分式方程的增根与无解
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
分式方程的无解与增根
∵原方程有增根 x 2，即2 3 - m ∵原方程无解
小结： 1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中，整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。 2、分式方程无解则包含两种情形：
1）原方程去分母后的整式方程无解， 2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。 3、分式方程有增根和无解时：
（× ）
（× ） ）
x -3 2、无解的分式方程就一定有增根。
中，其值一定为0。
例如： 0； X=-3 ( x 3)(x - 1) 3、分式方程若有增根，增根代入最简公分母
（√ 2 例如： = 0 0X=2 4、使分式方程的分母等 x 0的未知数的值一定
是分式方程的增根。
（× ）
应用升华
1 1- x X=2 1.如果 x - 2 + 3 = 2 - x 有增根,那么增根是__________. 2 k 3 2.关于x的方程 x 2 x 2 4 x 2 有增根,
x -3 m 有增根， 无解， 例4、若关于x的方程 x-2 2-x x -3 m 解：原方程可化为 =x -2 x-2 方程两边同乘以（ x - 2），得 x - 3 = -m 1、化为整式方程 ∴x = 3 - m
求m的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
解得，m =1 2、把增根代入整式方程 求出字母的值 ∴当m 1时，原方程有增根。 时，原方程无解。
1 k 1 x2 x2
• 有增根，则k= 1 。
xa a 无解，则a的 • 1、若分式方程 a
取值是a=
0
。
m x 0 无 • 2、若分式方程 2m x 1
解，则m的取值是（ A ） • • A、-1或 C、-1
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
分式方程的增根与无解教师版
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2019湖北荆门）若方程32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
华师版八年级下册16章分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。
今天，给大家带来 2 类典型的问题。
一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。
1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。
换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。
因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。
而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。
由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。
因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。
那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。
一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。
二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
解分式方程一般都要去分母化为整式方程,而整式方程只有：有解与无解二种情况.
当整式方程无解时,那么原来的分式方程也一定无解.
当整式方程有解时,原来的分式方程就不一定也有解,因为分式方程有产生增根的可能,
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中,只要有一个分母为0,
这个整式方程的解就不是原分式方程的根,它是一个增根.
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不为0,这个整式方程的解
才是原分式方程的解.
若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根）,这时才能说
此分式方程无解.
无解与增根的关系不太大,有增根不一定无解,无解也不一定是因为有了增根才无解的.
这与解题毫无关系.。
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
无解≠增根
陈峰
分式方程的无解和增根令许多初学分式 增根和整式方程无解这两种情况讨论。
方程的同学头疼，无解是不是一定意味着这个
解 ：将 方 程 两 边 同 时 乘 x（x-1），得 x
方程有增根？本文试通过几道例题来谈谈它 （x-a）-3（x-1）=x（x-1），
们的差别。
整理方程，得（a+2）x=3。
又∵分式方程无解，∴x=1 即为增根。
不能等于 1，而对于变形后的方程来说，x=1。
当增根为 1 时，得 a+2=3，解得 a=1。
因此 x=1 是在去分母过程中“增加”的根，这个
综上所述，当 a=-2 或 a=1 时，该分式方程
根原本是不存在的，这样的根就是增根。
无解。
例1
若方程
x x-3
-2=
m x-3
二、无解可能出现增根，也可能真没解
分式方程的根如果是增根，则分式方程无
解。反之却不一定成立。如果分式方程无解，
还有可能是化为整式方程后，整式方程就是无
解的。
例2
若关于 x 的分式方程
x-a x-1
-
3 x
=
1
无解，则 a=
。
【分析】分式方程无解，需要分分式方程有
技巧点评：已知分式方程无解，可先考虑
去分母，将它们化成整式方程，然后讨论是整
x=
k
5
3
。
因为
x＜0，所以
k
5
3
＜
k
5
3
≠-3，所以 k≠-12。
所以当 k＜3 且 k≠-12 时，原分式方程的解
为负数。
（作者单位：海安高新区仁桥初级中学）
46 策略方法
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
