上海交通大学2018高等代数试题(1)
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
一、填空题
41
1.（ 2018? 上海）行列式
的值为
。
25
【答案】 18
【解析】【解答】
41
=45-21=18
25
ac
【分析】
=ad-bc 交叉相乘再相减。
bd
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】 2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
【分析】原函数 f x 与反函数图像关于 y=x 对称，如：原函数上任意点
x0, y0 ，则反函数
上点为 y0, x0
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】 2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
5.（ 2018? 上海）已知复数 z 满足（1 i）z 1 7i （ i 是虚数单位），则∣ z∣=
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】 2018 年高考数学真题试卷（上海卷） 3.（ 2018? 上海）在（ 1+x ） 7 的二项展开式中， x 2 项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】 21
【解析】【解答】（
C x 1+x ） 7 中有 T r+1 =
rr
7 ，故当
r=2
时， C72=
（3，1），则 a=
。
log 2 ( x
a ) ，若 （f x）的反函数的图像经过点
【答案】 7
【解析】【解答】 （f x）的反函数的图像经过点 （3，1），故 f x 过点（1，3），则 f 1 3 ，
log 1 a 2
2018年高考数学上海卷高考真题(含答案)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在71x +（）的二项展开式中，2x 项的系数为 。
(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈，函数()2()f x log x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 。
5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位)，则z = 。
6.记等差数列{}n a 的前几项和为Sn ，若3870,14a a a =+= ，则7S = 。
7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α= 。
8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0),(2,0),,A B E F -是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 。
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为n 1N*n a q n =+∈（），前n 项和为n S 。
若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q = 。
11.已知常数0a >，函数()222()|2f x ax =+的图像经过点6,5p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若236p q pq +=，则a = 。
12.已知实数x x y y ₁、₂、₁、₂满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为 。
二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.B.C.D.14.已知a R ∈，则“1a ＞”是“11a＜”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A.4B.8C.12D.1616.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是 （ ）D.0三、解答题(本大题共5小题,满分76分)17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+ (1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =-[]ππ-上的解。
上海交通大学《高等代数》《数学分析》历年考研真题汇总(2009-2018真题汇编)
(x − 1)n | (f (x) + 1), (x + 1)n | (f (x) − 1).
Ê! V •ê• F þ n ‘‚5˜m, A • V þ ‚5C†÷v A 3 − 2A 2 − A = −2id, Ù¥ id • V þð C†.
(1) A ´ÄŒé z, e´, žy². (2) - V1 = {(A − 2id)v | v ∈ V }, V2 = {(A 2 − id)v | v ∈ V }. y²: V = V1 ⊕ V2.
8
5 þ° ÏŒÆ 2015 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
9
6 þ° ÏŒÆ 2018 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
10
7 þ° ÏŒÆ 2010 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
11
8 þ° ÏŒÆ 2011 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
16
3
1. 2010年þ° ÏŒÆ828《高等代数》a¬ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! ( 20 ©) OŽ1 ª
an1
an2
(1) Dn+1 =
...
an1 −1b1 · · ·
an2 −1b2 · · · ...
ann+1 ann−+11bn+1 · · ·
1 + a1 + b1 a1 + b2
a1bn1 −1
›˜! A ´ n ‘m¥ f˜m.
C†, V1 ´ V A − ØCf˜m. y²: V1
Ö•´ V A − ØC
› ! A, B þ• n ¢é¡ , y²: AB A ŠÑŒu".
4
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x²项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）7
中有
Tr+1=
C7r
xr
，故当
r=2
时，
C72
=
7
2
6
=21
【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 a b n 第 r+1 项为 Tr+1= Cnranrbr 。
3
当|q|<1
时，
lim
n
1
qn 1
qn
q
(舍)
【分析】 Sn
a1 a1qn 1 q
（等比数列前
n
项和公式）
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数
a
>0，函数
f
(x)
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F 是 y 轴上的两个动点，且
| EF |=2，则 AE · BF 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设 E(0，y1)，F(0，y2)，又 A（-1，0），B（2，0），
y1
2018上海数学高考真题
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。
（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a=。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣=。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7=。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N *），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2 2（B ）2 3（C ）2 5（D ）4 214.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）1616.设D是含数1的有限实数集，f x（）是定义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B）2（C）3（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
上海交通大学线性代数期末试卷合集
目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。
高考专题--- 行列式-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
母题三 行列式【母题原题1】【2018上海卷，1】行列式4125的值为 。
【答案】18【解析】41||45121825=⨯-⨯=.【母题原题2】【2017上海卷，13】关于、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）A.B.C.D.【命题意图】（1）二阶矩阵了解二阶矩阵的概念．（2）二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换.（3）变换的复合——二阶方阵的乘法.（4）理解与应用逆矩阵与二阶行列式.（5）二阶矩阵与二元一次方程组.（6）变换的不变量.（7）矩阵的应用.【命题规律】《矩阵与变换》主要包括二阶矩阵、逆矩阵、二阶方阵的特征值和特征向量等，着重考查矩阵的乘法、二阶矩阵（对应行列式不为零）的逆矩阵，考查二阶方阵的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是两个不同实数的情形)，考查矩阵变换的性质及其几何意义，考查平面图形的变换等【方法总结】在初中代数中，利用加减消元法我们知道二元线性方程组（Ⅰ）111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，当12210a b a b -≠时，三个二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩．观察这组公式，我们发现其分子、分母都是两数乘积的差为了便于记忆，数学家引入了二阶行列式的概念，定义a c ad bcb d=-，把a cb d叫做二阶行列式，其中横排叫做行，纵排叫做列，四个数A B C D、、、叫做这个二阶行列式的元素，算式ad bc -叫做这个二阶行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值． 