统计分析主成分分析
统计学中的主成分分析
统计学中的主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种多变量分析方法，用于降维和数据可视化。
它通过将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的数据能够保留原始数据的主要变化趋势，并且可以按照重要性进行排序。
在本文中，将介绍主成分分析的原理、应用场景和步骤。
一、主成分分析原理主成分分析的核心是寻找数据中的主要变化趋势，即找到数据中的主成分。
主成分是数据最大方差方向上的投影，也即是能够解释数据中最大不同的变量。
对于一个具有p个变量的数据集，主成分分析可以得到p个主成分，按照重要性递减排序。
通过选择适当数量的主成分，可以实现对数据的降维和可视化。
主成分分析的计算过程可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
特征值分解会得到数据的特征向量和特征值，而奇异值分解则可以直接得到主成分。
在实际应用中，奇异值分解是更常用的方法。
二、主成分分析的应用场景主成分分析广泛应用于各个领域，包括金融、生物学、社会科学等。
下面将介绍主成分分析在这些领域的具体应用。
1. 金融：主成分分析常用于资产组合管理和风险管理。
通过将各种金融数据进行主成分分析，可以获得具有代表性的主成分，从而有效降低资产组合的维度，减少投资组合中的相关风险。
2. 生物学：主成分分析可以应用于基因表达数据的分析。
通过主成分分析，可以从大量的基因表达数据中提取出基因表达的主要变化趋势，帮助研究人员理解基因与表型之间的关系。
3. 社会科学：主成分分析可以用于社会调查数据的分析。
通过对调查数据进行主成分分析，可以发现不同变量之间的相关性，进而揭示不同因素对于社会问题的影响程度。
三、主成分分析的步骤主成分分析的步骤通常包括以下几个步骤：1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量级的变量转化为标准差为1的变量。
这一步骤是为了消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于度量变量之间的相关性。
统计师如何进行主成分分析
统计师如何进行主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
作为一名统计师，掌握主成分分析的方法和步骤是很重要的。
本文将介绍统计师如何进行主成分分析的过程和注意事项。
一、主成分分析概述主成分分析是一种通过线性变换将原始数据转化为一组线性无关的变量的方法。
通过提取主要特征，主成分分析可以降低数据维度并保留大部分信息。
这些主要特征被称为主成分，按照其解释方差的程度依次排列。
主成分分析可以帮助统计师发现变量之间的关联性，并将数据可视化。
二、主成分分析步骤1. 数据准备在进行主成分分析之前，首先需要准备好将要分析的数据。
确保数据集包含两个或多个数值型变量，并且数据已清洗和处理。
2. 标准化由于主成分分析是基于协方差矩阵计算的，所以在进行分析之前需要对数据进行标准化处理。
标准化可以确保所有变量在相同的尺度上，并避免其中某些变量对主成分分析的影响过大。
常见的标准化方法包括Z-score标准化和范围缩放等。
3. 计算协方差矩阵通过计算变量之间的协方差，可以得到协方差矩阵。
协方差矩阵描述了变量之间的线性关系程度。
对于包含n个变量的数据集，协方差矩阵是一个n×n的矩阵。
4. 计算特征值和特征向量利用协方差矩阵，可以计算其特征值和特征向量。
特征值表示主成分方差的大小，特征向量描述了每个主成分的方向。
特征向量是协方差矩阵的特征值对应的单位向量，可以通过特征值分解得到。
5. 选择主成分根据特征值的大小，选择解释方差最大的前k个主成分作为分析的结果。
一般来说，我们选择解释方差大于1的主成分，以保留大部分的信息。
6. 计算主成分得分通过将原始数据投影到所选的主成分上，可以计算主成分得分。
主成分得分描述了原始数据在每个主成分上的投影位置，可以用于数据降维和数据可视化。
三、注意事项1. 数据的选择：主成分分析适用于多变量数据分析，但不适用于包含大量分类变量或数据分布非正态的数据。
什么是主成分分析
主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。
这就需要多变量数据统计分析。
多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。
主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。
从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。
