勾三股四弦五-勾股定理介绍
勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第_节勾股定理-、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。
）* 附：常见勾股数: 3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）;(2) 若c2= a2+ b2,则^ ABC是以Z C为直角的三角形；若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。
(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
(3) 用于证明线段平方关系的问题。
(4) 利用勾股定理，作出长为际的线段二、平方根：(11——19的平方)1、平方根定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。
(也称为二次方根)，也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。
勾股定理的公式,勾、股、弦的介绍
勾股定理的公式,勾、股、弦的介绍
勾股定理的公式是a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
在勾股定理的公式中，“勾”、“股”、“弦”分别指的是：
勾：在直角三角形中，较短的直角边被称为“勾”。
它代表了直角三角形的一个直角边，是勾股定理中的重要组成部分。
股：直角三角形中，较长的直角边被称为“股”。
它也是直角三角形的一个直角边，与“勾”共同构成了直角三角形的两条直角边。
弦：直角三角形的斜边被称为“弦”。
它是直角三角形中最长的一条边，与直角相对。
在勾股定理中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理
勾股定理勾股定理在西方又称“毕达哥拉斯定理”，就是指三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称两直角边为勾(一般指较短直角边)和股、斜边为弦，所以也称此定理为勾股定理。
我国最早的数学文献《周髀算经》(约成书于公元前157年前)中记述了周公(击武王弟弟)与古代数学家商高的一段对话，首先提出了勾股形的问题。
商高说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。
意思说，如果直角三角形两直角边长是3和4，那么它的斜边必定是5。
这是勾股定理的一个特例。
商高时代，约比古希腊数学家毕达哥拉斯早500年。
我国对于勾股定理的证明，最早的形式见于公元3世纪吴国人赵爽(字君卿)所著《勾股圆方图注》，在这篇短文中，赵爽用割补法画了一张所谓的“弦图”(见图)，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF 叫“弦实”。
由于四个朱实加上一个中黄实就等于弦实，所以有下式成立：4×21ab+(b-a ) 2=c 2 化简后即得a 2+b 2=c 2这个证法通过图形的分割、移补，精霖总结了我国东汉以前在勾股定理方面的光辉成就。
赵爽的证法与印度数学家婆斯伽罗在公元1150年的证法相似，婆氏也曾作出类似的图形。
世界上对勾股定理的证明方法很多，1940年有人出了一本勾股定理证明专集，其中收集了365种证法，当然，证法还不止这些。
1876年，加菲尔德(1881年任美国总统)想出了一个相当精采的证明： 如图，梯形面积=2b a ×(a+b ) =21(a 2+2ab+ b 2). 又可得梯形面积=21c 2+21ab+21ab =21(c 2+2ab ) 比较两式，可得a 2+b 2=c 2 。
勾股定理定义
勾股定理定义
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
结论为：勾三股四弦五a2+b2=c21、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。
(例如，3、4、5是一组勾股数)。
利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根1、定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是其中2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。
也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作，读作三次根号a。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
初二数学勾股定理知识点勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。
勾股定理
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。
他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。
目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决集几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
西欧对此定理戏称为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，照原文直译，就是“驴桥”，因此，我国也有将此命题译作“驴桥定理”的。
勾三股四弦五I
第七讲.勾三股四弦五I【教学目标】1.复习直角三角形及勾股定理；2.掌握勾股定理的直接应用；3.掌握构造勾股定理法；4.掌握勾股定理的综合应用。
