（本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？参考公式：20.（本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．21.（本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框=f()其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值.22．（本小题满分14分)已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y ＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围．“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”四地六校联考2011--2012学年上学期第一次月考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、填空题(13)、15..10..20(14)、108．(15)16(16)512＜k≤34三、解答题1718.解析】(1)频率分布直方图如图…………6分(2)(克)…………12分19.解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x＝255＝5，y＝2505＝50，i＝15x2i＝145，i＝15y2i＝13500，i ＝15xiyi＝1380.于是可得b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5；——————7分a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5.——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．————————————12分20.【解析】：(1)平均数是=1500+≈1500+591=2091(元)．中位数是1500元，众数是1500元．——————————————4分(2)平均数是≈1500+1788=3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2)要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0, 即,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22.解析：(1)已知圆的标准方程是(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0＜a≤4)，则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2a.——————————2分直线l的方程化为：x－y＋4＝0.则圆心C到直线l的距离是|－2a＋4|2＝2|2－a|.——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L＝2(2a)2－(2|2－a|)2——————————5分＝2－2a2＋12a－8＝2－2(a－3)2＋10.∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为210.——————————7分(2)因为直线l与圆C相切，则有|m－2a|2＝2a，——————————8分即|m－2a|＝22a.又点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m.——————————10分∴2a－m＝22a，∴m＝2a－12－1.∵0＜a≤4，∴0＜2a≤22.∴m∈－1,8－42]．——————————————————14分。

浙江省宁波市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

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2026届高二数学秋季月考卷第一期（答案在最后）考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量()2,4a =，()1,1b =- ，则2a b -=A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.已知直线12:320,:310l x y l x ay -+=--=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.1B.12C.12-D.1-【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =-g 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率不存在，此时两条直线不垂直；当0a ≠时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =-g ，所以13113a a⨯==-，解得：1a =-.故选：D.3.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(),20-∞ B.(),5-∞ C.()5,+∞ D.()20,+∞【答案】B 【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若a b ，与α所成的角相等，则∥B.若a αβ∥，b∥，αβ∥，则∥C.若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D.若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M 、N 两点，若MN =，则k 等于（）A.0B.23-C.23-或0 D.34-或0【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离，即可求出k 的值.【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34-，故选：D.6.过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（），A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果.【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=，将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=，当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b -+∴===+---，a *∈N ，303b ≠-，33b *∴∈-N ，31b ∴-=或33b -=，44b a =⎧∴⎨=⎩或62b a =⎧⎨=⎩，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7.已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（）A.[)1,2 B.(C.(]0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)AD a a =>，(02)AP x x =<<，则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =-，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +-=，所以a =，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x --+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8.已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.13B.11C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y -+-=的圆心为()9,2C ，半径为4，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO -≤≤+-≤≤+，所以5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =--的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ，则1322nm n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得33m n =-⎧⎨=-⎩，故()3,3G --，因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立，所以PM PN +的最小值为1358-=.故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.三条直线0x y +=，0x y -=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（）A.1B.2C.1-D.－2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y -=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行，所以1a ≠±．故选：AC.10.正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B.直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC.二面角1D AB D --的大小为4π D.平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断；选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=，即可判断；选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠︒，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A 正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=；故C 正确.选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥.同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角。

吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

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2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