因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。
基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。
在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。
如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。
形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。
X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。
由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。
图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。
即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。
从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。
这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。
主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。
PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。
卫生统计学：主成分分析与因子分析
通常先对x作标准化处理，使其均值为 零，方差为１．这样就有
x i a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
假定〔１〕fi的均数为 i22 ０，方差为１； 〔２〕ei的均数为０，方差为δi； 〔３〕 fi与ei相互独立．
那么称x为具有m个公共因子的因子模型
〔２〕δi称为特殊方差〔specific variance〕，是不能由公共因子解 释的局部
▪ 因子载荷〔负荷〕aij是随机变量xi与 公共因子fj的相关系数。
▪设
p
g
2 j
a
2 ij
i1
j 1, 2 ,..., m
▪ 称gj2为公共因子fj对x的“奉献〞， 是衡量公共因子fj重要性的一个指标。
根本思想：使公共因子的相对负荷 〔lij/hi2〕的方差之和最大，且保持 原公共因子的正交性和公共方差总和 不变。
可使每个因子上的具有最大载荷的变量 数最小，因此可以简化对因子的解释。
〔2〕斜交旋转〔oblique rotation〕
因子斜交旋转后，各因子负荷发生 了较大变化，出现了两极分化。各 因子间不再相互独立，而彼此相关。 各因子对各变量的奉献的总和也发 生了改变。
ai2j
g
2 j
i1
▪ 极大似然法〔maximum likelihood factor〕
▪ 假定原变量服从正态分布， 公共因子和特殊因子也服从正态分 布，构造因子负荷和特殊方差的似 然函数，求其极大，得 factor〕
▪ 设原变量的相关矩阵为 R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。 各变量特征方差的初始值取为逆 相关矩阵对角线元素的倒数， δi’=1/rii。那么共同度的初始值 为(hi’) 。
厦门大学《应用多元统计分析》第06章__主成分分析
另一种是椭圆扁平到了极限，变成y1轴上的一条线，第一主成 分包含有二维空间点的全部信息，仅用这一个综合变量代替原 始数据不会有任何的信息损失，此时的主成分分析效果是非常 理想的，其原因是，第二主成分不包含任何信息，舍弃它当然 没有信息损失。
矩阵表示形
式为：
Y1 Y2
cos sin
sin cos
X1 X2
TX
(6.2）
其中， T为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有 T T1
或 TT I 。
易见，n个点在新坐标系下的坐标Y1和Y2几乎不相关。称它 们为原始变量X1和X2的综合变量，n个点y1在轴上的方差达 到最大，即在此方向上包含了有关n个样品的最大量信息。
i 1
性质 3 主成分 Yk 与原始变量 X i 的相关系数为
(6.20） (6.21）
(Yk , Xi )
k ii
tki
并称之为因子负荷量（或因子载荷量）。
(6.22）
证明：事实上
(Yk , Xi )
Cov(Yk , Xi ) Cov(TkX, eiX)
D(Yk )D(Xi )
k ii
其中的 ei (0, , 0,1, 0, , 0) ，它是除第 i 个元素为 1 外其他元
素均为 0 的单位向量。而
Cov(TkX, eiX) TkΣei ei(ΣTk ) ei(kTk ) keiTk ktki