研究一下二阶行列式的构造，如图所示：dcba用实线表示的对角线我们称之为主对角线；用虚线表示的对角线我们称之为副对角线；不难发现，二阶行列式展开的规则：二阶行列式的值等于主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素乘积．这种展开二阶行列式的方法叫作对角线法．不妨记1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则（Ⅰ）的唯一解可以写成()0x y D x DD y D D⎧=⎪⎪⎨⎪=≠⎪⎩．运里行列式D 是有方程组（Ⅰ）中的未知数,x y 的系数组成，我们通常称之为系数行列式；行列式x y D D 、分别是用方程组（I ）的常数项12c c ，替代x 的系数12a a ，或y 的系数12b b ，后得到． 注意到0D ≠是非零向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行的充要条件，我们不妨再从矩阵（或向量）角度考察二元方程组解的情形．根据矩阵运算法则和矩阵相等的定义，方程组（I ）可以表示为111222a b c x y a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由平面向量分解定理，当向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行时，存在唯一一对实数x y 、使（Ⅱ）成立当向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行时，对任意实数x y 、，方程（Ⅱ）的左边是一个与向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行的向量，因此当方程（Ⅱ）的右边12c c ⎛⎫⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行时，方程有无数多组解；当方程（Ⅱ）的右边12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行时，方程无解，而12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行的充要条件是0x D =，12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行的充要条件是0y D =． 因此，二元线性方程组（I ）的解可以判定如下：①0D ≠，方程组有唯一解；②若0x y D D D ===，方程组有无穷多组解；③220,0x y D D D =+≠，则方程组无解，0D ≠是二元线性方程组（I ）有唯一解的充要条件，因此常把D 叫做方程组解的判别式．类似地，可以应用三阶行列式来简便地写出三元线性方程组的解对于方程组（Ⅱ）111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，运用加减消元法，在方程中消去y z 、，就可以得到()123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c x ++---()123231312132213321*d b c d b c d b c d b c d b c d b c =++---．现在有111222333a b c D a b c a b c =来表示方程（*）中R 的系数，也就是记 111222123231312132213321333a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---，我们把D 叫做三阶行列式，111222333A B C A B C A B C 、、、、、、、、叫做三阶行列式的元素，123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---叫做这个三阶行列式的展开式．容易看出，方程（*）右边刚好是行列式D 中的123a a a 、、分别换成123d d d 、、而得到的结果，记则方程（*）可以写也x D x D ⋅=． 同理，y D y D ⋅=，z D z D ⋅=其中y D 是D 中的123b b b 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式，z D 是D 中的123c c c 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式若0D ≠，则方程组（Ⅱ）有唯一解为x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．若0D =，则方程组（Ⅱ）可能无解，可能有无穷组解．类似二阶行列式的对角线法展开，我们观察三阶行列式的构造，可以发现三阶行列式展开的规则：先在行列式D 的第三列的旁边顺次另写第一列和第二列，如图所示：b 1b 2b 3a 1a 2a 3c 1c 2c 3b 1b 2b 3a 3a 2a 1然后把每一条实线经过的三个元素的积的和。
2018年高考数学真题试卷(上海卷)
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
上海交大考研试题(高代)
上海交通大学研究生入学试题（高等代数）JDy97-1方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 1+4x 2-5x 3+7x 4=02x 1-3x 2+3x 3-2x 4=04x 1+11x 2-13x 3+16x 4=07x 1-2x 2+ x 3+3x 4=0是否有非零解？ 若有，求其通解，并写出解空间维数。
（14分）JDy97-2用正交线性变换把二次型 x 12+2x 22+3x 32 -4x 1x 2 - 4x 2x 3化为标准形，并写出该变换。
（14分）JDy97-3证明：矩阵A 是正定或半正定实对称的充要条件是：存在实矩阵S ，使得A=S T S ，其中S T 表示S 的转置矩阵。
（14分）JDy97-4设A, B 为n 阶方阵，AB=BA ，且A k =0，对某一个k ≥1整数，证明 |A+B|=|B|。
（14分） JDy97-5设R n [x]为次数<n 的多项式线性空间，δ 为求导变换（即δf(x)=f ’(x)），求证 ι-δ 为非退化线性变换（其中 ι 为恒等变换），并求出 δ 的所有不变子空间。
（14分）JDy97-6已知线性无关向量组e 1,e 2,…,e s 和两个非零向量的正交组f 1,f 2,…,f s 与g 1,g 2,…,g s 使得f k 和g k (k=1,2,…,s)可由e 1,e 2,…,e k 线性表示，求证f k =a k g k (k=1,2,…,s)，其中a k ≠0。
（14分） JDy97-7(1) 设J(x)为方阵X 的若当标准形，证明J(A+aE)=J(A)+aE ，其中A 是任一方矩阵，a 是一个数。
（8分）(2) 求幂等方阵A （即满足条件A 2=A ）的若当标准形。
（8分）JDy98-1叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。
（每小题4分，共20分）JDy98-2求线性方程组的解：⎩⎪⎨⎪⎧(α+β)x 1+αβx 2 =0x 1 +(α+β)x 2+αβx 3 =0x 2 +(α+β)x 3+αβx 4 =0 … …. … x n-1+(α+β)x n =0JDy98-3求出一切仅与自己相似的n 阶复方阵。
2018年高考数学上海卷-答案
上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．解：行列式4145211825=⨯⨯=-． 故答案为：18．【考点】二阶行列式的定义．2．【答案】12x ± 【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的2a =，1b =，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =± 故答案为：12x ± 【考点】双曲线的性质3．【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数．解：二项式71x +（）展开式的通项公式为 17•r r r T C x +=，令2r =，得展开式中2x 的系数为27C 21=． 故答案为：21．【考点】二项式定理4．【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a ． 解：∵常数a R ∈，函数21f x og x a=+（）（）． f x （）的反函数的图象经过点（3,1），∴函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3）， ∴213log a+=（）， 解得7a =．故答案为：7．【考点】反函数5．【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 解：由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．【考点】复数的模6．【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，由此能求出7S ．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，367014a a a =+=,∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， ∴717672842142S a d ⨯=+=-+=． 故答案为：14．【考点】等差数列的前n 项和7．【答案】1-【解析】由幂函数f x x α=（）为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a ＜，由此能求出a 的值． 【解答】解：∵112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭， 幂函数()f x x α=为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且0a ＜，∴1a =-．故答案为：1-．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域8．【答案】3-【解析】据题意可设0,E a （），0,F b （），从而得出2a b -=，即2a b =+，或2b a =+，并可求得2AE BF ab ⋅=-+uuu r uuu r ，将2a b =+带入上式即可求出AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值，同理将2b a =+带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设0,0,E a F b (),()；|EF||a b |2∴=-=u u r∴2a b =+或a 2b =+且(1,)AE a =u u u r ，(2,)BF b =-u u u r∴2AE BF ab ⋅=-+uu u r uu u r当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-．故答案为：3-．【考点】平面向量数量积的性质及其运算9．【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可． 