中职数学立体几何
人教版中职数学教案第九章立体几何[18份教案]
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9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．新课轴，使它们相交于点A'，且∠x'A'y'＝45°；(2)过点D作AB的垂线，设垂足为E；(3)在x'轴上截取A'E'=AE，E'B'=EB，然后作E'D'平行于y'轴，而且使E'D'＝12ED；(4)过点D'作x'轴的平行线D'C'，且D'C' =DC；(5)连接A'D'，B'C'，则四边形A'B'C'D'就是梯形ABCD的直观图．画直观图的基本步骤：(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们的夹角为45°；(2) 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半；(4)连接有关线段．练习一1．作边长为3 cm的正方形的直观图．2．作边长为3 cm的等边三角形的直观图．例2 画长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图．画法：(1)用例1的方法画一个长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD；(2)过A作z'轴，使之垂直于x'轴，在z'轴上截取AA' =2；(3)过点B，C，D分别作z'轴的平行线BB'，CC'，DD'，并使BB' =CC' =DD'=2 cm，连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'；(4)擦去x'轴、y'轴、z'轴．并把看不到的线段引导学生根据例题总结出画直观图的基本步骤．教师强调重点，学生识记．指导学生在原图中如何建立坐标系画直观图更容易．学生根据例1的方法作出长方体底面的直观图，教师重点讲解步骤(2) (3) (4)．学生完成练习，进一步体会直观图的画法．学生在作图的过程中体会斜二测画法的作图规则．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】9.2.1空间中的平行直线【教学目标】1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．【教学重点】平行线的基本性质．【教学难点】空间中图形平移的性质．【教学方法】这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】9.2.2 异面直线【教学目标】1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】异面直线的判定．【教学难点】异面直线的夹角．【教学方法】这节课主要采用实物演示法和类比教学法．先通过大量实例给学生以直观感知，再由平面几何两直线的位置关系引出异面直线的概念，由平面内两直线的夹角引出异面直线的夹角，并通过题目加深对各概念的理解．9.2.3 直线与平面平行【教学目标】1. 掌握空间直线和平面的位置关系．2. 掌握直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明．3. 通过动手，培养学生勇于实践、合理推理的能力，并使学生树立将空间问题向平面问题转化的思想，体会数学来源于生活，并服务于生活．【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理．【教学难点】直线与平面平行的判定定理，性质定理的理解和应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系，判断定理和性质定理．利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.2.4 平面与平面的平行关系【教学目标】1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．【教学重点】平面与平面平行的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．A9.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】9.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．【教学过程】9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】(1) (2)9.4.1棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．环节教学内容师生互动设计意图导入什么样的几何体叫做多面体？学生结合图片以及实际生活经验讨论问题．演示实物与图片，提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．新课1．多面体由若干个多边形围成的封闭的空间图形，叫做多面体；围成多面体的各个多边形叫多面体的面，两个相邻面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．练习一请你判断下面的多面体分别是几面体？2. 棱柱和它的性质（1）棱柱的定义问题：什么样的多面体叫做棱柱？它们有什么共同特征？学生小组合作，对照模型说一说多面体的面、棱、顶点、对角线各是什么．教师引导，学生口答．完成练习一．学生根据呈现的图片以及实物，总结出棱巩固多面体的相关概念．新课一个多面体，如果有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行，这样的多面体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)；其余各面叫做棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段或它的长度，叫做棱柱的高．（2）棱柱的表示用棱柱两底面的字母表示，如棱柱ABC-A'B'C'．（3）棱柱的分类侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的性质观察下列几何体，回答下列问题：（1）两个底面多边形间的关系是什么？（2）上下底面对应边间的关系是什么？（3）侧面是什么平面图形？（4）侧棱之间的关系是什么？棱柱的性质：（1）棱柱的每一侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．（2）两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．3.平行六面体和长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．柱的特点，得出棱柱的定义．学生对照课件，指出棱柱各部分的名称．教师呈现各种实物，结合直观图，体会各种棱柱之间的区别．按照不同的标准，对多面体进行分类．教师呈现多个棱柱，提出四个问题，学生进行讨论回答，逐步总结出一般棱柱的性质．对于直棱柱和正棱柱的性质，采用教师提问，学生回答的形式，总结出来．通过课件演示，让学生总结出性质（2）（3）．教师采用呈现直观图，让学生对四种棱柱进行类比，观察各个棱柱的特点．找出相同点学生自己总结棱柱的共性，由具体到抽象，加深对定义的理解．从棱柱到长方体，正方体，让学生体会由一般到特殊的9.4.2棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．【教学过程】9.4.3直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题：某工厂有一个排风管，管身为中空的正五棱柱，尺寸如图所示．计算出制作管身所需的平板下料面积．（不考虑排风管的壁厚）解所求排风管一个侧面的面积为10×30＝300（cm2）．那么制作管身所需的平板下料面积为5×300＝1 500（cm2）．教师设置实际场景，学生运用初中知识解决问题．教师给出侧面展开图，引出课题．根据实际生活的问题，设置情境，引发学生积极思考．提出新的解决方案，引发新的思考．新1．直棱柱的侧面积把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长C，宽等于直棱柱的高h，因此直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝Ch．练习一师：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？学生用课前准备的纸制棱柱模型沿侧棱展开．学生自己推导直棱柱侧面积公式．通过动手操作，提高学生学习的兴趣，更容易理解记忆侧面积公式．ch9.