高二数学上学期第一次月考试题含解析 试题

高二数学上学期第一次月考试题含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校潜山第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，那么A ∪B 等于()A.{x |x >0}B.{x |x >1}C.{x |1<x <2}D.{x |0<x <2}【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B ，再由并集的定义即可求出． 【详解】因为集合{}02B x x =<<，A ＝{x |x >1}，所以{}0A B x x ⋃=>．应选：A ．【点睛】此题主要考察集合的并集运算，属于根底题．x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，那么角x 的最小正值为() A.56πB.53π C.116π D.23π 【答案】B【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 53sin cos 62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．应选：B ．【点睛】此题主要考察利用角的终边上一点求角，意在考察学生对三角函数定义的理解以及终边一样的角的表示，属于根底题．3.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，那么数列{a n }的公差d 等于〔〕 A.－1 B.－2C.－3D.－4【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质知，，所以，又，解得：，应选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．a >0，b >0，且ln (a ＋b )＝0，那么11a b+的最小值是() A.14B.1C.4D.8【答案】C 【解析】 【分析】先将对数式化指数式，再根据根本不等式即可求出． 【详解】由()ln0a b +=得1a b +=，所以()11112224b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12ab ==时取等号，故11a b+的最小值是4． 应选：C ．【点睛】此题主要考察对数的性质以及根本不等式中“1的代换〞的应用，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．以下说法正确的选项是() A.假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n B .假设m ⊥α，n ⊂α，那么m ⊥nC.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥αD.假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面关系的定义、性质、结论和断定定理对各项逐个判断即可． 【详解】对于A ，假设,mn αα，那么m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，所以A 错误；对于B ，根据线面垂直的定义可知，正确； 对于C ，假设,m m n α⊥⊥，那么n α或者n ⊂α，所以C 错误；对于D ，假设,m m n α⊥，那么n 可能垂直于α，也可能n⊂α，也可能n α，所以D 错误．应选：B ．【点睛】此题主要考察空间线线、线面关系的判断，意在考察学生的直观想象和逻辑推理才能，属于中档题． 〔1，1〕在圆()()224x a y a -++=的内部，那么a 的取值范围是〔〕A.11a -<<B.01a <<C.1a <-或者1a >D.1a =±【答案】A 【解析】因为点〔1，1〕在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，那么a 的范围是()A.a <－2或者a >23B.－23<a <2C.－2<a <0D.－2<a <23【答案】D 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为圆的HY 方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的HY 方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化HY 方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=〔其中2240D E F +->〕，圆心为(,)22D E--，半径2r =．8.点P 〔2，﹣1〕为圆〔x ﹣1〕2+y 2=25的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为〔〕 A.x+y ﹣1=0B.2x+y ﹣3=0C.x ﹣y ﹣3=0D.2x ﹣y ﹣5=0【答案】C【解析】试题分析：由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．解：∵AB是圆〔x﹣1〕2+y2=25的弦，圆心为C〔1，0〕∴设AB的中点是P〔2，﹣1〕满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0应选C考点：直线与圆相交的性质．9.一个算法：(1)m＝a.(2)假设b<m，那么m＝b，输出m；否那么执行第(3)步．(3)假设c<m，那么m＝c，输出m.假设a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A.3B.6C.2D.m【答案】C【解析】【分析】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，即可求解．【详解】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，故执行这个算法的结果是2.应选：C．【点睛】此题主要考察对算法语句以及算法功能的理解．C 的方程为22(2)(1)9x y -++=，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C 上到直线l 的间隔为10的点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：由22(2)(1)9x y -++=，可得圆心坐标为(2,1)C -，半径为3r =，那么圆心到直线的间隔为d ===，所以此时对应的点位于过圆心C 的直径上，所以满足条件的点有两个，应选B ． 考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的据公式和直线与圆位置关系的断定与应用，试题思维量和运算量较大，属于中档试题，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及数形结合思想的应用，此类问题平时需要注意方法的积累和总结．11.两点A 〔－2，0〕，B 〔0，2〕，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是〔〕A.3B.3C.3 【答案】A 【解析】 试题分析：圆C的HY 方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的间隔为2d ==，点C 到AB 的间隔的最小值为1-，AB =，所以ABC∆面积最小值为11)32S =⨯=．应选A ． 考点：点到直线的间隔．(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 A.20x y +-= B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两局部的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又P(1，1)，那么所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1，1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.应选A.第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.)13.函数的定义域为___________________________．【答案】()1,1- 【解析】 【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要210340x x x +>⎧⎨--+>⎩,解这个不等式获得交集即可. 【详解】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩得－1<x<1. 故答案为()1,1-.