中考总复习(十)——代数综合题

中考总复习（十）——代数综合题

二. 数学目标及综合题简介

综合题是指涉及的知识内容多，或应用数学思想方法比较多的题目．按内容可分为代数综合题和几何综合题，也有两个学科综合在一起的题目．初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【典型例题】

例1. 方程0)2x (x a

x x 12x ax =-+++-有且仅有一个实根，求a 的值．

分析：解分式方程的基本方法是把它转化为整式方程，而这个整式方程的根可能是原方程的根，也可能是原方程的增根，本题条件中分式方程有且仅有一个实根，则有以下三种可能的情况：（1）转化为整式方程后是一元一次方程，且它的根不是原方程的增根；（2）转化为整式方程后是一元二次方程，该方程有两个相等实根，且不是原方程的增根；（3）转化为整式方程后是一元二次方程，且这个一元二次方程的两个根中有一个是原方程的增根，另一个不是增根．

解：把原方程去分母，整理得：

02a x 2ax 2=-++

（1）当a=0时，x=1，经检验是原方程的根； （2）当0a ≠时，

①若方程02a x 2ax 2

=-++有两个相等实根，则△=0 即0)2a (a 44=--

解之得21a ±=

当21a +=时，21x -=，经检验是原方程的根． 当21a -=时，12x +=，经检验是原方程的根．

②若方程02a x 2ax 2

=-++有两个不等实根，且一个是原方程的增根，另一个是原方程的根，则

（1）设x=0是02a x 2ax 2

=-++的根，则a=2，此时，另一根1x -=，经检验是原方程的根．

（2）设x=2是02a x 2ax 2

=-++的根，则52

a -

=，此时，另一根为x=3，经检验是

原方程的根．

综上所述：当21a ,0a ±==，a=2，或52a -=时，方程0)2x (x a x x 12x ax =-+++-有且

仅有一个实根．

例2. 已知二次函数)a c (bx 2x )c a (y 2

--++=，其中a 、b 、c 是△ABC 的三边，且

b 2

c a ,c a ,b a =+≥≥．

（1）若这个二次函数的图像经过原点，试证：△ABC 是等边三角形；

（2）若△ABC 是直角三角形，试证：这个二次函数的图像除顶点以外都在x 轴上方． 分析：（1）从结论看，要证△ABC 是等边三角形，需证a=b=c ；从条件看，由函数图像通过原点，可知（0，0）满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a=b=c 的关系．

（2）从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方，那么解析式配方后

n )m x (a y 2++=，其中n=0；从条件看，利用△ABC 是b 2c a ,Rt =+∆，可将a 、b 、c 均用a 表示，通过配方观察结论．

证明：（1）由

)(2)(2

a c bx x c a y --++=图像过原点，得a=c 又

b 2

c a =+

c b a ==∴

即△ABC 是等边三角形

（2）由△ABC 是Rt △，及c a ,b a ≥≥

222c b a +=∴ 又b 2c a =+

a

53c ,a 54b ==∴ 0

)21

x (a 58a 52ax 58ax 58y 22≥+=++=∴ ∴二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方

例3. 如图①是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图像．

①

②

（1）根据图①提供的信息，在图②中补全直方图； （2）这10天最低气温的众数是_______________℃，最低气温的中位数是_________℃，最低气温的平均数是_______________℃．

分析：这是一道统计图表与数据的分析的应用，看懂图形是关键． 解：（1）如图

（2）2，0，0

例4. 关于x 的方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-有两个相等实根，其中a ，b ，c 为△ABC

中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若0c b 4ac 2a 2

22=+-+，求B sin 和tgA 的值．

分析：从题目结构看是把方程的知识，三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题．

解：把方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-整理得0c a bx 2x )c a (2

=---- 因为方程有两个相等实根，所以0c a ≠-，且△=0 即

0)c a )(c a (4b 42=+-+ 0c a b 222=-+∴

∴△ABC 为直角三角形，∠C=90°

由0c b 4ac 2a 2

22=+-+可得 0b 2c a 0b 2c a 0

)b 2c a )(b 2c a (=-+>++=-+++

由⎩⎨

⎧=-=+c a b 2c a b 222

可得⎪

⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==c

54b c 53a ABC Rt ∆∴中，5:4:3c :b :a =

43b a tgA ,54c b B sin ====

∴

例5. 若不等式0)1ax )(2x (>-+的解集是2x 3-<<-，那么a 的值是（ ）

A. 31

B.

31-

C. 3

D. 3-

解：设)1ax )(2x (y -+=，整理得2x )1a 2(ax y 2

--+= 显然，这个二次函数图像与x 轴交于)0,2(),0,3(--

把)0,3(-代入2x )1a 2(ax y 2--+=，得2)3()1a 2()3(a 02

--⨯-+-⋅=

解得31a -

=

答案：B

说明：此题是用函数及图像解决不等式的问题，可见用函数思想处理一元二次不等式的有关问题很有实用价值．

例 6. 二次函数c bx ax y 2

++=的图像如图所示，下列三个代数式

b a 2,a

c 4b ,c b a ,ac ,ab 2+-+-中，值大于0的个数为（ ）

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D. 2个