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入呈现实物，设置问题情境：怎样作出圆柱、圆锥的直观图？教师呈现图片．学生对比图片与实物，体会立体形与直观图的关系．新课例1 画水平放置的圆的直观图．画法：(1)在圆上取一对相互垂直的直径AB，CD，分别以它们所在的直线为x轴，y轴．画对应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'＝120°．(2)将圆O的直径AB分为n等份，过分点画平行于y轴的弦CD，EF，…．在x'轴上以O'为中点画线段A'B'，使A'B'= AB，将A'B'也分为n等份，以各分点为中点画y'轴的平行线段C'D'，E'F'，…，使C'D'= CD，E'F' = EF，…．(3)用平滑的曲线顺次连接A'，D'，F'，B'，E'，C'…，A'就得到圆的直观图，它是一个椭圆．总结一般步骤：(1)在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，把它们画成对应的O'x'轴和O'y'轴，∠x'O'y'＝120°（或60°），它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于xˊ轴或yˊ轴的线段；教师边演示，边讲解．学生和教师同步完成直观图．教师引导学生总结出正等测画法的步骤．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．让学生体会“化曲为直”的解决问题的方法．让学生总结画法的步骤，加深对正等测画法的理解．新课(3) 平行于x轴或y轴的线段长度不变．练习一画一个水平放置的半径等于4 cm圆的直观图．例2 画底面圆半径为0.8 cm，高为2.5 cm的圆锥的直观图．画法：(1)画轴：取x 轴、y 轴、z 轴，使它们两两相交成120°；(2)画底面：以O为中心，按x轴、y轴画半径等于0.8 cm的圆的直观图，然后在z轴上，取线段OS=2.5 cm．(3)成图：画圆锥的两条母线SA，SB与底面椭圆相切．再加以整理就得到所画的圆锥直观图．练习二已知一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为6 cm，画出它的的直观图．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．类比棱柱，棱锥直观图的画法，学生完成例2．教师强调应注意的问题．师生总结作旋转体直观图的一般步骤．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．小结1. 正等测画法的一般步骤．2. 旋转体直观图的画法．师生共同总结．作业1. 画一个水平放置的半径等于2 cm圆的直观图．2. 已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，高为4 cm，画出它的直观图．9.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．9.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题下面的物体呈什么形状？教师呈现有关球的图片．学生结合图片以及实际生活经验，举出更多关于球的例子．由丰富的图片和实物出发，激发学生兴趣．新课1．球的概念与性质半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．球的各个元素（如图所示）：（1）球心；（2）球的半径；（3）球的直径；球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．球面可以看作空间中与定点（球心）距离等于定长（半径）的点的全体构成的集合（轨迹），同样，球体也可以看作空间中与定点距离等于或小于定长师：球是由什么图形旋转而来的？生：圆，半圆．教师结合直观图讲解球的各个元素．师：仿照初中圆的定义，你能给出球面的另一种定义吗？理解定义，体会旋转体动态形成的过程．由具体的实物到抽象的直观图，培养学生的空间想象能力．O直径半径球心新课的点的全体构成的集合．用一个平面去截一个球，截面是圆面：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径r，有下面的关系：d＝R2－r2．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．知识拓展：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．例1 我国首都北京靠近北纬40︒纬线上，求北纬40︒纬线的长度．（地球半径约为6 370 km）解：如图，设A是北纬40︒圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK⊥AK．设 c 是北纬40︒的纬线长，因为∠AOB=∠OAK=40︒，强调注意球体与球面的联系与区别．结合图形，引导学生作出辅助线，利用勾股定理得到结论．教师可借助地球仪，帮助学生理解概念．师：假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机，设想一下，它应该沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?(1)济南和广州间的距离是一条线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢?(3)这无数条弧中，长度最短的是哪条?教师分析，从立体图形中抽象到平面图形，引导学生用初中所学知识解决问题．学生在教师的引导下，逐步完成证明过程．看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教师可以利用模型帮助学生理解．借助这个例题，教师再次强调将立体几何问题转化为平面几何问题的思路．OAKB40 °αOO'dRrP。
中职数学拓展模块上册第四章立体几何教学设计课件
性质3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面. 【说明】 这里“确定一个平面”指的是“有且只有一个平 面”. 根据上述性质,可以得出下面的三个结论: (1)直线与这条直线外的一点可以确定一个平面. (2)两条相交直线可以确定一个平面. (3)两条平行直线可以确定一个平面.
(1)在下列条件中,可以确定一个平面的是 ( B )
【说明】 与线面垂直几个有关的结论: ①如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内 任意一条直线. ②过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直. ③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也 垂直于这个平面. ④两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.
3.平面与平面垂直的判定与性质 (1)两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这两 个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β. 表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边形的 一组对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形(图(1)),也 可以把直立的平面画成平行四边形(图(2)).
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面
(2)下列命题正确的是
( B)
A.若直线a在平面α外,则a∥α.
B.直线a在平面α外,直线b在平面α内,若a∥b,则a∥α.
C.直线b在平面α内,若直线a∥平面α,则a∥b.
D.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a∥b.
3.平面与平面 (1)平面与平面的位置关系: 如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.平面α 与平面β平行,记作α∥β. 空间两个平面的位置关系有两种:平行与相交. (2)平面与平面平行的判定方法: 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么 这两个平面平行. (3)平面与平面平行的性质: 如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行.