【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①假设函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出;②假设函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，那么C 的方程为__________．【答案】22(2)10x y -+=.【解析】 【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】此题主要考察圆的性质和圆的方程的求解,意在考察对根底知识的掌握与应用，属于根底题. 15.执行如图的程序框图，假设输入的ε的值是0.25，那么输入的n 的值_____.【答案】3. 【解析】根据运行顺序计算出11F 的值，当11F ≤ε时输出n 的值，完毕程序．由程序框图可知：第一次运行：F 1＝1＋2＝3，F 0＝3－1＝2，n ＝1＋1＝2，11F ＝13＞ε，不满足要求，继续运行； 第二次运行：F 1＝2＋3＝5，F 0＝5－2＝3，n ＝2＋1＝3，11F ＝15＝0.2＜ε，满足条件． 完毕运行，输出n ＝3.【此处有视频，请去附件查看】,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，那么b =__________．【答案】32【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 17.如下列图，底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开场由左至右挪动(与梯形ABCD 有公一共点)时，直线l 把梯形分成两局部，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边局部的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．【答案】221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩，程序框图和程序见解析． 【解析】 【分析】根据直线l 将梯形分割的左边局部的形状进展分类讨论，求出函数关系式，即可根据条件构造画出程序框图，并写出程序．【详解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .∵四边形ABCD 是等腰梯形，底角是45°，AB ＝2cm ，∴BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm .又BC ＝7cm ，∴AD ＝GH ＝3cm ，当02x ≤≤时，212y x =； 当25x <≤时，22y x =-； 当57x <<时，21(7)102y x =-+， 所以221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩． 程序框图如下：程序：INPUT “x ＝〞；xIFx >＝0ANDx <＝2THENy ＝0.5*x ^2ELSEIFx <＝5THENy ＝2*x -2ELSEy =-0.5*(x -7)^2+10ENDIFENDIFPRINTyEND【点睛】此题主要考察分段函数解析式的求法、程序框图的画法以及程序语句的书写，意在考察学生分类讨论思想和算法语句的理解和书写．xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,那么圆C 的方程为.【答案】22(3)(1)0.x y -+-= 【解析】【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知23610,y x x x =-+==±∴同时令x=0,得到函数与y 轴的交点坐标为〔0，1〕，那么利用圆的性质可知，与x 轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，设圆心为：(3,)t ，那么229(1)8t t +-=+，解得1t = 因此可知圆的方程为22(3)(1)0.x y -+-=，故答案为22(3)(1)0.x y -+-=．考点：本试题考察了抛物线与坐标轴的交点问题．点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于根底题．19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．〔1〕求PB 和平面PAD 所成的角的大小；〔2〕证明AE⊥平面PCD ．【答案】〔1〕45°；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先找出PB 和平面PAD 所成的角，再进展求解即可；〔2〕可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．〔1〕解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt△PAB 中，AB=PA ，故∠APB=45°．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．〔2〕证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因为PA⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD⊥PA．因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以AE⊥CD．由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ．因为E 是PC 的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD ．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的断定．()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.〔1〕求()f π的值；〔2〕当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】〔1〕4π-〔2〕4 【解析】【分析】〔1〕由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--， 再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，〔2〕由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：〔1〕由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.〔2〕由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-， 得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，那么()f x 44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，那么1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考察了函数性质的应用，重点考察了作图才能，属中档题.()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值． 【答案】〔Ⅰ〕π;〔Ⅱ〕最小值12-和最大值14． 【解析】 试题分析：〔1〕由利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；〔2〕由〔1〕得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由，有 ()f x 的最小正周期． 〔2〕∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2.(1)设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】(1)见解析；(2)a n=(3n−1)·2n−2.【解析】(1)由a1=1及S n＋1=4a n＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.∴a2=5，∴b1=a2−2a1=3.又①−②，得a n＋1=4a n−4a n−1，∴a n＋1−2a n=2(a n−2a n−1)．∵b n=a n＋1−2a n，∴b n=2b n−1，故{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n=a n＋1−2a n=3·2n−1，∴−=，故是首项为，公差为的等差数列．∴=＋(n−1)·=，故a n=(3n−1)·2n−2.。

