高中数学选修2-2复数单元测试卷
人教版数学高二新课标选修2-2测试题组 第三章 复数B组
（数学选修2-2）第三章 复数一、选择题1．若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A ．纯虚数B ．实数C ．虚数D ．不能确定2．若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ). A ．R + B ．R - C ．R R +- D ．{}0R +3．36(1)2(1)12ii i --++++的值是( ).A ．0B ．1C ．iD ．2i4．若复数z 满足)1z z i -+=,则2z z +的值等于( )A ．1B ．0C ．1-D ．12-5．已知3(23)z i =-,那么复数z 在平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( )A ．1BCD ．7．若122ω=-+,则等于421ωω++=( )A ．1B ．0C ．3+D ．1- 8．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数;(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)二、填空题1．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
2．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3．复数11z i=-的共轭复数是_________。
4．计算=++-ii i 1)21)(1(__________。
5．复数234z i i i i =+++的值是___________。
6．复数.111-++-=ii z 在复平面内，z 所对应的点在第________象限。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
高中数学选修2-2复数的概念练习题
高中数学选修2-2复数的概念练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一．选择题（共10小题）1．（2015•遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i2．（2015•安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i3．（2015•广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣24．（2015•泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣25．（2015•潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A． B．C．±1 D．6．（2015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i7．（2015•新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（2015•南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i9．（2015•宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（）A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i10．（2015•上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共5小题）11．（2015•岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则i x+y=．12．（2015春•常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为．13．（2015春•肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个．14．（2015•泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=．15．（2014•奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是．三．解答题（共8小题）16．求导：f（x）=（x2+bx+b）．17．（2015•赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．（1）求点C，D对应的复数；（2）求平行四边形ABCD的面积．18．（2015春•蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？19．（2015春•海南校级期末）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？20．（2015春•澄城县校级期中）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．21．已知（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，其中x，y∈R，若z=x+yi，求|z|及．22．（2015春•临沭县期中）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．23．（2014春•砀山县校级期中）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为i，1，4+2i．过A、B、C作平行四边形ABCD．求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长．一．选择题（共10小题）1．（2015•遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、周期性、虚部的定义可得出．【解答】解：复数z=i2015=（i4）503•i3=﹣i虚部是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性、虚部的定义，属于基础题．2．（2015•安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数1﹣2i+3i2﹣4i3=复数1﹣2i﹣3+4i=﹣2+2i．故选：B．【点评】本题考查复数的幂运算，复数的基本概念的应用，基本知识的考查．3．（2015•广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，求出x、y，然后求xy的值．【解答】解：因为实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，可得所以x=y=1所以xy=1故选B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数相等，计算能力，是基础题．4．（2015•泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2【考点】复数的基本概念．【分析】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确．【解答】解：∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，∴a=﹣2，故选A【点评】复数中常出现概念问题，准确理解概念是解题的基础，和本题有关的概念问题同学们可以练习一遍，比如是实数、是虚数、是复数、还有本题的纯虚数，都要掌握．5．（2015•潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A． B．C．±1 D．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．【解答】解：复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，所以，解得b=．故选D．【点评】本题是基础题，考查复数的基本运算，复数的基本概念，常考题型．6．（2015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由两个复数都是纯虚数，可设z=ai，（a∈R，a≠0），化简（z+2）2﹣8i，可求出z．【解答】解：设z=ai，（a∈R，a≠0），则（z+2）2﹣8i=（ai+2）2﹣8i=4+4ai﹣a2﹣8i=（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，∴4﹣a2=0，4a﹣8≠0．解得：a=﹣2．∴z=﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的分类以及复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7．（2015•新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．8．（2015•南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵yi﹣x=﹣1+i，∴，解得x=1，y=1．则（1﹣i）x+y=（1﹣i）2=﹣2i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．9．（2015•宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（）A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．【解答】解：∵i（2+i）=﹣1+2i，∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，﹣4），B（﹣1，2）．∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．10．（2015•上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数为纯虚数求得a，进一步求出z的坐标得答案．【解答】解：由a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1．∴z=a+（a﹣2）i=1﹣i．则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．二．填空题（共5小题）11．（2015•岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则i x+y=﹣1．【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等、运算法则即可得出．【解答】解：∵（1+i）2=2i，∴x+yi=2i，∴x=0，y=2．∴i x+y=i2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数相等、运算法则，考查了计算能力，属于基础题．12．（2015春•常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为﹣1．【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由于i2015=（i4）503•i3=﹣i．再利用等比数列当前n项和公式即可得出．【解答】解：∵i2015=（i4）503•i3=﹣i．