经济统计学中的主成分分析方法
经济统计学中的主成分分析方法主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于经济统计学领域。
它通过降维处理，将原始数据转化为一组新的无关变量，以揭示数据内在的结构和规律。
本文将介绍主成分分析的基本原理、应用场景以及相关的注意事项。
一、主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理是通过线性变换，将原始数据转化为一组新的变量，使得新变量之间相互无关。
这些新变量被称为主成分，按照其解释原始数据方差的大小排序。
主成分分析的目标是尽可能保留原始数据的信息，同时降低数据的维度，以便更好地理解和分析数据。
主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，方差为1，以消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据，计算变量之间的协方差矩阵。
协方差矩阵反映了变量之间的线性关系。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示主成分的方差贡献，特征向量表示主成分的线性组合权重。
4. 选择主成分：按照特征值的大小排序，选择解释方差较大的特征值对应的特征向量作为主成分。
5. 重构数据：将原始数据通过主成分的线性组合重构出来，得到降维后的数据。
二、主成分分析的应用场景主成分分析在经济统计学中有着广泛的应用场景，以下列举几个例子。
1. 经济指标分析：主成分分析可以用于经济指标的综合评价。
例如，我们可以将多个相关的经济指标（如GDP、CPI、PPI等）作为原始数据，通过主成分分析得到一组综合指标，用于评估经济的整体状况。
2. 金融风险管理：主成分分析可以用于金融市场的风险管理。
通过将多个相关的金融指标（如股票收益率、利率、汇率等）进行主成分分析，可以得到一组无关的主成分，用于评估和控制金融风险。
3. 消费者行为分析：主成分分析可以用于消费者行为的分析。
例如，我们可以将多个相关的消费者行为指标（如购买金额、购买频率、购买渠道等）进行主成分分析，得到一组无关的主成分，用于揭示消费者的行为模式和偏好。
主成分分析(principalcomponentsanalysis,PCA)又称：主分量分析,主成分回归分析法
主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。
它是一个线性变换。
这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。
但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
[编辑]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。
科普效果是很难具体量化的。
在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。
如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。
因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。
根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。
SPSS生物统计分析示例8-主成分分析
SPSS统计分析示例6（主成分分析）（Principle Components Analysis, PCA）对某类植物的5个种群样本进行形态学特征统计，包括9个特征因素，分别为花梗长度(x1)，花茎长度(x2)，筒长(x3)，裂片数(x4)，最长雄蕊长度(x5)，最短雄蕊长度(x6)，花柱长(x7)，每花序花数(x8)，雄蕊数(x9)，测量数据的平均值记录如表1。
表1：原始数据表1中可见对于观察的5个种群，裂片数（X4）不具备变异性（均为5），因此不能纳入主成分分析，因此首先剔除掉，而只考虑其余8个因素。
SPSS主成分分析程序先将原始数据进行标准化，再纳入PCA分析。
该过程自动在幕后进行，不在PCA结果中显示。
如果需要显示，可通过AnalyzeDescriptive Statistics来实现：弹出Descriptives对话框后，把X1～X9选入Variables框，在Save standardized values as variables前的方框打上钩，点击“OK”，经标准化的数据会自动填入数据窗口中，并以Z开头命名。
