空间向量精选教学PPT课件
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空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
谢 谢
.
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量， 那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）， 使得 p xi yj zk .我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
探究二:空间向量的正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知， 对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk， 使 a xi yj zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解.
22
22
222
练一练
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是( C )
A. OM 2OA OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D. OM OA OB OC 0
解析
要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足 OM xOA yOB zOC ，且 x y z 1即可.
333
333
D 中， OM OA OB OC 0 ，则 OM OA OB OC ， x y z 111 3 ，
故此时 M,A,B,C 四点不共面.故选 C.
练一练
3. 已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点
且 PA 5 PB xPC 1 PD ，则实数 x 的值为( A)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1. 了解空间向量基本定理及其推论； 2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间向量基本定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
/
a
b
c
OG
1
ab
1
c
2
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
/
a
b
c
OG
1
ab
1
c
2
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
1.2 空间向量基本定理 课件(49张)
·
情
课
景 导
第一章 空间向量与立体几何
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
1.2 空间向量基本定理
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
情
景
学习目标
课
核心素养
堂
导 学
1.了解空间向量基本定理及其意义.
1.通过基底概念的学习，培
小 结
·
探
提
新 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 养学生数学抽象的核心素养. 素
提 素 养
合 作
C．D→1A1，D→1C1，D→1D
D．A→C1，A→1C，C→C1
课
探
时
究 释
C
[由题意知，
→ D1A1
，
→ D1C1
，
→ D1D
不共面，可以作为空间向量
分 层 作
疑
业
难 的一个基底．]
·
返 首 页
·
情
课
景 导
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb
堂 小
导
小
学
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 结
·
探
提
新
素
知 一？
养
合 作
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 课
探
时
究 非零向量共面．
分 层
释
作
疑 难
(2)唯一确定．
情
课
景 导
第一章 空间向量与立体几何
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
1.2 空间向量基本定理
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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返 首 页
·
情
景
学习目标
课
核心素养
堂
导 学
1.了解空间向量基本定理及其意义.
1.通过基底概念的学习，培
小 结
·
探
提
新 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 养学生数学抽象的核心素养. 素
提 素 养
合 作
C．D→1A1，D→1C1，D→1D
D．A→C1，A→1C，C→C1
课
探
时
究 释
C
[由题意知，
→ D1A1
，
→ D1C1
，
→ D1D
不共面，可以作为空间向量
分 层 作
疑
业
难 的一个基底．]
·
返 首 页
·
情
课
景 导
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb
堂 小
导
小
学
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 结
·
探
提
新
素
知 一？
养
合 作
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 课
探
时
究 非零向量共面．
分 层
释
作
疑 难
(2)唯一确定．
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
空间向量基本定理
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
空间向量课件
空间向量课件
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
空间向量的运算PPT精品课件
3.已知空间四边形 OABC , OB OC , AOB AOC
，求证：OA BC。
O
证明：∵
OA BC OA (OC OB)
OA OC OA OB
A
C
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
()
4) p q p q p2 q2
()
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面
l
lm
g m
gn n
内任意直线g垂直。
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量 定理知，存在唯一的有序实 数对(x,y)使得 g=xm+yn
【解析】第(2)题，从图甲中可知字母B所代表的为 东北信风带。结合图乙，该半球风向向右偏转，可 判断位于北半球，据此判断图示中气压带和风带名 称；结合上题信息即可得出结论。
(1)图示区域从沿海向内陆，陆地自然带依次为热带
雨林带、热带草原带。给该区域带来降水的主导风
是( B )
A．西北风
B．西南风
条件是存在实数对 x, 使y P xa yb
bB
M aA
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
MP x MA y MB 或对空间任一点O,有OP OM x MA yMB
注意： 空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.2空间向量基本定理课件(可编辑图片版)
A．－1a－1b－c B.1a＋1b－c
22
22
C.1a－1b－c 22
D．－1a＋1b－c 22
解析：(1)
B→1M
＝
B→1B＋Biblioteka B→M＝－c＋1 2
B→D
＝－c＋
1 2
(b－a)＝－
1 2
a
＋12b－c.故选D.
答案：(1)D
(2)已知四面体ABCD中，A→B＝a－2c，C→D＝5a＋6b－8c，对角 线AC，BD的中点分别为E，F，则E→F＝________.
[方法技巧] (1)若→p ＝x→a ＋y→b ＋z→c ，则 x→a ＋y→b ＋z →c 叫做向量→a ，→b ， →c 的线性表达式或线性组合，或者说→p 可以由→a ，→b ，→c 线性表示．
[方法技巧] (2)对于基底{→a ，→b ，→c }，除了应知道→a ，→b ，→c 不共面外，还 应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 选用不 同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向 量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不 同概念．
[方法技巧] 利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向 向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.
探究 3 求空间角 例 4 已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心． (1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角； (2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值． 分析：将向量A→B，A→C，A→A1作为一组基向量，再考虑用转化思 想求解.对于1，可转化为求向量A→A1与B→C的夹角；对于2，作出 AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量O→A1与A→B1的夹角的余 角.
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共线向量与共面向量
2004.3.3
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(b o), a // b 的充要条件是存在实
数使 a b
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
知非零向量 的a直线,那么对任一点O,点P
在直线 上的l 充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+t 其中a 向量叫做直线的方向
向量.
