人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
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人教课标版《二项式定理》PPT精品课件1
1.5二项式定理
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项？各项系数 各是什么？
(a b)4
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
问题
(a b)n
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
an-rbr＋…＋
Cnnbn
二项式定理
(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)
＝C0nan＋C1n an-1b＋C2n an-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋ C rnrnann--rrbrr＋…＋ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n+1项.
x
Tr＋1＝ C1r0 (3x2)10－r(－
1 x
)r
＝C
r 10
·
310－
r·
x20－ 2r·
(－1)r ·x－2r
＝
(－1)r ·
310－ r·Cr10
·
x20－
5r 2
令
20－
5r 2
＝0
∴r＝8 r∈N
∴ (3x2－1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 Ｐ３２ ： １、２、３、 ４、５、６、
a2 ab ab b2 (a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝C03 a3＋ C13a2b＋ C23ab2＋C33 b3
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项？各项系数 各是什么？
(a b)4
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
问题
(a b)n
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
an-rbr＋…＋
Cnnbn
二项式定理
(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)
＝C0nan＋C1n an-1b＋C2n an-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋ C rnrnann--rrbrr＋…＋ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n+1项.
x
Tr＋1＝ C1r0 (3x2)10－r(－
1 x
)r
＝C
r 10
·
310－
r·
x20－ 2r·
(－1)r ·x－2r
＝
(－1)r ·
310－ r·Cr10
·
x20－
5r 2
令
20－
5r 2
＝0
∴r＝8 r∈N
∴ (3x2－1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 Ｐ３２ ： １、２、３、 ４、５、６、
a2 ab ab b2 (a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝C03 a3＋ C13a2b＋ C23ab2＋C33 b3
6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理一等奖完整ppt课件
在数学中的地位和作用
二项式定理是组合数学中的基本定理之一，它描述了两个向量的和的n次幂的展 开式。
在组合数学中，二项式定理被广泛应用于排列、组合、概率论等领域。同时，它 也是多项式定理的基础之一。
03
二项式定理的证明方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学归纳法
数学归纳法是一种证明二项式定理的有效方法。首先，我们需要证明当n=1时，二项式定理成立。然 后，假设当n=k时，二项式定理成立，再证明当n=k+1时，二项式定理也成立。通过这个递推关系， 我们可以得出结论：当n为任意正整数时，二项式定理都成立。
二项式系数的应用
举例说明二项式系数在解决实际问题中的应用，如概率计算、统计 学等。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和影响
重要的数学工具
二项式定理是数学中重要的工具 之一，在代数学、数论、组合数
学等学科中都有广泛的应用。
解决问题的关键
二项式定理可以解决一些经典的 数学问题，如组合问题、概率问 题等，为人们提供了重要的解题
思路和方法。
对其他学科的影响
二项式定理不仅在数学学科中有 重要的地位，还对其他学科如物 理学、工程学、计算机科学等产
生了深远的影响。
与其他数学分支的联系和相互渗透
01
与代数学的联系
二项式定理与代数学中的多项式理论密切相关，可以看作是多项式的一
种推广和应用。
02
与组合数学的相互渗透
二项式定理与组合数学有着密切的联系，它可以用来解决一些组合问题
数学归纳法的关键步骤是：第一步，证明基础情况（n=1）成立；第二步，假设归纳基础（n=k）成 立，并由此推断归纳步骤（n=k+1）成立。第三步，根据归纳步骤得出结论，证明二项式定理对所有 正整数n都成立。
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
的展开式中含
x32的项的系数为
30，则
a＝
A. 3
B．－ 3
C．6
() D．－6
[解析] (2)∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－x23r＝(－2)rCr5·x10－5r，由 10 －5r＝0，得 r＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.
(3)Tr＋1＝Cr5( x)5－r·－xar＝Cr5(－a)rx5－22r，由5－22r＝32，解 得 r＝1.由 C15(－a)＝30，得 a＝－6.故选 D.