中职数学立体几何复习要点
中职数学立体几何复习要点展开全文1.多面体、旋转体的相关概念及公式定义表面积计算公式体积计算公式多面体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球2.斜棱柱直棱柱正棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体正棱锥的斜高正棱台正棱台的斜高斜棱柱3.平面的基本性质平面的基本性质平面的基本性质三.4. 平面基本性质的推论推论 1 ：.推论 2 ：.推论 3 ：5. 空间中两条直线的位置关系位置关系定义共面情况公共点相交平行异面6. 平行公理（平行的传递性）7. 异面直线定理：.线所成的角：异面直.所成的角的范围：异面直线. 8.空间中直线与平面的位置关系位置关系平面与平面相交平面与平面平行公共点符号表示图形表示9.直线与平面平行的判定定理：10.直线与平面平行的性质定理11.直线与平面垂直的判定定理：12.直线与平面垂直的判定定理的推论：13.直线与平面垂直的性质定理：15.平面的斜线与平面所成的角的概念：16.平面的斜线与平面所成的角的范围：17.平面与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点符号表示图形表示18.平面与平面平行的判定定理14. 平行于平面的直线到平面的距离：20.平面与平面平行的性质定理21.两个平行平面间的距离：. 22.二面角的平面角的概念：. 23.二面角的大小范围：.24.平面与平面垂直的判定定理：25.平面与平面垂直的性质定理：26._____________________________27.若点，点，则________________________________ ；__________________ ；是线段的中点，则的坐标是28.假定，且向量与三个坐标轴都不平行时，有。
中职数学立体几何部分重要题型练习
立体几何重点例题例1：已知正三棱锥46A BCD AB BC-==，，，E为CD中点①求证：CD⊥平面ABE②求证：平面ACD⊥平面ABE③求：二面角A CD B--的余弦值④求：点A到平面BCD的距离⑤求：AB与平面BCD所成角的余弦值例2：在正三角形ABC中，AD BC⊥于D，如图所示，沿AD折成二面角B AD C--后，12BC AB=，求二面角B AD C--的大小.例3：已知SA⊥正方形ABCD所在平面，O为AC与BD的交点，5AB SC==（1）求证：BD SC⊥ABCDEABDCDABSO（2）求证：平面SBC⊥平面SAB（3）求：点S到平面ABCD的距离（4）求：点S到直线BC的距离（5）求：直线SC与AB所成角的余弦值（6）求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值（7）求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数例4：已知正方体1111ABCD A B C D-中，E是AB的中点（1）求1BA与1CC夹角的度数；DAB CD1A1B1C1E（2）求1BA 与1CB 夹角的度数；（3）求1A E 与1CB 夹角的余弦例5：已知正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 对角线的交点 （1）求证：1//C O 平面11AB D （2）求证：1A C ⊥平面11AB DCDBC 1D 1A 1B 1OA立体几何重点例题 答案例1：已知正三棱锥46ABCD AB BC -==，，，E 为CD 中点 ① 求证：CD ⊥平面ABE .证明：连接BE AE ，，因为E 为CD 中点，在正三棱锥中AC AD BC BD ==，所以AE CD BE CD AE BE E ⊥⊥=I ，且 所以CD ⊥平面ABE .② 求证：平面ACD ⊥平面ABE .证明：由上题可知，CD ⊥平面ABE又CD ⊂平面ACD所以平面ACD ⊥平面ABE .③ 求：二面角A CD B --的余弦值.解：由AE CD BE CD ⊥⊥，所以AEB ∠即二面角A CD B --的平面角 在Rt ACE ∆中，可求得AE ===在BCD ∆中，可求得622BE BC === 所以222cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠===g g 所以所求二面角A CD B --的余弦值为7. ④ 求：点A 到平面BCD 的距离. 解：过点A 作AF BE ⊥于点F由CD ⊥平面ABE ，得CD AF ⊥，又因为BE CD E =I 所以AF ⊥平面BCD所以AF 即所求点A 到平面BCD 的距离由正三棱锥的定义可得，F 是BCD ∆的中心，也是重心可得2233BF BE =⨯=⨯=，2AF == 所以所求点A 到平面BCD 的距离为2. ⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值. 解：由上题可知，AF ⊥平面BCD故BF 为AB 在平面BCD 内的射影所以ABF ∠即AB 与平面BCD 所成的角在ABF ∆中，24AF AB ==， 所以可知21sin 42ABF ∠== 所以30ABF ∠=︒，cos cos302ABF ∠=︒=. 例2：在正三角形ABC 中，AD BC ⊥于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B AD C--后，12BC AB =，求二面角B AD C --的大小.解：由已知可得BD AD CD AD ⊥⊥，所以BDC ∠即二面角B AD C --的平面角由正三角形ABC 可得，12BD DC AB ==，又因为12BC AB = 所以BD DC BC ==，所以BDC ∆为等边三角形 故60BDC ∠=︒所以所求二面角B AD C --为60︒. 所以SA BD ⊥又四边形ABCD 为正方形所以BD AC ⊥，又SA AC A =I所以BD SAC ⊥平面 所以BD SC ⊥（2）求证：平面SBC ⊥平面SAB . 证明：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面ABCDEABCDCDABSO所以SA BC ⊥，又因为BC AB ⊥，AB BC B =I 所以BC SAB ⊥平面又BC SBC ⊂平面，所以平面SBC ⊥平面SAB .（3）求：点S 到平面ABCD 的距离. 解：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面所以SA 即所求点S 到平面ABCD 的距离在Rt SBC ∆中，SB =所以在Rt SAB ∆中，3SA ==因此所求点S 到平面ABCD 的距离为3.（4）求：点S 到直线BC 的距离.解：由前面所证可知BC SAB ⊥平面，所以BC SB ⊥所以SB 即所求点S 到直线BC 的距离 由前可知SB =所以点S 到直线BC .（5）求：直线SC 与AB 所成角的余弦值.解：因为//AB CD所以SCD ∠即SC 与AB 所成的角由前可知SD ==所以222cos 25SC CD SD SCD SC CD +-∠===g g 因此所求直线SC 与AB 所成角的余弦值为5.（6）求：直线SB 与平面ABCD 所成角的正切值. SA ⊥ABCD 所以AB 即为SB 在平面ABCD 内的射影所以SBA ∠即所求的直线SB 与平面ABCD 所成的角 在Rt SAB ∆中，tan 4SA SBA AB ∠===（7）求：平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数. 解：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面所以SA AC SA AB ⊥⊥，所以CAB ∠即二面角C SA B --的平面角 因为ABCD 为正方形，所以45CAB ∠=︒即所求平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数为45︒.例4：已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点 （1）求1BA 与1CC 夹角的度数； （2）求1BA 与1CB 夹角的度数； （3）求1A E 与1CB 夹角的余弦.解：（1）因为11//BB CC所以11B BA ∠即所求1BA 与1CC 的夹角 因为四边形11BAA B 为正方形 所以1145B BA ∠=︒即所求1BA 与1CC 夹角的度数为45︒（2）连接111CD B D ，因为1111//A D BC A D BC =且 所以四边形11A D CB 为平行四边形 所以11//BA CD所以11B CD ∠即所求1BA 与1CB 所成的角 易证1111B D CD B C ==所以1160B CD ∠=︒，即所求的1BA 与1CB 所成的角为60︒DA B CD 1A 1B 1C 1E（3）连接1A D ED ，，易证11//A D B C 所以1DA E ∠即所求的1A E 与1CB 所成的角 设正方体的棱长为2则11ED A D A E ======所以22211111cos 2A D A E DE DA E A D A E +-∠===⨯⨯即所求角的余弦为5.例5：已知正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 对角线的交点 （1）求证：1//C O 平面11AB D . （2）求证：1A C ⊥平面11AB D .证明：（1）连接11BC DC ，因为1111//DD BB DD BB =且 所以四边形11BB D D 为平行四边形 所以11//D B DB又因为1111//D C AB D C AB =且 所以四边形11AD C B 为平行四边形 所以11//AD BC所以可得平面11//AB D 平面1BDC 所以两平面没有公共点 又因为11OC BDC ⊂平面 所以111OC AB D 与平面没有公共点所以111OC AB D //平面 （2）连接1A D由已知可知正方形11ADD A 中，11AD A D ⊥又因为CD ⊥平面11ADD A ，所以1A D CD ⊥ 所以11AD A DC ⊥平面，所以11AD AC ⊥ 同理，连接11A C可以证得1111111B D AC B D CC ⊥⊥，所以1111B D AC C ⊥平面所以111B D AC ⊥ 所以111AC AB D ⊥平面.CDBC 1D 1A 1B 1OA。
中职立体几何复习
a
b a
b
M
l
la
l b
l
Ma
b
例1.空间四边形ABCD，AB AC，DB DC，
A
E为BC中点，求证：BC AD.