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x−y +2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°2.已知两条直线l 1与l 2不重合，则“l 1与l 2的斜率相等”是“l 1与l 2平行”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若向量a =(2,0)，b =(3,1)，则向量a 在向量b 上的投影向量为( )A. 3 105 B. (95,35) C. (3 105, 105) D. (5,1)4.如图所示，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，MN =x a +y b +z c ，则x 、y 、z 分别为( )A. 12,−23,12B. −23,12,12C. 12,12,−23D. 23,23,−125.到直线l ：x +2y−1=0的距离为 5的点的坐标是( )A. (−1,0) B. (−1,3) C. (4,1) D. (6,−2)6.直线2x−y +3=0关于直线x−y +2=0对称的直线方程是( )A. x−2y +3=0B. x−2y−3=0C. x +2y +1=0D. x +2y−1=07.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(−1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny−2=0(m,n >0)对称，则2m +5n的最小值是( )A. 10B. 20C. 30D. 408.如图，棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点(包括端点)．①三棱锥P−A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值2 33②过点P 且平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为2 3③直线PA 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[ 33, 63] ④当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P−A 1BD 的外接球表面积为11π以上命题为真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级上册学期第一次月考(11月)数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级上册学期第一次月考(11月)数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期第一次月考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若直线过圆的圆心，则（ ）0x y a +-=22:2430C x y x y +--+==a A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】先求出圆的圆心坐标，根据圆心在直线上，代入即22:2430C x y x y +--+=0x y a +-=可求解.【详解】解：圆，22:2430C x y x y +--+=即，()()22122x y -+-= 圆的圆心坐标为：，∴C ()1,2将代入，()1,20x y a +-=即，120a +-=解得.3a =故选：D.2．直线，，若，则的值为（ ）1:310l ax y ++=2:2(1)10l x a y +--=12l l ∥a A ．B ．32C ．或D ．或3-232-A【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可【详解】因为直线，，且，1:310l ax y ++=2:2(1)10l x a y +--=12l l ∥所以，解得a ＝3，3121a a =≠--故选：A ．3．已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ）,,αβγm n A ．若，则,m m αβ⊥⊥αβ∥B ．若，则,αγβγ⊥⊥αβ∥C ．若，则,m n m α⊥⊥n α∥D ．若，则,m n αα∥∥m n ∥A【分析】对于A 选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行；对于B 选项，垂直于同一个平面的两个平面有可能相交，也有可能互相平行；对于C 选项，由线面垂直的性质即可判断；对于D 选项，平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行或异面.【详解】选项A 正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；选项B 错误，平面和也可以相交；αβ选项C 错误，直线可能在平面内；n α选项D 错误，直线和还可能相交或者异面.m n 故选：A.4．已知体积公式中的常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方3V kD =k 体，球也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示3V kD =D D 棱长，在球中，表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为），正方体D a （棱长为），球（直径为）的“立圆率”分别为，，，则（ ）a a 1k 2k 3k 123::k k k =A ．B ．:1:46ππ:2:46ππC ．D ．3:2:2π111::64πA【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为，所以，231=2a V a k a π⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱14k π=因为，所以，332V a k a ==正方体21k =因为，所以，333432a V k a π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球36k π=所以.123::k k k =:1:46ππ故选：A.5．点P 为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）22416x y +=1F 2F 13PF =2PF =A ．13B ．1C ．7D ．