向量数量积的运算
向量数量积公式推导
向量数量积公式推导向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθa,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。
一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。
记作a·b。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。
一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。
拓展资料平面向量数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。
记作a·b。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2性质设a、b为非零向量，则①设 e是单位向量，且 e与 a的夹角为θ，则e·a= a·e=| a|| e|cosθ②a⊥b=a·b=0③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|=a或|a|=√a·a④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角）⑥零向量与任意向量的数量积为0。
运算⑴交换律：a·b=b·a⑵数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c几何意义①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影。
向量运算
向量运算一、 两向量的数量积1）点乘：其结果为一个数b a ∙=··cos b a ∙=·b j a Pr例子：一个物体在力F 的作用下延直线移动到点，由力学知道力F 做功为：1M 2MW=··cosΘ2）点乘公式： 1} a a ∙=2}b a ∙=0则b a ,垂直3）点乘运算律1}交换律：b a ∙=a b ∙ 2}分配率：)(b a +3}结合律 b a ∙)(λ=)(b a ∙λ 4）点乘的坐标表达式 b a ∙=z z y y xx b a b a b a ++5）方向余弦cos =b a ba ∙∙=z z y y x xb a b a b a ++222x x x c b a ++·222y y y c b a ++ 二、 两个向量的向量积1） 叉乘：其结果为一个向量ba ⨯=··sin Θ例子：设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F作用与这跟杠杆的P 点，F与向量的夹角为Θ由力学规定，力对支点的力矩为：M=··sinΘ2）c =b a ⨯ c 的方向垂直与a ，b 确定的平面3） 叉乘公式：1} a a ⨯=02} 如果b a ⨯=0b a ,平行 4） 叉乘运算律：1} 交换律：b a ⨯=a b ⨯-)(2}分配率：=⨯+c b a )(c a ⨯+c b ⨯ 5） 叉乘的坐标表达式b ⨯=a zyxz y x b b b a a a k j i三、 向量的混合积1） 混合积：其结果为一个数，表示体积][c b a =cb a ∙⨯)(。
向量的数量积
数量积可以用于计算向量的长度或模长，即$|vec{A}| = sqrt{vec{A} cdot vec{A}}$。
向量投影
数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度，即 $text{Proj}_{vec{B}} (vec{A}) = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{B}|}$。
定义
向量可以用箭头表示，箭 头的长度代表模长，箭头 的指向代表方向。
表示方法
在平面上，向量可以用有 方向的线段表示；在空间 中，向量可以用有方向的 箭头表示。
注意事项
向量表示法直观易懂，但 无法直接计算数量积，需 要转换为代数法或几何法 进行计算。
03
CHAPTER
向量数量积的坐标表示
坐标表示
定义
积和向量的模。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
力的合成与分解
力的合成
向量数量积可以用于表示力的合成效果，当两个力同时作用于一个物体时，其效果可以由这两个力的 向量数量积来描述。
力的分解
在物理中，一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力的大小和方向可以通过向量数量积来计算。
动量与冲量
动量
物体的动量定义为质量与速度的向量数 量积，即质量乘以速度的大小和方向。
THANKS
谢谢
标量积
数量积的结果是一个标量，而不是向量。
无方向性
数量积不具有方向性，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
性质
交换律
数量积满足交换律，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
分配律
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
向量数量积的概念
向量数量积的概念
向量数量积是一个基本的运算，它也被称为点积或内积。
在向量数量积中，两个向量的点积可以公式表示为向量A和向量B的数量积等于A和B的模长之积乘以它们的夹角的余弦值。
步骤一：理解向量的概念
在学习向量数量积之前，我们首先需要对向量有一个清晰的认识。
向量是一个有方向和大小的量，一般用箭头来表示。
向量可以用二元组或三元组来表示。
步骤二：理解数量积的概念