常用方法
.
B
D
E
C
线线垂直— 线面垂直—线线垂直
例2. 在正方体AC1中，取
D1
C1
DD1的中点E，AC和BD交于
O点。求证：OB1⊥面EAC
A1 E
B1
D
C
.
O
A
B
一直线垂直于平面,它们所成的角是直角;
一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
例1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面 ABCD，AB= ,BC=1，PA=2
求⑴直线PA与平面ABCD所成的角 ⑵直线PB与平面ABCD所成的角正切值 ⑶直线PC与平面PAD所成的角的余弦值
P
A B
D C
练习1、如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平 面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝1，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角 的大小．
5、 二面角的平面角 知 识 梳 理
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
注意：二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
l
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都. 要垂直于二面角的棱
4）二面角的范围是 00 1800
平面角是直角的二面角叫做直二面角
中职数学教学立体几何 ppt课件
放到不同 位置的本
桌子
动脑思考 探索新知
两个平面平行的性质： 如果一个平面与两个平行平面相交， 那么它们的交线平行． 如图所示，如果 // ，平面 与 、 都相交，交线分别为m、n，那么
m∥n．
运用知识 强化练习
画出下列各图形： （1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面．
创设情境 兴趣导入
将铅笔放到与桌面平行的位置，用矩形
硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边
铅笔
紧贴桌面(如图)，观察铅笔及硬纸片与桌面
的交线，发现它们是平行的．
创设情境 兴趣导入
直线与平面的三种位置关系
动脑思考 探索新知
直线与平面平行的性质： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面 和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图所示，设直线 l 为平面 与平面 的交线，直线m在平面 内且m ∥ 则 m ∥ l ．
B
A
C
四.平面的性质 性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。
“确定一个平面”指 的是“存在着一个平面， 并且只存在着一个平面” ．
1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面． 2．两条相交直线可以确定一个平面． 3．两条平行直线可以确定一个平面．
A
(1)
(2)
（3）
例 在长方A体 BCDA1B1C1D1中，画出 A、 由C、D1
创设情境 兴趣导入
将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点； 抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到 文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．
动脑思考 探索新知
职中数学第九章 立体几何
第九章 立体几何一、 判断题：（每小题2分，共20分）1．三个点确定一个平面。
（ ）2．三角形是一个平面。
（ ）3．经过一点和一条直线有且只有一个平面。
（ ）4．平行于同一条直线的两条直线平行。
（ ）5．过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条。
（ ）6．一条直线和一个平面内的一条直线平行，一定和这个平面平行。
（ ）7．一条直线和一个平面平行，就和这个平面内的所有直线都没有公共点。
（ ）8．若一个平面内有一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。
（ ）9．若两个平面没有公共点，则这两个平面平行。
（ ）10．矩形的平行射影一定是矩形。
（ ）一、判断下列命题的真假：（每小题2分，共20分）1、在空间一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（ ）2、空间两个向量一定共面，三向量不一定共面。
（ ）3、长方体的对角线相等。
（ ）4、过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行。
（ ）5、两个平面只要三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面。
（ ）6、如果两个平面相交，那么它们的交点不一定在交线上。
（ ）7、已知直线a//平面α，且直线b//平面α，则a//b 。
（ ）8、任给三个向量，空间任一向量都可用这三个向量表示。
（ ）9、过平面外一点可以作无数个平面与这个平面平行。
（ ）10、正方形的平行射影一定是菱形。
（ ）1、两条直线无公共点是这两条直线平行的（ ）A 、充分而非必要条件B 、必要而非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、在空间四边形ABCD 中，如果E 、H 分别是AB 、AD 边上的点，且41==HD AHEB AE，F 、G 分别是BC 、CD 的中点。