5D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.1228PF PF a +==【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，221416x y +=1228PF PF a +==故25PF =故选：D 6．已知函数，则不等式的解集是（ ）()2log 1f x x x =-+()0f x <A ．B ．()1,2()(),12,-∞+∞ C ．D ．()0,2()()0,12,⋃+∞D【分析】由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.()0f x <2log 1x x <-【详解】解：依题意，等价于，()0f x <2log 1x x <-在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：2log y x =1y x =-如图可得的解集为.2log 1x x <-()()0,12,⋃+∞故选：D.7．下列函数中，同时满足：①在上是严格增函数；②以为周期；③是奇函数的函数是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π（ ）A ．B ．()sin y x π=+cos y x =C ．D ．tan2x y =tan y x=-C【分析】由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.【详解】对于A ，，该函数在上单调递减，不合题意；()sin sin y x xπ=+=-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭对于B ，，该函数在上单调递减，且为偶函数，不合题意；cos y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，，当时，，在上是增函数，tan2x y =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,24x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 2x y =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭最小正周期，且为奇函数，符合题意；212T ππ==对于D ，，在上单调递减，不合题意.tan y x =-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C.8．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ 1C 22()(2)4x a y -++=2C 22()(1)1x b y +++=ab ）A ．2B C ．D ．494A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，2(=8)a b +ab a 同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.b 0a >0b >ab 【详解】圆的圆心为，半径，221:()(2)4C x a y -++=1(,2)C a -12r =圆的圆心为，半径，222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =由圆C 1与圆C 2相外切，得1212||C C r r =+，3=∴；2(=8)a b +要使取得最大值，则，同号，不妨取，，ab a b 0a >0b >由基本不等式，得，当且仅当28()=224a b ab +∴≤=a b ==∴ab 的最大值为2．故选：A9．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（ ）l (),m n ()1,5l 135︒14m n +A ．4B ．9C ．D ．2332D【分析】由题得，再利用基本不等式求解.6(0,0)m n m n +=>>【详解】由题得，5tan1351,6(0,0)1n m n m n m -==-∴+=>>-所以.141141413()()(5(56662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=当且仅当时取等.2,4m n ==所以的最小值为.14m n +32故选：D关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简，再利用基本不等式求解.14114()()6m n m n m n +=++10．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，则欧拉线的方程为（ ）ABC ()()()4,0,0,2,0,3A B C -ABC A ．B ．230x y +-=230x y +-=C ．D ．230x y --=230x y --=D【分析】求出重心，求出边上的高和AC 边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线AB 的方程.【详解】由题可得的重心为，ABC 41,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为AB 021402-=--AB AB ，即，()320y x +=-230x y --=直线AC 的斜率为，所以AC 边上的高的斜率为，则AC 边上的高的方程为033404+=-43-，即，()4203y x -=--4360x y +-=联立可得垂心坐标为，2304360x y x y --=⎧⎨+-=⎩3,02H ⎛⎫⎪⎝⎭则直线GH 的斜率为，则直线GH 的方程为，10324332--=-3022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以欧拉线的方程为.ABC 230x y --=故选：D.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）111ABC A B C -AC BC ⊥12AA AB ==A ．四棱锥为“阳马”11B A ACC -B ．四面体为“鳖臑”11AC CB C ．四棱锥体积的最大值为11B A ACC -23D ．