∴i+i2+…+i2015====﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性、等比数列当前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．13．（2015春•肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有25个．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：若a+bi为虚数，则b≠0，则b=1，2，3，4，5有5种，则对应的a有5种，则共有5×5=25种，故答案为：25【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．14．（2015•泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．15．（2014•奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是5﹣5i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，得到向量=，代入所给的数据作出向量对应的结果．【解答】解：∵向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，∴向量==2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i故答案为：5﹣5i【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是根据两个向量对应的复数用向量的减法，得到结果．三．解答题（共8小题）16．求导：f（x）=（x2+bx+b）．【考点】简单复合函数的导数；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】分别计算（x2+bx+b）′=2x+b，=．再利用乘法导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（x2+bx+b）′=2x+b，==．∴f′（x）=（2x+b）﹣（x2+bx+b）×．【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了计算能力，属于中档题．17．（2015•赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．（1）求点C，D对应的复数；（2）求平行四边形ABCD的面积．【考点】复数的基本概念；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）表示向量对应的复数，用求点C对应的复数；求出D对应的复数；（2）由求出cosB，再求sinB，利用求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i，∴向量对应的复数为（1+2i）﹣（3﹣i）=2﹣3i，又，∴点C对应的复数为（2+i）+（2﹣3i）=4﹣2i．又=（1+2i）+（3﹣i）=4+i，=2+i﹣（1+2i）=1﹣i，∴=1﹣i+（4+i），∴点D对应的复数为5．（2）∵∴，∴sinB=，∴S==．∴平行四边形ABCD的面积为7．【点评】本题考查复数的基本概念，平面向量数量积的运算，考查计算能力，是基础题．18．（2015春•蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，∴（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．（3）当 m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即 1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．【点评】本题主要考查复数的基本概念，一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（2015春•海南校级期末）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】（1）利用“z为实数等价于z的虚部为0”计算即得结论；（2）利用“z为虚数等价于z的实部为0”计算即得结论；（3）利用“z为纯虚数等价于z的实部为0且虚部不为0”计算即得结论．【解答】解：（1）z为实数⇔m2+2m﹣3=0且m﹣1≠0，解得：m=﹣3；（2）z为虚数⇔m（m+2）=0且m﹣1≠0，解得：m=0或m=﹣2；（3）z为纯虚数⇔m（m+2）=0、m﹣1≠0且m2+2m﹣3≠0，解得：m=0或m=﹣2．【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．20．（2015春•澄城县校级期中）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数相等的条件列出方程组，求出方程组的解即为实数x、y的值．【解答】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．21．已知（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，其中x，y∈R，若z=x+yi，求|z|及．【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数相等的条件列方程组，求得x，y的值后得z，则|z|及可求．【解答】解：∵（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，∴，解得：．∴z=x+yi=﹣2+3i，则|z|=，．【点评】本题考查复数相等的条件，考查了方程组的解法，训练了复数模的求法，是基础题．22．（2015春•临沭县期中）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设C（x，y）由题意可得|OC|=|AB|且OA∥BC，可得x和y的方程组，解方程组验证可得．【解答】解：由题意可得O（0，0），A（1，2），B（﹣2，6），设C（x，y）由等腰梯形可得|OC|=|AB|且OA∥BC，∴，解得，或（舍去）∴顶点C所对应的复数z=﹣5【点评】本题考查复数的代数形式及几何意义，涉及梯形的命名规则，属基础题．23．（2014春•砀山县校级期中）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为i，1，4+2i．过A、B、C作平行四边形ABCD．求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长．【考点】复数的基本概念；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】由于四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，我们可以得到AC两顶点的和等于CD两个顶点的和，构造方程解方程易得D点对应的复数，再由复数模的计算方法，易给出对角线BD的长．【解答】解：由于平行四边形对角线互相平分故在复平面上，平行四边形ABCD的四个顶点满足：AC两顶点的和等于CD两个顶点的和即：i+4+2i=1+Z故Z=3+3i则|BD|=|3+3i﹣1|=|2+3i|=【点评】已知平行四边形三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标，我们一般的方法就是根据平行四边形的性质﹣﹣对角线互相平分，得到对角线两顶点的坐标和相等，然后构造方程进行求解．。
高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)
第一章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )． 答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值． 答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增． 答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9， 消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8． 解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )． 答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)， 依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)； 当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)． 答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真． 答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示． 答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11． 解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积． 答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意． 答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2， 即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可． 又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立， 只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可． 由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ， 又A 1D ⊂平面A 1FD ， 所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)， 依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数． 答案：B2． 解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限． 答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2， 即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件． 答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。
