数学与哲学
哲学概念与数学概念的区别
哲学概念与数学概念的区别哲学概念与数学概念是两个不同的领域，虽然它们都是人类文明中的重要思维方式，但在概念本身和运用方法上存在一些明显的区别。
以下将从概念本身、思维方式和运用方法三个方面进行探讨，来阐述这两者之间的区别。
首先，概念本身方面的区别。
哲学概念主要涉及到人类的思维、存在、价值、真理等综合性的问题，探讨的是人的思想和现实的本质关系，关注个体和社会的全面发展。
哲学的概念具有一定的抽象性和多义性，其意义也常常是模糊的，因为哲学本身是在不断发展和演变的。
相比之下，数学概念是用来描述和研究数量、结构、关系和空间等抽象对象的规律和性质。
数学概念的定义通常更加精确，且有着确定的意义。
数学概念之间的关系也往往是明确的、可证明的。
所以，哲学概念更多地关注意义和理论，而数学概念更强调精确性和证明。
其次，思维方式方面的区别。
哲学是一种反思性的思维方式，更加关注问题本身的综合性和整体性，强调的是思考的过程和观点的合理性。
哲学思维强调综合、归纳、分析和批判的能力，通过思辨来探究问题的本质和解决问题的方法。
相比之下，数学思维更加注重逻辑性和形式化，强调的是推理和证明的严密性。
数学思维注重分析、抽象、归纳和演绎的能力，通过逻辑推理来发现规律和解决问题。
因此，哲学思维更加开放和富有创造性，而数学思维则更加严谨和系统化。
最后，运用方法方面的区别。
哲学的运用方法主要是通过思辨、议论、分析、探究等方式来探讨和解决人类思想和现实中的问题。
哲学通过阐述观点、搭建思维框架和分析问题的层面来进行论证和辩证。
而数学的运用方法则更加注重逻辑推理、证明和计算。
数学的研究方法包括利用公理、定义、定理和推导等方式来建立理论体系和解决数学问题。
综上所述，哲学概念与数学概念在概念本身、思维方式和运用方法三个方面存在着明显的区别。
哲学更多地关注于综合性、归纳性和演绎性，强调开放性和思辨性，探讨关于人类思想和现实的综合问题；而数学注重精确性、确定性和形式化，强调严谨性和推理性，研究数量、关系和结构等问题。
数学中的数学与哲学的交叉思考
数学中的数学与哲学的交叉思考数学与哲学作为两个独立学科，虽然在学科内容上有所区分，但它们之间存在着密切的联系。
数学中的数学与哲学的交叉思考不仅可以深化对数学本质的理解，还能拓展对哲学思考的层次。
本文将从逻辑、证明与真理、抽象等角度探讨数学与哲学的交叉思考。
一、逻辑的交叉思考逻辑是数学和哲学共同关注的一个重要问题。
数学通过逻辑推理来建立起一套严密的推理体系，使得数学命题的成立和推导过程具备了严格的合理性。
而哲学则关注逻辑的起源、本质和逻辑体系的完备性。
在数学中，逻辑被广泛运用于证明过程中。
通过使用命题逻辑、谓词逻辑等工具，数学家能够从已知条件出发，依次运用逻辑规则进行推导，最终得到所要证明的结论。
这种逻辑推理的思维方式贯穿了数学的各个分支领域。
而在哲学中，逻辑的思考更为深入。
逻辑作为哲学的基础学科，关注着思维的规范和过程的合理性。
哲学家通过研究逻辑规律，试图了解人类思维的本质，并推导出生活、科学以及数学等方面的哲学原则。
二、证明与真理的交叉思考证明与真理是数学与哲学的共同追求。
数学中的证明是通过逻辑推理来验证数学命题的正确性，而哲学中的真理探究则涉及到更加广泛和复杂的问题。
在数学中，证明是数学家必备的能力之一。
数学家通过精确的推理和演绎，构建起数学理论的坚实基础。
证明不仅是数学成果的重要组成部分，也是深入理解数学本质的关键所在。
而在哲学中，真理的概念更加复杂和深奥。
哲学家一直致力于寻找真理的本质和确定真理的标准。
他们通过思辨和讨论，提出了不同的真理观，如经验主义、唯心主义、理性主义等。
这些真理观念也对数学的发展产生了重要影响。
三、抽象的交叉思考抽象是数学和哲学共有的思维方式和方法。
数学中的抽象主要表现为将具体的数学问题转化为一般性的问题进行研究，通过抽离数学对象的特定属性，探索它们的共性和普遍性。
而哲学中的抽象则涉及到对人类思维和存在等诸多问题的概括和思考。
在数学中，抽象是进行数学研究的重要手段。
数学与哲学
数学与哲学的紧密联系
• 目的性 • • • •
哲学和数学都是去解释这个世界和探讨 这个世界 正如恩格斯所说：“数服从于一定规律，同样， 宇宙也是如此。于是，宇宙的规律性第一次被提 出来了。” 理性 这两个科目都是用理性在思考问题 逻辑性 两个都有严密的逻辑性 抽象性
事实上，哲学是一切其它学科的母 学科。
• 数学与哲学是紧密联系的两个学科，
是血肉相连的两个学科。 • 数学、哲学、数学哲学： 三者的关系从普遍、一般再到特殊。 数学哲学为数学指引方向和发展哲学 的内容。
参考文献
• http://wiki.lets• • 李俊清 西方哲学的数学情缘 长治学院学报
• 在最初的时候，人类获得的知识是有限的。
它们混在一起叫做哲学。 • 后来，随着社会生产力的发展，人类社会 的进步，人类知识的积累越来越多，再把 它们混在一起是不合适。 • 于是，开始分科治学。各种学科就哲学下 划分出去。
所以说，哲学和数学的联系是天 生的。
例证：
• 柏拉图学苑的门口刻着“不懂几何者 拉图学苑的门口刻着“
• 以上是从数学与社会的关系、数学与
其它学科的关系、数学与人的发展的 关系等几个方面来讨论数学的。它们 都从某一个侧面反映了数学的本质特 征，为我们全面认识数学的性质提供 了一个视角。数学是这样一个古老而 创新的学科，她有着十分深厚的内涵 和广泛的外延，以至于无法用一个简 单的定义来规定什么是数学。要从本 质上来了解什么是数学，我们需要明 白数学的起源。
理性是哲学的最大的特点
• 原始的人类对于这个世界十分的困惑
却无法解释，于是诉诸于神———— 却无法解释，于是诉诸于神———— 神及神学的产生。 • 后来，随着人心智的发展，人类开始 用理性的角度思考问题，去解释最基 本的问题————哲学。 本的问题————哲学。 • 柏拉图————哲学产生于诧异。 柏拉图————哲学产生于诧异。
数学学习中的数学与哲学的应用
数学学习中的数学与哲学的应用数学和哲学是两个看似截然不同的学科，一个着重于抽象逻辑推理，一个更关注人类思维和存在的本质问题。
然而，在数学学习中，我们可以发现数学与哲学之间存在着紧密的联系和应用。
本文将探讨在数学学习中，数学和哲学是如何相互交织的，并且如何应用于实际生活和其他学科领域。
一、逻辑思维与推理数学和哲学都依赖于逻辑思维和推理能力。
数学通过严密的逻辑推理构建起一套完整的理论体系，而哲学则通过思辨和推理来探索人类思维和存在的根本问题。
在数学学习中，我们需要运用逻辑思维和推理能力来解决问题、证明定理和推导结论。
这种能力的培养不仅有助于我们在数学领域中的学习和发展，也能提升我们在其他学科和现实生活中的思维能力。
二、抽象与概念数学与哲学都涉及到抽象和概念的研究。