在向量数量积中，两个向量的点积可以公式表示为向量A和向量B的数量积等于A和B的模长之积乘以它们的夹角的余弦值。
步骤三：计算向量数量积的步骤
向量数量积的计算需要按照以下步骤进行：
1. 将向量A和向量B的坐标分别用二元组或三元组表示。
2. 计算向量A和向量B的模长。
3. 计算向量A和向量B之间的夹角的余弦值。
4. 将向量A和向量B的模长之积乘以它们的夹角的余弦值，得到向量数量积。
步骤四：运用向量数量积
向量数量积在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，向量数量积可以用于计算两个向量之间的夹角，以及两个向量是否垂直或平行。
在工程学中，向量数量积可以用于计算力和力矩。
总结：
向量数量积是一个基本的运算，用于计算两个向量之间的相似程度。
在学习向量数量积时，需要先理解向量的概念，然后了解数量积的概念和计算方法。
向量数量积在物理学、工程学和计算机图形学中都有着广泛的应用。
数量积的计算方法
数量积的计算方法一、数量积的基本概念。
1.1 啥是数量积呢？简单来说，数量积就是一种向量运算。
就好比两个人合作干活，向量就像是这两个人，数量积就是他们合作产生的一种结果。
它是把两个向量对应分量相乘，然后再把这些乘积加起来得到的一个数。
这就像生活中，我们把不同的东西按照一定的规则组合起来，最后得到一个总的结果。
这可不是什么高深莫测的东西，就像搭积木，一块一块按照规则搭好，最后就有了一个完整的造型。
1.2 从数学的角度看，设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，那么它们的数量积a·b=x1x2 + y1y2。
这个式子看起来有点像密码，但其实就是按照前面说的规则来的。
这就好比菜谱，按照步骤来，就能做出一道菜。
这里的步骤就是把向量的对应分量相乘再相加。
二、数量积的计算实例。
2.2 再来看个例子，如果向量a=( 1,2)，向量b=(3, 4)。
那a·b就是( 1)×3+2×( 4)。
这就像我们算收支账，有支出有收入，按照规则来计算。
先算( 1)×3 = 3，再算2×( 4)= 8，最后把它们加起来， 3+( 8)= 11。
这个结果就是这两个向量的数量积。
这也没什么难的，不要被那些符号吓倒，就像俗话说的“兵来将挡，水来土掩”，按照规则计算就好。
2.3 有时候向量可能是三维的，比如向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)。
那数量积a·b就是1×4+2×5+3×6。
这就像我们要完成三件事情，分别计算每件事的成果，然后把它们汇总起来。
先算1×4 = 4，2×5 = 10，3×6 = 18，最后把它们加起来，4+10+18 = 32。
三、数量积的意义和用途。
3.1 数量积的意义可不小呢。
它能表示两个向量在方向上的相似程度。
如果数量积为正，就说明两个向量大致方向相同，就像两个志同道合的朋友，朝着一个方向努力。
向量的数量积运算
向量的数量积运算向量的数量积运算是线性代数中的重要概念之一，它在物理、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面来介绍向量的数量积运算。
一、理论基础1. 定义：向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的一种运算。
对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b，计算公式为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
2. 性质：a) 交换律：a·b = b·ab) 分配律：(a+b)·c = a·c + b·cc) 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)d) 零向量：零向量和任何向量的数量积都为0，即0·a = 0e) 同向和反向：当两个向量夹角为0或180度时，它们的数量积分别为两个向量的模长的积和负值。
二、实际应用向量的数量积在物理、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
1. 物理力学：在物理力学中，向量的数量积可以用于计算力的分解和合成。
对于一个物体受到的力F和它的位移s，根据功的定义可以得到功的表达式W = F·s，其中W表示物体所做的功。
通过计算数量积，可以得到物体受力的方向和位移的夹角，从而求解功的大小。
2. 几何问题：在几何问题中，向量的数量积可以用于判断两个向量是否垂直或平行。
如果两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则它们垂直；如果两个向量的数量积等于两个向量的模长的积，即a·b = |a| |b|，则它们平行。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的数量积可以用于计算向量的投影和判断两个向量的夹角。
通过计算数量积，可以得到一个向量在另一个向量方向上的投影长度，从而实现图形的投影效果。
同时，通过计算数量积，还可以判断两个向量的夹角大小，从而实现图形的旋转和变换。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
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数量积数量积是向量积的一种，是矢量代数中的重要操作之一。
它也被称为点积或内积，常用的符号是“·”或“< , >”。
数量积用于计算两个向量之间的关系，并且具有广泛的应用领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。
在数学上，给定两个向量A和B，它们的数量积可以通过将它们的对应分量相乘然后相加来计算。