解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：3510C =，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21=105， 故答案为：15． 【考点】古典概型及其概率计算公式10．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．解：等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n ma q n N -=∈，可得1a 1=， 因为11lim 2n n n S a →∞+=，所以数列的公比不是1， ，1n n a q +=．可得，11111111lim lim lim (1)12n n nn n n n n q q q q q q q q q -→∞→∞→∞----====-- 可得3q =．故答案为：3．【考点】数列的极限11．【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【解答】解：函数2()2x x f x ax =+的图象经过点61,,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则： p q P q 226112ap 2aq 55+==++， 整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++， 解得：，22p q a pq += 由于：236p q pq +=，所以：236a =，由于0a ＞，故：6a =．故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换12．【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=uu r uu u r ， 即有60AOB ∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设AB ：0x y t ++=，（0t ＞），由圆心O 到直线AB的距离d =可得1=，解得t =1+=【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式二、选择题13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【考点】椭圆的性质．14．【答案】A【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【解析】“1a ＞”⇒“11a <”，“11a<”⇒“1a ＞或0a ＜”，由此能求出结果． 【考点】充分条件，必要条件，充要条件15．【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【考点】排列、组合的实际应用16．【答案】B【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当(1)f =，3，0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当2x =，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ． 故选：B ．【考点】函数的图象与图象的变换三、解答题17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积22112333V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=．（2）∵4PO=，OA，OB是底面半径，且90AOB∠=︒，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(004)P，，，200A(，，)，(0,2,0)B，(1,1,0)M，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PM OB=-=u u u r u u u r设异面直线PM与OB所成的角为θ，则||cos||||PM OBPM OBθ⋅===⋅uuu r uu u ruuu r uu u r∴arccos6θ=∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos6．【解析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积18．【答案】（1）2()sin 22cos f x a x x =+Q ，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，f x Q （）为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin 20a x ∴=，0a ∴=（2）|14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，2asin 2cos 1124a ππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，a ∴=2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，()1f x =Q2sin 2116x π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2264x k πππ∴+=-+或522,64x k k Z πππ+=+∈5x k 24πππ∴=-+或 13x k ,k Z 24ππ=+∈ [,]x ππ∈-Q13x 24π∴=或19x 24π=或5x 24π=-或11x 24π=- 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数19．【答案】（1）由题意知，当30100x ＜＜时，1800()29040f x x x =+->， 即2659000x x -+＞，解得20x ＜或45x ＞，∴45100x ∈（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x ＜≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x ＜＜时， 218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴24010()13585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩， 当032.5x ＜＜时，g x （）单调递减；当32.5100x ＜＜时，gx （）单调递增； 说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】（1）由题意知求出()40f x >时x 的取值范围即可；（2）分段求出g x （）的解析式，判断g x （）的单调性，再说明其实际意义．【考点】分段函数的应用20．【答案】（1）由题意可知：设(,)B t ，则2BF t ==+， ∴2BF t =+；（2）(2,0)F ，2FQ =，3t =，则1FA =，AQ ∴=Q ∴，设OQ 的中点D ，3D ,22⎛ ⎝⎭，2K a 322-⋅==-PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP △的面积1723S == （3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=，直线QF 方程为216(2)8y y x y-=-， ∴2216483(82)84Q y y y y y --=-=，24838,4y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，且2lP 5⎛ ⎝⎭．【解析】（1）设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得AQP △的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线1PF FQk k ⋅=﹣，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系21．【答案】（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈， 可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -…，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+剟，11111n n n a b a +++-+剟， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+剟，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意． 综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a +-≤≤，求得i b ，1,2,3,4i =的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d ＞，0d =，20d -＜＜，2d ≤-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【考点】等差数列与等比数列的综合。
2018上海交通大学高等代数
Q1AQ2 = λ1 . . .
,
λn
其中,λn ≥ λn−1 ≥ · · · ≥ λ1 ≥ 0, 且 λ12, · · · , λn2 都是 AT A 的特征值.
Tjujystsll
证明 B 可逆, 并求出 B 的逆.
3. A 是 n 阶矩阵,rank(A) = n − 1, 证明 A∗ 可以表示成 A 的多项式.
4. f (x) 与 g(x) 互素,
f (M ) g (M ) X = 0, f (M ) X = 0, g (M ) X = 0,
的解空间分别是 W , W1, W2, 证明:W = W1 ⊕ W2.
编号 828
第1页 共 1 页
Байду номын сангаас
上海交通大学
二〇一八年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目 高等代数 编号
828
注意: 答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
1.
证明
x2
xn
f (x) = 1 + x + + · · · +
在有理数域上不可约.
2!
n!
2. A = ααT , 其中 α 是一个 n 维列向量, 且 αT α = 1, B = E + A + A2 + · · · + An,
5. A = (ai j)n×n 是一个 n 阶可逆矩阵,B = (ai j)r×n (r ≤ n) , 求 BX = 0 的基础解系.
6. (1) 证明在复数域上, 有 A2 = −E ⇐⇒ rank (A + iE) + rank (A − iE) = n;
(2) 证明复数域上的矩阵 A 若满足 A2 = −E, 则 A 可对角化, 并求出与它相似的对角矩阵.