各因素之间的相关系数如表2所示：从解释的总方差表（表3）来看，只有3个成分的特征根(Eigenvalue)大于1，依据“Kaiser 准则”，可筛选出3个主要成分C1、C2、C3表3：解释的总方差(Total Variance Explained)Extraction Method: Principal Component Analysis.斜坡图(scree plot)如下，前3个成分解释了总方差的约98%。
成分矩阵如下表，反映了各个原始因素与不同成分的相关程度，绝对值越大，变量与成分之间关系越密切。
如表示，每花序花朵数与成分C1之间负相关程度最高（R=-0.971）。
Component Matrix(a)Component1 2 3每花序花朵数(x8) -.971 .126 .190花茎(x2) .911 -.388 .131最短雄蕊长(x6) .907 -.278 -.265最长雄蕊长(x5) .903 .214 .342雄蕊数(x9) .758 .649 -.067筒长(x3) .433 -.830 .298Extraction Method: Principal Component Analysis.a 3 components extracted.用表值除以各自成分的特征根值的平方根即为每个因素标准化值前面的系数，得到以下主成分表达式：C1=-0.44 Zx8 + 0.42 Zx2 + 0.42 Zx6 + 0.41 Zx5 + 0.35 Zx9 + 0.20 Zx3 + 0.24 Zx7 + 0.26 Zx1C2=0.10 Zx8 - 0.30 Zx2 - 0.21 Zx6 + 0.16 Zx5 + 0.49 Zx9 - 0.63 Zx3 + 0.14 Zx7 + 0.41 Zx1C3=0.16 Zx8 + 0.11 Zx2 - 0.23 Zx6 + 0.29 Zx5 - 0.06 Zx9 + 0.25 Zx3 - 0.71 Zx7 + 0.51 Zx1通过最大方差法(Varimax method)进行旋转，再计算成分载荷矩阵，结果如下。
主成分分析在统计学中的意义和应用
主成分分析在统计学中的意义和应用主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，广泛应用于统计学领域。
它通过线性变换将原始数据转换为一组新的互相无关的变量，称为主成分，以减少数据的维度并提取数据中的主要信息。
本文将探讨主成分分析在统计学中的意义和应用。
一、主成分分析的意义主成分分析在统计学中具有重要的意义。
首先，主成分分析可以帮助我们理解数据的内在结构。
通过将高维数据降维到低维空间，我们可以观察到数据中的主要变化趋势和关联性，从而揭示数据背后的规律和模式。
这对于统计学研究和数据分析具有重要意义。
其次，主成分分析可以减少数据的维度。
在实际应用中，我们经常面临高维数据的分析问题，而高维数据不仅难以可视化，而且计算复杂度高。
通过主成分分析，我们可以将高维数据转换为低维空间，减少数据的维度，从而简化问题的复杂度，提高数据分析的效率。
最后，主成分分析可以提取数据中的主要信息。
在数据分析中，我们通常只关注数据中的重要信息，而忽略噪声和不相关的变量。
主成分分析通过将数据转换为主成分，可以提取数据中的主要变化趋势和关联性，帮助我们更好地理解数据，做出更准确的分析和预测。
二、主成分分析的应用主成分分析在统计学中有广泛的应用。
以下是主成分分析的几个典型应用领域：1. 数据降维主成分分析可以将高维数据降维到低维空间，从而减少数据的维度。
这在数据可视化和数据分析中非常有用。
例如，在图像处理中，我们可以使用主成分分析将图像转换为低维空间，从而实现图像的压缩和重建。
在金融领域，主成分分析可以用于降低股票市场的维度，帮助投资者理解市场的主要变化趋势。
2. 特征提取主成分分析可以提取数据中的主要信息，帮助我们理解数据的内在结构。
在模式识别和机器学习中，我们经常需要从数据中提取有用的特征，以便更好地分类和预测。
主成分分析可以帮助我们实现这一目标。
例如，在人脸识别中，我们可以使用主成分分析提取人脸图像中的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
主成分分析法的原理和步骤
主成分分析法的原理和步骤主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而实现降维和数据可视化。
PCA的基本思想是通过选取少数几个主成分，将原始变量的方差最大化，以便保留大部分的样本信息。
下面我将详细介绍PCA的原理和步骤。
一、主成分分析的原理主成分分析的核心原理是将n维的数据通过线性变换转换为k维数据（k<n），这k维数据是原始数据最具有代表性的几个维度。
主成分是原始数据在新坐标系中的方向，其方向与样本散布区域最大的方向一致，而且不同主成分之间互不相关。
也就是说，新的坐标系是通过原始数据的协方差矩阵的特征值分解得到的。
具体来说，假设我们有一个m个样本、维度为n的数据集X，其中每个样本为一个n维向量，可以表示为X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{m} \right )。