【知识、方法梳理】1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,,a b c 有下面关系：222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.2. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数叫做勾股数（注意：若,,a b c 为勾股数，那么,,ka kb kc 同样也是勾股数组.）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若222c a b =+，则ABC ∆是以C ∠为直角的三角形； 若222a b c +<，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若222a b c +>，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边. （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的问题. （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=(1)已知6a =， 10c =，求b ， (2)已知40a =，9b =，求c ； (3)已知25c =，15b =，求a .【思路点拨】: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用. 【解析】：(1) 在ABC ∆中，90C ∠=，6a =， 10c =，228b c a =-=(2) 在ABC ∆中，90C ∠= ，40a =，9b =,2241c a b =+=(3) 在ABC ∆中，90C ∠=，25c =，15b =,2220a c b =-=类型二：勾股定理的构造应用例2．如图，已知：在ABC ∆中，607030B AC AB ∠===，，。
勾股定理的详细讲解
勾股定理的详细讲解
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理详解
勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。
勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。
下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理
勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
[1]中文名勾股定理外文名Pythagoras theorem 别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理表达式a²+b²=c²提出者毕达哥拉斯赵爽商高提出时间公元前551年应用学科几何学适用领域范围数学，几何学适用领域范围数学，几何学中国记载著作《周髀算经》《九章算术》外国记载著作《几何原本》限制条件直角三角形在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导赵爽弦图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。
开方除之，即玄。
案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。
以勾股之差自相乘为中黄实。
加差实亦成玄实。
以差实减玄实，半其余。
以差为从法，开方除之，复得勾矣。
加差于勾即股。
凡并勾股之实，即成玄实。
或矩于内，或方于外。
形诡而量均，体殊而数齐。
勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。
而股实方其里。
减矩勾之实于玄实，开其余即股。
倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。
加股为玄。
以差除勾实得股玄并。
以并除勾实亦得股玄差。
令并自乘与勾实为实。
倍并为法。
所得亦玄。
勾实减并自乘，如法为股。
勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2 + b 2= c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理
毕达哥拉斯证法 图示正方形是由1个边长为a的正 方形和1个边长为b的正方形以及 4个直角边分别为a、b，斜边为c 的直角三角形拼成的。右边的正 方形是由1个边长为c的正方形和 4个直角边分别为a、b，斜边为c 的直角三角形拼成的。因为这两 个正方形的面积相等(边长都是 a+b)，所以可以列出等式 ab+a²+b²+ab=1/2ab×4+c²，化 简得a2+b2=c2。 在西方，人们认为是毕达哥拉斯 最早发现并证明这一定理的，但 遗憾的是，他的证明方法已经失 传，这是传说中的证明方法，这 种证明方法简单、直观、易懂。
数学定理： 勾股定理
勾股定理 ：
勾股定理是初等几何学中的一个 基本定理，又称毕达哥拉斯定理或毕 氏定理。我国古称直角边为“勾”与 “股”，斜边为“弦”或“径”，因 而将这条定理称为“勾股定理"。通 俗的表述为：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。勾股定理是 余弦定理的一个特例，约有400种证 明方法，是数学定理中证明方法最多 的定理Байду номын сангаас一。“勾三股四弦五”是勾 股定理最基本的公式。这个定理有十 分悠久的历史，两千多年来，人们对 勾股定理的证明颇感兴趣。 在“旅 行者号探测器”发射前夕，数学家还 曾建议将勾股定理作为与“外星人” 联系的信号。
谢谢观赏！
加菲尔德证法 图示直角梯形是由2个直 角边分别为a、b，斜边为 c的直角三角形和1个直角 边为c的等腰直角三角形 拼成，因为三个直角三角 形的面积等于直角梯形的 面积，所以列出等式 c2/2+2×1/2ab=（a+b） ×（b+a）/2，化简为 a2+b2=c2。 这种证明法由于应用了梯 形面积公式和三角形面积 公式，从而使证明更加简 洁。它在数学史上被传为 佳话。
勾股定理
B
C
R=2.5cm
试一试：
在我国古代数学著作《九 章算术》中记载了一道有趣的 问题，这个问题的意思是：有 一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池的中央 有一根新生的芦苇，它高出水 面1尺，如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面，请问这个水池的深 度和这根芦苇的长度各是多少？
D C
B
A
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
B 有一个圆柱,它的高 为12cm,底面半径为 3cm,在圆柱下底面上 的A点有一只蚂蚁,它 想从点A爬到点B , 蚂 蚁沿着圆柱侧面爬行 的最短路程是多少? (π
我怎 么走 会最 近呢?