2018年上海市高考数学试卷-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 2√2B. 2√3C. 2√5D. 4√22. 已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A. 4B. 8C. 12D. 16……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 设D 是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是 ( )A. √3B. √32C. √33D. 0第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 行列式∣∣∣4125∣∣∣的值为______．6. 双曲线x 24−y 2=1的渐近线方程为 ．7. 在(1+x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 ．(结果用数值表示)．8. 设常数a ∈R ，函数f(x)=log 2(x +a)，若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a = ．9. 已知复数z 满足(1+i)z =1−7i(i 是虚数单位)，则|z|= ．10. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7= ．11. 已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α= ．12. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．14. 设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n−1(n ∈N ∗)，前n 项和为S n .若lim n→+∞Sn a n+1=12，则q =______．15. 已知常数a >0，函数f(x)=2x2x +ax的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15).若2p+q =36pq ，则a = ．16. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则|x 1+y 1−1|√2+|x 2+y 2−1|√2的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。
2018年上海高考数学真题和答案
2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4 分）（ 2018? 上海）行列式的值为18 ．【考点】 OM ：二阶行列式的定义．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4× 5﹣ 2× 1=18 ．故答案为： 18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4 分）（ 2018? 上海）双曲线﹣y 2=1 的渐近线方程为±．【考点】 KC：双曲线的性质．【专题】 11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的 a=2 ，b=1 ，焦点在 x 轴上而双曲线的渐近线方程为 y= ±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为： y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（ 4 分）（ 2018? 上海）在（1+x ）7的二项展开式中， x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】 DA ：二项式定理．【专题】 38 ：对应思想； 4O ：定义法； 5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（ 1+x ）7展开式的通项公式为T r+1 = ?x r，令 r=2，得展开式中 x2的系数为=21 ．故答案为： 21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4 分）（ 2018? 上海）设常数 a ∈R，函数 f（x）=1og 2（x+a ）．若 f（x）的反函数的图象经过点（ 3，1），则 a= 7 ．【考点】 4R：反函数．【专题】 11 ：计算题； 33 ：函数思想； 4O ：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数 f （x）=1og 2（x+a ）的图象经过点（ 1，3），由此能求出 a ．【解答】解：∵常数 a ∈ R，函数 f（x）=1og 2（x+a ）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数 f（x）=1og （x+a ）的图象经过点（ 1，3），∴log 2（1+a ）=3 ，解得 a=7 ．故答案为： 7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（ 4 分）（ 2018? 上海）已知复数 z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则 |z|= 5．【考点】 A8 ：复数的模．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法； 5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（ 1+i）z=1﹣7i，得，则 |z|= ．故答案为： 5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（ 4 分）（ 2018? 上海）记等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n，若 a 3=0，a 6 +a 7 =14，则S7= 14 ．【考点】 85：等差数列的前n 项和．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O ：定义法； 54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a 1=﹣4，d=2 ，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n， a 3=0 ，a 6+a 7=14 ，∴，解得 a 1 =﹣ 4， d=2 ，∴S7=7a 1+=﹣28+42=14 ．故答案为： 14．【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5 分）（ 2018? 上海）已知α∈{﹣ 2，﹣ 1，﹣，1，2，3}，若幂函数 f （x） =xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，则α= ﹣ 1 ．【考点】 4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O ：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数 f（ x）=x α为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，得到 a 是奇数，且 a ＜0，由此能求出 a 的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣ 1，，1， 2，3}，幂函数 f（x）=x α为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且 a ＜0，∴a= ﹣ 1．故答案为：﹣ 1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5 分）（ 2018? 上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ 1，0）、B（ 2，0），E、F 是 y 轴上的两个动点，且 | |=2 ，则的最小值为﹣3 ．【考点】 9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转化思想； 41 ：向量法； 5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设 E（0，a ），F（0，b ），从而得出 |a ﹣b|=2 ，即 a=b+2 ，或 b=a+2 ，并可求得，将 a=b+2 带入上式即可求出的最小值，同理将 b=a+2 带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a ），F（0，b ）；∴；∴a=b+2 ，或 b=a+2 ；且；∴；当 a=b+2 时，；∵ b 2+2b ﹣ 2 的最小值为；∴的最小值为﹣ 3，同理求出 b=a+2 时，的最小值为﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5 分）（ 2018? 上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 49 ：综合法； 5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选取三个， 3 个数中含有 1 个 2； 2 个 2，没有 2，3 种情况，所有的事件总数为：=10 ，这三个砝码的总质量为9 克的事件只有： 5 ，3，1 或 5，2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是：= ，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（ 5 分）（ 2018? 上海）设等比数列 {a n} 的通项公式为 a n =q n﹣1（n ∈N*），前n 项和为 S n．若= ，则 q= 3 ．【考点】 8J：数列的极限．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列 {a n} 的通项公式为 a =q n﹣1（ n∈ N* ），可得 a 1=1 ，因为= ，所以数列的公比不是1，，a n+1 =q n．可得= = = = ，可得 q=3 ．故答案为： 3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（ 5 分）（ 2018? 上海）已知常数 a ＞0，函数 f（x）= 的图象经过点 P （ p ，）， Q （q ，）．若 2p+q =36pq ，则 a= 6 ．【考点】 3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转化思想； 51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值．【解答】解：函数 f （x） = 的图象经过点P（ p ，），Q （q ，）．则：，整理得：=1 ，解得： 2p+q =a 2 pq ，由于： 2p+q =36pq ，所以： a 2 =36，由于 a ＞0，故： a=6 ．故答案为： 6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（ 5 分）（ 2018? 