我们的目标是找到一组正交的基变量（即主成分）U=\left ( u_{1},u_{2},...,u_{n} \right )，使得原始数据集在这组基变量上的投影方差最大。
通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到主成分对应的特征向量，也就是新的基变量。
二、主成分分析的步骤主成分分析的具体步骤如下：1. 标准化数据：对于每一维度的数据，将其减去均值，然后除以标准差，从而使得数据具有零均值和单位方差。
标准化数据是为了消除不同维度上的量纲差异，确保各维度对结果的影响是相等的。
2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据集X，计算其协方差矩阵C。
协方差矩阵的元素c_{ij}表示第i维度与第j维度之间的协方差，可以用以下公式表示：\[c_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}\left ( x_{ik}-\bar{X_{i}} \right )\left( x_{jk}-\bar{X_{j}} \right )}{m-1}\]其中，\bar{X_{i}}表示第i维度的平均值。
统计学中的主成分分析方法简介
统计学中的主成分分析方法简介统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是统计学中一种常用的数据降维技术。
它能够将高维度的数据转化为低维度的数据，从而帮助我们更好地理解和解释数据的结构和模式。
本文将对主成分分析方法进行简要介绍。
一、主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始数据转换为一组新的互相无关的变量，这些新变量被称为主成分。
主成分是原始变量的线性组合，其中第一个主成分解释了原始数据中最大的方差，第二个主成分解释了剩余方差中的最大部分，以此类推。
通过选择前几个主成分，我们可以保留原始数据中的大部分信息，并且减少数据的维度。
二、主成分分析的步骤主成分分析的步骤可以概括为以下几个步骤：1. 数据标准化：为了保证不同变量之间的可比性，我们需要对原始数据进行标准化处理，通常是将每个变量减去其均值并除以标准差。
2. 计算协方差矩阵：协方差矩阵反映了不同变量之间的相关性。
通过计算原始数据的协方差矩阵，我们可以得到变量之间的相关性信息。
3. 计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示了主成分的方差，而特征向量表示了主成分的方向。
4. 选择主成分：根据特征值的大小，我们可以选择前几个特征值对应的特征向量作为主成分。
一般来说，我们选择特征值较大的前几个主成分，以保留较多的原始数据信息。
5. 计算主成分得分：通过将原始数据与选定的主成分进行线性组合，我们可以得到每个样本在主成分上的得分。
这些得分可以用来解释样本在主成分上的位置和相对重要性。
三、主成分分析的应用主成分分析在许多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 数据压缩：通过选择较少的主成分，我们可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而减少存储和计算的成本。
2. 数据可视化：通过将数据投影到前几个主成分上，我们可以将高维度的数据可视化为二维或三维的图形，更好地理解数据的结构和模式。
统计分析软件应用SPSS-主成分分析实验报告
统计分析软件应用SPSS-主成分分析实验报告本实验采用SPSS软件搭配PCA算法，运用主成分分析（Principal Component Analysis）对数据建模，从而对原始数据进行数据挖掘，挖掘出其内在关联性及约束条件。
1.实验介绍主成分分析分析的数据主要是离散（或连续）的变量矩阵，它是将一组变量转换成一组新的变量，称为主成分，这些新变量有不同程度的解释能力，可以代表输入变量的内在趋势。
2.实验方法以SPSS软件中的主成分分析为例，具体进行主成分分析如下：（1）通过点击“分析”菜单栏的“统计方法”按钮打开对话框；（2）在统计方法中选择“主成分分析”；（3）选择变量；（4）设置相关的参数，其中的设置包括是否对输入变量进行标准化或是与原来输入变量一样不标准化等；（5）然后点击“OK”运行。
3.实验结果运行之后，SPSS软件就会给出主成分分析的结果，其主要内容有：载荷矩阵、方差表、方差序列图、因子得分表。
4.载荷矩阵载荷矩阵主要是列出每个原始变量与主成分的相关性，矩阵中的值代表相关系数，是两个变量之间的变化关系，相关系数的大小代表其相关性。