A
的值取3)
练 习 1、图1-1-1是某校的长方形水泥操 场，如果一学生要从A角走到C角， 至少走（ ） 60m C
解：根据勾股定理得： C 2= 6 2 + 8 2 AC =36+64 =100 即：AC=10（-10不合，舍去） 8m 答：梯子至少长10米。
A
6m
B
古代笑话一则： 有一人拿着一根杆子进屋门，横着 拿，不能进，竖着拿，也不能进，干 脆将其折断，才解决了问题。请问同 学们这样是真正解决了问题了吗？让 你做的话，你感觉怎么办合适？
勾股定理
赵爽注《周髀算经》时给出的弦图
勾三股四弦五-勾股定理介绍
勾三股四弦五——《勾股定理》
在中国古代，大约是公元前十一世纪战国时期，西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。
数学家刘徽（公元263年）作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。
开方除之，即弦也。
”上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形，重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上拼合而成，这就完全适合直角三角形两条
直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。
用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于
两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即
为四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）
的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形，
所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦（c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2
1。
第7讲.勾三股四弦五I (教师)
第七讲.勾三股四弦五I【教学目标】二．复习直角三角形及勾股定理； 三．掌握勾股定理的直接应用； 四．掌握构造勾股定理法； 五．掌握勾股定理的综合应用。
【知识、方法梳理】1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,,a b c 有下面关系：222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.2. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数叫做勾股数（注意：若,,a b c 为勾股数，那么,,ka kb kc 同样也是勾股数组.）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13（1）判断直角三角形：如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90o的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若222c a b =+，则ABC ∆是以C ∠为直角的三角形； 若222a b c +<，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若222a b c +>，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30o。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边. （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的问题. （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例1．在Rt ABC∆中，90C ∠=o(1)已知6a =， 10c =，求b ， (2)已知40a =，9b =，求c ； (3)已知25c =，15b =，求a. 【思路点拨】: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.【解析】：(1) 在ABC ∆中，90C ∠=o，6a =， 10c =，228b c a =-= (2) 在ABC ∆中，90C ∠=o ，40a =，9b =,2241c a b =+= (3) 在ABC ∆中，90C ∠=o ，25c =，15b =,2220a c b =-=类型二：勾股定理的构造应用例2．如图，已知：在ABC ∆中，607030B AC AB ∠===o，，。
勾股定理
D
1 则正方形 ABCD 的积等于ab 4 abc22abc2。 2 2 2 2 ∴ a 2abb c 故 a2b2c2 五、相似法： 作直角三角形斜边上的高 CH， 则造成母子三角形， 如图 11-7 可得△ACD， △AHC 和△CHB 都相似，设 HBx，故 x a a c a2cx （1） cx bb c b2c2cx （2）把（1）代入（2）可得 b2c2a2 即 a2b2c2 勾股定理很早被人们研究、重视，广泛地应用到实践中去，制造了“矩” ， “直 角三角板”等工具。 勾股定理表明了直角三角形三边的数量关系，它还可以从另一方面解释“以 直角三角形的三边向外分别作正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边 上的正方形面积（如图 11-8） 。由此人们想象，是否以两直角边分别向外作任意四 边形的面积之和， 也等于斜边上四边形的面积呢？如果不等， 在什么条件下相等？ 向直角三角形外作正 n 边形， 两直角边上正 n 边形面积之和是否等于斜边上的正 n 边形的面积？其它多边形的情况呢？ 回答以上问题，就得到了勾股定理向边上所作图形的推广，即下面的定理。 定理 1，在直角三角形的两直角边上，分别作任意相似多边形，则斜边上多边 形的面积等于两直角边上的多边形面积之和。 证明：如图 11-9，设两直角边上的面积分别是 S1，S2，斜边上的面积是 S3， ∵ 三个多边形相似 S2
2
2
c2
1 ab B 2
1 ab 2 C
11-6 B x a H c A
C
b 11-7
c2 a2 b2 11-8
Cn2 A a c B b B1
S3
∴
S1 a2 S3 c2 S
1 ○
S2 b 2 S3 c2 a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾三股四弦五——《勾股定理》
在中国古代，大约是公元前十一世纪战国时期，西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。
数学家刘徽（公元263年）作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。
开方除之，即弦也。
”上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形，重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上
拼合而成，这就完全适合直角三角形两条直
角边的平方和等于斜边平方的判定原则。
用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于
两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即为
四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）
的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形，
所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦（c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2。