上海）已知实数 x1、x2、y1、y 2满足： x12+y 12=1，x22+y 22=1 ，x1x2+y 1y 2= ，则+ 的最大值为+ ．【考点】 7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】 35 ：转化思想； 48 ：分析法； 59 ：不等式的解法及应用．【分析】设 A （x1，y1），B（x2，y 2），=（x1，y1），=（x2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形， AB=1 ，+ 的几何意义为点 A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离d 1与 d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设 A （x1，y 1）， B（ x2，y 2），=（x1，y 1），=（x2，y 2），由 x12+y 12=1， x22+y 22=1 ，x1x2+y 1y 2= ，可得 A ，B 两点在圆 x2+y 2=1 上，且? =1 ×1×cos ∠ AOB= ，即有∠AOB=60°，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1 ，+ 的几何意义为点 A ，B 两点到直线 x+y ﹣1=0 的距离 d 1与 d 2之和，显然 A ，B 在第三象限， AB 所在直线与直线x+y=1 平行，可设 AB ：x+y+t=0 ，（t ＞0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ，可得 2 =1 ，解得 t= ，即有两平行线的距离为= ，即+ 的最大值为 + ，故答案为：+ ．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（ 5 分）（ 2018? 上海）设P 是椭圆=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C ．2 D．4【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴， a= ，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 ．故选： C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（ 5 分）（ 2018? 上海）已知 a ∈ R，则“a＞ 1”是“＜ 1”的（）A ．充分非必要条件 B．必要非充分条件C ．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O ：定义法； 5L ：简易逻辑．【分析】“ a＞ 1”? “”，“”? “ a＞1 或 a ＜ 0”，由此能求出结果．【解答】解： a ∈R，则“a＞ 1”? “”，“”? “ a＞1 或 a ＜ 0”，∴“ a＞ 1”是“”的充分非必要条件．故选： A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15 ．（ 5 分）（ 2018? 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】 D8：排列、组合的实际应用．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转化法； 5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A 1 ABB1，D1﹣ A 1AFF1满足题意，而C1 ，E1，C ，D，E，和 D1 一样，有 2×6=12 ，当 A 1ACC 1为底面矩形，有 2 个满足题意，当 A 1AEE1为底面矩形，有 2 个满足题意，故有 12+2+2=16故选： D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（ 5 分）（ 2018? 上海）设D 是含数 1 的有限实数集， f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】 3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转化思想； 51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当 f （1）= ，，0 时，此时得到的圆心角为，， 0，然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个 y，因此只有当 x= ，此时旋转，此时满足一个 x 只会对应一个 y，因此答案就选： B．故选： B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17．（ 14 分）（ 2018? 上海）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O ，半径为 2．（ 1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（ 2）设 PO=4 ，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°M，为线段 AB 的中点，如图．求异面直线PM 与 OB 所成的角的大小．【考点】 LM：异面直线及其所成的角； L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为 O ，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．（2）以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角．【解答】解：（ 1）∵圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O ，半径为 2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积 V= ==．（ 2）∵ PO=4 ， OA ，OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，∴以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ，则 cos θ== = ．∴θ =arccos ．∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos ．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（ 14 分）（ 2018? 上海）设常数 a ∈R，函数 f（ x） =asin2x+2cos 2x．（ 1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；（ 2）若 f （）= +1 ，求方程 f（x）=1 ﹣在区间 [﹣π，π]上的解．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转化法； 58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵ f （x）=asin2x+2cos 2x，∴ f（﹣ x） =﹣ asin2x+2cos 2x，∵ f（x）为偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），∴﹣ asin2x+2cos 2 x=asin2x+2cos 2x，∴ 2asin2x=0 ，∴a=0 ；（2）∵ f（） = +1 ，∴ asin +2cos 2（）=a+1= +1 ，∴ a= ，∴ f（x）= sin2x+2cos 2 x= sin2x+cos2x+1=2sin （2x+ ）+1 ，∵f（x）=1 ﹣，∴ 2sin（2x+ ）+1=1 ﹣，∴sin（2x+ ） =﹣，∴ 2x+ =﹣+2k π，或2x+ = π+2k π，k∈Z，∴ x=﹣π+k π，或x= π+k π，k∈Z，∵ x∈ [﹣π，π]，∴ x= 或 x= 或 x=﹣或 x= ﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（ 14 分）（ 2018? 上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）= （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g （x）的表达式；讨论 g （x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】 5B：分段函数的应用．【专题】 12 ：应用题； 33 ：函数思想； 4C ：分类法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出 f （x）＞ 40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 g （x）的解析式，判断 g （x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当 30＜ x＜ 100 时，f（x）=2x+ ﹣90＞40 ，即x2﹣65x+900 ＞ 0，解得 x＜20 或 x＞ 45，∴ x∈（ 45， 100 ）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（ 2）当 0＜x≤30 时，g （ x） =30?x%+40（ 1﹣ x%） =40 ﹣；当30＜ x＜ 100 时，g （ x）=（ 2x+ ﹣90 ） ?x%+40 （1﹣x%）= ﹣x+58 ；∴ g （x） = ；当0＜x＜32.5 时， g （ x）单调递减；当32.5 ＜ x＜ 100 时， g （x）单调递增；说明该地上班族S 中有小于 32.5% 的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5% 时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（ 16 分）（ 2018? 上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 F（2， 0），直线 l：x=t ，曲线Γ：y2 =8x（0≤ x≤t，y≥ 0）．