数学通过将现实世界中的问题抽象为数学模型和符号，来进行研究和解决。
这种抽象能力使得数学能够在不同领域中应用，并帮助我们理解和分析复杂的问题。
哲学则通过对概念和观念的思考和深入挖掘，来探索人类思想和存在的本质。
在数学学习中，我们需要理解和掌握各种数学概念，并将其应用于解决实际问题。
这样的训练有助于我们培养抽象思维和概念形成的能力，提高我们对复杂问题的理解和分析能力。
三、数学原理与哲学思想数学原理中的一些概念和定理在某种程度上与哲学思想有关联。
例如，无穷大和无穷小的概念在数学中起到了重要的作用，而在哲学中也有类似的思考。
无穷大和无穷小的思想引发了人们对时间、空间和存在的思考，涉及到关于无穷与有限、无限与限制的理论。
这种数学和哲学之间的关系使得我们对数学原理的理解更加深入，并且让我们意识到数学与哲学之间的紧密联系。
四、哲学启发数学思维哲学的思考方式和思维方式对数学学习也有很大的启发作用。
哲学通过思辨和探索问题的本质，培养了我们追问问题并思考解决问题的能力。
在数学学习中，我们也需要进行问题的分析和解决，这就需要我们运用哲学思维来思考问题的本质和解决方法。
数学与哲学的联系与应用
数学与哲学的联系与应用数学与哲学作为两个看似独立的学科，实际上却有着紧密的联系和相互影响。
数学以其逻辑性和抽象性而被认为是一门精确的科学，而哲学则追求对现实与存在的深层思考和探索。
然而，当我们深入探究数学和哲学的本质时，我们会发现它们之间有许多的共性和相通之处。
首先，数学和哲学都探讨了一系列的基本问题。
哲学关注于诸如人类存在的意义、知识的来源以及伦理道德的问题等，而数学则关注于数字、形状和结构等数学概念的本质。
在这种意义下，数学可以说是一种形式化的哲学，而哲学则为数学提供了深刻的思考框架，这样的交流和相互影响促进了两个领域的共同发展。
其次，数学的逻辑推理和哲学的思辨也存在着相通之处。
数学作为一门推理学，需要逻辑严密的推导过程来达到结论。
而哲学则在逻辑推演之外，更注重对思考的广度和深度的探究。
当数学的严密性与哲学的思辨力结合时，便能够产生一种更为全面的认知方式。
数学在此基础上可以被视为一种哲学方法的应用，而哲学则为数学提供了更大的意义和发展的动力。
此外，数学和哲学还在实践中相互影响和应用。
数学作为一门实用的学科，应用广泛存在于物理学、工程学等众多领域中。
然而，这些应用并非仅仅依靠数学的技巧和方法，而是需要对问题进行思辨和推理。
在这个过程中，哲学的思维方式和方法论起到了重要的作用。
哲学引导了人们去思考问题的本质和意义，从而为数学的应用提供了更多的新思路和创新。
最后，数学和哲学在形式化和抽象化方面也存在相似之处。
数学通过符号和公式的形式来表达和推演，而哲学则通过概念和观念的抽象化来表达人类的思考。
这种形式化和抽象化的特性使得数学和哲学都能够超越具体的应用领域，而成为一种普适的思维方式。
它们的普适性使得数学和哲学不仅仅局限于学术研究，而能够为人们的生活和社会发展提供积极的影响和指导。
综上所述，数学和哲学虽然是两个看似独立的学科，但它们之间有着紧密的联系与应用。
数学以其逻辑性和抽象性为哲学提供了思考和推演的基础，而哲学则为数学提供了更大的意义和发展的动力。
数学与哲学的关系
数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。
这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。
马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。
它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。
因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。
这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。
1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。
在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。
在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。
因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。
而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。
法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。
数学与哲学的交叉研究
数学与哲学的交叉研究数学和哲学是两个看似迥然不同的领域，但实际上却存在着紧密的联系和交叉研究。
数学是一门严谨的学科，强调逻辑推理和形式化证明。
而哲学则更侧重于思考人类存在、认识和思维等基本问题。
然而，正是这两个领域的交互作用，推动了人类对现实世界的深入理解。
本文将探讨数学与哲学的交叉研究，以及它们在人类思维和知识建构中的重要性。
一、数学和哲学的共同基础数学和哲学都建立在严格的逻辑基础上。
数学家通过形式化的定义、公理和推理方法，构建了一套精确的数学体系。
这种逻辑思维在哲学中也发挥着重要作用。
哲学家借鉴数学思维的严密性，推动了对现实的深入探讨。
例如，柏拉图的观点中关于“理念”的存在，可以被看作是一种数学思维的延伸，它将真理和普遍性联系在一起，类似于数学中的公理和定理。
二、数学的哲学基础数学最基本的哲学问题是数学命题的真实性和存在性。
数学家通过逻辑推理和证明方法，探求数学命题的可靠性和逻辑一致性。
这个过程中，涉及到哲学中的经验主义、唯理主义和理性主义等不同哲学立场的讨论。
例如，康托尔提出的集合论与无穷的问题，引发了哲学家对于无穷概念的反思和解释，对于我们对于现实世界的认识和理解有着重要的启示。
三、哲学对数学的影响哲学对数学的发展和应用产生了深刻的影响。
数学中的公理化、形式化和证明等方法，都受到哲学思想的影响。
逻辑学、语义学等哲学分支为数学提供了重要的理论基础。
此外，哲学关于空间、时间、因果和现实世界等问题的讨论，也对数学理论的发展产生了影响。
例如，爱因斯坦的相对论与各种几何学的发展密切相关，这为理论物理学提供了重要的数学工具。
四、数学与哲学的互动领域数学和哲学的交叉研究的一个重要领域是逻辑学。
逻辑学研究命题、推理和证明等基本问题，是数学和哲学的共同基础。
逻辑学的发展对于数学证明方法的改进和推动起到了重要作用。
另一个重要的互动领域是科学哲学。
科学哲学探讨科学知识的产生、验证与理论构建的问题。