苏教版高中数学选修2-2：3.2《复数的运算》综合测试2(选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a =Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ．2121212()4z z z z z z -=+-Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ） Ａ．32 Ｂ．2 Ｃ．62 Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ．2± Ｃ．2- Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3i Ｄ．3i -答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）Ａ．2()1a b +=Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）Ａ．圆Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数3z i =+与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi -=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求y x的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心， 3为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为3．18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a i i i+++=-， ()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ， 2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++222()44a b b =+++844b =++124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得3a =±．3z i =±+∴．32i ω=±+∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···， 由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ②又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <． 由①②，得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，． 故所求3a =-，1b =-．22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<． 所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi b i z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)31a a ωμ-+-+··≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ） Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数 Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<<Ｃ．1b >Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是z i ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i -Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9iＢ．93i + Ｃ．9i - Ｄ．93i -－答案：Ｂ9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ） Ａ．2 Ｂ．23 Ｃ．23- Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．411+和411-Ｂ．3和1 Ｃ．52和34Ｄ．39和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，1222z z +=，13z =，22z =，则12z z -=（ ） Ａ．1Ｂ．12 Ｃ．2 Ｄ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z =”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，12z +=，求复数z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，① 又由12z +=，得22(1)2a b ++=， ②由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值． 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0，22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·． 20．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限，212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）． （1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，， ， 求：（1）求的值； （2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=； （2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
苏教版高中数学选修2-2《复数》达标练习题
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2011年阳山中学《复数》达标练习题一． 从数与形两个视角深刻理解复数的概念1、复数1-3i 的实部是 虚部是 ；复数2i-5的实部是 虚部是 ；复数1的实部是 虚部是 ；复数2i 的实部是 虚部是 .2、“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”是“0=a ”的 条件 3“0=a ”是“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”的 条件4、已知复数Z=(i m m m m )3()6522-++-，当 时，Z=0； 当 时，Z 是实数；当 时，Z 是虚数；当 时，Z 是纯虚数.5、在复平面内，O 是原点，已知向量OA 对应复数2+i,若点A 关于实轴的对称点位点B,则向量OB 对应的复数是 ；若点A 关于虚轴的对称点为点C 则向量OC 对应的复数是6（2010北京）在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为B A ,。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是7、在复平面内，复数i -1对应的点与原点的距离是8、若复数)()1(12R a i a a Z ∈++-=是纯虚数，则Z =9、复数,2,221i Z i a Z +-=+=如果21Z Z <，则实数a 的取值范围是10、在复平面内对应的点.若复数Z 满足条件1=Z ，则复数Z 对应的点的轨迹是11、已知复数Z=(i m m m )23()122+-+-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于第三象限.（2）在直线y=2x 上12、已知复数Z=(i m m m m )145()15822--++-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于虚轴的负半轴；（2）位于第四象限.二、理解复数相等的充要条件1、若（i i y x y x 217)5()23-=-++，则x= ;y=2、若（x+y-3）+(x-3)i=0，则x= ;y= 3．已知11m ni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 4、若复数,3)(i i y x y x -=-++则复数yi x +在复平面内所对应的点在第 象限 5、若i b i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则22b a +=6、若0<<y x ，i i y x xy 52)(22-=+-，则=x三、能进行复数的加减运算及加减运算原理的应用1、计算:（6-3i ）-(3+2i) =2、计算:-3i-(3+2i) =3、在复平面内，复数6+5i 与-3+5i 对应的向量分别是OA 、OB ，其中O 是原点，求向量AB 及向量BA 对应的复数4、ABCD 是复平面内的平行四边形，A,B,C 三点对应的复数分别是1+3i,i,2+i ，求点D 对应的复数.四、能进行复数的乘除运算及乘除运算原理的应用1、计算：133i i+-=2、计算：()223i -= 3、计算： 3)2321(i -= 4、计算：()ii i --2)2(32= 5、已知复数Z 满足()333i z i +=，则Z=6、复数13z i =+，21z i =-，则复数21z z -在复平面内对应的点位于第 象限;复数12z z 在复平面内对应的点位于第 象限.7、复数)1)(21(i i -+在复平面内对应点在第 象限.8、复数35-i 的共轭复数是 . 9、“ad=bc ”是“复数a+bi 与c+di 的积是实数”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.10、“复数a+bi 与c+di 的积是实数”是“ad=bc ”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.11、已知（1+3i ）Z =4+3i,求Z 及Z Z12、Z Z +2iZ=8+6i,求Z13、C Z ∈，满足R Z Z ∈+1，41-Z 是纯虚数，求Z14、已知3i-2是关于x 的方程202=-+q px x 的一个根，求p,q 的值.15、已知关于ｘ的方程022)2(2=++++ki x i k x 有实根，求这个方程的实根以及实数ｋ的值．１６、解方程：0542=+-x x１７、（1）试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值；（2）由（1）推测n i （n )*∈N 的值有什么规律，并用式子表示出来。