那么四边形EFGH 是（ ）A 、平行四边形B 、梯形C 、矩形D 、菱形3、三条直线相交于一点，可以确定的平面个数是（ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、1个或3个4、下列正确的命题是（ ）A 、矩形的平行射影一定是矩形B 、过平面外一条直线可作无数个平面与该平面平行C 、在空间，若OA//O 1A 1，OB//O 1B 1，则∠AOB=∠A 1O 1B 1D 、空间四条直线a,b,c,d ，若a//b ，c//d ，且a//b,则b//c.5、三条直线两两垂直，则下列命题中正确的是（ ）A 、三条直线必共点B 、其中必有两条直线异面C 、三条直线不可能在同一平面内D 、其中必有两条直线在同一平面内6、四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，F ，G 分别是AD 、DC 的中点，则FG •BA=（ ） A 、a B 、-221a C 、-241a D 、241a 7、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三个向量共面的是（ ）A 、1，1，BB 1 B 、AB ，AD ，AA 1C 、B 1B ，AC 1，DB 1D 、AD ，A 1B 1，CC 18、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列不正确的是（ ）A 、＜AC CD 1＞=60ºB 、＜AB ，C 1A 1＞=135ºC 、＜AB ，AD ＞=90º D 、＜AB ，BA ＞=180º9、已知A （3，-2，1），B （-2，3，5）两点，有一点P 在0 轴上，且|PA|=|PB|，则P 的坐标是（ ）A 、（-512，0，0） B 、（-1，0，0） C 、（-52，0，0） D 、（2，0，0） 10、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 1•BC=（ ）A 、0B 、1C 、3D 、26、空间中的四点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ）A 、 可能有三个，也可能有一个B 、可能有二个，也可能有三个C 、可能有四个，也可能有一个D 、可能有4个，也可能有两个7、异面直线a 、b 分别在两个平面上α、β，α∩β=C ，则直线C （ ）A、与a、b都相交B、与a、b都不相交C、至少与a、b中的一条相交D、至多与a、b中的一条相交8、已知直线L⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题（1）α∥∥m （2）α⊥β⊥m（3）L∥m α⊥β（4）α∥β⊥m其中正确命题是（）A、(1)(2)B、(3)(4)C、(2)(4)D、(1)(3)9、下列命题中错误的是（）A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线B、若一平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面D、若一平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。
中职数学立体几何
机械设计
机械设计中需要考虑到机械零件的形 状、大小、位置等因素，立体几何可 以为机械设计提供精确的数据和资料 。
05 中职数学立体几何复习题及解析
CHAPTER
空间几何体部分的复习题及解析
总结词
了解空间几何体的结构特征，掌握常见几何体的体积和表面积计算方法，能根据几何体 的形状进行分类。
详细描述
总结词
理解点、线、面之间的基本关系，掌握直线与平面平行的判定和性质，能解决简单的证明题。
详细描述
点、线、面关系是中职数学立体几何中的基础内容之一，主要涉及点与点、点与线、点与面、线与线、线与面以 及面与面之间的关系。在复习时，建议首先理解基本概念和定理，然后通过例题解析掌握判定和性质，最后能解 决一些简单的证明题。
几何体的表面积和体积
表面积
球体的表面积计算公式为4πr²，其中r为球的半径；圆柱体的表面积计算公式 为2πrh+2πr²，其中r为底面圆的半径，h为高；圆锥体的表面积计算公式为 πrl+πr²，其中r为底面圆的半径，l为母线长。
体积
球体的体积计算公式为4/3πr³，其中r为球的半径；圆柱体的体积计算公式为 πr²h，其中r为底面圆的半径，h为高；圆锥体的体积计算公式为1/3πr²h，其中 r为底面圆的半径，h为高。
04 棱柱
05 棱锥
以一个点为球心，以任意 长为半径，包围在球体外 的曲面称为球面。球体是 一个旋转体，其特性有： 球心与半径、球的截面圆 、球的表面积与体积。
如果一个长方形的长等于 底面圆的直径，那么这个 长方体就称为圆柱体。圆 柱体的特性有：底面圆、 侧面展开图、表面积与体 积。
圆锥体是一个旋转体，其 底面圆与侧面展开图都是 扇形。圆锥体的特性有： 底面圆、侧面展开图、表 面积与体积。
中职数学第九章立体几何章节复习课件
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （２）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， ∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
一、学习要求
1.了解柱，锥，球及简单组合体的结构特征. 2.理解柱，锥，球的表面积及体积公式，理解平面的基本 性质及确定平面的条件. 3.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的 判定及性质. 4.掌握空间直线与平面，章节的内容. （2）在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化 归与转化思想等. 主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直 的相互转化等.
课堂探究
1.知识链接： （1）平面的基本性质
体会平面的概念，能够简单画出平面，了解平面的表示方法，了解 平面的基本性质.
（2）空间两条直线的位置关系 了解两条直线的三种位置关系，会求两条异面直线所成的角，能判断 两条直线平行及利用等角定理判断角相等. （3）直线与平面的位置关系 了解直线与平面的三种位置关系，理解直线与平面平行、垂直的判定 和性质定理，并会用这些定理进行简单的判断和证明，会求直线与平面 所成的角.
证明：直线PC与平面ABD垂直.
证明：∵ AP=AC，D为PC的中点
∴ AD PC
∵ BP=BC ，D为PC的中点
∴ BD PC
∴ 直线PC与平面ABD垂直
（3）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱和底面边长都是2， D是AC的中点.
① 求证：BD⊥A1D； ② 求直线BA1与平面A1ACC1所成角的正切值； ③ 求点B1到平面A1BD的距离.