数学在科学中的应用和角色，以及数学模型构建与科学实证研究的相互联系，都是科学哲学的研究对象。
数学中的数学与哲学的关系
数学中的数学与哲学的关系数学与哲学作为两个学科领域，虽然在研究的对象和方法上存在差异，但它们之间却有着密切的联系和相互依存的关系。
数学与哲学的互动不仅拓展了两个学科的边界，而且在解决问题和思考的过程中互相借鉴，促进了科学与人文的融合。
本文将就数学与哲学的关系进行探讨。
一、数学中的哲学思考数学作为一门学科，始终伴随着哲学的思考。
数学所追求的是一种普遍性、确定性和推理性的真理，而这正是哲学所关注的核心概念。
数学所运用的逻辑推理和证明方法，本身就富含着哲学的思维方式。
而哲学所提出的思维方法和思维工具，又为数学的发展提供了理论支持和思想指导。
数学中的公理化体系和证明方法，即以公理为基础，通过逻辑推理和定义、定理、证明等方式建立起来的理论体系，与哲学中的逻辑思考以及哲学体系的构建有着相似之处。
数学家在研究和发展数学的过程中，也会不断地思考数学基础的哲学问题，如数学的基础是什么？数学中的概念和命题是如何建立和证明的？这些问题的探讨使得数学的发展与哲学的思考紧密相连。
二、哲学对数学的影响哲学对数学的影响主要体现在两个方面：一是在数学基础理论的构建中，哲学提供了思想方法和理论指导；二是在数学的应用领域，哲学为数学的实际应用提供了思考框架。
在数学基础理论的构建中，哲学为数学提供了思想方法和理论指导。
比如在数学的形式逻辑方面，哲学对于命题、谓词、推理和证明等概念的研究和思考为数学逻辑的建立提供了哲学基础。
另外，在集合论中，哲学家的思考和贡献也是不可忽视的。
哲学家康托尔提出了集合论的基本概念和公理系统，为数学中一系列的集合理论和拓扑学的发展奠定了基础。
在数学的应用领域，哲学为数学的实际应用提供了思考框架。
比如哲学中的思辨与推理方法为数学应用提供了思路和方法。
哲学中的伦理道德思考与决策理论为数学的应用于社会科学、经济学等领域提供了政策制定和决策支持。
三、数学对哲学的影响数学在对哲学的影响方面主要体现在思维方式和问题解决方法的启发。
第5章数学与哲学
数学与哲学—数学对哲学的作用
数学的发展带来了哲学的重要进展 系统哲学 20世纪中叶，贝塔朗菲创立了一般系统论。 70年代西方出现了自称系统哲学的新哲学，代表人物 拉兹洛和邦格。 系统哲学和现代具体科学是密切联系的，它所使用的 概念都从不同侧面反映了现代科学的新特征。 拉兹洛： 拉兹洛：美籍匈牙利人，他的系统哲学是模型论的或 方法论的。认为系统哲学的材料来自哲学家，概念来 自现代系统研究。 邦格：加拿大哲学教授，他称自己的系统哲学是哟中 邦格： 科学的本体论，主要讨论世界的系统图景。重要特征 是形式化。
数学与哲学—数学对哲学的作用
数学的发展带来了哲学的重要进展 数理逻辑的蓬勃发展与分析哲学的崛起 分析哲学的产生与当时蓬勃发展的数理逻辑有密切联 系，它的许多代表人物都对数理逻辑进行过深入研究 并作出重大贡献。 创始人：英国哲学家、逻辑学家罗素 标志：1905年发表的《论指示》 主张：把形式分析和逻辑分析看作哲学固有的方法， 并加以推广；以现代数理逻辑为手段创造理想的人工 语言，以保证命题的句法形式一定与它的逻辑形式相 一致。 评价：罗素的哲学思想实际是一位数学家的思想，是 20世纪数学基础研究中逻辑主义的杰出领导人。
数学与哲学—哲学对数学的作用
哲学作为方法论， 哲学作为方法论，为数学提供强大的认识工具和探索工具 当人们充分认识到无穷小量和无限可分方法并非绝对对立，有 内在联系，相辅相成，在一定条件下，可相互转化、相互借用 的辩证统一后，才有了突破性进展，才有了微积分诞生的前提。 近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一，就是明确 地认识到数学的基本概念并不必须具体化，冲破了教条主义哲 学的束缚。 钱学森：《发展我国的数学科学》中说：“我认为每一门科学 都有一个哲学总结，自然科学的哲学总结是自然辩证法，社会 科学的哲学总结是历史唯物主义，数学科学的哲学总结就是数 学哲学，思维科学的哲学总结就是认识论等等，所有这些哲学 再汇总，我认为就是人类知识的结晶，即马克思主义哲学。这 样一个体系，就是马克思主义哲学为指导的科学体系。科学技 术的发展并通过哲学概括，必然会发展深化马克思主义哲学。”
数学与哲学的交叉与应用
数学与哲学的交叉与应用数学与哲学，两者看似截然不同，但实际上在某些方面存在着紧密的联系和交叉。
数学是一门关于数量、结构、空间和变化的学科，而哲学则是对人类思维和存在的基本问题进行系统思考和探讨的学科。
本文将探讨数学与哲学之间的交叉点，并探讨它们如何相互影响和应用。
一、逻辑与证明逻辑学在哲学中占有重要地位，而数学中的证明过程则离不开严密的逻辑推理。
数学家在证明定理的过程中使用的是一种形式严谨的推理，这与哲学中的逻辑推理紧密相关。
逻辑学的概念和方法能够帮助数学家清晰地展示数学思维的逻辑结构，而且逻辑学的思维方式也常常为数学家所借鉴。
因此，数学与哲学在逻辑推理方面存在着广泛的交叉与应用。
二、数学与哲学的基础问题数学和哲学在基础问题上也存在一定的交叉。
哲学关注的问题包括什么是真理、知识的本质以及存在的意义等，而数学在一定程度上也涉及了这些问题。
数学的基础问题包括数学对象的本质、数学的存在形式以及数学的内在结构等。
对于这些基础问题的思考，既离不开哲学的方法和思维，也离不开数学的精确性和逻辑性。
因此，数学和哲学在这些基础问题上的交叉讨论对于进一步深化对数学和哲学的理解具有重要意义。
三、数学与科学哲学科学哲学作为哲学的一个分支，关注科学的方法、基础和哲学意义。
数学在现代科学中起着重要的作用，因为数学提供了科学研究所需要的精确性和形式化的语言。
科学哲学家常常对数学的逻辑和结构进行研究，试图揭示数学背后的哲学原理和思维方式。
同时，数学的应用也为科学研究提供了工具和方法，科学哲学家可以将数学的理论和方法应用于对科学实证和科学理论的分析和讨论中。
因此，数学和科学哲学之间的交叉与应用是不可忽视的。
四、数学和哲学的教育意义奥斯卡·怀尔德曾说：“数学不仅是数量和形式的科学，而且是道德和美的科学。
”数学的学习需要逻辑思维和严密推理，这培养了人们的思辨和批判性思维，进而有助于提高哲学思考的能力。
相反，哲学的学习需要思辨和批判性思维，这对于理解和应用数学的概念和原理是至关重要的。
数学与哲学的奇妙结合
数学与哲学的奇妙结合数学和哲学是两个看似迥然不同的学科，前者追求精确和逻辑性，后者则关注问题的本质和深层意义。
然而，当这两个学科相互融合时，它们展现出了一种奇妙的结合，为我们提供了一种崭新的思考方式和理解世界的角度。
在数学中应用哲学思想的一个显著例子是数学基础的建立。