苏教版高中数学选修2-2：3.2《复数的运算》综合测试2(选修2—2).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ） Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ．2121212()4z z z z z z -=+-Ｃ．22121200z z z z +=⇔==Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ） Ａ．32 Ｂ．2 Ｃ．62 Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ．2± Ｃ．2- Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3i Ｄ．3i -答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b +=Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数3z i =+与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求y x的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心， 3为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为3．18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a i i i+++=-， ()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ， 2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++222()44a b b =+++844b =++124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得3a =±．3z i =±+∴．32i ω=±+∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···， 由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ②又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <． 由①②，得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，． 故所求3a =-，1b =-．22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<． 所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi b i z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)31a a ωμ-+-+··≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ） Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数 Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<<Ｃ．1b >Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是z i ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i -Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9iＢ．93i + Ｃ．9i - Ｄ．93i -－答案：Ｂ9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ） Ａ．2 Ｂ．23 Ｃ．23- Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．411+和411-Ｂ．3和1 Ｃ．52和34Ｄ．39和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，1222z z +=，13z =，22z =，则12z z -=（ ） Ａ．1Ｂ．12 Ｃ．2 Ｄ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z =”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，12z +=，求复数z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，① 又由12z +=，得22(1)2a b ++=， ②由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值． 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0，22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·． 20．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴． 211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
高中数学选修2-2第三章复数测试题
选修2-2第三章复数测试题时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3．若复数z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．－2或2 4.如右图，在复平面内，向量OP→对应的复数是1－i ，将OP →向左平移一个单位后得到O 0P 0→，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i6．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i8．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i 10．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．0或－5C ．－5D ．以上均不对 11．复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 12．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．复数i 2(1＋i)的实部是__________．14．复数z ＝2＋i1＋i (i 为虚数单位)，则z 对应的点在第________象限．15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋，i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数ω＝u ＋3i(u ∈R)满足|ω－z |<25，则u 的取值范围为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．18．(12分)计算：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ； (2)4＋5i (5－4i )(1－i ).19.(12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i，ω＝z ＋a i(a ∈R)，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围． 20．(12分)在复平面内，复数z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，设复数z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z 1＋z 2在复平面上移动范围的面积．21.(12分)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3，求|z |的最大值和最小值．22.(12分)关于x 的方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －m )＝0(m ∈R)有纯虚根x 1.(1)求x 1和m 的值；(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x 2，并给予证明； (3)设x 1，x 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，求|AB |.答案1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1，故选A. 2．A z 2－2z ＝z (z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.3．A ∵z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数， ∴{ x 2－4＝0，x －2≠0，⇒x ＝－2.4．D 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道OP 0→，而OP 0→＝OO 0→＋O 0P 0→，从而可求P 0对应的复数．∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，∴P 0对应的复数即OP 0→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i. ∴z ·z ＝|z |2＝2.∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.7．D 设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1； 又由(z －z )i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1. 故z ＝1－i.8．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．9．A 由定义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝z i ＋z ，所以z i ＋z ＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.10．C z 1z 2＝(a ＋2i)·[a ＋(a ＋3)i]＝(a 2－2a －6)＋(a 2＋5a )i ，由z 1z 2>0知z 1z 2为实数，且为正实数，因此满足{ a 2＋5a ＝0，a 2－2a －6>0，解得a ＝－5(a ＝0舍去)． 11．A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|2x ＋2y i ＋1|＝|x ＋y i －i|， 即(2x ＋1)2＋4y 2＝x 2＋(y －1)2， 所以3x 2＋3y 2＋4x ＋2y ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝59. 12．C ∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n＝1的最小正整数n .∵i 2＝－1，i 4＝1.∴α(i)＝4. 13.－1解析：∵i 2(1＋i)＝－1－i ， ∴i 2(1＋i)的实部为－1. 14．四解析：∵z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )2＝3－i 2＝32－12i ，∴复数z 对应点的坐标为32，－12，为第四象限的点．15．8解析：∵a ＋b i ＝11－7i1－2i ，∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3， 故a ＋b ＝8.16．(－2,6)解析：原方程的根为x ＝2±i.∵a ，b ∈R ＋，∴z ＝2＋i.∵|ω－z |＝|(u ＋3i)－(2＋i)|＝(u －2)2＋4<25，∴－2<u <6.17．解：∴z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，∴(1)由m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1，或m ＝2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0，得m ≠1，且m ≠2， 即m ≠1，且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i ) ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i.19．解：∵z ＝2＋4i －(1＋3i )i ＝1＋ii ＝－i(1＋i)＝1－i ， ∴ω＝1＋(a －1)i ， ∴ωz ＝1＋(a －1)i 1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i )2＝2－a ＋a i 2. