结构力学渐近法ppt课件
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第十一章-渐近法
与位移法一致
单结点力矩分配法基本原理： 加刚臂——去刚臂——叠加 步骤： 1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数
3、分配传递 4、绘内力图
第十一章
渐近法
作业：11-1
本节课到此结 束再见!
第十一章 渐近法 §11-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
P 1
远 端 约 束 固 铰 滑 定 支 动 S C 0.5 0 -1
4i
3i
i
第十一章 渐近法 §11-2 力矩分配法的基本原理 3、节点不平衡力矩：
R1P M 1Fj
j 1 n
(刚臂反力矩)
4、分配系数： 1 j S1 j
5、分配弯矩： M 1j 6、传递弯矩： M
c i1
S
j 1
-23.7
-1.2
+87.6 87.6
200.9
A
120
B
M图(kn.m)
C
D
第十一章 §11-4 无剪力分配法
渐近法
无剪力分配法是计算符合某些特定条件的有侧 移刚架的一种方法。
I I 2q 2q I I I I q q q q q q q q
B B q q
（采用普通力 （采用普通力 矩分配法） 矩分配法）
弯距的比值。
C AB M BA M AB
A
M BA CAB S ABAB AB M
A
A
i
B
S AB 4i
S AB 3i
B
C AB 1 2
A
A
i
B
C AB 0
A
i
S AB i
C AB 1
单结点力矩分配法基本原理： 加刚臂——去刚臂——叠加 步骤： 1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数
3、分配传递 4、绘内力图
第十一章
渐近法
作业：11-1
本节课到此结 束再见!
第十一章 渐近法 §11-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
P 1
远 端 约 束 固 铰 滑 定 支 动 S C 0.5 0 -1
4i
3i
i
第十一章 渐近法 §11-2 力矩分配法的基本原理 3、节点不平衡力矩：
R1P M 1Fj
j 1 n
(刚臂反力矩)
4、分配系数： 1 j S1 j
5、分配弯矩： M 1j 6、传递弯矩： M
c i1
S
j 1
-23.7
-1.2
+87.6 87.6
200.9
A
120
B
M图(kn.m)
C
D
第十一章 §11-4 无剪力分配法
渐近法
无剪力分配法是计算符合某些特定条件的有侧 移刚架的一种方法。
I I 2q 2q I I I I q q q q q q q q
B B q q
（采用普通力 （采用普通力 矩分配法） 矩分配法）
弯距的比值。
C AB M BA M AB
A
M BA CAB S ABAB AB M
A
A
i
B
S AB 4i
S AB 3i
B
C AB 1 2
A
A
i
B
C AB 0
A
i
S AB i
C AB 1
结构力学第七章 渐 近 法
第四节
无剪力分配法
本来力矩分配法只能直接用于无结点线位移的结构。但后来的
研究结果表明，可计算某些符合特定条件的有侧移刚架，如图
7-15所示的渡槽支承、桥梁和管道的支架等。 像图7-16所示那样有结点线位移的结构，也可直接用于力矩分 配法计算。这类结构有一个共同的特点，那就是竖柱两侧的各 支链杆都和竖柱保持平行，从而各结点附加刚臂后，这些结点 的移动不受这些支承的任何限制。对于这样类型的结构，当进 行力矩分配时，由于允许杆端自由移动，故竖柱上不会引起任
矩叠加起来，就得到原杆件的最终杆端弯矩。将最终杆端弯矩
与将各杆看成是简支梁时在荷载作用下的弯矩相叠加，即得结 构的最终弯矩图。
第三节
多结点的力矩分配法
归纳起来，运用力矩分配法计算一般连续梁和无结点线位移刚
架的步骤如下：
1)求出汇交于各结点每一杆端的分配系数 2)计算各杆端的固端弯矩MF； 3)逐次循环交替地放松各结点以使弯矩平衡。 4)将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即 得各杆端的最后弯矩。
何附加剪力，而剪力始终保持为一个常数，所以被称为无剪力
分配法，即分配时不引起附加剪力的意思。
第四节
无剪力分配法
图 7-15
第四节
无剪力分配法
图 7-16
第四节
无剪力分配法
图 7-17
第四节
无剪力分配法
30C.TIF
第四节
无剪力分配法
图 7-18
第四节
无剪力分配法
图 7-19
图 7-1
1.转动刚度S
图 7-2
1.转动刚度S
图 7-3
2.分配系数
图 7-4
2.分配系数
图 7-5
结构力学课件12渐近法
-4.90
43.5
46.9
24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图
例2.