在19世纪末和20世纪初,数学家们尝试用同样严密的、公理化的方式来构建数学体系。
在这一过程中，哲学思想扮演了至关重要的角色。
数学哲学家们深入思考数学的逻辑和基础，将哲学思想融入到数学的发展中。
他们关注的问题包括数学真理的本质、数学对象的存在性以及数学推理的准确性等等。
通过将哲学的思辨方式应用于数学中，数学发展了一种更为严谨和细致的方法，从而加深了对数学的理解和应用。
另一个数学与哲学相结合的领域是逻辑学。
逻辑学是哲学的一个重要分支，研究推理和论证的规则。
逻辑学与数学相互渗透，为我们提供了一种分析和解决问题的工具。
数学中的证明过程经常使用演绎推理，而这正是逻辑学的核心内容。
逻辑学家通过对推理规则和论证的研究，为数学家提供了一种确保数学推理准确性的方法。
逻辑学为数学的发展提供了牢固的基础，同时也为哲学思考提供了一种严密的逻辑框架。
数学和哲学的结合不仅仅局限于数学的发展领域，它们也在一些具体的数学概念和问题中相互深化。
例如，无穷的概念在哲学思想中具有重要的地位，而数学中的无穷到底是什么，也一直是哲学家和数学家争论的焦点之一。
哲学家们对无穷的思考和探索，促使数学家对无穷进行更加深入的研究。
通过哲学思想的辅助，数学家们提出了不同类型的无穷，如可数无穷和不可数无穷，并对无穷的性质进行了更精确和准确的描述。
哲学的思辨力量丰富了数学的内涵，同时数学也为哲学思考提供了定量的工具。
此外，在哲学中有一类问题被称为“哥德尔的不完全性定理”。
这一定理指出，任何一个包含基本算术的形式系统都存在某种命题无法被在该系统内的形式规则推导出来。
这个定理在某种程度上颠覆了我们对数学的认知，同时也引发了哲学界的广泛关注。
数学与哲学
1：什么是数学？ 2：什么是哲学？ 3：数学与哲学的共通性。 4：有关数学与哲学的思考。
数学与哲学
数学的定义
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象 化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中 产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公 理及定义中建立起严谨推导出的真理。
变 化 中 的 不 变 否 定 之 否 定
点动成线， 点动成线，线动成 是一 ， 的 面动成体…… 是 的， 面，面动成体…… 体 ， 的 是 线和面总是单一的， 的， 就 是 线和面总是单一的， 的 而立体却是多维的， 而立体却是多维的， 无限的， 无限的，就像人的 单 维 是 一 动，而 立 的 动的 一 ， 成 体 是 的 ，无 ……
我比较赞同的理解： 我比较赞同的理解：
数学与哲学都普遍存在于我们的生活之中， 都属于为了理解我们周围世界所做的最初的 理智上的实践。 只不过哲学是对具体的东西作抽象的研究， 而数学是对抽象的东西作具体的研究。
自然哲学的数学原理书影
一分为“ 一分为“二”地看待世间万物
二分法与辩证思想
二分法求解方程的理论依据是零点定理。正负之间的过渡， 二分法求解方程的理论依据是零点定理。正负之间的过渡， 必然存在零点，从哲学的角度看待，也是奥妙无穷…… 必然存在零点，从哲学的角度看待，也是奥妙无穷…… 二分法也像太极一样， 二分法也像太极一样， 一元，两仪，四象， 一元，两仪，四象，八 乃至无穷…… 卦，乃至无穷…… 将二分法正向后再逆向， 将二分法正向后再逆向， 就像“道生一，一生二， 就像“道生一，一生二， 二生三，三生万物， 二生三，三生万物，万 物归一” 物归一” 也印证了事 事物是矛盾的，需要辩证地去看待；生活中这样，数学也是 物从生到发展， 物从生到发展，再从发 如此。譬如有和无，大和小，直和曲，分解和组合，整体和 展到灭亡的轮回规律 。 局部，抽象和具体，变量和常量，偶然和必然，有穷和无穷 等。总是能够引发人们的想象……
数 学 与 哲 学
数学与哲学都是从更高的层面
，用更广的视野，研究现实世界更本质的 规律，是超越一般自然科学和社会科学的 科学。
在古希腊时期，数学与哲学同属一家， 数学家同时也是哲学家。
哲学与数学关注真善美
真 逻辑学
善 伦理学
美美 学
理性精神
关联层次
客观精确确定 相互为用
真与善的 客观表现
哲学三大领域
逻辑学：关注客观真理； 伦理学：关注心理善良； 美 学：关注精神愉悦。
数学欣赏
数学来自于现实世界却又超越于现
实世界，它所研究的数与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是客观世界的 普遍和本质的共同属性。因此数学与一切 事物的生存和发展密切相关，具有其独特 的普遍性、抽象性和应用上的极端广泛性 。
哲学则是从自然、社会和思维三大
领域，亦即从整个客观世界的存在及其存 在方式中去探索科学世界的普遍规律，是 关于整个客观世界的根本性观点的体系， 是自然知识和社会知识的最高概括和总结 。
科学分类
数学科学：刻画现实世界的普遍科学； 自然科学：研究自然现象的运作机理
与规律； 社会科学：研究社会现象的运作机理
与规律。
数学欣赏
数学与哲学知识点
数学与哲学知识点数学和哲学是两门不同领域的学科，然而它们之间却存在着一些相互关联和相互渗透的知识点。
本文将探讨数学与哲学之间的部分知识点，并从不同角度阐述它们的交叉点。
1. 数学与哲学的共同点数学和哲学都是人类思维的产物，它们都试图通过一套明确的原则和方法来解决问题。
数学通过逻辑推理和符号化的表达方式，研究数量、结构、变化等问题；哲学通过思辨和理性思维，探索人类存在、价值、真理等更为宏大的问题。
2. 数学中的哲学思考数学研究的基础在于一系列的公理和定义，然而这些公理和定义并非是凭空产生的，它们需要经过哲学的思考和讨论。
例如，欧几里德几何中的五条公理，即平行公理，其背后涉及到对于空间和平行概念的哲学思考。
另外，数学中的一些概念和理论也涉及到哲学思维的参与。
例如，无穷大和无穷小的概念，在数学中是通过极限和无穷序列进行定义的，而对于这些概念的哲学思考则牵涉到对无穷和集合论等哲学问题的思考。
3. 哲学中的数学运用在哲学中，数学被广泛运用于逻辑推理和思维模型的构建。
逻辑学作为哲学的一个重要分支，借助于数学符号和形式系统，通过严密的推理过程，研究和探索命题、论证、推理等问题。
另外，在哲学的某些领域中，数学也被用作分析和解决问题的工具。
例如，在伦理学中，可以借助数学的工具进行行为和价值的分析；在决策理论中，可以借助数学模型进行决策过程的优化和评估。
4. 数学与哲学的交叉领域——逻辑学和形而上学逻辑学是数学和哲学的交叉领域，它研究命题和推理的规律。
数学中的逻辑符号和形式系统，为逻辑学的基础提供了坚实的基础，而逻辑学的发展和成果也为数学和哲学领域提供了重要的方法和工具。