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22≤2， 解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设ω＝z 1＋z 2，z 2＝ω－z 1，|z 2|＝|ω－z 1|，∵|z 2|＝1，∴|ω－z 1|＝1.上式说明对于给定的z 1，ω在以z 1 为圆心，1为半径的圆上运动，又z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S ＝2×2＋π×12＝4＋π.21.解：z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3 ⇒x 2＋y 2＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i)≤3⇒(x ＋1)2＋(y ＋2)2≤8，即|z ＋1＋2i|≤22，所以复数z 对应的点的集合是以C (－1，－2)为圆心，22为半径的圆面(包括边界)．又因为|OC |＝5<22，所以，原点在圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8的内部，如下图．所以，当z ＝－5＋2105－10＋4105i 时，|z |max ＝5＋22；当z ＝0时，|z |min ＝0.22．解：(1)由题意，设x 1＝b i(b ≠0且b ∈R)，代入方程，得(b i)2－(1＋3i)·b i ＋(2i －m )＝0，即－b 2－b i ＋3b ＋2i －m ＝0，即(－b 2＋3b－m )＋(2－b )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋3b －m ＝0，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝2.所以x 1＝2i ，m ＝2.(2)由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1＋3i ，所以x 2＝1＋3i －x 1＝1＋3i －2i ＝1＋i.证明：把x 2＝1＋i 代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i －2)＝2i －(－2＋4i)＋(2i －2)＝0，所以x 2＝1＋i 是方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －2)＝0的根．(3)由(1)，(2)知，A (0,2)，B (1,1)，所以|AB|＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.。
高二选修2-2《复数》单元测试卷及其答案
复数单元测试题一、选择题。
（每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 2．0=a 是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数ii +-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4．设复数ω++-=ω1,2321则i =（ ）A ．ω-B ．ω-1C ．2ωD ．21ω5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ） A ．0ad bc -= B ．0ac bd -= C ．0ac bd += D ．0ad bc +=6．如果复数ibi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．27．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A ．22±B ．22-C ．i 22±D ．i 22-8．设O 是原点，向量,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．i 55-B ．i 55+-C ．i 55+D ．i 55--9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++ 的值是（ ）A ．0B ．1C ．iD ．i - 10．复数8)11(i+的值是（ ）A ． i 16B ． i 4C ．16D ． 411．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．412．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）A ．22B ．122+C ．122-D ．2二、填空题。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限解析：∵z＝2－i＝(2.-1)，在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。
答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A。
10B。
5/3C。
－1D。
－7/3解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝7(x－1)+10时，x＝7/3.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。
A。
①②③B。
①③C。
①D。
②③解析：类比①的结论为：平行于同一个空间的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个空间如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个空间与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。
答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A。
极大值5，极小值－27B。
极大值5，极小值－11C。
极大值5，无极小值D。
极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。
答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A。
(0，＋∞)B。
(－∞，1)C。
(1，2)D。
(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，即x＝1/2，y′(x)＝8x－1/x^2＞0，所以y＝4x^2＋1/x在(0，＋∞)上单调递增。
【精品单元】2021届高中数学选修2-2第三章复数精品测试卷 复数(B)(含答案)
1【精品单元】2021届高中数学选修2-2第三章复数精品测试卷复数（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点之间的距离是（ ） A ．B ．C ．5D ．253．下面给出四个命题：①如果让实数与纯虚数对应，则实数集合可以与纯虚数集合一一对应；②任意两个复数一定不能比较大小；③是虚数；④，，为复数，若，则．其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．5．复数（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知复数和复数，则复数的实部是（ ） A ． B ． C ． D ．7．，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点．若，则一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形8．若复数范围内将分解因式，所得的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设，方程的根有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．已知复数z 满足，则的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．7D ．311．已知集合，此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号，若，则，之间的关系是（）A．B．C．D．12．若，则的值为（）A．2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．复平面内，已知复数所对应的点都在单位圆内，则实数的取值范围是__________．14．计算：________．15．若，且，则的最小值为_________．16．已知为虚数，且有，为实数，若为实系数一元二次方程的根，则此方程为____________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数(其中且，i为虚数单位)，且为纯虚数．（1）求实数a的值；（2）若，求复数z的模．18．（12分）设复数．（1）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值．219．（12分）（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知是一个复数，求解关于的方程（i为虚数单位）．20．（12分）已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积．321．（12分）已知复数满足，的虚部为，且在复平面内对应的点在第二象限．（1）求复数；（2）若复数满足，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．22．（12分）设复数满足．（1）若满足，求；（2）若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．4复数（B）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】，，本题正确选项C．2．【答案】C【解析】由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为，故选C．3．【答案】A【解析】①当时，没有纯虚数与它对应，故①错；②当两个复数都是实数时，可以比较大小，故②错；③是实数，不是纯虚数，故③错；④当，时，，此时与无法比较大小，故④错，故选A．4．【答案】B【解析】由，得，且，得，．5．【答案】C【解析】化简可得，∴，复数的虚部为1，故选C．6．【答案】D【解析】，实部为，故选D．7．【答案】B【解析】根据复数加（减）法的几何意义及，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故为直角三角形，故选B．8．【答案】C【解析】方程的判别式，所以方程，有两个互为共轭复数的复数根，设，是方程的两个复数根，则，解得，．所以方程的两个复数根为．故复数范围内将分解因式得，故选C．9．【答案】C【解析】设，代入方程得，解得，或，所以方程的根有3个，故答案选C．10．【答案】D【解析】表示复数z在圆上，而表示圆上的点到的距离，∴当且仅当复数z所在的点在原点与构成的线段上，的最小．故的最小值为，故选D．11．【答案】C【解析】设，，则，化简整理得，即集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若，即直线与圆没有交点，，即，故选C．12．【答案】B【解析】因为，两边同乘，，所以，则，，所以原式，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】∵对应的点都在单位圆内，∴，即，∴，∴，∴．14．【答案】【解析】，，，，，，，，，故答案为．15．【答案】3【解析】∵，∴复数z在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．