傅里叶变换(周期和非周期信号)

c0 a0
n1
cn an2 bn2
a
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons0td
t
bn
2 T
T
2 T
f(t)sinn0tdt
2
2
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
T
2 T
2
f(t)cons0tdt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn0td
t
可知：
an是 n 0 的偶函数，bn是 n 0 的奇函数
当n换为-n时，有a-n= an, b-n=- bn，从而
12（a-n-jb-n） 12（anjbn）
f(t)12co0 st (4)co2 s0t(54 )1 2co3 s0t(2) 12co0 st (4)co2 s0t(4)1 2co3 s0t(2)
振幅谱与相位谱如下图所示。
1
f( t) 1 2 co 0 t 4 s ) c ( 2 o 0 t s 4 ) (2 c3 o 0 t s 2 )(
F0 Fnej n0t
*
Fnej
n0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数 Fn与 ， Fn是一对共轭复数
Fn1 2（ an-jn b ）F *， n1 2（ anjn b ）
a
18
F n1 2 （ an-jn b ）F *， n1 2 （ anjn b ）
由三角形式的傅里叶系数定义式
an
2 T
e jn 0 )
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
a
17
f(t)a0 (anco 0tsbnsi n 0t)
f (t) Fnejn0t n
a a 00 n n n 1 1 1 ((a a n n-2 ejj n n b 0te 2 je n 0tj n0ta n b 2 njen jb e n0 t2 j n je 0t )j n0t)
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
a
6
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f(t)a0 (anco0tsbnsin 0t)正、余弦级数形式 n 1
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
t0T f(t)dt
t0
a
3
可以展开为三角形式的傅里叶级数，为
f(t)a 0 a 1co0 t sa 2co 20 ts b 1si0 n t b 2si2n 0 t
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0
－π4
0 0 0 0
－π
2
(a) 振幅频谱图
(b) 相位频谱图
例1的频谱图
a
9
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fnejn0t n
式中，
F nT 1 T 2 T 2f(t)ej n 0td t
证明
- n
傅里叶复系数
a
10
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
三角函数 形式的频 谱图
cn 2
1
11
2
0 0 0 0
(a) 振幅频谱
a
π n
4
0
0
0
0
－π4
－π2
(b) 相位频谱
Next
14
a
15
傅里叶级数指数形式 推导
a
16
利用欧拉公式 ej n0co n0 sjsinn0
cos
n0
1 2
(e
jn 0
e jn 0
)
sin n0
1 2j
(e jn0
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
n1
an2 bn2
an an2 bn2
cos0t
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
a
5
f(t) c0 cncon s0t(n) n1
或
f(t) c0 cncon s0t(n) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
a
7
1 例 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
5
1
f( t) 1 2 c0 o t c s2 o 0 t s 4 ) (2 si 0 t n 2 s3 i0 tn
解 ： 将f(t)整理为标准形式
a b Fn 1 2
2
n
n 21 2cn
1 例 的指数形式频谱图如下图所示。
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－0 －0 －0 0 0 0 0
－π4
－π4
－π2
双边频(谱a) （幅度D频o谱uble Side Band)
(b) 相位频谱
单边频谱（Single Side Band)
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fnejn0t n
式中，
F nT 1 T 2 T 2f(t)ej n 0td t
证明
- n
傅里叶复系数
Ne xt
a百度文库
11
Fn还可以表示成模和幅角的形式
式中，
Fn Fnejn Fn ejn
a b Fn
1 2
2 2
n
n
n
arctan
bn an
n
Fn 12（an - jbn）
a
12
三角形式与指数形式系数之间的关系
f(t)a0 (anco 0tsbnsi n 0t)
或
n 1
f(t)c0 cncon s0t(n)
n1
f (t) Fnejn0t n
Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ejn0tdt
F0
a0
c0
1 T
T
2 -T
2
f(t)dt
F nF nejn1 2a njn b1 2cnejn
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质
a
1
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
或2f、(t)指a 数0 形n 式 1的(a 傅nc里o 叶0t级s 数b nsi n 0t)
f(t)c0 cncon s0t(n)
a 0 (a nco n0 ts b nsinn 0 t)
n 1
式中,
1
a0 T
T
2 -T
2
f (t) dt
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons0td
t
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn0td
t
式中，ω0=2π/T
a
4
利用三角函数的边角关系， 还可以将一般
三角形式化为标准的三角形式