过A 点作于点E ，过E 点作于点F ，则面AEF1AE A B ⊥1EF A B ⊥1A B ⊥C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当时，四棱锥AC BC =体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证平面，进而判断D 的11B A ACC -1A B ⊥AEF 正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，111ABC A B C -AC BC ⊥1AA ⊥ABC A 选项，∴，又，且，则平面，1AA BC ⊥AC BC ⊥1AA AC A = BC ⊥11A ACC ∴ 四棱锥为“阳马”，故A 正确；11B A ACC -B 选项，由，即，又且，AC BC ⊥11A C BC ⊥111AC C C ⊥1BC C C C ⋂=∴平面，∴，则为直角三角形，11A C ⊥11BB C C 111A C BC ⊥11A BC 又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，BC ⊥11AA C C 1A BC 11AC C 为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B 正确；1CC B 11AC CBC 选项，在底面有，即，当且仅当2242AC BC AC BC =+≥⋅2AC BC ⋅≤AC BC ==，最大值为，故C 错误；1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤43D 选项，因为，，，所以平面，故D 正确；1AE A B ⊥1EF A B ⊥AE EF E ⋂=1A B ⊥AEF 故选：C12．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，12,F F 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F C ,P Q 若，则的离心率是（ ）12125PF PF F Q==CA B C D D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，12125PF PF F Q==1F Q t=1PF 2PF 然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，t a a PQ1QF 2QF 2PQF 利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.2π2QPF ∠=12PF F △c a 【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，12125PF PF F Q==1F Q t=所以，，由椭圆的定义可知，15PF t =252PF t =125152522PF PF a t t t +==+=所以，所以，，，，415t a =143PF a =223PF a=1415F Q a =11442431515PQ PF F a a a Q =+=+=由椭圆的定义可知，12226215QF QF a QF a +=⇒=在中，，所以,2PQF 22222QF QP PF =+2π2QPF ∠=在中， ，所以12PF F △122FF c =2112222F F F P PF =+所以2222216454999c c a a c e a a +=⇒=⇒==所以C 故选：D.二、填空题13．若点在圆的外部，则实数a 的取值范围是___________.()1,1()225x a y -+=()(),13,-∞-⋃+∞【分析】根据题意，建立不等式即可求解.【详解】由题意可知，解得或，()22115a -+>1a <-3a >则实数a 的取值范围是，()(),13,-∞-⋃+∞故()(),13,-∞-⋃+∞14．数列中，，则__________.{}n a 23n S n n=+n a =22n +当时，，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.1n =114a S ==2n ≥1n n n a S S -=-n a 【详解】当时，，1n =114a S ==当时，，2n ≥221(1)3(1)2n S n n n n -=-+-=+-所以，2213(2)22n n n a S S n n n n n -=-=+-+-=+又，满足上式，所以，14a =*22()n n n N a =+∈故22n +15．若三棱锥的各顶点都在球的表面上，，-P ABC O AB BC CA ===PA PB PC ===则球的表面积为___________.O 64π【分析】由已知条件可知三棱锥是正三棱锥，设的中心为，则外接球的球心在-P ABC ABC 1O O 所在直线上，在在中，由勾股定理求得外接球半径，再由球的表面积公式即可求解.1PO 1Rt AOO R【详解】因为三棱锥中，，-P ABC AB BC CA ===PA PB PC ===所以此三棱锥为正三棱锥，设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点，ABC 1O 1AO BC D D BC 外接球球心在所在直线上，O 1PO因为，AB =122433AO AD ==⨯=因为，所以，PA =14PO ===设球的半径为，在中，，，，O R 1Rt AOO 14AO =AO R =14OO R =-由可得，解得，12122OO AO AO +=()22164R R +-=4R =所以即为球心，球的半径，所以球的表面积为.1O O 4R =O 24π464π⨯=故答案为.64π16．某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行30A P 60分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东的航向再行驶40B P B 30 60 分钟到达点，则、间的距离为______海里．80C P C【分析】根据题意，画出草图，在中由正弦定理解出，在中，根据勾股定理求ABP BP Rt BPC △得.PC 【详解】如图，在中，（海里），ABP 40302060AB =⨯=，,120BAP ∠=︒30BPA ∠=︒由，得，sin sin AB BPBPA BAP =∠∠20sin 30sin120BP =解得海里．BP =在中，（海里），BPC △80304060BC =⨯=由已知得，90PBC ∠=︒所以（海里）,PC ===所以、间的距离为P C故答案为.三、解答题17．已知斜率k且过点A （5，﹣4）的直线l 1与直线l 2：x ﹣2y ﹣5＝0相交于点P .12=-（1）求以点P 为圆心且过点B （4，2）的圆C 的标准方程：（2）求过点Q （﹣4，1）且与圆C 相切的直线方程.（1）（x ﹣1）2+（y +2）2＝25；（2）x ＝﹣4或8x ﹣15y +47＝0【分析】（1）先求出直线的方程，与直线联立求出点P ，P 为圆心且过点B ，可得半径，即得标1l 2l 准方程；（2）根据圆的方程可知点Q 在圆外，设过Q 点圆的切线方程为l ，当直线斜率存在时，由点到直线的距离等于圆的半径可求得斜率k ，当斜率不存在时，x ＝﹣4复合题意，综上，即得。

