一元函数微分学综合练习题 (1)
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第二章 综合练习题
一、 填空题
1. 若21lim 11x x x b x →∞⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭
,则b =________. 2. 若当0x →时,1cos x -与2sin
2x a 是等价无穷小,则a =________. 3. 函数21()1ln f x x =
-的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1|
x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0,
x x f x x
a x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩…在R 上连续,则a =________. 6. 函数()sin x f x x
=在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时,1
1x e -是无穷小量
8 设21,10(),
012,12x x f x x x x x ⎧--≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩
,()f x 在 处间断 9 当0x →时,arctan x 是x 的 阶无穷小量
10 极限2352lim sin 53x x x x
→∞+=+ 二、 选择题
1. 设数列1,1,1
n n n u n n -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数,为偶数, 则当n →∞时,n u 是( ) A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量
2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的( )
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x
ββ→+-的值是 ( ) A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在
4. n 的值是( )
A. 1
B. 0
C. 12
D. 因为当n →∞时,分母为0,因此极限不存在 5. 下列极限正确的是 ( ) A. 01sin
lim 11x x x →= B. 1sin lim 11x x x →∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 0x x x
→∞= 6. 设函数在点处连续,则下列陈述中不正确的是( )
A. ()f x 在点0x 处有定义
B. ()f x 在点0x 处的左极限存在
C. ()f x 在点0x 处可导
D. ()f x 在点0x 处的值与0
lim ()x x f x →相等 三、 计算题
1. 求下列极限:
(1
)n →∞ (2)41sin 2lim
1cos 4x x x π→
+- (3
)0
x →(4
)01lim x x
→ (5)11lim x x x -→
(6
)01x e →-
2.
设1;()4,1x f x x ≠==⎩
,求,a b ,使()f x 在1x =处连续。
3. 求k
k x 为当0x →时的等价无穷小。
4. 求函数tan()4()(1)
x
x f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点,并判断其类型。
证明题
1. 证明:方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内至少有一个实根。 2. 设()f x 在[,]a b 上连续,且a c d b <<<,,0p q >,证明在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.
3. 设()f x 在[,]a b 上连续,且恒为正,证明:对于任意1212,(,)()x x a b x x ∈<,在12[,]
x x
上至少存在一点ξ,使得()f ξ=
第三章 综合练习题
一、选择题
1.若'()f a k =存在,则1lim (()())h f a f a h h --=→+∞
( ) (A )k - (B)k (C)0 (D)不存在
2. 若()(),lim f x f a A A x a x a
-=-→为常数,则以下结论不正确的是: (A )()f x 在点x a =处连续 (B )()f x 在点x a =处可导
(C )()lim f x x a
→存在 (D) ()()()f x f a A x a -=-
3.函数1()1x y f x +=-
满足'()f x =2
dy dx x == (A
)
(B) - (C)0 (D)3
4.设)(x f 在0x 的附近有定义,则下列选项中与命题“'()0
f x 存在”不等价的是: (A )()()00lim 0
f x kx f x x x +-→存在(01k ≠或) (B) (())()00lim ,()0
f x a x f x a x x +-→其中()0,lim ()00a x a x x >=→且 (C) 1lim [(()())]000
x f x f x x x --→存在 (D)()()00lim sin 0
f x x f x x x --→ 存在 5.若在(,)a b 内,函数()f x 的一阶导数'()0f x >,二阶导数"()0f x <,则函数()f x 在此
区间内
(A)单调减少,曲线是凹的 (B)单调减少,曲线是凸的
(C)单调增加,曲线是凹的 (D)单调增加,曲线是凸的
6.设()f x 在(,)-∞+∞有定义,0x 是()f x 的极大值点0(0)x ≠,则
(A)0x -必是()f x --的极小值点 (B)0x 是()f x 的驻点
(C)0x -是()f x -的极大值点 (D)对一切x 有0()()f x f x ≤