形而上学是哲学的一个重要分支，研究存在、实在和本体等问题。
在形而上学的探索中，一些数学的概念和方法被引入，例如集合论、拓扑学等，通过数学的工具和思维，对于现实世界的本质和结构进行分析和解释。
总结：数学和哲学在某些领域存在着交叉和互相渗透的关系。
数学中的一些概念和理论需要经过哲学的思考和讨论，而哲学则借助数学工具和方法进行逻辑推理和问题分析。
数学和哲学是什么关系？
哲学是研究世界观的学问，是自然知识和社会知识的总结，当然离不开自然科学; 而自然科学是一种认识活动，离不开理论思维，离不开世界观的指导。
数学是研究空间形式和数量关系的科学。
数学作为自然科学中的一支，它逻辑的严密性、高度的抽象性、应用的广泛性，决定了与哲学有着更为密切的联系。
数学与哲学的关系：是对立统一关系1、哲学是研究世界观的学问，是自然知识和社会知识的概括和总结。
当然离不开自然科学;而自然科学是一种认识活动，离不开理论思维，离不开世界观的指导。
所以，哲学和自然科学具有一般和个别、普遍和特殊的关系，二者是辩证的统一而又有区别。
2、数学和哲学的统一在于，它们所研究的都是不依赖于它们本身的统一的客观世界。
区别在于每一门自然科学以自然界的一定领域为自己的对象，研究物质某一种运动形式的特殊运动规律，而哲学则揭示现象中共同的东西，揭示客观世界中各种运动形式所固有的普遍规律和联系。
所以，二者相互依赖，相互影响，不能互相替代。
3、数学作为自然科学中的一支，它的逻辑的严密性、高度的抽象性、应用的广泛性，决定了与哲学有着更为密切的联系。
纵观二千年数学里程，数学概念由生动的直观到抽象的思维、从思维再到实践的逐步发展，显示了辩证唯物主义认识论的无比正确，显示了人类认识必须是在外面世界的反映下进行“去粗存精，去伪存真，由表及里，由此及彼”的理论思维，才能真正得到反映客观事物本身内在规律的系统知识。
也证明了马克思主义关于量变引起质变规律的客观普遍性。
4、矛盾无处不在。
不仅社会科学及其它科学中充满着矛盾，数学中也充满着矛盾。
哲学作为世界观，为数学提供正确的指导思想; 哲学作为方法论，为数学提供伟大的认识工具和探索工具。
数学是研究空间形式和数量关系的科学，是一种认识活动，是唯物的。
因此，对数学的研究必须以自然界及其发展规律的客观实在性为前提，通过科学实践完成所要解决的课题。
辩证唯物主义是在实践的基础上具有充分科学依据的哲学，它克服了古代朴素唯物主义缺点。
数学和哲学的关系
数学和哲学的关系数学和哲学，两个看似截然不同的学科，实则贯穿于人类文明发展史中的方方面面，不仅在数学和哲学领域具有深入的互动和影响，也为现代科学、思维方式和文化产生了深远的影响。
本文试图从数学和哲学的发展历程、思维方法以及对现代科学的影响等方面，深入探讨它们之间的关系。
一、数学和哲学的发展历程从古代开始，数学和哲学就始终是人类文明的重要组成部分。
古希腊时期，哲学的发展一直与数学分不开。
早在公元前6世纪，古希腊就有人开始研究数字和数学规律，以证明世界的本质和真理。
毕达哥拉斯主义者的比例学说就具有哲学意义。
在柏拉图和亚里士多德的哲学思想中，也运用了数学的方法，如柏拉图的《理想国》中就有“智慧之家”的比喻，其内涵就是指的数学之学。
在数学方面，亚里士多德则将关注点从几何学转向了数学的抽象性质，并提出了逻辑学的理论。
至此，哲学和数学的交叉运用逐渐形成。
在中世纪，人们开始更加深入地探究数学和哲学的关系。
最著名的例子就是欧几里得的几何学，在其《几何原本》中，欧几里得从数学的角度出发，系统论述了几何学的基本内容，从而将几何学和数学联系了起来，也推动了数学对哲学思想的影响。
在此基础上，中世纪的哲学家们也将数学运用到哲学研究中，如托马斯·阿奎那，他曾表示，仅凭自然哲学，无法完全理解世界的真相，必须借助数学来补充自然哲学的不足，以达到完整的哲学体系构建。
到了近代，数学和哲学的关系更加紧密，成为西方哲学的重要组成部分。
数学先驱牛顿在发明微积分的也开始探究空间、时间、力学等哲学上的基本问题。
而莱布尼茨则主张“符号代数学”的方式来处理数学问题，并认为符号系统可以反映真实世界。
以哲学方法论为主旨的康德和赫格尔，将数学作为研究的对象之一。
康德认为，在“纯粹的认识”范畴中，空间和时间是重要的先验要素，而这两个概念都具有数学特征。
赫格尔则通过数学术语来揭示哲学中的逻辑和辩证法思想。
以上这些人都觉得数学和哲学是互相交融的，不可分割的一体化学科。
哲学与数学既同根又同源
们 处 于 浑 然 一 体 之 中。 哲 学 是 以
知识 总汇 的形式 出现。 哲 学 中有 数学 。
实数， 且 （ ６ 一 ｃ ） ２ — ４ （ ａ — ｂ Ｘ ｃ — ａ ） ＝ ０ ， 求 证 ：ｂ－ Ｉ － ｃ＝２ ａ。 如 果直 接 证 明 ， 我们似 乎无从着手 ， 但 观 察 已知 等
＝ ：
在 一 １和 ３之 间 ， 求 ｋ的 取 值 范 围 。
实际上 ， 这个 问题 我们 可 以看成二
太大 ， 容 易 出错 。 因此 ， 我 们 可 以考
次 函 数 Ｙ： ＋ ２ ｋ＋ ３ ｋ的 图 像 ｘ与
虑 一般 性 问题 ： 佩
。
轴 的两 交 点 在 一 １ 和 ３ 之 间。 此 时 问 题 转化 为顶 点 的横 坐标 小 于 ０ ， 且 当Ｘ 取 一 １ 、３时 的对 应 ｙ值 大 于 ０ ， 剩 下 的 计算 就 比较 简 单 了 。 新课 标指 出 ， 数 学 学 习 的 过 程 是 人 们 对 客 观 世 界 定 性 把 握 和定 量 刻画 ， 逐渐 概括 、 形 成方 法和理 论 ，
已 知 与 未 知 是 相 互 独 立 的 一 对矛盾 ， 在 一 定 条 件 下 也 可 以 相 互 转化。 在 解题过 程 中 ， 将 已 经 与 未
知互 换 ， 有 时 可 以 得 到 意 想 不 到 的 效 果。 比如 ： 设 ａ 、ｂ 、ｃ 为 非 零 的
高 数学应 用能 力 的重要 途径。 学生
数 学 与哲 学浑 然 一体 。 翻 开 数学 史 和哲 学史 ， 我 们 会 发 现 一 个有趣 的现象。 同一个人 ， 既是数 学家 ， 又是哲 学 家 ， 比如 ， 毕 达 哥
数学的美与哲学从一到无穷大的数学美学
数学的美与哲学从一到无穷大的数学美学数学的美与哲学：从一到无穷大的数学美学数学是一门被广泛认为枯燥乏味的学科，但实际上，数学却蕴藏着独特的美学价值。
数学既是一门科学，又是一门哲学，它通过逻辑的推导和抽象的思维，揭示了世界的奥秘并展现了其独特的美感。
本文将从不同的角度探索数学的美与其与哲学的关系，从一到无穷大的数学美学。
一、数学与美感的联系1.1 对称美对称是数学美感中一种基本的形式，它存在于自然界中的各个方面。
我们可以从雪花的对称美、花朵的花瓣排列、蜂窝状结构等等看到数学的对称之美。
例如，数学中的几何变换和群论等概念就是研究对称性的数学分支。