∵表示复数z在复平面内的对应点到点的距离，即圆上的点到点的距离，∴最小值为圆心与点的距离减去半径，∴的最小值为．16．【答案】【解析】设，且，则，，，，，，，所以方程的根为，，，，所以方程为，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），因为为纯虚数，所以，解得．（2），，∴．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，由①得，由②得，故不等式组的解集为，因此m的取值范围是．（2）由已知得，点在直线上，即，整理得，从而，即，解得，经验证得，当时，都能使，且，所以．19．【答案】（1）8；（2）或．【解析】（1）．（2）设，，即，，所以，，解得或，所以或，故答案为或．20．【答案】（1）或；（2）1．【解析】（1）设，由已知可得，即，解得或，∴或．（2）当时，，，∴，，，故的面积；当时，，，∴，，，故的面积，∴的面积为1．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，则，由，的虚部为，且z在复平面内对应的点在第二象限，得，解得，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，∴复数满足，由复数的几何意义，得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以为圆心，为半径的圆面，∴其面积为．22．【答案】（1）或；（2）存在，．【解析】（1）由，可得，代入已知方程得，即．令，所以，即，所以，解得或．所以或．（2）由已知得，又，所以，所以，所以，整理得，所以，即，所以存在常数，使得等式恒成立．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上4．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．25．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．46．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --8．复数421ii-=+（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -11．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）．A 2B ．2C ．22D ．412．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__. 15．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________. 16．232007i i i i ++++=______.17．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 18．复数，则复数______．19．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 20．设i 为虚数单位，复数1ii-=______________. 三、解答题21．已知i 为虚数单位 (1)计算：()()235i i +- ; (2)已知()3+42i z i =- ，求复数z22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.23．设复数z ()()21312i i i++-=+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．D解析：D 【分析】由复数的除法运算法则，化简求得122ii i-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225i i i ii i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4．B解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i ii i ii i i i i -----++====+++--， 31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A 【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数， 所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．C解析：C113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 11．C解析：C 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值. 【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==， 所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1. 故答案为1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.18．-1+i 或1-i 【解析】设z=a+biab ∈Ra+bi2=a2-b2+2abi=2i ⇒a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1z=1+iz=-1-iz=1-iz=-1+i 故答案为-解析：或【解析】 设，解得或，，故答案为或.故答案为19．【解析】∵复数是纯虚数解得 解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.20．【解析】故答案为 解析：1i --【解析】()()()111i i i i i i i ---==---⋅，故答案为1i --.三、解答题21．（1）13+13i;（2）1-i. 【解析】【试题分析】(1)根据复数乘法运算公式计算出结果.(2)将原方程变为42i3iz -=+,在将分母实数化来求得z 的值. 【试题解析】（1）原式=210-21531313i i i i +-=+（2）因为3)42i z i +=-（ 所以()()423421*********i i i iz i i ----====-+ 22．（110；（2）7a =-，13b =-． 【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z =（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 23．a=-3,b=4. 【解析】 【分析】利用复数的混合运算，化简复数z ，然后代入等式，利用复数相等求a ，b ． 【详解】 解：由已知，z ()()3223335512255i i i i i ii i i --+---=====-++， ∴2z +az +b ＝-2i+a （1﹣i ）+b ＝a +b ﹣(a+2)i ＝1+i ，∴a b 1a 21+=⎧⎨--=⎩，解得a ＝﹣3，b ＝4． 【点睛】本题考查了复数的运算以及利用复数相等求参数；如果复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等．24．（1）4m =-；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果. 试题 （1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-. （2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =.25．（1）21m m ==-或；（2）21m m ≠≠-且；（3）1m =；（4） 12m <<. 【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z 是实数时，220m m --=，解得21m m ==-或； （2）当复数z 是虚数时，220m m --≠，解得21m m ≠≠-且；（3）当复数z 是纯虚数时，210m -=且220m m --≠，解得1m =；（4）当复数z 表示的点位于第四象限时，220m m --<且210m ->,解得12m <<. 试题解：（1）当220m m --=，即21m m ==-或时，复数z 是实数；（2）当220m m --≠，即21m m ≠≠-且时，复数z 是虚数；（3）当210m -=，且220m m --≠时，即1m =时，复数z 是纯虚数；（4）当220m m --<且210m ->,即12m <<时，复数z 表示的点位于第四象限． 考点：复数的概念及几何意义.26．（12）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-；故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
高中数学人教B版选修2-2第三章《复数》单元测试题含答案
《复数》章末测试题含答案一．选择题(1～8单选;9～11为多选，每题5分)1.(2019·山东师大附中模拟)计算：（2＋i ）（1－i ）21－2i＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i2.已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3.设 x ∈R ，则“ x =1 ”是“复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数”的( ) A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 复数202013(-)2+的共轭复数是( ) A.132-+ B. 132- C. 132+ D. 132-- 5.(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－536.(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b i a ＋i ，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．97．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C.22D.128.如图所示，向量OZ 1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i9.定义复数的一种运算12122z z z z +⊕= ，若复数,为z 的共轭复数,且实数a≥0，b ≥0，且满足,则12z z ⊕的最值为( )A.3B.C.D.10.设有下面四个命题 A ：若复数满足，则； B ：若复数满足，则；C ：若复数，满足，则； D ：若复数，则。
其中的真命题为（ ）。
