上海交通大学2018高等代数试题(1)

2 2 T 其中 λn ≥ λn−1 ≥ · · · ≥ λ1 ≥ 0, 且 λ2 1 , λLeabharlann Baidu , · · · , λn 都是 A A 的特征值.
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上海交通大学
2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题序号: 423 试题名称: 高等代数
(答案必须写在答题纸上, 写在试题纸上的一律不给分) 1. 证明 f (x) = 1 + x + x2 xn + ··· + 在有理数域上不可约. 2! n!
2. 设 A = ααT , 其中 α 是一个 n 维列向量, 且 αT α = 1, B = E + A + A2 + · · · + An . 证明 B 可逆, 并 求出 B 的逆. 3. 设 A 是 n 级矩阵, 且 rank (A) = n − 1, 证明 A∗ 可以表示成 A 的多项式. 4. 已知 f (x) 与 g (x) 互素, 且 f (M )g (M )X = 0, f (M )X = 0, g (M )X = 0, 解空间分别是 W, W1 , W2 . 证明:W = W1 ⊕ W2 . ( ) ( ) ( ) 5. 设 A = aij n×n 是一个 n 级可逆矩阵,B = Aij r×n r ≤ n , 求 BX = 0 的基础解系. ( ) ( ) 6. (1) 证明在复数域上，有 A2 = −E ⇐⇒ rank A + iE +rank A − iE = n (2) 证明复数域上的矩阵 A 满足 A2 = −E , 则 A 可以对角化, 并求出与它相似的对角矩阵. 7. 设 A, B 是 n 级矩阵,AB = BA. 若 A 有 r 个互不相等的特征值, 则 A, B 至少有 r 个公共且线性无 关的特征向量. 8. 已知 A, B 都是实对称矩阵, 证明 A 是正定的矩阵的充要条件是: 对于任意的一个正定矩阵 B , 都有 ( ) tr AB > 0 9. 对于任一实可逆矩阵 A, 都存在正交矩阵 Q1 , Q2 , 使得 λ Q1 AQ2 = .. . λn ,