1.2 数字的美数字是数学中最基本的元素，而数字的排列和组合却能呈现出令人惊叹的美感。
例如，菲波那契数列中的数字组合展现了一种神秘的黄金比例美感；同时，无理数π和自然常数e的无限小数表示也透露出一种奇特的美感。
1.3 引人思考的问题数学中充满了一些看似简单却具有深刻哲思意味的问题，这些问题引发了人们的思考和讨论。
例如，费马定理、哥德巴赫猜想等数学难题激发了人们的智慧和创造力，并展现了数学的美感。
二、数学与哲学的交叉数学与哲学之间存在着紧密的联系，两者相辅相成，共同探索着人类的思维和世界的本质。
下面从几个方面探讨数学与哲学的交叉。
2.1 数学的概念与哲学的本质数学中的概念和哲学的本质有着相似之处。
例如，数学中的集合论探讨了集合的本质和存在性问题，而哲学中的本体论和存在论也围绕着类似的思考。
2.2 数学的推理与哲学的思辨数学是一门严密的推理学科，而哲学则强调思辨和探究。
数学的公理化方法和证明技巧有助于培养人们的逻辑思维和思辨能力，而哲学则通过对意义、价值和真理的探索，帮助人们对数学的理解更加深入。
2.3 数学的抽象与哲学的思维数学中的抽象是其独特之美所在。
数学家通过将具体问题抽象成符号和公式，使问题得以简化和解决。
这种抽象思维与哲学中的概念与逻辑思维相似，帮助人们在思考问题时超越具体的事物，抵达更高的境界。
数学与哲学的关系
数学与哲学的关系数学和哲学是两个看似截然不同的学科，一个着重于逻辑推理和计算，而另一个则涉及到生活的意义和存在的本质。
然而，在深入研究它们的本质之后，我们会发现数学和哲学之间存在着紧密的联系与相互影响。
本文将探讨数学与哲学的关系，从而深入理解它们的相互作用与影响。
一、数学作为一种哲学研究工具数学在哲学研究中扮演着重要的角色。
数学提供了一种精确的语言和工具，能够帮助哲学家进行逻辑推理和论证。
哲学研究常常涉及到概念的定义、推理的准确性以及论证的有效性等问题，而这些问题都可以通过数学方法来进行严格的分析和解决。
数学的逻辑性与精确性为哲学研究提供了一种可靠且有效的工具，帮助哲学家深入探究和解决一系列复杂的问题。
二、数学中的哲学思考数学本身也包含了丰富的哲学思考。
数学不仅仅是一种计算工具，更是一门追求真理的学科。
数学家在研究中常常面临着公理的选择、定理的证明以及不同数学系统之间的关系等哲学性的问题。
他们探索数学的基本原理和定义，并进行深入的思考和讨论。
通过数学的研究，数学家们不仅仅是在追求数学本身的发展，更是在探索关于真理、知识和认识的哲学问题。
三、数学与哲学的交叉领域除了在哲学研究中作为工具的应用和自身的哲学思考，数学与哲学还有许多重叠的领域，促使了两个学科之间的互相借鉴和交流。
其中一个重要的交叉领域是逻辑学。
逻辑学作为哲学的一部分，研究命题、推理和论证的规则，而数学逻辑则运用数学的方法来系统地研究逻辑问题，提供了逻辑学研究的形式化工具。
数学与逻辑学的交叉研究不仅丰富了逻辑学的内容和方法，还为哲学研究中的推理和论证过程提供了深入的分析和解决思路。
另一个交叉领域是科学哲学。
科学哲学旨在研究科学的本质、科学方法和科学理论的合理性等问题，而数学在科学研究中起着至关重要的作用。
科学家运用数学模型来描述和解释自然界的现象，并进行实验和观测来验证这些模型的有效性。
数学提供了一种客观且可靠的手段，帮助科学家地进行科学研究和发现，而科学哲学则深入探究数学在科学中的作用和效果。
数学与哲学的相互作用
数学与哲学的相互作用数学和哲学，看似是两个完全不同的领域，一个注重逻辑和证明，另一个关注生命和存在的意义。
然而，在它们之间，我们可以发现深刻而有趣的相互作用。
数学的严密性和逻辑性为哲学提供了一种思考和探索的工具，同时，哲学的问题也激发了数学家们对数学的研究和发展。
首先，数学为哲学提供了一种思考的框架。
数学的基本原理和逻辑推理可以帮助哲学家们思考和分析复杂的问题。
比如，逻辑学作为数学的一个分支，为哲学家研究和讨论思维过程、推理和论证提供了规范和方法。
数学严密的证明过程也让哲学家们受益匪浅，他们可以借鉴这种证明思路来推理和展开自己的思考。
其次，在数学和哲学的交叉领域，数学家们也受到哲学问题的启发。
数学领域中的一些概念和定理就源于哲学家们的思考和质疑。
例如，集合论的基本概念和公理就在数学家康托尔受到哲学家对无穷的思考启发下提出。
哲学家的思考也激发数学家们在数学领域中提出更深层次和引人瞩目的问题。
哲学家的讨论和思考，像是为数学家们提供了一种源源不断的灵感之源。
此外，数学和哲学的相互作用也可以在数学伦理学中找到。
数学伦理学探讨了数学的价值和道德问题。
数学虽然是一门看似客观和中立的学科，但它也在某种程度上受到哲学观念的影响。
例如，数学家们在选择研究方向和问题时，会受到一些道德和伦理的考量。
此外，数学的应用和发展是否符合伦理原则也是一个需要思考的问题。
哲学提供了一种思考数学道德问题的框架，为数学的发展提供了一种指导。
最后，数学和哲学的相互作用还体现在它们对于人类思维方式的影响。
数学的严密性和逻辑性在一定程度上塑造了人们的思维方式。
哲学则提供了对人类存在和意义的思考，激发了人们对数学问题的思考和研究。
数学和哲学之间的相互渗透，丰富了人们的思维方式，使我们对世界和自身的认知更加全面。
综上所述，数学和哲学之间存在着深刻而有趣的相互作用。
数学为哲学提供了一种思考和探索的工具，哲学问题也激发了数学的研究和发展。
在数学和哲学的交叉领域，数学家们受益于哲学问题的启发，哲学家们的思考也激发数学家们提出更深层次的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学与哲学从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。
他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。
在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。
他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。
1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。
此后各派力量沿着自己的道路发展演化。
尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。
近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣，因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。