中职数学《立体几何》单元检测试题及参考答案
中职数学《立体几何》单元检测一.选择题1、直线L 与平面α内的两条直线垂直，那么L 与平面α的位置关系是 （ ）A 、平行B 、L ⊂αC 、垂直D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ）A 、b//平面αB 、b ⊂αC 、b ⊥平面αD 、b//平面α或b ⊂α3、已知,b ,,a b a b a ααα ⊄⊂ 直线和平面，若，那么（ ） A 、b ⊂α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ）A ．π34B ．π2C ．π4D ．π85.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( )A.平行B.相交C.垂直D.无法确定6、下列命题正确的是（ ）A 、空间任意三点确定一个平面；B 、两条垂直直线确定一个平面；C 、一条直线和一点确定一个平面；D 、两条平行线确定一个平面7倍，那么这个二面角的度数是 （ ）A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o8、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （）A、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形 9、如图，是一个正方体，则∠ B 1AC= （ ）A 、30oB 、45oC 、60oD 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为( ) A.2 B ．2 C ．第5题二.填空题11、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________12、已知平面α//β，且α、β间的距离为1，直线L 与α、β成60o 的角，则夹在α、β之间的线段长为 。
13、在正方体1111D C B A ABCD -中,与棱AA’异面的直线共有_____条. 14、夹在两个平行平面间的平行线段________________三.解答题15、（10分）如图所示，长方体1111D C B A ABCD -中，3,2,11===C C BC AB ，求 （1）B A 1与11D C 所成的角的度数；(2)1BC 与平面D D CC 11所成的角的度数。
中职数学基础模块下立体几何测试题 (一)
中职数学基础模块下立体几何测试题 (一)
中职数学基础模块下的立体几何是数学知识中的重要内容之一，本文
将根据中职数学基础模块下的立体几何测试题，从以下几点进行分析。
一、二维与三维
立体几何是几何的一个分支，与平面几何、解析几何等其他几何分支
不同，它关注的是三维模型，如正方体、球体、棱柱等。
而在立体几
何中存在一些与二维几何相似的概念，如点、线、面等，但这些概念
在立体几何中具有更加丰富的内涵，需要结合三维模型进一步理解。
二、空间距离
在立体几何中，我们还需要掌握空间距离的概念。
空间距离表示的是
物体之间的距离，需要在三维模型的基础上进行计算。
例如，在确定
两个顶点之间的距离时，我们需要绘制一条连接这两个顶点的线段并
计算其长度。
三、基本图形
正方体、球体、棱柱等是立体几何中的基本图形，在掌握这些基本图
形的基础上，我们才能进一步理解和掌握其他复杂的立体模型。
例如，当我们要确定一个棱锥的体积时，我们需要先将其分解为一个棱锥和
一个棱柱，再进行计算。
四、综合运用
在立体几何测试题中，我们需要综合应用上述知识点来解决问题。
例
如，可能会给出一个立方体的体积和表面积，要求我们根据这些数据
计算其边长；或者可能会要求我们计算一个锥体的侧面积和总表面积，需要我们首先将其进行分解。
总之，立体几何作为数学知识中的一部分，其相关概念和计算方法是
非常重要的，而在学习和应用的过程中，需要结合不同的题目进行理
解和练习，不断提高自己的认知水平和实际应用能力。
中职数学立体几何
机械设计中的立体几何
零件建模
机械设计师使用立体几何知识构建零件的三维模 型。
运动分析
通过立体几何对机械部件的运动轨迹、速度、加 速度等进行精确分析。
有限元分析
在机械设计中，有限元分析是一种常用的方法， 立体几何是实现这一方法的关键。
计算机图形学中的立体几何
3D建模
在计算机图形学中，3D建模是基础，立体几何提供了构建三维物 体的理论和技术。
在计算机图形学中，图形 变换是实现三维图形渲染 和动画的关键技术之一。
04
立体几何的实际应用
建筑中的立体几何
建筑设计
建筑师利用立体几何知识进行建 筑设计，如空间布局、角度计算、
透视效果等。
结构分析
建筑结构工程师使用立体几何来 分析建筑结构的稳定性、承重能
力等。
施工测量
在建筑施工过程中，需要进行精 确的测量和定位，立体几何提供
特点
立体几何具有抽象性和直观性，它通 过逻辑推理和证明来研究空间图形的 性质，同时借助图形和模型来直观地 理解空间关系。
立体几何的重要性
实际应用
数学学科基础
立体几何在建筑、工程、机械等领域 有着广泛的应用，如建筑设计、施工 图纸绘制、机械零件的制造等。
立体几何是数学学科中的基础课程之 一，对于后续学习其他数学课程，如 解析几何、微积分等具有重要意义。
中职数学立体几何
目录
• 立体几何概述 • 立体几何基础知识 • 立体几何的图形变换 • 立体几何的实际应用 • 立体几何的解题技巧 • 立体几何的练习题与答案
01
立体几何概述
定义与特点
定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它主要探讨空间 中点、线、面、体之间的关系，以及 它们的性质、形状和度量。
中职数学单招一轮总复习《立体几何》复习课件
典例精讲
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例1 下列说法中，正确的是（ ）． A．一个平面长8 cm，宽3 cm B．2个平面叠在一起比1个平面要厚 C．空间中任意三点可以确定一个平面 D．一个矩形长4 cm，宽2 cm
解析 根据平面的概故选D．
【名师点睛】 本题考查学生对于平面概念的理解，即平面是没有大小、没有厚薄、 光滑的、可以无限延展的图形．
2．用集合符号语言表示“直线 l 与平面 α 交于一点A”：__________________．
活学活练
二、填空题
第 22 页
3．两个相交平面可以将空间分成__________部分，三个两两相交的平面最多可将空间分 成__________部分．
典例精讲
变式训练1 下列说法中，正确的是（ A．空间任意三点都能确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．三角形一定是平面图形 D．梯形不一定是平面图形
）．
第 14 页
典例精讲
第 15 页
例2 三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定_____________个平面．
解析 由推论3可知，经过两条平行直线，可以确定一个平面．本题中三条直线两两 平行，故可以确定3个平面，即答案为3．
活学活练
一、单项选择题
第 20 页
3．若点A在直线α上，直线α又在平面α内，则对点A、直线α与平面α之间的位置
关系表述正确的是（ ）．
A．A a
B．A a
C．A a
D．A a
4．下列不能确定一个平面的是（ A．一条直线和这条直线外一点 C．空间中两条相交的直线
）．
B．空间中的三个点 D．空间中两条平行的直线
第 17 页
证明 因为 m∥n ，所以直线 m，n 可以确定一个平面α，从而有m ，n ． 因为 Am，B n，所以 A，B ，又因为 Al，Bl，所以直线 l ，从而有 直线 m，n，l 共面．
中职数学第九章立体几何知识点
中职数学第九章立体几何知识点立体几何一、平面平面是无限延展且没有边界的光滑平坦的几何概念。
其基本性质包括：定理1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么这条直线在这个平面内。
记作：l⊆α。
定理2：如果两个平面有公共点，那么有且仅有一条过该公共点的公共直线。
记作：p∈αβ ⇒ αβ=l,p∈l。
定理3：不在同一条直线上的三点确定一个平面。
结论1：直线与直线外一点可以确定一个平面。
结论2：两条相交线可以确定一个平面。
结论3：两条平行线可以确定一个平面。
二、空间直线空间直线的位置关系包括相交、平行和异面，分类如下：有一个公共点的共面直线，包括相交、平行。
无公共点的共面直线，包括相交和平行。
不共面直线，为异面。
1.异面直线异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。
判定定理为：一条直线与平面相交，该直线与平面内不过交点的直线是异面直线。
即a∩α=A,b⊆α,A∉b ⇒ a,b是异面直线。
异面直线所成的角为经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角，范围为0到π。
