《导数的几何意义》教学设计

《导数的几何意义》教学设计安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云一、教材依据导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1第三章第二节的内容。

二、设计思想教材分析：导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。

它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

本节内容分了两部分也即两个课时，一是导数的概念；二是导数的几何意义。

之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。

教材中利用逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线，这种定义才反映了切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯语）的微积分思想，让学生反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式——几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解。

学情分析：设计理念：学生为本，重视思维发生的过程，重视切线定义的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。

让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。

三、教学目标1.知识与技能目标：（1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。

（数形结合），即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝切线的斜率； （2）会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，体会“数形结合”的数学思想方法。

（3）通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

2.过程与方法目标：经历切线定义的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识与理解，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3.情感、态度与价值观目标：领悟切线定义的形成过程中所体现的量变与质变、运动与静止、有限和无限对立统一等的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度，体会数形结合及“逼近”等思想和方法。

感悟数学的统一美，意识到数学的应用价值，促使学生形成正确的数学观。

四、教学重难点：重点：理解导数的几何意义及和“数形结合”的思想方法。

难点：应用导数的几何意义。

重、难点突破措施：1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣。

2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示切线的形成过程，突破重难点。

3.切合实际，分层提高利用分层训练达到因材施教的效果。

五、教学手段：利用ppt 、Flash 、几何画板等多媒体手段辅助教学。

六、课 型：新授课七、教学过程结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，帮助学生主动建构切线的形成过程。

（一）创设情境，导入新课数学上对于函数讲究数形结合，上节课介绍了导数的概念，这是从“数”的角度来研究导数，若从“形”的角度来探索导数，我们该怎么入手呢？本节课我们就来学习如何从“形”的角度探究导数，这就是今天要学习的课题——导数的几何意义。

我们先来看一个问题：问题1：在初中我们学习过圆的切线的概念，即直线与圆有且仅有一个公共点时，叫做直线和圆相切，该直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

那么能否将圆这种特殊的曲线的切线定义推广为一般曲线的切线呢？即直线和曲线有且只有唯一公共点时，直线叫做曲线在该点的切线。

这种推广妥当吗？如果不妥当，你能举出反例吗？（课件展示）师：①y轴与抛物线2xy=有且仅有一个公共点)0,0(，但我们不能说它们相切于点)0,0(；②直线1=有无数个公共点，我们还是可以y sin=y与正弦曲线x说它们是相切的。

通过上面的分析，对于一般曲线的切线该如何定义呢？下面一起来探究。

设计意图：通过推翻学生对曲线切线的定义的这种错误认识（将直线与圆的切线的定义推广到一般曲线的切线的定义），学生势必就会产生要探究一般曲线的切线定义的迫切要求，这样就可以激发学生的求知欲。

另外，通过刚才的分析，使学生能认识到曲线的切线与曲线本身可能有多个交点，也为例2中的切线与曲线本身有两个交点埋下了伏笔。

（二）新知探究，进入新课若从“形”的角度探索导数的几何意义就要用到一种重要的思想方法——数形结合，要研究“形”，自然要结合“数”。

1.引导探究下面来看一个问题：问题2：你能借助函数)(x f 图像说说平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00表示什么吗？其中)),(,(00x f x A ))(,(00x x f x x B ∆+∆+。

请在函数图像中画出来。

（课件给出函数图像）师: x x f x x f ∆-∆+)()(00在函数图像中实际表示的是ABPB ,在ABP Rt ∆中，ABPB BAP =∠tan ，而割线AB 的斜率就是BAP ∠tan ，因此平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00在图像中表示的是割线AB 的斜率。

（展示课件）设计意图：通过复习直线的斜率的计算公式，能够让学生快速想起平均变化率与斜率的计算公式之间的联系，为平均变化率在函数图像中的表示铺平道路，另外通过课件的展示让学生立即联想到APPB BAP =∠tan ,之后立即想到斜率，让学生通过图像直观感受到平均变化率与斜率之间的关系，体会到数形结合思想的应用。

2.自主探究下面来探究一下在0→∆x 过程中，割线AB 的变化情况你能描述一下吗？请在函数图像中画出来。

（课件动画展示）师：类比数的变化：（数）0→∆x ，→∆+∆+))(,(00x x f x x B )),(,(00x f x A当0→∆x ，割线AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在0x x =处的切线，（教师说明：通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。