1、逻辑主义罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。
他说：“纯粹数学是所有形如…p蕴涵q‟的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。
所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。
除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。
”这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。
这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。
戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。
为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。
他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。
弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。
他认为算术规则是分析判断，因此是先验的。
根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规律。
把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。
数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有数。
因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。
不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。
它们反映的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。
早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发现悖论，这个计划遭到了困难。
他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是他和怀特海合著的《数学原理》。
既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此，书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。
不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。
要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。
罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。
这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m＝m×n。
在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。
简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
这三方面不完全一样，罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。
由于哥德尔的不完全定理，3是错的，但是还可以坚持1和2。
罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人，弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑主义的观点。
但是，逻辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直坚持。
在三十年代以后，还是有许多人发展逻辑主义。
逻辑主义从—开始就遭到批评，“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统，那么它怎么可能反映广泛的自然现象呢？它又怎样能够有创造力呢？它又怎样能够产生新观念呢？”用维特根斯坦的话说，数学就是同语反复(重言式)，结不出任何新知识。
罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。
彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了”。
罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。
彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人”，别人也说这一套完全是中世纪的教条。
更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。
尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任何自然之处。
尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。
对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来，显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。
但是，罗素等人的历史功绩是不可磨灭的，他们为数学奠定了逻辑基础。
在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典，至今它还有一定的意义。
逻辑主义也不是后继无人，英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。
2、直觉主义直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。
古代数学大多是算，只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。
到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大超过了逻辑倾向。