2.平行平行公理为：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理为：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论为：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等。
三、直线与平面1.直线与平面的位置关系包括相交、平行和在平面内。
记作：a∩α=A,a∥α,a⊆α。
2.直线与平面平行判定定理为：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
即ab,a∋α,b⊆α ⇒ a∥α。
性质定理为：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
即a∥α,a⊥β,β⊆α ⇒ a∥β。
3.直线与平面所成的角为斜线l与它在平面α内的射影的夹角，范围为0到π。
4.直线与平面垂直的定义为一条直线如果与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条线与这个平面垂直。
中职-第九章 立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥， 球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 ②四棱柱 底面为平行四边形且侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.5面积、体积公式：2S c h S c h S S h =⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
中职数学教学课件：第9章立体几何
建筑空间规划
通过空间几何体的运用，建筑师 可以更好地规划和利用建筑空间， 以满足不同的使用需求，如住宅、
商业和工业建筑等。
建筑结构分析
在建筑结构分析中，空间几何体 可以用来描述和分析建筑的受力、 稳定性和抗震性能等，以确保建
筑计
在机械设计中，空间几何体被广泛应用于描述和分析各种 机械零件的形状、尺寸和位置等，以确保机械设备的正常 运转。
详细描述：在几何图形中，直线与平面的位置关系可以 通过图形的性质和定理来判断。例如，在长方体中，面 对角线所在的直线与过其顶点的平面垂直。
03
空间几何体的性质和分 类
空间几何体的性质
01
02
03
04
空间几何体具有三维空 间中的位置和大小。
空间几何体具有面、边 和顶点等基本元素。
空间几何体的面与面之 间存在相交或平行关系。
中职数学教学课件第9 章立体几何
目 录
• 立体几何简介 • 点、直线和平面的关系 • 空间几何体的性质和分类 • 空间几何体的表面积和体积 • 空间几何体的位置关系 • 空间几何体的应用
01
立体几何简介
立体几何的定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量性质。
图形分解法
将复杂的几何体分解为简单的几何 体，分别计算各部分的体积，然后 求和。
图形组合法
将两个或多个几何体组合在一起， 计算整个组合体的体积。
特殊空间几何体的表面积和体积
长方体的表面积和体积
长方体的表面积等于2ab+2bc+2ac， 体积等于长×宽×高。
正方体的表面积和体积
中职数学 第十四章 立体几何
图 14-15
第二节 平面及其性质
二、 平面的三条基本性质
在初中我们学过了点和直线的基本性质，即 （1）连接两点的线中，线段最短； （2）过两点有且只有一条直线. 几何中的点和直线都是抽象概念，所画出的点不考虑其 大小，所画出的直线也不考虑其粗细.同样，几何中的平面也 是抽象的概念，尽管在日常生活中大家知道什么样的物体表 面是平的，什么样的物体表面是凸凹不平的，但这只是我们 对平面形象的直观认识.人们在长期的观察和社会实践中，总 结出了关于平面的三条基本性质.
思考与讨论
长方体是四棱柱吗？直四棱柱是长方体吗？
第一节 空间几何体
棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……可分别 叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱……如图14-2（a）为三 棱柱，图14-2（b）为四棱柱，图14-2（c）为五棱柱.
棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或用一条对角 线端点的两个字母来表示，如图14-2（b）所示的四棱 柱可表示为“棱柱ABCD-A1B1C1D1”或“棱柱AC1”. 棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱 叫作直棱柱，侧棱与底面不垂直的棱柱叫作斜棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.
（2）正三棱柱的体积.
图 14-4
第一节 空间几何体
3. 棱锥
第一节 空间几何体
（1）棱锥的结构特征. 观察图14-5所示的几何体.
中职数学对口升学复习第九部分《立体几何》基础知识点归纳及山西历年真题汇编
第九部分立体几何【知识点1】平面及其表示方法1.定义：平面是指光滑并且可以无限延展的图形。
可以画出平面的一部分来表示平面。
2.表示方法：通常画平行四边形来表示平面，并用小写希腊字母αβγ、、等表示，也可以用平行四边形四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来表示。
如平面ABCD ，或平面AC,平面BD.3.点、线、面的表示方法立体几何中，通常用大写字母A,B,C,......表示点，小写字母a,b,c,...,l,m,n...,表示直线。
点、线、面之间的位置关系可以用集合语言来描述如下：l l =l ;l ;;;;;A l A l A A l l l l m A l m A l A l A l l l l AB αααααβαβαααααααααααβαβαβαβα∈∉∈∉⋂⊂⊄⋂=⋂=⊥⊥ 点在直线上：A ;点不在直线上：A ;点在平面上：A ;点不在平面上：A ;平面与平面交线是l：;直线在平面内：直线不在平面内：直线与直线相交于点：直线与平面相交于点：直线与平面平行：直线与平面垂直：两平面与平行：；两平面垂直：；棱为，面为，的二面角：-AB -l .βαβ--或【知识点2】几何图形的直观图画法--斜二测画法1.几何图形的直观图几何图形可以用具有立体感的平面图形来表示，这种平面图形通常叫做直观图。
2.画平面图形直观图的步骤：(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°。
(2)原图形中平行于x轴的线段，直观图中画成平行于x′轴的线段且长度不变．(3)原图形中平行于y轴的线段，直观图中画成平行于y′轴的线段且长度为原来的一半．(4)连接有关线段。
例：【注意】：画两个平面相交的图形时，一定要画出交线，图形中被遮住的线段，要画成虚线或者不画。
如下图：图2【知识点3】平面的基本性质性质及推论内容图形性质1如果直线1上的两个点都在平面a 内，那么直线l 上的点都在平面内性质2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线性质3不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面推论1直线与这条直线外的一点可以确定一个平面推论2两条相交直线可以确定一个平面推论3两条平行直线可以确定一个平面【知识点4】空间中的直线与平面1.空间两条直线的位置关系①相交直线：在一个平面内，有且只有一个公共点②平行直线：在一个平面内，没有公共点平行线的性质：平行与同一直线的两条直线平行，如果直线,,a b b c a c 则.αABαβAlBAαCαAααβ③异面直线：不在同一个平面，没有公共点2.异面直线：①定义：不同在任何一个平面内的两条直线②判定：连接平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线③异面直线的画法：αAαabαab④异面直线所成的角：αA'a 空间中两条异面直线a,b ，经过空间中任意点O 做直线'',a a b b ，''b a 与所成的锐角(或直角)，叫作直线a,b 所成的角或夹角.【注意】：①如果两条直线平行，则它们所成的角(或称“夹角”)为0︒②如果两条异面直线所成的角是直角，则这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.③异面直线所成角的范围:(0,90]︒︒【知识点5】空间中直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内：有无数个公共点.(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点'b O(3)直线与平面平行：没有公共点.2.直线与平面垂直：(1)线面垂直的定义:一条直线和平面内任何一条直线都垂直。
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9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
1、空间中最小的元素是 ?