l 与 x 轴交于点 A 、与Γ交于点 B． P、 Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t=3 ， |FQ|=2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△ AQP 的面积；（3）设 t=8 ，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】 KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】 35 ：转化思想； 4R：转化法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得 |BF| ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得 |BF| ；（2）根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（ 3）设 P 及 E 点坐标，根据直线k PF?k FQ =﹣1，求得直线 QF 的方程，求得Q 点坐标，根据+ = ，求得 E 点坐标，则（）2 =8（+6 ），即可求得 P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（ t，2 t），则 |BF|= =t+2 ，∴ |BF|=t+2 ；方法二：由题意可知：设B（t ，2 t ），由抛物线的性质可知： |BF|=t+ =t+2 ，∴ |BF|=t+2 ；（2） F（ 2， 0），|FQ|=2 ， t=3 ，则 |FA|=1 ，∴|AQ|= ，∴ Q （3，），设 OQ 的中点 D，D（，），k QF = =﹣，则直线 PF 方程： y= ﹣（x﹣2），联立，整理得： 3x2﹣ 20x+12=0 ，解得： x= ，x=6（舍去），∴△AQP 的面积 S= ××= ；（ 3）存在，设 P（，y），E（，m ），则 k PF= = ，k FQ = ，直线 QF 方程为 y= （x﹣2），∴ y Q = （8﹣2）= ，Q （ 8，），根据+ = ，则E（+6，），∴（）2=8（+6 ），解得： y2 = ，∴存在以 FP、 FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上，且 P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（ 18 分）（ 2018? 上海）给定无穷数列 {a n} ，若无穷数列 {b n }满足：对任意 n ∈ N*，都有 |b n﹣a n | ≤1，则称 {b n }与{a n}“接近”．（ 1）设 {a n}是首项为 1，公比为的等比数列， b n=a n+1 +1 ，n ∈N*，判断数列 {b n} 是否与 {a n} 接近，并说明理由；（2）设数列 {a n} 的前四项为： a 1=1， a 2=2 ，a 3=4 ，a 4 =8，{b n} 是一个与 {a n }接近的数列，记集合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数 m ；（3）已知 {a n} 是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n }满足： {b n }与 {a n}接近，且在 b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，⋯，b 201﹣b 200中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围．【考点】 8M ：等差数列与等比数列的综合．【专题】 34 ：方程思想； 48 ：分析法； 54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得 a n﹣1≤b n≤a n+1 ，求得 b i，i=1，2，3，4 的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得 a n，讨论公差 d ＞0，d=0 ，﹣ 2＜ d ＜ 0，d≤﹣ 2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列 {b n} 与{a n }接近．理由： {a n} 是首项为 1，公比为的等比数列，可得 a n = ， b n=a n+1 +1= +1 ，则 |b n﹣a n |=| +1﹣|=1 ﹣＜1， n∈ N*，可得数列 {b n} 与{a n }接近；（ 2） {b n} 是一个与 {a n }接近的数列，可得 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ，数列 {a n }的前四项为： a 1=1 ，a 2 =2，a 3 =4， a 4 =8，可得 b 1∈[0 ，2] ，b 2∈ [1 ，3] ，b 3∈[3 ， 5] ，b 4∈ [7 ，9] ，可能 b 1与 b 2相等， b 2与 b 3相等，但 b 1与 b 3不相等， b 4与 b 3不相等，集合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M 中元素的个数 m=3 或 4；（ 3） {a n} 是公差为 d 的等差数列，若存在数列{b n}满足： {b n} 与{a n }接近，可得 a n =a 1 +（n ﹣1） d ，①若 d ＞0，取 b n=a n，可得 b n+1﹣b n =a n+1﹣a n=d ＞ 0，则 b 2﹣ b 1，b 3﹣ b 2，⋯， b 201﹣ b 200中有 200 个正数，符合题意；②若 d=0 ，取 b n=a 1﹣，则 |b n﹣ a n|=|a 1 ﹣﹣ a 1 |= ＜1，n ∈N*，可得 b n+1﹣ b n= ﹣＞0，则 b 2﹣ b 1，b 3﹣ b 2，⋯， b 201﹣ b 200中有 200 个正数，符合题意；③若﹣ 2＜d ＜0，可令 b 2n﹣1=a 2n﹣1﹣ 1， b 2n =a 2n +1，则 b 2n﹣b 2n﹣1=a 2n +1﹣（ a 2n﹣1﹣1）=2+d ＞ 0，则 b 2﹣ b 1，b 3﹣ b 2，⋯， b 201﹣ b 200中恰有 100 个正数，符合题意；④若 d ≤﹣ 2，若存在数列 {b n} 满足： {b n }与{a n}接近，即为 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ，a n+1﹣1≤b n+1≤ a n+1 +1 ，可得 b n+1﹣ b n≤ a n+1 +1﹣（ a n﹣ 1） =2+d ≤0，b 2 ﹣b 1， b 3 ﹣b 2 ，⋯， b 201 ﹣b 200 中无正数，不符合题意．.. ..---综上可得， d 的范围是（﹣ 2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．.. ..---感恩和爱是亲姐妹。
2018上海高考数学真题与答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式°】=4X 5-2X1=18.2 5故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线匚-y2=1的渐近线方程为.【考点】KC双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.2 °【解答】解：•双曲线］「—1的a=2, b=1，焦点在x轴上2 2 ,而双曲线-^7；- -1的渐近线方程为y=±—芷a2 b3 a2双曲线/二1的渐近线方程为y=±y X■ £故答案为：y=± —【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式（1+x） 4 5 6展开式的通项公式为T r+1='〔？乂,令r=2，得展开式中x2的系数为c2=21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4 分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R反函数.【专题】11 :计算题；33 :函数思想；40:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,••• Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.4（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则|z| =5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,则|Z|= • 4 ■-故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S,若a3=0, a e+a7=14, 贝U S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；54 :等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=- 4, d=2,由此能求出S7. 【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3=0, a e+a7=14,If ai+2d=0a 严d二14L 1 1解得a1= - 4, d=2,3=7屛i=- 28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 7且a v0,由此能求出a的值.【解答】解:：a { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},7（5 分）（2018?上海）已知a€ ｛- 2,- 1,-二，y , 1, 2 , 3｝，若幕函数f （x）=X a为奇函数，且在（0, +X）上递减，则a= - 1 .【考点】4U:幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；4O:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由幕函数f （x）=x a为奇函数，且在（0, +7 上递减，得到a是奇数，幕函数f (x) =x"为奇函数，且在(0, +x)上递减，二a是奇数，且a v0,--a=— 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点A (- 1, 0)、B( 2, 0),i ■】耳 * ■E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2,贝U 的最小值为-3 .【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 :向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a-b| =2, 即卩a=b+2，或并可求得- • •，将a=b+2带入上式即可求出2'- - 1F的最小值,b=a+2,同理将b=a+2带入，也可求出的最小值.【解答】解：根据题意，设E (0, a), F (0, b);I-:;••• a=b+2,或b=a+2；且厂门・..「—，:；-.-..；当a=b+2时，…丨，—I | ：；v b2+2b - 2的最小值为二：;；•••垃•甬的最小值为-3，同理求出b=a+2时，瓦•祈的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.【考点】CB古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 :综合法；51 :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2; 2个2,没有2, 3种情况，所有的事件总数为：C ；=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3，1或5, 2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：吕士，10 5故答案为：丄.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q nr （n € N*），前n 项和为S n .