[答案] C
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(2)(2016·安徽安庆二模)将x＋4x－43 展开后，常数项
是________．
[解析]
x＋4x－43＝
x－
2 6 x
展开式的通项是
Ck6
( x)6－k·－ 2xk＝(－2)k·Ck6( x)6－2k.
令 6－2k＝0，得 k＝3.
所以常数项是 C36(－2)3＝－160.
[答案] (2)C (3)D
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(4)
x－ 1 24
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
[解析]
(4)
x－ 1 8 24 x
的展开式的通项为
Tr ＋ 1 ＝
Cr8·( x)8－r2－4 1xr＝－12rCr8x16－4 3r(r＝0,1,2，…，8)，为使
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
[方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题的思路
(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个， 如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
高中数学《二项式定理》说课获奖课件
(k∈{0,1,2, ‥· n})
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
引导学生对二项展开式的特点进
行分析，从而加深对二项式定理的理
解，形成知识体系。
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*) 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
类比(a+b)2 与 (a+b)3 ，你能否写出 (a+b)4 的展 开式呢？
那么
n (a+b) =？
巩固已有的思想方法，建 立猜想二项式定理的认知基础
在学生通过猜想得出二项式定理后，师
生共同对学生得出的知识进行完善，得出
二项式定理的内容。
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ห้องสมุดไป่ตู้·＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
2 1 C C 恰有1个取b的情况有 2 种，则ab前的系数为 2
恰有2个取b的情况有 C
2 2 2 种，则b 前的系数为
C
2 2
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
引导学生对二项展开式的特点进
行分析，从而加深对二项式定理的理
解，形成知识体系。
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*) 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
类比(a+b)2 与 (a+b)3 ，你能否写出 (a+b)4 的展 开式呢？
那么
n (a+b) =？
巩固已有的思想方法，建 立猜想二项式定理的认知基础
在学生通过猜想得出二项式定理后，师
生共同对学生得出的知识进行完善，得出
二项式定理的内容。
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ห้องสมุดไป่ตู้·＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
2 1 C C 恰有1个取b的情况有 2 种，则ab前的系数为 2
恰有2个取b的情况有 C
2 2 2 种，则b 前的系数为
C
2 2
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
二项式定理优质课课件
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 究形如 (a b的)n展开式问题。
二项展开式的结构特征：
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n，
③展开式中项的排列方式如何？
字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb
a2 2ab b2
项的形式： a 2
ab
问：合并同类项后的展 开式中，共有几项？
b2 每项的次数为几次？
项的系数： C20
C21
C2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab (a b)(a b) (a b)(a b)
b
3
探究3 仿照上述过程,推导 (a b)4的展开式.
(a b)2
(a b)3 (a b)4
(a b)n ?
问题6: 将（a b）n展开并整理后的多项式 ？
二项式定理
二项式定理：
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ；
C32
C33
有几项？ 每项的次数
分析a2b (a b)(a b)(a b)
为几次？ 展开式项的
(a b)(a b)(a b)
C31
排列方式如 何？（按照a
(a b)(a b)(a b)
的降次幂还 是升次幂排
列的？）
展开式：
(a
b)3
C30a 3
C31a 2b
C 32 ab 2
C
3 3
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
(完整word版)人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖).docx
二项式定理（第 1 课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－ 3 第一章第 3 节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。
由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、学情分析这一堂课是面对高二学生。
学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。
能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。
但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。
三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。
（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。
四、设计思想：本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．五、教学重点与难点：重点： (1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
人教版高中数学《二项式定理》优质教学课件
二项式定理
——人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3
[问题 1]有人说 (1 x)70 的展开式中有 x 47 项，你认为对吗？
若有，它的系数是多少？
[问题 2]我们学习了 (a b)2 的展开式，那么 (a b)n 的展
开式会怎样呢？
[问题 2]我们学习了 (a b)2 的展开式，那么 (a b)n 的展
k 第一、从 n 个括号中选择 k 个括号选“ b ” ，有 Cn 种选择； nk 第二、剩余括号选择“ a ”就 Cn k 1 种选法， k k 1 Cn 根据分步计数原理有 Cn 种选法. k k 所以，项 a n k bk 的同类项有 Cn ，故 a n k bk 的系数为 Cn （ k {0,1, , n} ）.
