有理数教材分析

为点 P 关于 C 的反称点，如图为点 P 及其 关于 C 的反称点 P 的示意图。
特别地，当点 P′与圆心 C 重合时，规定 CP′=0．
9．在平面直角坐标系 xOy 中， C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于
C 的反称点的定义如下：若 在射．线．CP 上存在一点 P ，满足 CP CP 2r ，则称 P
具体情境中辨认或者举例说明对象。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。
运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。
数轴
在数轴上表示数
比大小
直观感知
符号绝对值
抽象概括 理解掌握 形成技能 渗透方法
有理数的概念 有理数的运算
求点 P 的横坐标的取值范围；
(2)当 C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y 3 x 2 3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，
3
B，若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于 C 的反称点 P 在 C 的内部，求圆心 C 的横
坐标的取值范围。
1)当 O 的半径为 1 时。
9．在平面直角坐标系 xOy 中， C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 C 的反称点的定义如下：若 在射．线．CP 上存在一点 P ，满足 CP CP 2r ，则称 P
符号绝对值
有理数的概念
定义
内涵:概念所反映的事物的本质属性的总和
概念
外延:概念所反映的事物的范围
分类
结构化理解 构建体系
关系性理解
联系
工具性理解
判断
29．在平面直角坐标系 xOy 中， C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 C 的反称点的定义如下：若 在射．线．CP 上存在一点 P ，满足 CP CP 2r ，则称 P
有理数
结构与体系
“数与代数”的主要内容有： 数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计； 字母表示数，代数式及其运算； 方程、方程组、不等式、函数等。
知识逻辑
教学逻辑
思维逻辑
数学的本质是,在认识数量的 同时认识数量之间的关系.
___史宁中
知识逻辑
数量关系
数量关系
知识逻辑
数 量 关系
为点 P 关于 C 的反称点，如图为点 P 及其 关于 C 的反称点 P 的示意图。
特别地，当点(1P)当′与O圆的心半径C为重1 时合。 时，规定 CP′=0．
①分别判断点 M (2,1) ， N ( 3 , 0) ，T (1, 3) 关于 O 的反称点是否存在，若存在？ 2
求其坐标；
给出概念定义 ②点 P 在直线 y x 2上，若点 P 关于 O 的反称点 P存在，且点 P不在 x 轴上，
有理数 实数 表示
对应
字母表示 代数式表示
数量关系
有理数
数
实数
量
表示
关系
对应
表示/计算
字母表示 代数式表示
数量关系
加数法关系(部有分实理与数数总体)
乘量法关系(速度表时示间路程) 字母表示
代数式表示
关系乘方关系(增对长应率)
列算式 列代数式
列代数式 列等式 列不等式
数量关系
列代数式 列等式 列不等式
三步以内为主）。
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（参见例 47）。
了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从 具体情境中辨认或者举例说明对象。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。 掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。
为点 P 关于 C 的反称点，如图为点 P 及其 关于 C 的反称点 P 的示意图。
特别地，当点 P′与圆心 C 重合时，规定 CP′=0．
分析概念内涵
1)当 O 的半径为 1 时。 ①分别判断点 M (2,1) ， N ( 3 , 0) ，T (1, 3) 关于 O 的反称点是否存在，若存在？
2
求其坐标；
三步以内为主）。
（4知）识理技解能有—理—数的运算律，能运用运算律简化运算。
（5）能体运验用从有具理体数的情运境算中解抽决象简出单数的学问符题号（的参过见程例；4理7）解。有理数、实数、代数式、
方了程解、：不从等具式体、实函例数中。知道掌或握举必例要说的明运对算象技的能有（关包特括征估；算根）据。对象的特征，从
求点 P 的横坐标的取值范围；
按P’确定关系----存在
列算式 列代数式
数的历ຫໍສະໝຸດ Baidu发展顺序
自然数 正分数正有理数 正无理数正实数 零非负实数 负数实数 虚数复数
约公元前500年
约公元1世纪
负数对应的不是物，而是事， 即物与物之间的关系。
数量关系
思维逻辑
对象的结构特征
符号与绝对值
符号与绝对值
思维逻辑
对象的结构特征
知识逻辑
教学逻辑
思维逻辑
数学课程标准（2011 版）
理解
1．有理数
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
能（对2）有借理助数数有轴基理本解的相认反识数，和能绝举对例值说的明意有义理，数掌的握有求关有特理征数，的并相能反在数具与体绝对情值境的中方进行辨 认，或法能，描知述道有｜理a｜数的的含特义征（，这并里能a指表出示此有有理理数数）与。有关对象（非负有理数、整数、分数； 数轴、（相3反 ）理数解、乘绝方对的值意）义的，区掌别握和有联理系数。的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以
数学课程标准（2011 版）
数量关系
1．有理数
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方
法，知道｜a｜的含义（这里 a 表示有理数）。
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以
明确概念外延
r
C
P
r
C
P
r CP
CP<r
CP=r
r<CP<2r
P'
CP=2r
r
CP
P'
(1)当 O 的半径为 1 时。
①分别判断点 M (2,1) ， N ( 3 , 0) ，T (1, 3) 关于 O 的反称点是否存在，若存在？
2
求其坐标；
判断
②点 P 在直线 y x 2上，若点 P 关于 O 的反称点 P 存在，且点 P 不在 x 轴上，