分式方程的无解与增根(用)
2、无例 解的分如式方： 程就一x定-有3增根。 0；
（ ×）
X=-3
3、分式方程(若x有增3)根(，x-增1根) 代入最简公
分母中，例其值如一定：为20。=0 0X=2
（√）
x 4、使分式方程的分母等于0的未知数的值
一定是分式方程的增根。
（×）
1 4x2
2
k x2
例3：已知关于x的方程 有增根，求实数K的值。
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化 二解
目标
a是分式 方程的解
最简公分母不为０
X=a
检验 最简公分母为０
三检验
a不是分式 方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程：
2 4x 3
x2 x 4 x2 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得
2
2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
所以x=２是增根，原方程无解．
所以原分式方程无解．
例2 解方程：
x -1=3-x +2 x+2 x+2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8．
因为此方程无解， 所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
01
分式方程的增根是在分式方 程化为整式方程的过程中， 整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。
例谈分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解
通过解分式方程组，我们可以发现，通常会出现三种情况：有解、增根、无解。
1. 有解的情况
有解的情况就是对方程组所有方程的解，可以为数值，也可以为无理数。
例如：
例1： 8x-4=4x-8
x=-2
例2：令 x=2，则有：
〔4/x－2=(x＋1)/2〕
即4/2-2=(2+1)/2，经过计算得出有解：2=-1
2. 增根的情况
增根的情况就是方程组只有由无理方程构成，但所有方程没有共同解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=(x＋1)/x〕
由于3/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
例2：〔2/x－2=(x＋1)/x〕
由于2/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
3. 无解的情况
无解的情况就是对方程组所有方程没有解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=1/x〕
由于3/x-2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
例2：〔2/x＋2=1/x〕
由于2/x+2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
综上所述，当解分式方程组时，通常会出现三种情况：有解、增根、无解，其中增根和无解比较常见。
针对分式方程组的计算，要正确的区分它们的解。
分式方程的“无解”与“有增根”的区别
分式方程的“无解”与“有增根”的区别作者：徐丽娟来源：《中学生数理化·教与学》2011年第10期初学分式方程的学生经常受到有无增根的困扰，搞不清楚什么时候方程有增根，什么时候无增根，因而时常出错。
尤其是在含有字母的分式方程中，求字母为何值时方程有增根或者方程无解。
遇到这样的问题，学生总是经常出错，究其原因，主要是学生认为既然方程有增根，方程就无解；反之，若方程无解，就表示方程一定有增根。
其实这是一种错误的认识，方程是否有解与方程是否有增根是有着本质的区别，它们之间是不能划等号的。
现举例说明。
一、若整式方程解出的值都是增根，则分式方程一定无解例1 解方程3x+6x-1-x+5x(x-1)=0。
解：两边同时乘以最简公分母x(x-1)，得3(x-1)+6x-(x+5)=0。
解这个方程，得x=1。
检验：当时x=1，x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根，即原方程无解。
点评：求出整式方程的根都是增根时，必须交代“原方程无解”。
二、若分式方程有增根，则整式方程解出的值一定等于增根例2 若关于的方程x-2x-3=mx-3+2有增根，求m的值。
分析：分式方程有增根，表明在转化为整式方程之后解出的未知数的值能使最简公分母的值为0，因此方程的增根是x=3。
解：两边同时乘以x-3，得x-2=m+2(x-3)。
即x=4-m。
因为方程有增根，且只能x=3，所以4-m=3，即m=1。
点评：若分式方程无解，则解出的x=4-m一定是增根，所以4-m=3，从而m=1。
在这里有增根与无解的含义的等同的。
三、若分式方程无解，则可能有两种情况例3 若关于x的方程ax+1x-1-1=0无解，求a的值。
分析：对于分式方程来说，方程无解可能有两种情况：一是解出的值都是增根，则方程无解；二是在转化为整式方程的时候，整式方程本身就无解。
解：两边同时乘以(x-1)，得ax+1-(x-1)=0，即(a-1)x=-2。
（1）若a-1≠0，即a≠1时，x=-2a-1。
浅谈分式方程的增根和无解
2013-12课堂内外分式方程的增根和无解是分式方程中两个重要的概念，学生在学习分式方程的过程中，常常对这两个概念混淆不清，总认为分式方程的无解和增根是同一回事，然而事实并非如此。
分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
分式方程无解是指无论x为何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情况：（1）原分式方程去分母后的整式方程无解。
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但是这个解却使得原分式方程的分母为零，它是原分式方程的增根，从而原方程无解。
一、初步认识无解和增根例1.解分式方程x-3x+2=4-xx+2+2①解：方程两边同乘x+2，得x-3=4-x+2（x+2）②整理得-7=4因为方程②无解，所以原分式方程①无解。
点评：此例说明了分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，因此原分式方程无解。
