第三章带通系统的复数表示

(3.2.4)
xe (t ) = x p (t ) cos(2π f 0t ) − xq (t ) sin(2π f 0t )
时，其复包络形如式(2.4.3)：
(3.2.5)
xc (t ) = x p (t ) + jxq (t )
相应式(3.1.5)的系统输出可写成
(3.2.6)
1 y (t ) = x(t ) ⊗ he (t ) = [ x(t ) ⊗ h(t )] 2
实际输出 ye (t ) = Re{ y (t )} ，或者
(3.2.11)
ye (t ) = y p (t ) cos(2π f 0t ) − yq (t ) sin(2π f 0t )
图 3.2.1 就是带通滤波器的等效低通形式。
x p (t )
(3.2.12)
h p (t )
+
y p (t )
x(t ) = xe (t ) + jxe (t )
则，该系统输出为
(3.1.4)
y (t ) = x(t ) ⊗ he (t ) = [ xe (t ) + jxe (t )] ⊗ he (t ) = xe (t ) ⊗ he (t ) + jxe (t ) ⊗ he (t ) = ye (t ) + jye (t )
hq (t )
h p (t )
xq (t )
+
hq (t )
图 3.2.1
yq (t )
图 3.2.2 就是当 H ( f ) 对称于 f 0 时的 H e ( f ) ， H ( f ) 和 H L ( f ) 的变换示意图。
He ( f )
H( f )
− f0
HL( f )
f00Βιβλιοθήκη 图 3.2.2(3.2.2)
he (t ) = h p (t ) cos 2π f 0t − hq (t ) sin 2π f 0t
根据式(2.4.3)，式(3.2.1)可表示为：
(3.2.3)
hL (t ) = h p (t ) + jhq (t )
当输入实信号 x(t ) 表示为窄带同相-正交形式，即形如式(2.1.21)：
(3.1.2)
H e ( f ) ≠ 0 | f − f 0 |<
则称系统是带通系统，即如图
He ( f )
W 2
(3.1.3)
f0
0
W 2
W 2
f
图 3.1.1 若不仅满足(3.1.3)，还有 f 0 >> W ，则为窄带信号，即如图 3.2 所示。
f0
f
W
0
图 3.1.2 若实系统输入是 xe (t ) 的解析信号
记
(3.2.7)
y (t ) = yc (t )e j 2π f 0 t
其中
(3.2.8)
1 yc (t ) = [hL (t ) ⊗ xc (t )] 2
(3.2.9)
或记
yc (t ) = y p (t ) + jyq (t )
其中
(3.2.10)
1 y p (t ) = Re{x p (t ) ⊗ h p (t ) − xq (t ) ⊗ hq (t )} 2 y (t ) = 1 Re{x (t ) ⊗ h (t ) + x (t ) ⊗ h (t )} q p p q q 2
3.1 带通系统的复数表示
一个实际系统的响应函数记为 he (t ) ，其传递函数是 H e ( f ) ，而
H e ( f ) = ∫ he (t )e − j 2π f t dt
显然， H e ( f ) 具有负频谱，且有
(3.1.1)
H e ( f ) = H e * (− f )
的共轭对称性。如果 H e ( f ) 满足：
hL (t ) = h(t )e − j 2π f 0 t
等效低通传递函数就是
def
(3.2.1)
H L ( f ) = ∫ hL (t )e − j 2π f t dt = ∫ h(t )e − j 2π ( f + f 0 ) t dt = H ( f + f 0 )
一般对窄带情况，如式(2.1.21)，系统实相应函数有同相-正交调制形式：
也是解析信号，实部与虚部输出为
(3.1.5)
ye (t ) = xe (t ) ⊗ he (t ) ye (t ) = xe (t ) ⊗ he (t )
(3.1.6)
3.2 带通系统的等效低通形式
对于带通系统和带限信号一样， 可以引入其等效低通形式， 该等效低通响应函数就是带 通系统响应函数的复包络：