11.(2019·安徽知名示范高中联考改编)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点一定不位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二．填空题（每题5分）12．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 13. 已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．14．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________． 15. 下列关于方程x 2+ax+1＝0(a ∈R)的结论中，错误的有( ) ①方程的两根互为共轭复数;②如果方程的两根互为共轭复数,则a ＝0③若x 为方程的一个虚根、则x 也为方程的根:④若a ＜0.则方程的两根一定都为正数 三.解答题16.(本小题满分15分)计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4) 20191+i （）（5）2320182019i i i i i +++++L17. (本小题满分15分)已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.18．(本小题满分15分)已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.19. (本小题满分15分)复数范围内解方程：2220x x -+=20. (本小题满分15分)设复数z 的模是1，求221z z 的最小值21．(本小题满分15分) 已知z 为复数,为实数,且为纯虚数,其中i 是虚数单位. (1)求复数z; (2)若复数z 满足,求的最小值.综合测试卷答案一．选择题(1～8单选;9～11为多选) 1A .解析：(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i 1－2i ＝2，故选A.2.D 解析： 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3. A 解析：因为复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数，所以 {x 2−1=0x +1≠0,∴x =1. 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“ x =1 ”是“复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为：A.4. D 解析:法一：复数2020202012240404040(-)(cos sin )cos sin 23333i i ππππ=+=+22=cossin =33i ππ+1-2+复数20201()2+的共轭复数是: 1-2法二：31(-)=122+，20201()22+=3673111[(-)](-)-222222i ++=+所以复数20201(-)22+的共轭复数是: 1--22，所以D 选项是正确的. 5.解析： z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.6.A 解析： 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.7．B 解析：法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.8.A 解析： 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 9.AB解析:由题意可得12122z z z z +⊕==,又实数a,b 满足,,,由二次函数可知当时,上式取最小值0≤a ≤3,所以当a=0或a=3 时，上式取得最大值3. 10. AD 解析:本题主要考查命题及其关系和复数的概念与几何意义。
人教A版选修2-2复数单元检测题.docx
复数单元检测题一、选择题1.若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是A .1B . 1-C . 1±D . 以上都不对 2.已知()2i i ,ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a A.1- B. 1 C . 2 D. 33.在复平面内，复数65i,23i +-+对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A.48i +B.82i +C.24i +D.4i +4.若复数()2121i ,1i =+=-z z ，则复数12=z z z 的共轭．．复数所对应的点位于复平面的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.()()22114i,m m m m m =++++-∈R z ，232i =-z ,则1=m 是12=z z 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.若∈C z ，且满足方程||13i =+-z z .则=zA.12 B.4i - C.43i -+D.12 7.已知=z 则501001++=z z A. 3 B. 1 C.2i + D. i 8.已知12,z z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：()()1212121212||||||||⎧>⎪⊗=⎨+⎪⎩„z z z z z z z z z z 若12i =+z 且1234i ⊗=+z z ，则复数2=z A.2i + B.13i + C. 2i +或13i + D.条件不够，无法求出9.若cos isin θθ=-z ，则使21=-z 的一个θ值是 A. 0 B. 2π C. π D.2π 10. 对任意复数i x y =+z (,x y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. ||2y -=z z B. 222x y =+z C. ||2x -…z z D. ||||||x y +„z二、填空题11.在复平面内，若复数z 满足|1||i |+=-z z ，则z 所对应的点的集合构成的图形是 .12.已知复数122i,13i =-=-z z ，则复数21i 5+z z = . 13.若复数12i =-z ，则⋅+z z z = ．14．若复数z 满足i(2)=-z z (i 是虚数单位)，则=z ．15．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ．16．设复数z 满足(23i)=6+4i -z （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______．三、解答题17.在复平面上，设点,,A B C 对应的复数分别为i,1,42i +.过,,A B C 做平行四边形ABCD .求此平行四边形的对角线BD 的长.18.已知复数z满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.复数单元检测题参考答案一、 选择题ABCCA CDBBD二、填空题11.直线x y -= 12.i 13. 62i - 14. 1+i 15. ②④ 16. 2三、解答题17.由题知平行四边形三顶点坐标为()()()0,1,1,0,4,2A B C ，设D 点的坐标为(),D x y .因为BA CD =u u u r u u u r ，得()()1,14,2x y -=--，得4121x y -=-⎧⎨-=⎩得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3D ，所以()2,3BD =u u u r ，则||BD =18.（1）设i(,)x y x y =+∈R z .由题意得2222i x y xy =-+z∴(1)22(2)xy ==⎪⎩ 化简得()20,x y x y -=∴= 将其代入（2）得222x =，∴1x =±.故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1i =+z 或1i =--z .（2）当1i =+z 时，22i =z ，21i -=-z z .所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C - ∴1||2,1212ABC AC S ∆==⨯⨯=. 当1i =--z 时，22i =z ，213i -=--z z . (1,1),(0,2),(1,3)A B C ---. ∴ 1||4,1422ABC AC S ∆==⨯⨯=.。
苏教版高中数学选修2-2高二年级复数单元测试卷.docx
常州市北郊中学高二年级数学复数单元测试卷班级： 姓名：一．填空题：（每小题5分，共60分．）1.设43z i =+，则1z的虚部是 .2.已知||5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z = .3.在复数范围内解方程2250x x ++=，解集是 .4.复数1011i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是 .5.已知复数z x yi =+，其中实数,x y 满足方程222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，则z = .6.关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实根，则实数m 的取值范围是 .7.复数z 满足11zi z-=+，则|1|z += . 8.若210z z ++=，则200820081z z+= .9.复数2(,12m iz m R i i-=∈+为虚数单位)在复平面上对应的点不可能．．．位于第 象限. 10.在复平面内，向量OP uuu r 对应的复数是1i -，将OP uuu r 向左平移一个单位后得到00O P u u u u r，则0P 对应的复数为 .11.复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最小值是 .12.已知集合{|,}1x iM z z x R xi+==∈-，则M 中元素的个数为 . 二．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．每小题10分，共40分．）13.①计算25(4)(2)i i i ++；②计算1281()22i --+. 14.设(,)z a bi a b R =+∈，求证11z z -+是纯虚数的充要条件是||1z =且0b ≠. 15.证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+(i 为虚数单位)无解.16.复数3(1)()1i a bizi++=-且||4z=，z对应的点在第一象限，若复数0,,z z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数,a b的值.常州市北郊中学高二年级数学复数单元测试卷答案。