例2.解分式方程5x+2x2+x=3x+1①解：方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x②解之得x=-1检验：当x=-1，x（x+1）=0，所以x=-1是原方程的增根，从而原分式方程无解。
点评：方程①中x的取值范围是x≠-1且x≠0，而在去分母化为整式方程②后，此时x的取值范围扩大为全体实数。
所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，故原分式方程无解。
归纳总结：1.增根是分式方程转化为整式方程的根，但不是原分式方程的根。
2.无解要分两种情况，一种是分式方程转化为整式方程后整式方程无解，另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。
二、提升对无解和增根的理解例3.关于x的方程xx-3=2+k x-3无解，求k的值。
解：方程两边同乘x-3得：x=2（x-3）+k①x=6-k因为原分式方程无解，但是①有解，所以这个解6-k一定是原方程的增根。
即x=3当x=3时，6-k=3，所以k=3。
分式方程的增根与无解(1)
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别及联系分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解同学们在学习分式方程是，对增根和无解常常迷糊，混淆不清，很多学生认为增根就是无解，无解就是增根，其实不然，举个简单的例子，如果你是中国人，不一定是上海人，但是如果你是上海人，就一定是中国人，这里中国人就代表了无解，上海人就代表了增根。
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．检验：当x=2时，（x+2）（x-2）=0所以x=２是原方程的增根．舍去，所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
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1.下列变形是否正确？如果正确，说出是 如何变形的？如果不正确，说明理由.
x 1 x x2 （1） ； （ 2 ） 2x 2 x 1 x 1 x2 y 2 （3） x y x y ．
ax ax x a (2)因为x≠0,所以 bx bx x b
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例3 化简下列分式：
a bc (1) ; ab
a 2 bc ab ac ac 解： (1) ab ab
2
⑵
x2 1 x 2x 1
2
.
x 1 x 1 ⑵ 2 2 x 1 x 2x 1
x2 1
x1 x 1
2.分式的约分： 把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分. 约分的依据是什么? 分式的基本性质
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练习
化简下列分式。
24ab 2 4ab
解：
3
3
a 2a 2 a 4a 4
2
2
24ab 4ab 6b 6b 2 2 4ab 4ab
化简的结果是：最简分式或整式。
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想一想
x x （1） 与 y y
有什么关系？ 有什么关系？ 有什么关系？
x x 与 y y
x x （2） 与 y y
x x 与 有什么关系？ y y
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还记得有理数的除法法则么？
“同号得正，异号得负” 分式符号变换有依据么？是什么呢？
（化简分式时，通常要使结果成为 最简分式或者整式）
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布置作业：
习题5.2：第1、2题
作业本上
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复习检测
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 2 x （1）5x-7 （2） （3）3x2-1 x 3 xy （ 4） （ 5） （ 6） π
x 2x 1 （ 7） x 1
2
（ 8）
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2x 3 １．分式 x 2 无意义，Ｘ应取什么数？
2x 3 ２．分式 2 有意义，Ｘ应取什么数？ x 3
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a 1 你认为分式 与 相等吗? 2a 2 n n 与 相等吗? 与同伴交流。 mn m
2
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问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什 么性质吗？
分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同 一个不等于0的整式，分式的值不变．
1Hale Waihona Puke :13:59类比分数的基本性质： 分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等 于零的数，分数的值不变. 得到分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零 的整式，分式的值不变。
1.填空 (1) 2 x
x y
2 x x y __________ ( x y 0)
( x y )( x y )
y2 1 (2) 2 y2 y 4 _______
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随堂练习P112
2、化简下列分式：
14mn2 k (1) ; 2 4m n
分式的基本性质:
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分式的分子与分母都乘以或除以 同一个不为零的整式,分式的值不变.
