概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率

I 教学基本要求

1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算；

2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质；

3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题；

4、理解事件的独立性概念.

II 习题解答

A 组

1、写出下列随机试验的样本空间

(1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量.

解：(1) {2,3,

,12}Ω=；

(2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=；

(3) {0,1,2,

}Ω=；

(4) {|0}t t Ω=≥.

2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生.

解：(1) ()()ABC ABC ；

(2) A

B C ；

(3) ABC 或A

B

C .

3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A

B ；(3) ()A B

C ；(4) ABC .

解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A

B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B

C 为“命中0至2环或5至10环”；

(4) ABC 为“命中2至4环”.

4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？

解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则

{(0,0),(1,1)}A =，从而1

()2

p A =

. 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率：

(1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？

解：从52张扑克中任取4张，有4

52C 种等可能取法.

(1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413

C 种取法，于是413

452

()C p A C =；

(2) 设B 为“同花”，则B 有413

4C 种取法，于是413

452

4()C p B C =；

(3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4

13种取法，于是4

452

13()p C C =；

(4) 设D 为“同色”，则D 有426

2C 种取法，于是426

452

2()C p D C =.

6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？

解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12

3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12

2种结果，于是12

2()()3

p A =.

7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？

解：从两个袋中各任取一球，有11

810C C ⨯种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1

111

5

4

3

6C C C C

⨯+⨯种取法，于是

1111543611

81019

()40

C C C C p A C C ⨯+⨯==⨯. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？

解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!⨯种放法，于是3!8!1

()10!15

p A ⨯=

=. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

解：5个人从第二层开始走出电梯，有5

10种等可能结果，记A 为“5个人在不同楼层

走出”，则A 有510

P 种结果，于是510

5()10

P p A =.

10、n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率？

解：设甲已坐好，只考虑乙的坐法，则乙有1n -种坐法，记A 为“甲乙两人相邻而坐”，则A 有2种坐法，于是2

()1

p A n =

-. 11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？

解：设x 、y 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤，

其面积2

24S Ω=，记A 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，于是

{(,)|12}

A x y y x x y =-≥-≥或，其面积

221

(2322)

2

A S =+，从而

22

2

2322()0.879224A S p A S Ω+===⨯.

12、在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率？

解：设x 、y 分别为取出的两个数，则{(,)|0,1}x y x y Ω=≤≤，其面积1S Ω=，记A 为“两数之和小于6/5”，于是6

{(,)|}5A x y x y =+<，其面积2

141()25

A S =-

，从而17()0.6825

A S p A S Ω=

==. 13、设0a >，有任意两数x 、y ，且0,x y a <<.试求2

4

a xy <的概率？

解：由题意知{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，其面积2

S a Ω=，记2

{(,)|}4

a A x y xy =<，

则其面积

24

44

22

2

23ln 4()()(1)444

a a a

x

a a

a

A a S a dy dx a a dx a x =-=--=-+⎰⎰⎰

从而3ln 4

()10.596644

A S p A S Ω=

=-+=. 14、从0、1、2、…、9这十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率：