若'II —，则q= 3 .nr w a n-+l 2【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 : 点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可.【解答】解：等比数列｛a n｝的通项公式为a =q n一1（n€ N*），可得a1=1，H因为： ------ -- ，所以数列的公比不是1,n-^^a n+l 戈；-,a n+i =q n . 口1-Q1 n1-q2网+2卩典+2口亦a 2pq解得：2^q =a i 2pq ， 由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36， 由于a >0, 故：a=6.可得1 ■ l-q inn ----- L g (1_Q)Q=H IT严8 L-<1 =1 a a-1 2 可得q=3. 故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用， 等比数列求和以及等比数列的 简单性质的应用，是基本知识的考查.11. （5分）（2018?上海）已知常数a >0,函数f （x ）= ”2s fax£）, Q （q ，卡）•若 2p+q =36pq ，则 a= 6 .【考点】3A :函数的图象与图象的变换.的图象经过点P （p ，【专题】 35 :转化思想；51 :函数的性质及应用. 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值.的图象经过点P （p ，—），Q （q ，丄）.【分析】2p +ap 2 Q +aq故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12. (5 分)(2018?上海)已知实数 x i 、X 2、y i 、y 2满足：x i 2+y i 2=1, X 22+y 22=1, x i X 2+y i y 2丄，贝U ： |一'的最大值为.】+.「；.【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式. 【专题】35 :转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), 0A = (x i , y i ), 0& = (X 2, y 2),由圆的方程即有/ AOB=60,即三角形OAB 为等边三角形,到直线x+y - i=0的距离d i 与d 2之和，显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=i 平行, 可设 AB ： x+y+t=0, (t > 0),和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=i , I 蛊］+ ¥厂11 + II 七+ y厂11的几何意义为点A , B 两点到直线x+y -仁0的距离d i与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (X i , y i ), B (X 2, y 2),'-■= (X i , y i ), L..j = (X 2, y 2),由 x i 2+y i 2=i ,2 2X 22+y 22=i , x i x 2+y i y 2〒,可得A , B 两点在圆x 2+y 2=i 上,1七4坯11近B 两点由圆心O 到直线AB 的距离且-?>=i x i x cos /AB=1,的几何意义为点A ,故答案为：一 7+ :;.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点 与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. （5分）（2018?上海）设P 是椭圆 44 =1上的动点，贝u P 到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（）A. 2 :?B. 2 二C. 2 仃D. 4. ■: 【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a,接利用椭圆的定义，转 化求解即可.2 2|【解答】解：椭圆％+^厂=1的焦点坐标在x 轴，a 卫，5 J2 2P 是椭圆1 I - =1上的动点，由椭圆的定义可知：贝U P 到该椭圆的两个焦点的5 3 距离之和为2a=2.・. 故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用，是基本知识的考 查.即有两平行线的距离为1：=：：＞V2 2I| +1 Jtg+yg-l |~?2雹的最大值为:■:+ ■；,14. （5 分）（2018?上海）已知a€ R,贝1”是“<1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.土”？“a1 或a v 0”a故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识, 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；50 :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1 - A1ABB，D1- A1AFF满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12,当A1ACC为底面矩形，有2个满足题意，当A i AEE为底面矩形，有2个满足题意,【分析】aT? “a1 或a v0”,由此能求出结果.解：a€ R,贝U “a 1”？“厂Ia“a 1 "是a故有12+2+2=16故选：D.Di Ci【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. (5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集，f (x)是定义在D上的函数，若f (x)的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A. . ；B.二C. —D. 0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想；51 :函数的性质及应用；56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转丄个单位后与下一个点会重合.6我们可以通过代入和赋值的方法当f (1) = ^ —，0时，此时得到的圆心角为—,，0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数5 6的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=L，此时旋转一，此时2 &满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO=4,OA、OB是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，如图•求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角；L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF: 棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)v圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4, I 圆锥的体积V二〕一…■- L •- ■'1I3~.(2)v PO=4, OA, OB 是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，•••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0),M (1,1, 0), O (0, 0, 0),PH= (1,1,—4), 0B= (0, 2, 0),设异面直线PM与OB所成的角为9,os .6•••异面直线PM与0B所成的角的为【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.18. (14分)(2018?上海)设常数a€ R,函数f (x) =asin2>+2coSx.(1)若f (x)为偶函数，求a的值；(2)若f (弓T =胚+1，求方程f (x) =1-厲在区间［-n, n上的解.【考点】GP两角和与差的三角函数；GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)： f (x) =asin2x+2cos2x,• f ( —x) =—asin2x+2cos2x,= pJ*o5 |2|n p| OB1届・26则cos9二9 =arccarccos6••• f (x )为偶函数， ••• f (- x ) =f (x ),•••- asin2x+2coEx=asin2x^2cos 2x , • 2as in 2x=0, • a=0; (2)T f () = ：-+1 ,4• asi 』^+2cos 2 (工)=a+仁岛+1 ,2 4 • a=：,• f (x ) =_ _;sin2X +2CO E X = ；sin2x+cos2x+ 仁2sin (2x^—) +1,&T f (x ) =1 -^2,19. （14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从 居住地到工作地的平均用时•某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤.分析显示：当S 中x% （0v x v 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时 间为而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题:（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤• sin (2x+丄)=-厶―” 2+2k n 或 2x+一=■6 -• 2x+—=65兀 …x=- 24n +k n 或x= 或x= 244 n+2kn k€ Z,n +k n, k € Z ,或x=-或x=- 112E24【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题. f (x )? 0<x<30. .（单位：分钟），+1=1-血, • 2sin (时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性, 并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题；33 :函数思想；4C :分类法；51 :函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意知求出f (x )> 40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义. 