苏教版高中数学选修2-2《复数》达标练习题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2011年阳山中学《复数》达标练习题一． 从数与形两个视角深刻理解复数的概念1、复数1-3i 的实部是 虚部是 ；复数2i-5的实部是 虚部是 ；复数1的实部是 虚部是 ；复数2i 的实部是 虚部是 .2、“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”是“0=a ”的 条件 3“0=a ”是“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”的 条件4、已知复数Z=(i m m m m )3()6522-++-，当 时，Z=0； 当 时，Z 是实数；当 时，Z 是虚数；当 时，Z 是纯虚数.5、在复平面内，O 是原点，已知向量OA 对应复数2+i,若点A 关于实轴的对称点位点B,则向量OB 对应的复数是 ；若点A 关于虚轴的对称点为点C 则向量OC 对应的复数是6（2010北京）在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为B A ,。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是7、在复平面内，复数i -1对应的点与原点的距离是8、若复数)()1(12R a i a a Z ∈++-=是纯虚数，则Z =9、复数,2,221i Z i a Z +-=+=如果21Z Z <，则实数a 的取值范围是10、在复平面内对应的点.若复数Z 满足条件1=Z ，则复数Z 对应的点的轨迹是11、已知复数Z=(i m m m )23()122+-+-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于第三象限.（2）在直线y=2x 上12、已知复数Z=(i m m m m )145()15822--++-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于虚轴的负半轴；（2）位于第四象限.二、理解复数相等的充要条件1、若（i i y x y x 217)5()23-=-++，则x= ;y=2、若（x+y-3）+(x-3)i=0，则x= ;y= 3．已知11m ni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 4、若复数,3)(i i y x y x -=-++则复数yi x +在复平面内所对应的点在第 象限 5、若i b i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则22b a +=6、若0<<y x ，i i y x xy 52)(22-=+-，则=x三、能进行复数的加减运算及加减运算原理的应用1、计算:（6-3i ）-(3+2i) =2、计算:-3i-(3+2i) =3、在复平面内，复数6+5i 与-3+5i 对应的向量分别是OA 、OB ，其中O 是原点，求向量AB 及向量BA 对应的复数4、ABCD 是复平面内的平行四边形，A,B,C 三点对应的复数分别是1+3i,i,2+i ，求点D 对应的复数.四、能进行复数的乘除运算及乘除运算原理的应用1、计算：133i i+-=2、计算：()223i -= 3、计算： 3)2321(i -= 4、计算：()ii i --2)2(32= 5、已知复数Z 满足()333i z i +=，则Z=6、复数13z i =+，21z i =-，则复数21z z -在复平面内对应的点位于第 象限;复数12z z 在复平面内对应的点位于第 象限.7、复数)1)(21(i i -+在复平面内对应点在第 象限.8、复数35-i 的共轭复数是 . 9、“ad=bc ”是“复数a+bi 与c+di 的积是实数”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.10、“复数a+bi 与c+di 的积是实数”是“ad=bc ”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.11、已知（1+3i ）Z =4+3i,求Z 及Z Z12、Z Z +2iZ=8+6i,求Z13、C Z ∈，满足R Z Z ∈+1，41-Z 是纯虚数，求Z14、已知3i-2是关于x 的方程202=-+q px x 的一个根，求p,q 的值.15、已知关于ｘ的方程022)2(2=++++ki x i k x 有实根，求这个方程的实根以及实数ｋ的值．１６、解方程：0542=+-x x１７、（1）试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值；（2）由（1）推测n i （n )*∈N 的值有什么规律，并用式子表示出来。
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章末检测一、选择题1.i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A.i ∈SB.i 2∈SC.i 3∈SD.2i∈S 答案 B2.z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2， 所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件.3.设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A.若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B.|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C.z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D.z 1－z 1是纯虚数或零答案 D解析 举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数.故D 正确.4.已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i等于( ) A.－1 B.1 C.－i D.i答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i. 5.已知a 是实数，a －i 1＋i是纯虚数，则a 等于( ) A.1 B.－1 C. 2 D.－ 2答案 A解析 a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i 2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1. 6.若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A.－2＋iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i答案 B解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ，∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.7.已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( )A.p ＝－4，q ＝5B.p ＝4，q ＝5C.p ＝4，q ＝－5D.p ＝－4，q ＝－5 答案 A解析 由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5. 8.i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1B.2－ 2C.2＋1D.2＋ 2 答案 C解析 |z 2－2z ＋2z －1＋i|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2. 9.实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )A.30B.15C.25D.100答案 D解析 由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ， 则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角).∴x 2＋y 2的最大值为100.10.设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.12答案 D解析 因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12. 11.如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( )A.不存在B.有一个C.有三个D.有四个答案 C解析 (1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求.(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a 2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去).故共有三个.12.已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.无数个答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i.二、填空题13.复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 .答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4. 14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝ .答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.15.已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝ . 答案 16±156i 解析 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6， 即z 1z 2＝16±15i 6. 16.复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝ .答案 1－52解析 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a .又a 为负数，所以z －a 为纯虚数.设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2.又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52. 三、解答题 17.计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3. 解 (1)i 1＋i÷(1＋3i)2 ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i) ＝1＋i 2÷(－2＋23i) ＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i )＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i. (2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i＝－2＋2i －8＝1－i 4. 18.设z 是虚数，m ＝z ＋1z是实数，且－1＜m ＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围.(2)设u ＝1－z 1＋z，求证：u 为纯虚数. (3)结合(2)求m －u 2的最小值.(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i. ∵m 是实数，且y ≠0，∴y －y x 2＋y2＝0， ∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x .∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1. ∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y (1＋x )i. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y 1＋x≠0，∴u 为纯虚数. (3)解 m －u 2＝2x －⎝⎛⎭⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝⎛⎭⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0， ∴2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立. 故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。