5.方差表方差表包括每个主成分的方差以及其贡献率，贡献率表示每个成分在总方差中所占的比重，通过该表可以较好地分析出因子各自所占方差比重。
6.方差序列图方差序列图是指把所有主成分的方差按从高到低的顺序排列，从而构成的图形，它可以清晰地展示每个成分的贡献率。
7.因子得分表因子得分表主要是列出每个观测值在每个主成分上的因子得分，利用因子得分可以更精确地表征观测值的差异，从而更好地挖掘出内在的数据关联。
5.结论本实验使用SPSS软件中的主成分分析对数据进行建模，分析出数据内在的关联关系。
通过矩阵载荷分析、方差表、方差序列图以及因子得分表等计算出来的数值，可以观察出原始变量间的内在关联，从而发现其内在的趋势，从而实现数据挖掘。
多元统计分析主成分分析
第主 成 分
二分 析 的
章基 本 概 念
定义与目的
定义
主成分分析是一种降维技术，通过线 性变换将多个具有相关性的变量转化 为少数几个互不相关的综合变量，这 些综合变量称为主成分。
目的
简化数据结构，降低维度，揭示隐藏在 数据中的模式和关系，同时保留原始数 据中的大部分变异信息。
原理与步骤
原理与步骤
02 03
碎石图（Scree Plot）
一种可视化工具，用于辅助确定主成分的数量。通过观察特征值 的变化趋势，可以判断哪些特征值对应的主成分具有较大的解释 力度，从而决定保留的主成分数量。
解释性原则
根据实际问题的需求和背景知识，选择能够解释数据变异性、反 映主要结构或关系的主成分。
第主 成 分
四分 析 的
转换数据
将原始数据转换为新的主成分坐 标系，得到主成分得分。
结果解释与讨论
结果解释
通过主成分分析，我们提取了三个主成分，这三个主成分分别代表了用户购买的商品类别、购买频率和购买金额。这 三个主成分解释了原始数据方差的80%。
结果讨论
通过主成分分析，我们可以更好地理解用户购买行为的特点和规律。例如，我们可以发现某些商品类别对用户购买行 为的影响较大，而有些商品类别的影响较小。此外，我们还可以发现购买频率和购买金额对用户购买行为的影响程度 不同。这些结果可以为电商平台的营销策略提供有价值的参考信息。
因子分析
识别潜在因子
主成分分析可以用于识别潜在的因子，这些因子可能对数据的解释有重要影响。通过主 成分分析，可以确定这些因子的数量和性质，从而更好地理解数据的内在结构。
解释变量间的关系
主成分分析可以帮助解释变量间的关系，通过将多个变量转化为少数几个主成分，可以 更好地理解变量间的相互作用和依赖关系。
多元统计分析与主成分分析的关系与应用
多元统计分析与主成分分析的关系与应用多元统计分析和主成分分析是统计学中两个重要的技术手段，它们在数据分析和统计建模中具有广泛的应用。
本文将探讨多元统计分析与主成分分析的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、多元统计分析与主成分分析的关系多元统计分析是一种综合运用多种统计学方法和技术，研究多个变量之间关系的分析方法。
它旨在通过对大量的数据进行整合和分析，揭示不同变量之间的潜在结构和规律。
而主成分分析则是多元统计分析中常用的技术之一。
主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种通过降维的方法来简化数据集的技术。
它的基本思想是通过线性组合将原始数据变换为一组新的变量，这些新变量称为主成分，它们能够尽量保留原始数据的信息。
主成分分析通过将原始数据投影到主成分上，实现数据维度的压缩和去除冗余信息。
在多元统计分析中，主成分分析被广泛应用于数据预处理、变量选择和模型建立等环节。
通过主成分分析，可以将原始的高维数据转化为少数几个主成分，从而降低数据的维度，减少模型的复杂度，同时保留了原始数据中的主要信息，有助于提取数据的潜在结构和进行更有效的数据分析。
二、主成分分析的应用1. 数据可视化主成分分析可以帮助我们对高维数据进行可视化分析。
通过将数据投影到低维的主成分上，我们可以将原始数据在二维或三维空间中进行可视化展示。
这样可以更直观地观察数据之间的关系，发现异常值和聚类结构，为后续的模型建立提供重要的参考。
2. 数据预处理在建立统计模型之前，通常需要对数据进行预处理。
主成分分析可以作为一种预处理方法，通过去除原始数据中的冗余信息和噪声，减少数据维度，提高模型的建模效率和精度。
主成分分析还可以用于数据的标准化和归一化，使得不同变量之间具有可比性，更好地满足模型的要求。
3. 变量选择在众多的变量中选择对目标变量具有显著影响的变量是建立高效模型的关键一步。
主成分分析可以通过计算各个主成分的贡献率或者变量的负荷量，来评估每个变量对数据的影响程度。
主成分分析操作详细步骤
主成分分析操作详细步骤
1、打开SPSS统计软件，点击“文件”—“新建”，出现“数据文件”、“表格”、“报告”、“图形”等四个选项，其中“数据文件”是
一个空的数据文件，可以手动输入数据。
2、点击“数据”—“获取外部数据”—“从文本文件／框架文件／Excel文件中获取数据”，在“文件类型”框中选择要导入的文件类型，
