向量数量积的运算

练习题：a ? b ? 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a ? tb 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解：设a与b的夹角为? ∵ a ? b与a垂直
?（a ? b）?a ? 0
2
即a ? b?a ? 0
2
2
? a ?b ? a ? a ? 1
? cos ? ? a ?b ? 1
解：(a－b) ·a=|a|2－a·b =4－2×4×(－0.5)=8.
(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=28, |a－b|=2 7 所以 cos ? a, a ? b ?? a ?(a ? b) ? 2 7
| a || a ? b | 7
a ?b
(3). cos? =
| a || b |
平面向量数量积的运r算律r r
已知向量 a , b , c 和实数? ,
则向量的数量积满足：
rr rr （1）a ?b ? b ?a （交换律）
r r rr r r
（2）(? a ) ?b ? ? (a ?b) ? a ?(? b)（数乘结合律）
r r r rr rr （3）(a ? b) ?c ? a ?c ? b ?c （分配律）
?1
O?
A1
r c B1
C
平面向量数量积的常用公式
2
2
(1)(a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b
r (2)(a
?
rr b)?(a
?
r b)
?
r2 a
?
r2 b
例1 已知 a ? 6, b ? 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b 在 a 方向上的投影；| b | cos? =2
（2）a 在 b 方向上的投影；a cos ? =3
? ?? ? （3） a ? 2b ? a ? 3b
? ?? ? 解：（3） a ? 2b ? a ? 3b ? a ?a ? a ?b ? 6b ?b
?
a 2 ? a ?b ? 6b 2?
a
2
?
a
b cos ?
2
? 6b
? 62 ? 6? 4? cos60? ? 6? 42 ? ? 72
ab 2
rr
∵ ? ? [0o，180o ] ? ? ? 60o? a与b的夹角为60o
变形：已知: a=5 b=4, a 与 b 的夹角为 60o
问当 k 为何值时，向量 ka-b与a+2b 垂直？
解：∵（ka ? b）?（a ? 2b） ?（ka ? b）（? a ? 2b）? 0
2
2
即ka ?（2k ? 1）a ?b ? 2b ? 0
（2） (? a ) ?b ? ?r (ar ?b) ? ar?(?rb) 数乘结合律
证明： Q ? (a ?b) ? ? | a || b | cos?
rr rr
若 ? ?0
(? a)?b ? ? | a || b | cos? r r rr
若??0
a ?r(?br) ? ?r| ar|| b | cos?
(? a) ?b ?| ? a || b | cos(? ? ? )
rr
rr
? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos?
rrrr
a ?(?b) ?| a || ?b | cos(? ?? )
rr
rr
? ?? | a ||b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos?
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
正射影的数量 al ? a cos?
3.向量的数量积（内积） a·b= a b cos ? a, b ?
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a? b ? a?b = 0
(2). a?a = |a|2或 | a |? a ?a
r r r rr rr
分析（：(3ar）?(bra)??crb)??acr
?r a ?rc ?r b ?c ? b?c
?c
分配律
? a ? b c cos? ? a c cos?1 ? b c cos? 2
A
r? 2
r
bB
a
rr ?
| a ? b| cos?1? | b| cos?2
2
2
（3）（2a ? b）（? a ? 3b）? 2a ? 5a ?b ? 3b
? 2 a 2 ? 5 a b cos120o ? 3 b 2 ? 8 ? 15 ? 27 ? ? 34
2
2
（4）a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7
2
2
（5）a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19
2
2
k a ?（2k ? 1）a b cos60o ? 2b ? 0
25k ?（2k ? 1）? 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 42 ? 0 k ? 14
2
15
? 当k ? 14时，向量ka ? b与a ? 2b垂直。
15
例4. 已知|a|=2，|b|=4，<a, b>=120° ，求 a 与a －b的夹角。
注意：数量积运算不满足结合律消去律
rr rr （1）交换律： a?b?b?a
rr
证明：设 a , b 夹角为 ? ，
rr r r
则 a ?b ?| a | ?| b | ?cos?
rr r r
b ?a ?| b | ?| a | ?cos?
rr rr 所以 a ?b ? b ?a
r r rr r r
例2.已 知 a 与 b 的夹角为120°,︱a︱=2, ︱b︱=3,求
2
2
（1）a ?b；（2）a ? b ；（3）（2a ? b）（? a ? 3b）
（4）a ? b；（5）a ? b ；
解：（1）a ?b ? a b cos120o ? 2 ? 3 ? (? 1 ) ? ? 3
2
2
2
2
2
（2）a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5