高考文科数学二轮复习必考点统计与概率十六

考点过关检测（十六）
1．(2019·东北三省联考)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值；
(2)求这200人年龄的平均数( 同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．
解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035.
(2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)；
设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，
解得x≈42.1.
(3)200人中第1,2组的人数分别为20,30，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2,3，分别记为a1，a2，b1，b2，b3.
从5人中随机抽取3人，有(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个基本事件，
其中第2组恰好抽到2人，包含(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，共6个基本事件．
从而第2组恰好抽到2人的概率为6
10＝3 5.
2．(2019·吉林三调)“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，在交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据样本完成2×2列联表，并据此分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
(3)在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)由茎叶图可得，A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；A城市评分的方
差大于B 城市评分的方差．
(2)由题意可得2×2列联表如下：
故K 2＝
40×(5×10－10×15)2
20×20×15×25
≈2.667<3.841，
所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关． (3)由题意得在A 城市抽取
5
5＋10
×6＝2人，设为x ，y ； 在B 城市抽取10
5＋10
×6＝4人，设为a ，b ，c ，d .
则从6人中推荐2人的所有基本事件有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(x ，d )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(y ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共15个．
设“A 城市中至少有1人”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(x ，d )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(y ，d )，共9个．
由古典概型概率计算公式可得P (M )＝915＝3
5，
故A 城市中至少有1人的概率为3
5
.
3．(2020届高三·深圳调研)某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y (单位：千件)与当月售价x (单位：元/件)之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下表：
(1)统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r |∈[0.75,1]，则认为相关性很强；若|r |∈[0.3,0.75)，则认为相关性一般；若|r |∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱(精确到0.01)；
(2)求y 关于x 的线性回归方程；
(3)根据(2)中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额＝月销售量×当月售价)
附注：参考数据：165≈12.85.
参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1n
(x i －x )2
∑i ＝1
n
(y i －y )2
，
线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
，a ^＝y －b ^x .
解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得， x ＝7，y ＝5，
∑i ＝15
(x i －x
)2＝10，∑i ＝1
5
(y i －y )2＝16.5.
∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )＝－12.5，r ≈
－12.5
10×16.5
≈－0.97.
因为|r |≈|－0.97|∈[0.75,1]，
所以说明y 与x 的线性相关关系很强．
(2)由(1)可知b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
＝
－12.5
10
＝－1.25， ∴a ^＝y －b ^
x ＝5－(－1.25)×7＝13.75， ∴y ^
＝－1.25x ＋13.75.
(3)由题意可知，月销售额的预报值z ^＝1 000·y ^·x ＝－1 250x 2＋13 750x (元)或者z ^＝y ^
·x ＝－1.25x 2＋13.75x (千元)．
则当x ＝5.5时，z ^
取到最大值，
∴该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．
4．(2019·河南名校联考)随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助．某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2 000名市民(其中不超过40岁的市民恰好有1 000名)，利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组(单位：千步)，将抽取
的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.
(1)现规定，日健步步数不低于13 000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9%的把握认为是不是“健步达人”与年龄有关；
(2)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数(单位：千步)的平均数和中位数；
(3)若日健步步数落在区间(x－2s，x＋2s)内，则可认为该市民“运动适量”，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可求得频率分布直方图中数据的标准差s约为3.64.若一市民某天的健步步数为2万步，试判断该市民这天是否“运动适量”．
参考公式：K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
解：(1)列联表为
则K 2＝
2 000×(520×600－480×400)2
920×1 080×1 000×1 000
≈29>10.828，
所以有99.9%的把握认为是不是“健步达人”与年龄有关．
(2)样本平均数为x ＝4×0.04＋6×0.06＋8×0.1＋10×0.1＋12×0.3＋14×0.2＋16×0.1＋18×0.08＋20×0.02＝12.16.
由前4组的频率之和为0.04＋0.06＋0.10＋0.10＝0.30，前5组的频率之和为0.30＋0.30＝0.6，知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则(t －11)×0.15＝0.5－0.3，解得t ＝37
3
，
故可以估计，该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16，中位数为37
3.
(3)因为(x －2s ，x ＋2s )＝(4.88,19.44)， 所以可据此判断该市民这天“运动不适量”．。