P
若P为A,B中点, 则
a
OP=1/2(OA+OB)
B
A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面 向量.
a
O
A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a,不b 共线,则向量P与向量 共a,面b 的充要条件是
还有什么是真爱呢 真正的爱情
年少时站在校园里期待的那种爱情 早已
在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重
缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了
我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸
院子里，操场上 充满了甜甜的空气
离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起
=1/2(AD+PA)
=1/2AF
A
∴MN∥AF
M
∴MN∥面PAD BFN DE C例1 对空间任一点O和不共线的三点A、
B、C，满足：OP xOA yOB zOC ，
其中x+y+z=1,试问：点P、A、B、C 是否共面？若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
终于懂得 没有人会无条件爱你一生一世
他们总是爱你这样或者那样 绝不仅仅
单纯的爱你 这样一个女人
所以 如果一个男人不爱你的钱
只爱你的身体 那么
你已经可以为自己的幸运 烧香拜佛了
重逢
重逢的时候 那是心情的又一次触动
惊喜的表情 熟悉的面庞 回忆中的甜蜜 一瞬间在脑海中隐现 于是，永远成为了所谓的缘分的代表 重逢…惊喜… 重逢的时候 那是思念的又一次宣泄 深情的一个拥抱 紧紧的一个握手 彼此的心轻鬆了许多 才发现思念是一种病 重逢…思念…… 重逢的时候 那是记忆的又一次翻新 彼此回忆著孩提时的美好 诉说着自己的苦恼 谈论着朋友的生活 讲述着自己无奈的过往 重逢…记忆… 重逢的时候 那是时间的又一次停滞 那一刻，时间终于停了 自己终于可以放假 感动的身体一时瘫在那里 重逢时的感动告诉了时光老人 时间不能改变的东西…… 重逢…感动… 重逢的时候，那是一阵欣喜，一阵感 动 欣喜之余还有一丝的忧伤 因为我们毕竟还要赶路 那么多线终有相交的一点 可是相交以后注定还要分别 但是，至少我明白 暂时的离别是为了再次相聚时的感动 ……
或永远祝福你
离别的时候 每一句话都显得那么悲伤 离别时的感动在顷刻间爆发
我们，我们，我们 独自沉浸在自己的感伤中
渐渐的平息……
离别的时候 每一句话都显得那么珍贵 仔细的听著那熟悉的声音
把每种都印刻在记忆里
望著他们远去的背影，我知道，我们 离别了 我们带著共同的回忆和永远的祝福 各自奔向远方…… 轻轻哼一首离别的歌～ 眼里噙满了泪……
存在实数对 使x, y P xa yb 推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
OP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.如图：PA⊥平面ABCD,ABCD是 矩形,M、N分别是AB、PC中点。
求证：MN//平面PAD
P MN=ME+EN
2004.3.3
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(b o), a // b 的充要条件是存在实
数使 a b
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
知非零向量 的a直线,那么对任一点O,点P
在直线 上的l 充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+t 其中a 向量叫做直线的方向
向量.
P
若P为A,B中点, 则
a
OP=1/2(OA+OB)
B
A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面 向量.
a
O
A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a,不b 共线,则向量P与向量 共a,面b 的充要条件是
还有什么是真爱呢 真正的爱情
年少时站在校园里期待的那种爱情 早已
在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重
缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了
我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸
院子里，操场上 充满了甜甜的空气
离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起
=1/2(AD+PA)
=1/2AF
A
∴MN∥AF
M
∴MN∥面PAD BFN DE C例1 对空间任一点O和不共线的三点A、
B、C，满足：OP xOA yOB zOC ，
其中x+y+z=1,试问：点P、A、B、C 是否共面？若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
终于懂得 没有人会无条件爱你一生一世
他们总是爱你这样或者那样 绝不仅仅
单纯的爱你 这样一个女人
所以 如果一个男人不爱你的钱
只爱你的身体 那么
你已经可以为自己的幸运 烧香拜佛了
重逢
重逢的时候 那是心情的又一次触动
惊喜的表情 熟悉的面庞 回忆中的甜蜜 一瞬间在脑海中隐现 于是，永远成为了所谓的缘分的代表 重逢…惊喜… 重逢的时候 那是思念的又一次宣泄 深情的一个拥抱 紧紧的一个握手 彼此的心轻鬆了许多 才发现思念是一种病 重逢…思念…… 重逢的时候 那是记忆的又一次翻新 彼此回忆著孩提时的美好 诉说着自己的苦恼 谈论着朋友的生活 讲述着自己无奈的过往 重逢…记忆… 重逢的时候 那是时间的又一次停滞 那一刻，时间终于停了 自己终于可以放假 感动的身体一时瘫在那里 重逢时的感动告诉了时光老人 时间不能改变的东西…… 重逢…感动… 重逢的时候，那是一阵欣喜，一阵感 动 欣喜之余还有一丝的忧伤 因为我们毕竟还要赶路 那么多线终有相交的一点 可是相交以后注定还要分别 但是，至少我明白 暂时的离别是为了再次相聚时的感动 ……
或永远祝福你
离别的时候 每一句话都显得那么悲伤 离别时的感动在顷刻间爆发
我们，我们，我们 独自沉浸在自己的感伤中
渐渐的平息……
离别的时候 每一句话都显得那么珍贵 仔细的听著那熟悉的声音
把每种都印刻在记忆里
望著他们远去的背影，我知道，我们 离别了 我们带著共同的回忆和永远的祝福 各自奔向远方…… 轻轻哼一首离别的歌～ 眼里噙满了泪……
存在实数对 使x, y P xa yb 推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
OP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.如图：PA⊥平面ABCD,ABCD是 矩形,M、N分别是AB、PC中点。
求证：MN//平面PAD
P MN=ME+EN