第九章板壳结构有限元解析
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基于面积坐标性质，上述位移模式还可改写为：
薄板三角形单元
进行一系列的推导后，可得到
形函数的具体计算式为：
薄板三角形单元
建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不复杂：位移模式→ 应变离散→ 应力离散→刚度矩阵→载荷向量→约束处理→求解。
但位移模式是建立在面积坐标上的，相关的计算怎么进行？
导数间的关系为
单元数 （1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
Mxy=Myx
内力列向量为
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载
此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理
与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
x
θx1 1
3 那么
y
θy1 w1
z
2
薄板三角形单元
应用实例
四边简支板的中心挠度系数计算
单元数 （1/4板）
2×2
4×4
板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153
8×8 解析解
0.004098 0.004042
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然 十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成， 完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于 矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 建立的形函数形式如下：
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4，
x 、y方向长度分别为2a、
2b的矩形板单元如图所示。 每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算： 假设板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例
受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，泊松比为0.3)
第九章 板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 ~ 1 h1~1 100 80 b 8 5
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠 度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。
每个分块的
薄板矩形单元
薄板矩形单元形函数的性质 对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 另外，N1对x，y的偏导数在各结点 处均为零。？？？ 于是，位移函数可表达为：
薄板矩形单元
薄板矩形单元应变离散
薄板矩形单元
薄板矩形单元应力离散 那么，相应的，内力矩
薄板矩形单元
薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的 展开进行积分
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率 y向曲率应力问题的弹性矩阵：
薄板基础理论知识
图示为板的一个微元体。为方便计，取x和 y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截 面上的正应力σx可合成为一个力偶，从而 构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯 矩）Mx。 同理，在垂直于y轴的横截面上的正应力σy 合成弯矩My，剪应力τxy合成扭矩Mxy，剪 应力τyx合成扭矩Myx,由于剪应力互等
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法
薄板三角形单元
进行一系列的推导后，可得到
形函数的具体计算式为：
薄板三角形单元
建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不复杂：位移模式→ 应变离散→ 应力离散→刚度矩阵→载荷向量→约束处理→求解。
但位移模式是建立在面积坐标上的，相关的计算怎么进行？
导数间的关系为
单元数 （1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
Mxy=Myx
内力列向量为
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载
此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理
与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
x
θx1 1
3 那么
y
θy1 w1
z
2
薄板三角形单元
应用实例
四边简支板的中心挠度系数计算
单元数 （1/4板）
2×2
4×4
板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153
8×8 解析解
0.004098 0.004042
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然 十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成， 完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于 矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 建立的形函数形式如下：
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4，
x 、y方向长度分别为2a、
2b的矩形板单元如图所示。 每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算： 假设板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例
受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，泊松比为0.3)
第九章 板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 ~ 1 h1~1 100 80 b 8 5
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠 度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。
每个分块的
薄板矩形单元
薄板矩形单元形函数的性质 对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 另外，N1对x，y的偏导数在各结点 处均为零。？？？ 于是，位移函数可表达为：
薄板矩形单元
薄板矩形单元应变离散
薄板矩形单元
薄板矩形单元应力离散 那么，相应的，内力矩
薄板矩形单元
薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的 展开进行积分
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率 y向曲率应力问题的弹性矩阵：
薄板基础理论知识
图示为板的一个微元体。为方便计，取x和 y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截 面上的正应力σx可合成为一个力偶，从而 构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯 矩）Mx。 同理，在垂直于y轴的横截面上的正应力σy 合成弯矩My，剪应力τxy合成扭矩Mxy，剪 应力τyx合成扭矩Myx,由于剪应力互等
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法