数学小知识

数学小知识阿拉伯数字在生活中，我们经常会用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。

那么你知道这些数字是谁发明的吗？这些数字符号原来是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许多年，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。

现在，阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。

九九歌九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。

远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。

在当时的许多著作中，都有关于九九歌的记载。

最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。

因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。

大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。

大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一”起到“九九八十一”止。

现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九”。

音乐与数学动人的音乐常给人以美妙的感受。

古人云：余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。

同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。

其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。

人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。

近代数学已经得出弦振动的频率公式是W = ，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。

那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。

两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。

首先，最简单之比是２：１。

例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。

而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。

这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：260、7，2×260、7，22×260、7……我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。

由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：C0C1C2C3……20212223……需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。

一般说来这些协和音频率之比是2M。

（其中M是自然数）等号与不等号Ec等号与不等号的发明权属于英国人。

１５５７年，数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中，首先把“＝”作为等号，他说：“最相像的两件东西是两条平行线，所以这两条线应该用来表示相等。

”他的书《智慧的激励》也因此引起了人们极大的兴趣。

在数学中，等号“＝”既可表示两个数相等，也可以表示两个式子相等，但无论何种相等，它们都遵循以下规则：（１）若a=b，那么对于任何数c，有a±c=b±c；（２）若a=b，那么b=a；（３）若a=b，b=c，那么a=c；（４）若a=b，那么对于任何数c，有ac=bc。

人们起初用“”和“”。

表示大于和小于，英国人乌特勒首次在他的《数学入门》一书中使用了它们。

另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号：＞、＜。

他在自己的书中明确地写道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。

”不等号在数学中有着普遍应用，在使用它们时，应遵循如下原则（a、b为实数）（１）若a＞b，则b＜a（２）若a＞b，那么对于任何实数c，有a±c＞b±c；（３）若a＞b，c为大于零的实数，那么ac＞bc；（４）若a＞b，c为小于零的实数，那么ac＜bc；（５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。

加减乘除的来历加减乘除（＋、－、×(•)、÷(∶））等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。

别看它们这么简单，直到１７世纪中叶才全部形成。

法国数学家许凯在１４８４年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法。

这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过,用“─”表示不足。

到１５１４年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法。

１５４４年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。

以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。

他于１６３１年出版的《数学之钥》中引入这种记法。

据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。

后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“•”表示乘号，这样，“•”也得到了承认。

除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。

除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。

至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。

零的历史数学史家把０称作“哥伦布鸡蛋”，这不仅是因为０的形状像鸡蛋，其中还含有深刻的哲理。

凡事都是开创时困难，有人开了端，仿效是很容易的。

０的出现就是一个典型的例子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简单的方法来记数。

我们知道，零不仅表示一无所有，它还有以下的一些意义；在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上没有数；零本身还是一个数，可以同其他的数一起参与运算；零是标度的起点或分界，如每天的时间从０时开始。

在古代巴比伦，楔形文字的零号已起到现今位值制中０号的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明数码的位置。

然而他们还没有把零看作一个数，也没有将它和“一无所有”这一概念联系起来。

印度人对零的最大贡献是承认它是一个数，而不仅仅是空位或一无所有。

婆罗摩笈多对零的运算有较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零。

……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”。

每一个学过除法的人都知道，零不可以作除数，因为如果a≠0而b=0，那就不可能存在一个Ｃ使得bc=a。

这个道理尽人皆知，但在得到正确结论之前，却经历了漫长的历史。

我国自古以来就用算筹来记数，早就用算筹来记数，用的是１０进位值制。

巴比伦知道位值制，但用的是６０进制。

印度到公元５９５年才在碑文上有明确的１０进位值制的记数法。

位值制必须有表示零的办法。

起初，中国使用空格来表示零，后来以○表示零，后来印度的０就传入了中国。

在我们眼里，零的存在是那么自然、简洁，但就是这么一个简单的零，却也有这么一段颇不简单的历史。

数学中的符号我们知道，数学起源于结绳记数和土地测量。

最初，并没有标准数学符号，符号是后来的实践中逐渐产生并进一步完善的。

但是，数学符号一旦产生，就能简化数学研究工作，促进数学的发展。

所以，学习数学，要从数学符号开始。

阿拉伯数字１、２、３、…９、０就是最简单，常用的符号，也就是它们引起了数学上的一场革命。

数学家韦达第一个把符号引入数学，他用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量（方程的正系数）。

此前，所有的已知数都是用具体数字表达的，从而限制数学的应用范围。

现在的符号体系是笛卡尔创立的。

他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知数，最后的字母x、y、z表示未知数。

符号的使用推动了数学本身的发展。

符号一经形成，便成为表述概念，说明方法和叙述定理必不可少的工具。

建立较好的符号系统，便于总结运算法则，揭示数量关系利于推理。

一句话，符号是数学前进，发展，运用的工具。

数学符号一般有以下几种：（１）数量符号：如,, ,ｉ，２＋ｉ，ａ，ｘ，，自然对数底e，圆周率。

（２）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或•），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），比（∶），微分（d），积分（∫）等。

（３）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号等。

（４）结合符号：如圆括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括线“—”B（５）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖"（６）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。

数学符号的应用，是学习数学、研究数学的重要途径，愿同学们在数学中学好符号，用好符号。

为什么时间和角度的单位用六十进位制时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。

可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。

原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。

譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。

因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。

时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。

以1/60作为单位，就正好具有这个性质。

譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。

时间和角度都用分、秒作小数单位。

这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。

例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。

这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。

"0"是我国最早创造的我们知道阿拉伯数字１、２、３、４、５、６、７、８、９原是印度人发明的，１３世纪后期传入中国，人们误认为０也是印度人发明的。