）请把它画出来。

(课件动画展示)师：（形）0→∆x ，割线→AB 切线AD ，则割线AB 的斜率→切线AD 的斜率由数形结合，得()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝切线AD 的斜率(课件展示)设计意图：利用flash 动画展示由割线到切线的动态变化过程，反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率，注重让学生学会数学思考的一种方式——几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解，使学生体会数形结合及“逼近”等思想和方法。

3.自发探究通过刚才的分析过程，我们得到了一个概念与一个结论.师：（1） 一个概念：设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，当x ∆趋于0时，点B 将趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线AD ，此时直线AD 和曲线)(x f y =在点A 处相切，称直线AD 为曲线)(x f y =在点A 处的切线；（2） 一个结论：函数)(x f y =在0x x =处的导数()0/x f 就等于曲线)(x f y =的图像在0x x =处的切线AD 的斜率。

设计意图：通过对上述两个知识点的梳理，让学生经历切线定义的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识与理解，使学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；提高抽象概括的能力。

（三）抽象概括，点明主题通过刚才的叙述，将结论概括如下：函数)(x f y =在0x x =处的导数()0/x f ，是曲线)(x f y =的图像在点))(,(00x f x 处的切线的斜率。

函数)(x f 在点))(,(00x f x 处的切线的斜率反映了导数的几何意义。

请同学们注意上面结论中的两点：（1） 若设曲线)(x f y =的图像在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为k ，则用数学语言来描述上面的结论就是()0/x f k =；（2） 由于切点既在曲线上又在切线上，因此切点坐标既满足曲线方程又满足切线方程。

设计意图：通过对导数的几何意义的解读，使学生抓住其中的关键要素，为后面的例题解析与学生分层练习做好铺垫。

（四）例题探究，主题重现例1： 已知函数.2,)(02-===x x x f y⑴ 分别对5.0,1,2=∆x 求2x y =在区间[]x x x ∆+00,的平均变化率，并画出过点（)(,00x f x ）的相应割线;⑵ 求函数2x y =在20-=x 处的导数，并画出曲线2x y =在点（-2，4）处的切线.解：⑴ 当5.0,1,2=∆x 时，区间[]x x x ∆+00,相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。

2x y =在这些区间中的平均变化率分别为22)2(02)2()0(22-=--=--f f ， ,31)2()1(1)2()1(22-=---=---f f .5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(22-=---=---f f 其相应割线，如图所示（课件展示），分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线1l ，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线2l ，过点（-2，4）和点（-1.5,2.25）的直线3l .（此处教师带领学生处理第一部分，剩余两部分由学生课后处理）⑵ 2x y =在区间][x ∆+--2,2上的平均变化率为 x xx x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(222. 令x ∆趋于零，知函数2x y =在20-=x 处的导数为-4.曲线2x y =在（-2，4）处的切线为l ，如图所示。

（课件演示） 设计意图：主要通过此题复习一下切线的形成过程，从数与形两个角度进一步诠释导数的几何意义。

例2：求函数32)(x x f y ==在1=x 处的切线方程。

解：先求32x y =在1=x 处的导数， 232332662])()(331[212)1(2)1()1(x x xx x x x x x f x f ∆+∆+=∆-∆+∆+∆+=∆⨯-∆+=∆-∆+ 令x ∆趋于零，知函数32x y =在1=x 处的导数为6)1(/=f .这样，函数32x y =在点（1，)1(f ）=（1，2）处的切线斜率为6，即该切线经过点（1，2），斜率为6.因此切线方程为)1(6)2(-=-x y ，即46-=x y .思考：通过刚才的解析过程，你能概括出利用导数的几何意义求曲线的切线方程的解题步骤吗？师：步骤如下：⑴ 求出函数)(x f 在点0x 处的导数)(0/x f 与切点坐标),(00y x ； ⑵ 根据直线的点斜式方程，得切线方程为))((00/0x x x f y y -=-.变式延伸：此时切线与32x y =有几个交点？怎样求解交点坐标呢？（课件演示）师：通过图像的观察，此时切线与3y=有两个交点，将切线方程与2x曲线方程联立组成方程组，解得两点坐标为)2,1(，)-.16(-,2设计意图：此题一个基础题型，通过此题让学生学会用导数的几何意义去求曲线的切线方程，并且通过变式训练改变原来的错误观点（切线与曲线只有一个交点）。