2010年考研数学一真题与答案

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2010年考研数学一真题

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

⑴极限皿—［金而］_

(A) l (B)e (C)e a ~b

(D)e b ~a

【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限

Um [—— l x

(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b)

XT 8

rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l +

xt8 (x-a)(x+&) xt8

(x-a)(x+&)

【方法三】

对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m

(a-b)x^ab (―a)(+)

lim x •

*T8

(a-b)x+ab (x-a)(x+b)

(等价无穷小代换)

x 2

DM)

a(x) 0(x) = A

]x

由于"mis Q (x)0(x) = Um

曽；驚；；)• x XT8 (x-a)(x+fc)

■ • (a -b)x 2^abx

f

=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(A)x (C)-x

【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9

dz °y

综上所述，本题正确答案是(B)。

所以唏+y 辭警現F , yfi -珈

X 2

(x-a)(x+b).

：(x-a)(x+b)]

-X

X 2

=塑a 一 沪•慟(i+「宀

ea 'b

(2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm =

0确定，其中F 为可微函数，且

f”2工°，则燈+琲=

(D)-z

因为

【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微

(3)设m,ri 为正整数，则反常积分的收敛性

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x t 0+

在反常积分中，被积函数只在"0+时无界。 由于勺囂-小n °,

且反常积分A 备收敛，所以A “w 必收敛

2 2

综上所述，无论取任何正整数，反常积分匸%常F 必收敛。

(A)仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关 (C) 与m 川的取值都冇关

【答案】Do

(D) 与的取值都无关

nt

lim XT0

在反常积分£少2(一)

2

9加2(1_尤)、八 ~乐~_u

m

Jln 1 2(l-x)

dx 中.被积函数只在尢t 1-时无界，由于

------ -- —=

Vi-x

2_

伽迦羊=0 XT1 (1-护

(洛必达法则)

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分

（4）/un n ->oo XJLi Z;=i （n+i ）（以+/2）

【答案】Do 【解析】 因为

"mH Y n =i _^_ = "叫 T8 器 1 5：7=1 n(1+i )n "(1+(z )2)

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概 念、性质、计算和应用

⑸设力为mxn 矩阵，B 为nxm 矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若

AB = E,则

(A)秩 r(4) = m,秩 r(B) = m (B)秩 r(4) = m,秩 r(B) = n (C)秩 r(/l) = M ,秩 r(B) = m

(D)秩 rQ4) = n,秩 r(B) = n

【答案】Ao 【解析】

(A)

/o dx

fo (+)：2)dy

(C

)J ；dxj ；(+)；+y)dy

(i+x )(i+y)

dy

(D"(>Q (+)爲/y

因为AB = E%m阶单位矩阵，知r(AB) = m

又因r(4£?) < min (厂(A),厂(B)),故

m < r(A),m < r(B)

另一方面，A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，又有

r(i4) < m, r(B) < m

可得秩r(4) = m,秩r(B) = m

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩

(6)设4为4阶实对称矩阵，且护+力=o,若川的秩为3,则力相似于

1 1

(A ) 1

1

(B)

1

-1

0. 0.

■ ■1 ■ ■-1

(C ) -1

-1

(D)

-1

-1

0. 0

【答案】Do

【解析】

由4a = Aa, a丰0知4"^ = 2n a,那么对于4? + 4 = 0推出来

(A2 + A)a = 0=>A2 + A = 0

所以4的特征值只能是0、-1

再由力是实对称矩阵必有A〜A,而A是4的特征值，那么由“力)=3,