4m
4m
5m
4m
2m
q=20kN/m
A
B
C
D
F
E
*
A
B
C
1m
5m
1m
EI=常数
D
50kN
5/6
1/6
50
25
-20.8
-4.2
-20.8
+20.8
+50
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
50kN·m
A
B
M
M/2
A
B
*
C
B
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。
A
B
C
D
6m
6m
4m
4m
EI=1
EI=2
EI=1
20kN/m
100kN
0.4
0.6
0.667
0.333
m
-60
60
-100
100
分配与传递
-33.3
-66.7
-33.4
29.4
44
22
14.7
-14.7
-7.3
-7.3
4.4
2.9
2.2
-1.5
-0.7
-0.7
固端弯矩之和
（第一轮第二、三……结点）
固端弯矩之和 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
43.5
46.9
24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图
例2.
4m
4m
5m
4m
2m
q=20kN/m
A
B
C
D
F
E
*
A
B
C
1m
5m
1m
EI=常数
D
50kN
5/6
1/6
50
25
-20.8
-4.2
-20.8
+20.8
+50
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
50kN·m
A
B
M
M/2
A
B
*
C
B
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。
A
B
C
D
6m
6m
4m
4m
EI=1
EI=2
EI=1
20kN/m
100kN
0.4
0.6
0.667
0.333
m
-60
60
-100
100
分配与传递
-33.3
-66.7
-33.4
29.4
44
22
14.7
-14.7
-7.3
-7.3
4.4
2.9
2.2
-1.5
-0.7
-0.7
固端弯矩之和
（第一轮第二、三……结点）
固端弯矩之和 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
结构力学李廉锟 第9章_渐近法
§9-1 引言
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩 分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩 的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转 为正号）。
§9-2 力矩分配法的基本原理 一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上 等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
B 28i
10 i SAB 28 i
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。 求SAB ,CAB。
A A l l CC l l BB AA
θθ ==1 1
a)
C C
B B
θθ l l
SAB S AB A
3i 3
iΔ /l=3 33i /l=3 i i C C
§9-2 力矩分配法的基本原理
3．传递系数
远端弯矩（传递弯矩） 1 M AB M BA C AB M BA 2
MB A B
B
C
M CB 0 CCB M BA
M BA C AB M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之 和∑μ(B) 应等于多少？
1
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
转动刚度
S AB 4i
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
§9-2 力矩分配法的基本原理
1
MAB =3i
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
结构力学 第九章07 渐近法
j =1
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学 第八章 渐近法.
2.远端铰支： M DA C M AD, C 0
3.远端定向： M CA C M AC , C 1
故用下列公式表示传递弯矩的计算：
M BA CAB M AB
现在把力矩分配法的物理概念简述如下：先 在刚结点B上加上阻止转动的约束，把连续梁分 为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩，然后求出 结点的不平衡力矩MB。去掉约束（相当于在结点 上施加-MB )，求出各杆B端新产生的分配力矩和 远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩 就得到实际的杆端弯矩。
为了消除附加刚臂的影响，施加一个其值与 不平衡力矩等值反向的外力矩，使基本结构与 原结构具有相同的受力和变形。
3、三分配
(c)
30KN.m
A
B
C
设在结点B产生一单位转角，应在B端施加的外 力矩为，
mBA 4i2 1 4 21 8, mBC 4i1 1 411 4
M AB 4iAB A , M BA 2iAB A M AC iAC A , M CA iAC A M AD 3iAD A , M DA 0
由上述结果可知:
M BA M AB
CAB
1 2
CAB：为传递系数
1.远端固定：
M BA C M AB ,
C1 2
B
C
D 配、传递）求杆端
B
＋ MC3
C
D
弯矩 按单结点问题（分
配、传递）求杆端
MC3 MC1 MC2 弯矩
例9－2 试用力矩分配法作连续梁弯矩图
20kN / m
100kN
A EI 1 6m
B EI 2
C EI 1 D
4m 4m
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
第九章渐近法6
绘出MP图（图b), 可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的不平衡力矩。
8
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14
= S12+S13+S14
= ∑S1j
三、力矩分配法的基本原理（分配系数、不平衡力矩）
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
q
P
2
1
4
3
(a)
M
F 21
2
M1F2 M1F4
4
1
M
F 41
3 MP图
(b)
1
M1F2
M1F3
M
F 14
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0
得出上述规律后，便可不必图绘，也M不P 、必列出
典型方程和求解，而直接按以上结论计算各杆端弯矩，其过程 分为两步：
(1)固定结点
即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有
不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。
(2)放松结点
即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加
入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结
3
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数）：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 杆端发生单位转动时，杆端（近端）产生的弯矩。
第9章 渐进法
F FC
BA
0.3
CB CD
0.445 0.333 -13.9 -0.7
DC
M
一 C
40
1.6 0.1 0 1.7 3.3
41.7
-18.5 2.2 -1.0 -0.5 -0.2 -9.3 -4.7
轮B
二 C 轮 M B
3.3
0.15 3.5
0.15
0.2
43.4
-46.9
-24.4
-14.6 -9.8
Pl 100 4 50 8 8 Pl 100 4 50 8 8
f f M BD M DB 0
A
A 0 0
BA BD BC 0.3 0.4 0.3 B 60 0 -50 -3×0 -3 -4 -3 57 -4 -53
C
-3×0.5
50 -1.5
48.5
0
0 -2 -2
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.06
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中 力偶(顺时针为正)
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
Q图（kN）
求支座反力
例2. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
C
1
结构力学课件12渐近法
材料力学
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
渐近法
第九章渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
结构力学完整：第九章《渐近法》ppt课件
.