这一性质可以用式子表示为：
b bm b bm ， （m 0） . a am a am
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追问1
应用分式的基本性质时需要注意什么？
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；
（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.
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例2、下列等式的右边是怎样从左边得到的?
b by (1) ( y 0) 2 x 2 xy
ax a ( 2) bx b
讨论: 在例2(2)中 为什么x≠0?
b b y by 解:(1)因为y≠0,所以 2x 2 x y 2xy
a 2a a（a 2） a 2 2 a 4a 4 （a 2） a 2
2
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5 xy 在化简 时，小颖和小明出现了 分歧. 2 20x y
5 xy 20 x y
2
5x 20 x
2
5 xy 20 x 2 y
5 xy 1 5 xy 4 x 4 x
你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流。 最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
x y (2) 3 ( x y)
4 x (3) 2 x 2x
2
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14 mn k 解：（1） 2 2mn 7nk 7nk 2mn 2m 4m n 2m
2
x y (2) 3 ( x y)
2
1 x y 2 ( x y ) ( x y )(x y )(x y )
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第五章 分式与分式方程
§5.4分式方程的增根与无 解（补充）
学习新知 检测反馈
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上节课知识点回顾
①分子分母都是整式 一个概念 分式的概念 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。 列分式
两个应用
求分式的值 分式无意义的条件： 分母等于零
分母不等于零 三个条件 分式有意义的条件： 分式的值为零的条件： 分子等于零 且分母不等于零
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3.填空：
x3 （ x 2） 3x 2 3xy x y （） 1 ， ； 2 xy y （ 2x ） 6x 2 a 1 （ ） 2a b （ 2ab b ） （2） ， （b 0） . 2 2 2 ab ab a ab
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随堂练习P112
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问题2
你能叙述分数的基本性质吗？
分数的基本性质： 一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个 不为零的数，分数的值不变． 问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
a ac a ， 一般地，对于任意一个分数 ，有 b bc b a a c （c 0） , 其中a, b, c 是数． b b c
；
解：（1）正确．分子分母除以x ； （2）不正确．分子乘x，而分母没乘； （3）正确．分子分母除以（x -y）．
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2. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分 母都不含“-”号：
x 4m a 5 y （1） 2 ； （2） ；（3） ； （4） ． 2y 3n 2b x 5y a 4m x 解： （ 1） 2 ；（2） ；（3） ；（4） . 2b 3n 2y x
2 4 x ( x 4 ) (3) 2 2 x 2x x 2x
( x 2)(x 2) x2 x( x 2) x
归纳：
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分式的约分：把一个分式的分子和分母的公 因式约去，这种变形称为分式的约分。
最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫 最简分式。
x 1 3、若分式 2 x 1的值为０，则Ｘ的值是＿＿． | x | 3 4、若分式 x 3 的值为０，则Ｘ的值是＿＿＿．
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问题1
下列分数是否相等？
2 4 8 16 32 ， ， ， ， ． 3 6 12 24 48
解：相等. 追问：这些分数相等的依据是什么？
解：分数的基本性质.