假设向量A的分量为(Ax, Ay, Az)，向量B的分量为(Bx, By, Bz)，则数量积C可以表示为以下公式：C = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz通过上述公式，可以计算出两个向量之间的数量积C。
其中，Ax, Ay, Az是向量A的分量，Bx, By, Bz是向量B的分量。
计算得到的结果是一个标量，即一维的实数。
数量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：对于任意向量A和B，都有A·B = B·A。
这意味着两个向量的数量积不受顺序影响。
2. 分配律：对于任意向量A和B，以及标量c，都有(cA)·B =c(A·B)。
这意味着数量积在向量的乘法和标量的乘法之间满足分配律。
3. 长度与角度关系：数量积与向量的长度和向量之间的夹角有关。
具体而言，对于一个非零向量A，它的数量积与自身的长度的平方相等，即A·A = |A|^2。
此外，两个向量A和B的数量积除以它们的长度的乘积等于它们的夹角的余弦值，即(A·B) / (|A| |B|) = cosθ，其中θ是夹角。
数量积在物理学中有着广泛的应用。
例如，根据数量积可以计算出两个力之间的功。
如果一个物体受到一个力F作用，并且沿着位移d移动，那么力F对物体做的功可以表示为F·d。
另外，数量积还可以用于计算力的分解和合成，以及计算物体之间的相对速度和加速度等。
在工程学中，数量积也常常用于计算向量在特定方向上的投影。
例如，如果有一个力F以角度θ相对于某一方向施加在一个物体上，那么力F在该方向上的投影可以表示为|F|cosθ。
数量积与向量积知识点梳理
数量积与向量积知识点梳理数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对数量积和向量积的定义、性质和应用进行梳理。
一、数量积1. 数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的数量积用点号表示为A·B或AB。
2. 数量积的计算公式数量积的计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 数量积的性质数量积具有以下性质： - 交换律：A·B = B·A - 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C - 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数 - 零向量的数量积为0：0·A = 04. 数量积的几何意义数量积的几何意义是向量A在向量B方向上的投影与向量B的模长的乘积。
具体而言，如果A与B之间的夹角为锐角，数量积为正；如果夹角为钝角，数量积为负；如果夹角为直角，数量积为零。
5. 数量积的应用数量积在物理学和几何学中有广泛的应用，如： - 计算力的功和功率：功等于力和位移的数量积，功率等于功和时间的数量积。
- 判断向量的正交性：若两个向量的数量积为零，则它们互相垂直。
- 计算夹角的余弦值：夹角的余弦等于两个向量的数量积除以它们的模长的乘积。
二、向量积1. 向量积的定义向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的向量积用叉号表示为A×B。
2. 向量积的计算公式向量积的计算公式为：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A×B|表示向量积的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 向量积的性质向量积具有以下性质： - 反交换律：A×B = -B×A - 分配律：A×(B + C) = A×B +A×C - 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k为常数 - 零向量的向量积为零：0×A = 04. 向量积的几何意义向量积的几何意义是一个与向量A和B都垂直的向量，它的模长等于A、B构成的平行四边形的面积，方向由右手法则确定。
向量的三种乘法
向量的三种乘法
向量的三种乘法包括点乘（也称为内积或数量积）、叉乘（也称为向量积或外积）和外展（也称为广义的叉积）。
以下是这三种乘法的详细介绍：
点乘（Dot Product）：也叫向量的内积、数量积。
两个n维向量a和b的点积定义为：a·b = a1b1+a2b2+...+anbn。
点乘的几何意义是一个向量在另外一个向量上的投影。
点乘的结果是一个标量，表示两个向量的相似度，两个向量越“相似”，它们的点乘越大。
叉乘（Cross Product）：也叫向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积。
叉乘是两个三维向量之间的运算，其结果是一个向量，模长等于两个向量模长的乘积与它们之间夹角正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的平面，且遵守右手定则。
外展（Outer Product）：对于任意n维向量a和b，外展的结果是一个n×n的矩阵，其元素aij为ai和bj的乘积。
总的来说，点乘主要用来衡量两个向量的相似度，叉乘主要用来生成一个与已有两个向量都垂直的新向量，而外展则可以将一个向量转化为一个矩阵，这在一些数学和物理计算中非常有用。
求平面向量数量积的5种方法
求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。
平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。
本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。