点击“完成”，之后点击“浏览”，可以选择准备好的数据文件，导入到SPSS统计软件中。
3、点击“分析”—“统计分析”—“主成分分析”，出现“主成分
变量”框，可以选择要进行主成分分析的变量，这些变量可以是各种指标，选择完毕后，点击“确定”。
4、在“主成分变量”框下方出现“控制参数”，有四个选项：“去
除非对角线元素”、“解释剩余变量”、“解释变量模式”、“把因子得
分作为自变量”，其中“解释变量模式”用来控制主成分分析的输出，可
以设置要输出哪些统计量，一般设置为对变量进行“全部”的解释。
5、点击“保存”，“控制参数”框下方出现“文件”，可以选择要
将计算结果保存到何处，一般设置为“当前文件夹”即可。
6、点击“确定”，软件执行计算，完成后会出现分析结果的表格。
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问题的提出 §8 主成分分析
问题的提出 §8 主成分分析
§8 主成分分析
什么是主成分分析 主成分分析的数学模型 主成分分析的主要步骤 如何在SPSS软件中进行主成分分析
§8 主成分分析
什么是主成分分析
主成分概念首先由Kal parson在1901年提出，不过当时 只对非随机变量来讨论的。1933年Hotelling将这个概念推 广到随机向量。
Var(a ' X ) E(a ' X E(a ' X ))(a ' X E(a ' X )) '
＝'E(X-E(X))(X-E(X))''=' Max
且 ’＝1
§8 主成分分析
数学模型的推导
通过推导可知，X1,X2, Xp 的主成分就是以协方差阵
的特征向量为系数的线性组合，它们互不相关，其方差
主成分分析采用的主要原则是使方差最大，以期尽可 能多的保留原有变量所包含的信息，同时又能用尽可 能少的主成分替代原有变量，从而使问题变的简便。
但是，这些主成分通常并没有明确的专业意义。因子 分析是主成分分析的一种推广。它从一定的模型出发， 找出几个反映原有变量的公共因子，并力求使之有较 为合理的专业i
i 1
称为前k个主成分的累计贡献率
如果前k个主成分的累计贡献率达到85％，则表明取前k 个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息，从而 达到了变量降维的目的。
在实际应用中，通常用样本协差阵来表征总体协差阵。另 外，为了消除指标量纲的影响，通常将原始数据进行标准 化处理，从而协差阵等同于相关系数阵。
问题的提出 §8 主成分分析
地理系统是多要素的复杂系统。在地理学研究中，多 变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分 析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多 个变量之间具有一定的相关关系。 解决该问题的一个办法就是筛选变量，即只挑选部分 较为重要的变量，以减少变量数，并可缓解相关性带 来的麻烦－如逐步回归分析、逐步判别分析等。 换一个角度来看，如果众多的变量间存在着的相关关 系，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替 原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能 多地保留原来变量所反映的信息？ 主成分分析和因子分析就是综合处理这种问题的一种 强有力的工具。
§8 主成分分析
问题的提出
主成分分析方法（principal component analysis，PCA ） 就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。它把原 来多个变量（显式变量）转化为少数几个综合变量 （潜式变量）。综合变量即主成分（principal compontent）综合变量之间相互独立，且能反映原来多 个变量的大部分信息。
主成分分析（Principal Components Analysis ，PCA)也 称为主分量分析，是一种通过降维来简化数据结构的方 法，即如何把多个变量（变量）转化为少数几个综合变量 （综合变量），而这几个综合变量可以反映原来多个变量 的大部分信息。
为了使这些综合变量所含的信息互不重叠，应要求它 们之间互不相关。
Component
1 .489
2 .649
.346
-.827
.879
.018
-.455
.571
.627
.667
.746
-.568
.744 .217
.102 .654
3 -.382 .288 .386 .551 -.253
.078
-.038 .584
Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 3 components extracted.