(a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)3 .
(3) 探究 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式的特点.
(3) 探究 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式的特点.
(a1 b1 )(a2 b2 ) a1a2 a1b2 b1a2 bb 1 2 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) (a1a2 a1b2 b1a2 b1b2 )(a3 b3 ) a1a2a3 a1a2b3 a1a3b2 a1b2b3 a2a3b1 a2bb 1 3 a3bb 1 2 bb 1 2b3
所以， (a b) 展开式每一项满足 Cn a
n
k
n k k
b （ k {0,1, , n} ）.
二项式定理
0 n 1 n1 k nk k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b
——人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3
[问题 1]有人说 (1 x)70 的展开式中有 x 47 项，你认为对吗？
若有，它的系数是多少？
[问题 2]我们学习了 (a b)2 的展开式，那么 (a b)n 的展
开式会怎样呢？
[问题 2]我们学习了 (a b)2 的展开式，那么 (a b)n 的展
k 第一、从 n 个括号中选择 k 个括号选“ b ” ，有 Cn 种选择； nk 第二、剩余括号选择“ a ”就 Cn k 1 种选法， k k 1 Cn 根据分步计数原理有 Cn 种选法. k k 所以，项 a n k bk 的同类项有 Cn ，故 a n k bk 的系数为 Cn （ k {0,1, , n} ）.
(a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)3 .
(3) 探究 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式的特点.
(3) 探究 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式的特点.
(a1 b1 )(a2 b2 ) a1a2 a1b2 b1a2 bb 1 2 (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 ) (a1a2 a1b2 b1a2 b1b2 )(a3 b3 ) a1a2a3 a1a2b3 a1a3b2 a1b2b3 a2a3b1 a2bb 1 3 a3bb 1 2 bb 1 2b3
所以， (a b) 展开式每一项满足 Cn a
n
k
n k k
b （ k {0,1, , n} ）.
二项式定理
0 n 1 n1 k nk k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b
高中数学二项式定理公开课精品PPT课件
1.3 二项式定理 第一课时 二项式定理
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含1 x5ຫໍສະໝຸດ 的项的系数．思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
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aa3b4 4个1个a3ab4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4 C441 个a3b C462 个a2b2 C443 个ab3 C414 个b4
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次得 aa单到ab项．ab式bbbaaaababbbb
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
ab2 ab2
ab2
3个ab2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
b3 1个b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
证明： （项的结构）
各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b
的 n 次单项式，有 an , an1b, an2b2 ,
,ankbk ,
, bn
共 n 1项．
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
证明： （项的系数）
n
a
n
项是从
n
个因式中都不取
b，有
C
0 n
种；
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b，有
C
1 n
种；
a b n2 2
项是从
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab aaaa aaab aa bb abbb
bbbb
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
a3 1个a3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
a4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a3b a3b a3b a3b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)(a b)
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4 C441 个a3b C462 个a2b2 C443 个ab3 C414 个b4
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次得 aa单到ab项．ab式bbbaaaababbbb
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
ab2 ab2
ab2
3个ab2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
b3 1个b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
证明： （项的结构）
各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b
的 n 次单项式，有 an , an1b, an2b2 ,
,ankbk ,
, bn
共 n 1项．
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
证明： （项的系数）
n
a
n
项是从
n
个因式中都不取
b，有
C
0 n
种；
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b，有
C
1 n
种；
a b n2 2
项是从
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab aaaa aaab aa bb abbb
bbbb
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
a3 1个a3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
a4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a3b a3b a3b a3b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)(a b)
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4