一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。
给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。
当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。
若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。
若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。
根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。
-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。
-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。
向量数量积的五种求法
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
高中数学向量的数量积与向量积
高中数学向量的数量积与向量积高中数学中，向量是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种运算，通常用点号（·）表示。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
从计算公式可以看出，数量积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。
数量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a·b = b·a，即交换律成立。
2. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2，即自身与自身的数量积等于向量的模的平方。
3. 若两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则称这两个向量垂直或正交。
4. 若两个非零向量的数量积为正数，则它们的夹角为锐角；若数量积为负数，则夹角为钝角。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用数量积来判断两个向量是否垂直；在物理学中，可以利用数量积计算功、力等物理量。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的一种运算，通常用叉号（×）表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b。
向量积的计算公式为：a×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角，n为一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a×b = -b×a，即对换律成立。
2. 对于任意向量a，有a×a = 0，即自身与自身的向量积等于零向量。
3. 向量积不满足交换律，即a×b ≠ b×a。
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算引言在空间解析几何中，空间向量是一个常见的概念。
空间向量的数量积运算是一种常用的计算方法。
本文将详细介绍空间向量的数量积运算，并给出相应的数学公式和示例。
数量积的定义空间中的向量a和b的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为a·b。
数量积也被称为点积或内积。
两个向量a和b的数量积可以通过如下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a 和b的夹角。
数量积的性质数量积具有如下一些性质：交换律对于任意向量a和b，有a·b = b·a。
结合律对于任意向量a，b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律对于任意向量a，b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。
零向量的数量积对于任意向量a，有a·0 = 0。
平行向量的数量积对于任意平行的向量a和b，有a·b = |a| |b|。
数量积的几何意义数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
具体来说，给定两个非零向量a和b，它们的数量积a·b的值是一个标量，它表示向量a在向量b方向上的投影，乘以向量b的模长。
数量积的计算方法计算两个向量的数量积可以使用向量的坐标表示方法。
假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b的数量积可以计算为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3示例下面以一个具体的示例来说明空间向量的数量积运算。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为a(2, 3, 1)和b(4, -1, 2)。