十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。
十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，需要考虑存在性定理。
一个是非欧几何不矛盾，是逻辑而不是直觉在起作用。
一个是数学分析不严格，产生荒谬的结果。
在新的矛盾面前出现一些非构造性结果，也考虑一些无穷的问题。
这时追求严密与追求实用构造两种倾向都有增长，不过一般数学家维持着微妙的平衡。
到了十九世纪末，集合论的出现激起这两方面的尖锐斗争。
于是出现极端的构造主义者，象克洛耐克否认无理数存在，否认连续函数，他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。
法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者，有人称为法国经验主义者。
他们反对实无穷，反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。
现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔，他于1881年2月27日生于荷兰奥弗西。
1897年进入阿姆斯待丹大学学习，一直到1904年，他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何第一个结果。
他多少受曼诺利的影响，关心当时的基础问题，在1907年博士论文中阐述自己对数学基础问题的观点。
布劳威尔是从哲学中得出自己观点的，基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉，而这形成自然数的概念。
这倒不是新鲜的，他认为数学思维是头脑中的自由构造，与经验世界无关，只受基本数学直觉为基础的限制，在这方面他是不同于法国经验主义者的。
数学概念进入人脑是先于语言、逻辑和经验的，决定概念的正确性是直觉，而不是经验及逻辑。
这些充分暴露了他唯心主义和神秘主义的思想倾向。
布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界，不属于数学。
数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是运用语言的手段。
正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论本身的变革。
布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用，数学是自由的，不一定遵守什么逻辑规则。
他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合。
1908年，他反对把排中律运用于无穷集合上，因为有穷集合可以逐个检查，而无穷集合则办不到，因此存在不可断定真假的第三种情况，就是说有既不可证明，又非得要证明的命题。
1908年到1913年，布劳威尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形逼近的方法证明了维数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。
他在李群、几何等方面也有出色的工作，不过很快他又转向基础研究。
布劳威尔象康德和彭加勒一样，认为数学定理是先验综合真理。
他在1912年的阿姆斯特丹大学就职演说中，他承认由于非欧几何的发展，康德的空间学说不可信。
但他同弗雷格和罗素相反，仍然坚持康德的观点，算术是从对时间的直觉导出的。
由于现代数学是建立在算术基础上的，所以整个数学也是如此。
正是时间单位的序列产生序数的概念，而连续统[0，1]只是不可用新单位穷尽的居间性，他认为几何学也依赖于这种直觉。
他认为除了可数集合之外，没有其他集合，所以ω以上的超穷数都是胡说八道，象0与1之间所有实数的集合是毫无意义的。
这点他在1908年罗马召开的国际数学家大会上讲过，数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷。
1909年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直觉主义的争论焦点。
1912年说到这个问题之后，他一直到1917年才又开始这方面的论战。
从这时起到二十年代末他发表一系列的文章，开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是他从消极的否定转变为积极的构造。
同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。
他运用了扇定理，这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。
三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。
外尔早在1920年左右就表示效忠于直觉主义，从而激起希尔伯特的极大愤怒。
他吸收了直觉主义一些思想，开始用有限主义方法来完成证明论方案，企图一劳永逸地解决基础问题，不料没能成功，于是还得求助于无穷。
直觉主义仍然进行他们的事业，特别是海丁建立直觉逻辑系统，它包含古典逻辑系统。
后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。
不过，仍然不能尽如人意。
1967年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书，开始了构造主义的时期。
他们不象以前直觉主义者那样偏激，而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。
不去单纯的否定或争论。
毕肖普自信会取得大多数人的支持，不过没有能实现，因为他们毕竟成就有限，难于同整个数学汪洋大海相比，可是十几年来构造主义还是取得一定进展，如《构造性泛函分析》等书问世，说明它还有一定的市场。
3、形式主义一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。
并且，希尔伯特的思想有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。
希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。
更重要的是，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想在现代数学也占有统治地位。