主成分解释 §8 主成分分析
X1 GDP(亿元） X5 X2 工业增加值 X6 X3 总资产贡献率 X7 X4 资产负债率 X8
为 的特征根。 由于 特征根 1 2 p 0 ，所以有
Var(F1) Var(F2 ) Var(Fp ) 0 ，因此主成分的名次是 按特征根取值大小的顺利排列的。
在解决实际问题时，一般不是取全部p个主成分，而是 取前k个。
方法之一是取特征根大于1的主成分。 方法之二是根据累计贡献率来取主成分。 何为贡献率和累计贡献率？
§8 主成分分析
什么是主成分分析
在实际问题中，经常遇到多变量(指标)问题，而且变量之 间有一定的相关性。变量多且变量间有一定的相关性， 势必增加了分析问题的复杂性。 主成分分析就是设法将原来变量重新组合成一组新的互 相无关的几个综合变量来代替原来变量，同时根据实际 需要从中可取几个较少的综合变量尽可能多地反映原来 变量的信息。
Total % of Variance Cumulative %
2.887
36.088
36.088
2.636
32.946
69.034
1.094
13.672
82.706
根据特征根或累积方差贡献率，可以提取3个主成分
§8 主成分分析
主成分模型
（注意区别）
Component Matrixa
GDP(亿 元 ） 工业 增加值 总资 产贡献 率 资产 负债率 流动 资产周 转次 数 工业 成本费 用利 润 率 （ %） 全员 劳动生 产率 产品 销售率
左图Component Matrix是指 初始因子载荷矩阵，每一
个载荷量表示主成分与对
应变量的相关系数。
用主成分载荷矩阵中的数据除以主成分 相对应的特征值开平方根便得到两个主 成分中每个指标所对应的系数。
ei
i i
§8 主成分分析
主成分模型
Component Matrixa
Component
151.782 28
.000
如果多个变量相互独立或相关性很小，就不能进行
主成分分析。 Kaiser-Meyer-Olkin（KMO)检验：检验变量之间的
偏相关系数是否过小。 Bartlett’s 检验。该检验的原假设是相关矩阵为单位
阵（不相关），如果不能拒绝原假设,则不适合进行主 成分分析。
§8 主成分分析
难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合变量代替原来 较多的变量变量，而且使这些较少的综合变量既能尽量多地反 映原来较多变量变量所反映的信息。
§8 主成分分析
数学模型
引例8-1中，有31个样本，每个样本有8个变量。
§8 主成分分析
数学模型
要从原来的所有变量得到新的综合变量，一种较为简单 而常用的方法是作线性变换，使新的综合变量为原变量 的线性组合。
§8 主成分分析
数学模型的条件
KMO and Bartlett's Test
Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.
.590
Bartlett's Test of Sp he ri ci ty
Approx. Chi-Square df Sig.
各主成分的累积方差贡献率>80%或特征根>1。
§8 主成分分析
数学模型
假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个 n×p阶的地理数据阵
x11 x12
X
x21
x22
xn1 xn2
x1 p
x2
p
xnp
(X1,X2 ,
Xp)
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困
§8 主成分分析
主成分的提取
Total Variance Explained
Initial Eigenvalues
Component 1 2 3 4 5 6 7 8
T o tal 2.887 2.636 1.094 .588 .391 .218 .122 .064
% of Variance 36.088 32.946 13.672 7.347 4.894 2.727 1.530 .795
§8 主成分分析
问题的提出
[引例8-1] 2000年全国各地 区经济效益主要指标有以下 8个：GDP（亿元）、工业 增加值（%）、总资产贡 献率（%）、资产负债率 （%）、流动资产周转次 数（次/年）、工业成本费 用利润率（%）、全员劳动 生产率（元/人.年）、产品 销售率（%）。
§8 主成分分析
对于任意常数c，有
v ar(cFi ) c2 var(Fi )
为了使方差var(Fi ) 可以比较，要求线性组合的系数满足 规范化条件
ai21 ai22 ai2p 1 要求原始变量之间存在一定的相关性
要求各个综合变量间互不相关，即协方差为0
为了消除变量量纲不同对方差的影响，通常对数据进行 标准化处理，变量之间的协方差即为相关系数。
Cumulative % 36.088 69.034 82.706 90.054 94.947 97.675 99.205
100.000
Extraction Method: Principal Component Analysis.
Extraction Sums of Squared Loadings
.102 .654
3 -.382 .288 .386 .551 -.253
.078
-.038 .584
Extraction Method: Principal Component Analysis.
a. 3 components extracted.
F1=0.288X1+0.203X2 0.518X3 0.268X4 0.369X5 0.439X6 0.438X7 0.128X8 F2 =0.4X1 0.509X2 0.011X3 0.352X4 0.411X5 0.350X6 0.063X7 0.403X8 F3 = 0.365X1 0.276X2 0.369X3 0.526X4 0.242X5 0.074X6 0.036X7 0.558X8