首先计算向量a和向量b的模长：|a| = sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(14)|b| = sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(21)然后计算向量a和向量b的夹角的余弦值：cosθ = (2*4 + 3*(-1) + 1*2) / (sqrt(14) * sqrt (21)) ≈ 0.764最后计算向量a和向量b的数量积：a·b = sqrt(14) * sqrt(21) * 0.764 ≈ 9.101因此，向量a和向量b的数量积为9.101。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
向量的数量积与向量的模长计算
向量的数量积与向量的模长计算在数学中，向量是具有大小和方向的量。
它们广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
向量的数量积和模长计算是向量运算的两个重要方面。
本文将详细介绍向量的数量积和模长的计算方法。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积、点积或标量积，是两个向量之间的一种运算。
它的计算方法为将两个向量的对应分量相乘后再相加。
设有两个向量A和B，它们的数量积可以表示为A·B或(A1B1 +A2B2 + A3B3 + ... + AnBn)，其中A1、A2、A3等为向量A的分量，B1、B2、B3等为向量B的分量。
计算向量的数量积的一个简单方法是使用向量的坐标形式。
设向量A的坐标为(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)，向量B的坐标为(b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)，则向量A和向量B的数量积为(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + ... + aₙbₙ)。
数量积具有以下性质：1. A·B = B·A（数量积的交换律）2. (kA)·B = k(A·B) = A·(kB)（数量积与数乘的结合律）3. A·A ≥ 0，且当且仅当A=0时，A·A = 0（数量积的非负性）二、向量的模长计算向量的模长，也称为向量的长度或向量的大小，是一个标量，表示从原点到向量的终点的距离。
向量的模长计算方法有多种。
1. 欧几里得范数欧几里得范数也称为2-范数或L2-范数，是向量模长计算中最常用的一种方法。
对于n维向量A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)，它的欧几里得范数计算公式为∥A∥ = √(a₁² + a₂² + a₃² + ... + aₙ²)。
2. 曼哈顿范数曼哈顿范数也称为1-范数或L1-范数，是向量模长计算的另一种方法。
对于n维向量A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)，它的曼哈顿范数计算公式为∥A∥ = |a₁| + |a₂| + |a₃| + ... + |aₙ|。
向量的数量积与夹角公式
向量的数量积与夹角公式向量的数量积和夹角公式是在向量运算中非常重要的概念，它们在解决向量相关问题时起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍向量的数量积和夹角公式，并探讨它们之间的关系。
一、向量的数量积数量积也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
对于二维向量a和b，其数量积可以表示为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，a · b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b的模长，cosθ表示向量a和向量b之间的夹角的余弦值。
对于三维向量a和b，其数量积可以表示为：a ·b = |a| * |b| * cosθ同样，其中的符号和含义与二维向量的情况相同。
数量积的几何意义是，向量a在向量b上的投影长度与向量b的模长的乘积。
二、夹角公式夹角公式是指通过向量的数量积来计算两个向量之间的夹角。
对于二维向量a和b，夹角公式可以表示为：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)通过这个公式，我们可以计算出向量a和向量b之间的夹角的余弦值。
对于三维向量a和b，夹角公式同样可以表示为：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)夹角公式的应用非常广泛，最常见的是计算两个向量之间的夹角的大小，从而解决几何或物理问题。
三、数量积与夹角公式的关系通过数量积和夹角公式，我们可以相互推导出对方。
例如，通过数量积的公式a · b = |a| * |b| * cosθ，我们可以推导出夹角公式cosθ =(a · b) / (|a| * |b|)。
在实际的问题中，常常通过夹角公式来利用已知的向量及其模长计算数量积。
同样地，通过数量积公式也可以计算出向量之间的夹角。
结论向量的数量积和夹角公式在向量运算中起到了至关重要的作用。
通过数量积，我们可以计算出向量在另一个向量上的投影长度，从而解决向量的投影问题。
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练习题：a ? b ? 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a ? tb 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解：设a与b的夹角为? ∵ a ? b与a垂直
?（a ? b）?a ? 0
2
即a ? b?a ? 0
2
2
? a ?b ? a ? a ? 1
? cos ? ? a ?b ? 1
解：(a－b) ·a=|a|2－a·b =4－2×4×(－0.5)=8.