【解答】解；(1)由题意知，当30V X V 100时,即 x 2- 65x+900>0, 解得x v 20或x >45,•I x €( 45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2) 当 0v x < 30 时，g (x ) =30?x%+40 (1 - x%) =40 - 当 30V x v 100 时,40——也10当0v x v 32.5时，g (x )单调递减; 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决 问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t > 2 .在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0),直线I : x=t ,曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). l 与x 轴交于点A 、与r 交于f (x ) =2x+ 1800 -90>40,g (x ) = (2x+二-2-90)碎心 1-x%0)=-r 13 10x+58 ；点B. P、Q 分别是曲线r与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t=3, |FQ=2,线段0Q的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8 ,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在r上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想；4R:转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF| ；(2)根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得0D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得厶AQP的面积；(3)设P及E点坐标，根据直线k PF?k Fc=- 1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据习+冠=75,求得E点坐标，贝则(彎尸)2=8 (「+6)，即可求得P 4y 8点坐标.【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B (t，2 :■:t)，则|BF制(1 边严+3t=t+2,••• | BF| =t+2；方法二：由题意可知：设 B (t, 2 :■:t),由抛物线的性质可知：| BF =t甘=t+2,「. |BF=t+2;(2) F (2, 0), |FQ=2, t=3，则|FA=1,，二Q (3,血)，设OQ 的中点D,D (),k QF=~VI,则直线PF方程：y=-體(x-2),联立,整理得：3x2- 20x+12=0,• △ AQP 的面积 x^：；x根据「+円；'，则E （k+6,•存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ 使得点E 在r 上，且P （2,毁5）.5 5【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计 算能力，属于中档题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛a n ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n€ N *，都有|b n — a n | < 1,则称｛b n ｝与®｝接近”（1）设｛a n ｝是首项为1,公比为寺的等比数列，b n =&+1+1, n € N *，判断数列｛b n ｝解得:,x=6 （舍去），（3）存在，设P （罟，y ），2E (凹—，m )，贝U k pF =yT-2，k FQ 」——8y直线QF 方程为y= 1才/ ~sT(x — 2), ••• y o=■ - ■ ~~8y~,Q( 8, ),)2=8 ( ——+6），解得：y 2丄■是否与｛&｝接近，并说明理由；(2)设数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, a3=4, a4=8, ｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，记集合M=｛x| x=b i，i=1，2，3，4｝，求M中元素的个数m；(3)已知｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，且在b2 - b i，b3 - b2，…，b20i - b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义接近”即可判断；(2)由新定义可得a n - K b n< a n+1，求得b i，i=1，2，3, 4的范围，即可得到所求个数；(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d >0, d=0,- 2v d v 0, d< -2,结合新定义接近”推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：(1)数列｛b n｝与｛刘接近.理由：計匕数列，可得a n=则| b n - a n| =| v 1, n € N ,可得数列｛b n｝与｛a n｝接近；(2)｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，可得a n - 1 w b n w a n+1,数列｛a n｝的前四项为：a1=1, a2=2, a3=4, a4=8,可得b1€ [0, 2] , b2€[ 1 , 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近, 可得a n=a1+ (n - 1) d,①若 d >0,取b n=a n，可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d>0,则b2 - b1, b3 - b2,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0,取b n=a i -—，则|b n- a n|=|a i-丄-a i| —v 1, n€ N*,n n n可得b n+1 - bn^ —> 0 ,n n+1则b2 —b i, b3 —b2,…，b20i —b2oo中有200个正数，符合题意；③若—2v d v 0，可令b2n-1=a2n- 1 —1，b2n=a2n+1 ,则b2n —b2n- 1 =a2n+1 —( a2n- 1 —1) =2+d > 0，则b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< —2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，即为a n — 1 w b n w a n+1，a n+1 — 1 W b n+1 w a n+1+1，可得b n+1 —b n w a n+1+1—(a n —1) =2+d w 0，b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2，+x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.。
上海交大考研试题(高代)
上海交通大学研究生入学试题（高等代数）JDy97-1方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 1+4x 2-5x 3+7x 4=02x 1-3x 2+3x 3-2x 4=04x 1+11x 2-13x 3+16x 4=07x 1-2x 2+ x 3+3x 4=0是否有非零解？ 若有，求其通解，并写出解空间维数。
（14分）JDy97-2用正交线性变换把二次型 x 12+2x 22+3x 32 -4x 1x 2 - 4x 2x 3化为标准形，并写出该变换。
（14分）JDy97-3证明：矩阵A 是正定或半正定实对称的充要条件是：存在实矩阵S ，使得A=S T S ，其中S T 表示S 的转置矩阵。
（14分）JDy97-4设A, B 为n 阶方阵，AB=BA ，且A k =0，对某一个k ≥1整数，证明 |A+B|=|B|。
（14分） JDy97-5设R n [x]为次数<n 的多项式线性空间，δ 为求导变换（即δf(x)=f ’(x)），求证 ι-δ 为非退化线性变换（其中 ι 为恒等变换），并求出 δ 的所有不变子空间。
（14分）JDy97-6已知线性无关向量组e 1,e 2,…,e s 和两个非零向量的正交组f 1,f 2,…,f s 与g 1,g 2,…,g s 使得f k 和g k (k=1,2,…,s)可由e 1,e 2,…,e k 线性表示，求证f k =a k g k (k=1,2,…,s)，其中a k ≠0。
（14分） JDy97-7(1) 设J(x)为方阵X 的若当标准形，证明J(A+aE)=J(A)+aE ，其中A 是任一方矩阵，a 是一个数。
（8分）(2) 求幂等方阵A （即满足条件A 2=A ）的若当标准形。
（8分）JDy98-1叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。
（每小题4分，共20分）JDy98-2求线性方程组的解：⎩⎪⎨⎪⎧(α+β)x 1+αβx 2 =0x 1 +(α+β)x 2+αβx 3 =0x 2 +(α+β)x 3+αβx 4 =0 … …. … x n-1+(α+β)x n =0JDy98-3求出一切仅与自己相似的n 阶复方阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 T 其中 λn ≥ λn−1 ≥ · · · ≥ λ1 ≥ 0, 且 λ2 1 , λ2 , · · · , λn 都是 A A 的特征值.
第1页
共 1 页
上海交通大学
2018 试题名称: 高等代数
(答案必须写在答题纸上, 写在试题纸上的一律不给分) 1. 证明 f (x) = 1 + x + x2 xn + ··· + 在有理数域上不可约. 2! n!
2. 设 A = ααT , 其中 α 是一个 n 维列向量, 且 αT α = 1, B = E + A + A2 + · · · + An . 证明 B 可逆, 并 求出 B 的逆. 3. 设 A 是 n 级矩阵, 且 rank (A) = n − 1, 证明 A∗ 可以表示成 A 的多项式. 4. 已知 f (x) 与 g (x) 互素, 且 f (M )g (M )X = 0, f (M )X = 0, g (M )X = 0, 解空间分别是 W, W1 , W2 . 证明:W = W1 ⊕ W2 . ( ) ( ) ( ) 5. 设 A = aij n×n 是一个 n 级可逆矩阵,B = Aij r×n r ≤ n , 求 BX = 0 的基础解系. ( ) ( ) 6. (1) 证明在复数域上，有 A2 = −E ⇐⇒ rank A + iE +rank A − iE = n (2) 证明复数域上的矩阵 A 满足 A2 = −E , 则 A 可以对角化, 并求出与它相似的对角矩阵. 7. 设 A, B 是 n 级矩阵,AB = BA. 若 A 有 r 个互不相等的特征值, 则 A, B 至少有 r 个公共且线性无 关的特征向量. 8. 已知 A, B 都是实对称矩阵, 证明 A 是正定的矩阵的充要条件是: 对于任意的一个正定矩阵 B , 都有 ( ) tr AB > 0 9. 对于任一实可逆矩阵 A, 都存在正交矩阵 Q1 , Q2 , 使得 λ Q1 AQ2 = .. . λn ,