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库尔勒市第四中学2016-2017学年（上）高二年级第一次月考数学（理科）
试卷（问卷）
考试范围： 试卷页数：4页 考试时间：120分钟
班级： 姓名： 考号：
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分）
1、设集合{}
{},0|,065|2>=≥+-=x x T x x x S 则=T S ( ) (][)+∞,32,0. A []3,2.B (][)+∞∞-,32,. C [)+∞,3.D
2、执行如图所示程序框图，则输出的结果是（ ） 61.A 43.B 109.C 12
11.D
3、如图所示的甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
52.A 107.B 54.C 10
9.D 4、在ABC ∆中，3,6,60===∠b a A ，则ABC ∆解的情况是（ ）
A.无解
B.有一解
C.有两解
D.不能确定
5、下表是某工厂1—4月份用电量（单位：万度）的一组数据：
月份x
1 2 3 4 用电量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y
+-=7.0ˆ，则=a ( )
A.10.5
B.5.25
C.5.2
D.5.15
6、一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） 61.A 3
1.B 41.C 21.D
7、某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（ ）
A.2400
B.2700
C.3000
D.3600
8、已知直线,,,//,γααγβγβα⊥⊂=⋅m m l l l m 满足、、与平面、则下列命题一定正确的是（ ）
A l m .αγ⊥⊥且 βγα//.m
B 且⊥ m l m
C ⊥且β//. γαβα⊥且//.D
9、设P ：实数,11,>>y x y x 且满足q ：实数满足2>+y x ，则p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、已知命题,01,:200≤+∈∃mx R x p 命题01,:2
>++∈∀mx x R x q ，若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
22.≤≤-m A 22.≥-≤m m B 或 2.-≤m C 2.≥m D
11、在平面直角坐标系xOy 中，若⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥--≤-+001042,y y x y x y x 满足约束条件，则y x z +=的最大值为（ ）
3
7.A 1.B 2.C 3.D 12、数列{}n a 满足)1)((2,11211>+++==--n a a a a a n n n ，则=5a （ ）
A.54
B.81
C.162
D.243
二、填空题
13、在长为2的线段AB 上任取一点C,以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为__________.
14、命题"052,"2
>++∈∀x x R x 的否定是__________________.
15、已知是单位向量，(,b =223，()a a b ⊥+2，则a ,的夹角为__________.
16、已知是)(x f 定义在R 上的奇函数，且满足()x f x f 1)2(-=+，当21≤≤x 时，x x f =)(则=-)2
11(f _____________. 三、解答题
17、已知
{}n a 是公比为正数的等比数列，a =13， a a =+329 （1）求{}n a 的通项公式
（2）数列
{}n b 是首项为为4，公差为3等差数列，求数列{}n n b a +的前n 项
18、如图，设四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60,ABC ∠=2,AB EC ==2AE BE ==。

（1）证明：平面EAB ⊥平面ABCD ；
（2）求四棱锥E ABCD -的体积。

19、某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)50,60，第二组[)60,70，...，第五组[]90,100，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：
（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；并计算这个班级的平均分；
（2）从测试成绩在[)[]50,6090,100⋃内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，
求事件“|m-n|>10”的概率。

20、已知椭圆C:22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F ，点()0,1A ，且15,AF =椭圆C 的离心率为2
3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作直线l 与椭圆C 交于M,N 两点，若320AM AN +=，求直线l 的方程。

21、已知函数()sin(2)cos(2).63f x x x ππ
=++- （1）求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；
（2）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()1,23,sin 2sin ,f C c A B ===求△ABC 的面积。

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