(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=28, |a－b|=2 7 所以 cos ? a, a ? b ?? a ?(a ? b) ? 2 7
| a || a ? b | 7
a ?b
(3). cos? =
| a || b |
平面向量数量积的运r算律r r
已知向量 a , b , c 和实数? ,
则向量的数量积满足：
rr rr （1）a ?b ? b ?a （交换律）
r r rr r r
（2）(? a ) ?b ? ? (a ?b) ? a ?(? b)（数乘结合律）
r r r rr rr （3）(a ? b) ?c ? a ?c ? b ?c （分配律）
?1
O?
A1
r c B1
C
平面向量数量积的常用公式
2
2
(1)(a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b
r (2)(a
?
rr b)?(a
?
r b)
?
r2 a
?
r2 b
例1 已知 a ? 6, b ? 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b 在 a 方向上的投影；| b | cos? =2
（2）a 在 b 方向上的投影；a cos ? =3
? ?? ? （3） a ? 2b ? a ? 3b
? ?? ? 解：（3） a ? 2b ? a ? 3b ? a ?a ? a ?b ? 6b ?b
?
a 2 ? a ?b ? 6b 2?
a
2
?
a
b cos ?
2
? 6b
? 62 ? 6? 4? cos60? ? 6? 42 ? ? 72
ab 2
rr
∵ ? ? [0o，180o ] ? ? ? 60o? a与b的夹角为60o
变形：已知: a=5 b=4, a 与 b 的夹角为 60o
问当 k 为何值时，向量 ka-b与a+2b 垂直？
解：∵（ka ? b）?（a ? 2b） ?（ka ? b）（? a ? 2b）? 0
2
2
即ka ?（2k ? 1）a ?b ? 2b ? 0
（2） (? a ) ?b ? ?r (ar ?b) ? ar?(?rb) 数乘结合律
证明： Q ? (a ?b) ? ? | a || b | cos?
rr rr
若 ? ?0
(? a)?b ? ? | a || b | cos? r r rr
若??0
a ?r(?br) ? ?r| ar|| b | cos?
(? a) ?b ?| ? a || b | cos(? ? ? )
rr
rr
? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos?
rrrr
a ?(?b) ?| a || ?b | cos(? ?? )
rr
rr
? ?? | a ||b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos?
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
正射影的数量 al ? a cos?
3.向量的数量积（内积） a·b= a b cos ? a, b ?
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a? b ? a?b = 0
(2). a?a = |a|2或 | a |? a ?a
r r r rr rr
分析（：(3ar）?(bra)??crb)??acr
?r a ?rc ?r b ?c ? b?c
?c
分配律
? a ? b c cos? ? a c cos?1 ? b c cos? 2
A
r? 2
r
bB
a
rr ?
| a ? b| cos?1? | b| cos?2
2
2
（3）（2a ? b）（? a ? 3b）? 2a ? 5a ?b ? 3b
? 2 a 2 ? 5 a b cos120o ? 3 b 2 ? 8 ? 15 ? 27 ? ? 34
2
2
（4）a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7
2
2
（5）a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ?b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19
2
2
k a ?（2k ? 1）a b cos60o ? 2b ? 0
25k ?（2k ? 1）? 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 42 ? 0 k ? 14
2
15
? 当k ? 14时，向量ka ? b与a ? 2b垂直。
15
例4. 已知|a|=2，|b|=4，<a, b>=120° ，求 a 与a －b的夹角。
注意：数量积运算不满足结合律消去律
rr rr （1）交换律： a?b?b?a
rr
证明：设 a , b 夹角为 ? ，
rr r r
则 a ?b ?| a | ?| b | ?cos?
rr r r
b ?a ?| b | ?| a | ?cos?
rr rr 所以 a ?b ? b ?a
r r rr r r
例2.已 知 a 与 b 的夹角为120°,︱a︱=2, ︱b︱=3,求
2
2
（1）a ?b；（2）a ? b ；（3）（2a ? b）（? a ? 3b）
（4）a ? b；（5）a ? b ；
解：（1）a ?b ? a b cos120o ? 2 ? 3 ? (? 1 ) ? ? 3
2
2
2
2
2
（2）a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5