2、我们可以把空间看作 面动成体；
的集合，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，
3、直线与平面都可以看成是点的集合．可以用集合语言来描述点、直线和 平面之间的关系以及图形的性质．
9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
(1)反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有 “两面共一线，且过这一点，线唯一”；
(2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点， 它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2的作用
（1）判定两个平面是否相交； （2）可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个 平面的公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
表示出长方体ABCD-A1B1C1D1的6个面。
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
（2）
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论3
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
（3）
9.1 平面的基本性
数学立体几何一直是数学的一大难点。因为它要求我们有立体感， 在一个平面内把几何图形的立体感想象出来。
不怕麻烦的心理 灵活应用的头脑 仔细计算的能力
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
（1）“不在一条直线上”和“三点”是基本性质3的重点字眼，如果没有前者，
那么只能说“有一个平面”，但不唯一。如果将“三点”改成“四点”那么过四点不一定 确定一个平面．由此可见“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的恰到好处的条件。
（2） 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平
面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，这就表明这个图形是确定的，所 以也可以说成“确定一个”.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论1
（1） 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面。直线与点A共属于平面α且平面α 唯一。
（1）
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论2
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
如图中 Δ ABC，若 AB,BC在平面 α 内，判断AC是否在平面 α 内？
解： AB在平面α内， A点一定在平面α内.
又 BC在平面α内， C点一定在平面α内. 点A、点C都在平面α内， 直线AC在平面α内
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2
观察下图，你能发现到什么？
光滑的桌面、平整的纸张、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
9.1 平面的基本性
▐ 平面的概念和性质
平面的定义：
平面是一个只能描述而不定义的最基本的概念，它是从日常见到的具体的平面抽象 出来的理想化的模型 .
9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1
观察下图：
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1
图形表述：
符号表述： A l, B l; A , B l （直线l在平面内或平面经过直线l）
文字表述： 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内)
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2
图形表述：
l
A ●
符号表述：
A , A l且A l
（平面与平面相交，交线为l）
文字表述： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的 集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相交)。
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2的理解
机械设计
航天轨道 ▼
▲
房屋设计图纸 ▲
衣服款式立体图形
立体几何
▐ 几何体的概念
一切物体都占据着空间的一部分，如果我们只考虑物体的形 状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体 .
立体几何
▐ 构成空间几何体的基本元素
点
最基本的图形
线
面与面相交形成
面
包围着体
立体几何
▐ 构成空间几何体的基本元素
几何里的平面的特征：
1. 平 2. 无限延展 3. 不计大小 4. 不计厚薄
( 不是凹凸不平 ) ( 没有边界 ) ( 无所谓面积 ) ( 没有质量 )
9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横边长等于其邻边长的 2 倍。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
图形表述：
符号表述： ABC三点不共线推断出有且只有一个平面α，使得A α,B α, C α
即A,B,C不共线 A,B,C确定一平面
文字表述： 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
立体几何
第九章 立体几何
主讲--邓秋阳
立体几何
苏州博物馆新馆 路思义教堂
立体几何
卢浮宫
立体几何
香港中银大厦
立体几何
立体几何
为什么学习立体几何
有的同学会问道：老师，我们现在学习立体几何由有什么用处，完全是为了应付考试的吧！ 了解它对我们有什么帮助？在生活中我们有运用到它了吗……
立体几何
学习立体几何会让你的立体感增强。以前看不出来的三维图形，现在都能看出来！ 当你的立体感增强后，在思考问题时，能做到从多个角度立体地看问题！ 你会发现实际中的应用实在是太多了，在我们生活中是随处可见的！
画表示非水平非竖直放置的平面时，只要将 锐角画成不等于45°即可 .
9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
9.1 平面的基本性
▐ 例题
判断下列说法是否正确？ (1) 两个平面比一个平面厚 ; (2) 圆和平面多边形都可以表示平面 ; (3) 用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界； (4) 任何一个平面图形都是一个平面 ;.
以长方体为例，长方体由六个矩形 ( 包括内部 ) 围成 围成长方体的各个矩形叫做长方体的面 相邻两个面的公共边叫做长方体的棱 棱和棱的公共点叫做长方体的顶点
思考一下： 长方体有几个面？几条棱？几个顶点？
立体几何
平面的基本性质
9.1 平面的基本性质
生活中有没有“平面”呢？
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的概念
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1的作用
（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线 上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）基本性质1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为： 把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内， 则该面为平面.
PS：将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平 整。