2
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
1
A
MAB =4i
EI
L SAB=MAB=4i
的弯矩按一定比例传到远端一样，
1
故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由
A
A端向B端的传递系数，用CAB表示。M=3AiB
即
CAB
M BA M AB
或 MBA=CABMAB
由右图或表(10—1)可得
1
A
MAB =i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=－1
然后可按叠加法 MMPM1Z1计算各杆端的最后弯
矩。
返回
.
7
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M
F 12
S 12 S1
j
(M1Fj )
M1F2
12 (M1Fj)
M13=M1F3SS113j (M1Fj) M 1F313 (M 1Fj)
M14=M1F4SS114j (M1Fj)M 1F414(M 1Fj)
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返回
08★结构力学A上★第八章★渐近法及其他方法简述(1)PPT课件
第三步，重新夹紧结点B ，然后去掉结点C的约束。 ■重复第二步和第三步，连续梁的内力和变形很快达到实际状态。 ■每放松一次结点就相当于进行一次单结点的分配与传递运算。
15
例 作连续梁的弯矩图。
（1）分配系数
S BA
4iBA
4
1 6
0.667
2
S BC
4iBC
4 8
1
BA
0.667 1 0.667
递弯矩。
■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。
8
计算步骤： 1.计算刚结点所连接杆件的转动刚度、分配系数和传 递系数 2.计算各杆固端弯矩 3.计算分配弯矩和传递弯矩 4.叠加求得最终杆端弯矩
9例:试用力矩分配法作弯矩来自。1.各杆转动刚度、分配系数和传递系数
AB:
SAB
4EI 6
2EI 3
AB0.571
0.4
Bc
1
1 0.667
0.6
SCB 4iCB 1 SCD 3iCD 0.5
CB 0.667 CD 0.333
（2）固端弯矩
M
F AB
ql2 12
60 kNm
M
F BA
60
kN m
M
F BC
FPl 8
100 kNm
M
F CB
100
kN m
16
17
例 作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。
M D A3iD AD MAD 0
B
4.回代，求杆端弯矩
M D B4iD BD M BD2iD BD MDCiDC D M CDiD CD
MDA3iDA34iiD D ABiDCm
MDB3iDA44iiD D BBiDCm MDC3iDA4iD iC DBiDCm
15
例 作连续梁的弯矩图。
（1）分配系数
S BA
4iBA
4
1 6
0.667
2
S BC
4iBC
4 8
1
BA
0.667 1 0.667
递弯矩。
■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。
8
计算步骤： 1.计算刚结点所连接杆件的转动刚度、分配系数和传 递系数 2.计算各杆固端弯矩 3.计算分配弯矩和传递弯矩 4.叠加求得最终杆端弯矩
9例:试用力矩分配法作弯矩来自。1.各杆转动刚度、分配系数和传递系数
AB:
SAB
4EI 6
2EI 3
AB0.571
0.4
Bc
1
1 0.667
0.6
SCB 4iCB 1 SCD 3iCD 0.5
CB 0.667 CD 0.333
（2）固端弯矩
M
F AB
ql2 12
60 kNm
M
F BA
60
kN m
M
F BC
FPl 8
100 kNm
M
F CB
100
kN m
16
17
例 作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。
M D A3iD AD MAD 0
B
4.回代，求杆端弯矩
M D B4iD BD M BD2iD BD MDCiDC D M CDiD CD
MDA3iDA34iiD D ABiDCm
MDB3iDA44iiD D BBiDCm MDC3iDA4iD iC DBiDCm
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7
结点力偶分配 §6-3 单结点的力矩分配
1）计算转动刚度及分配系数求μ
90kN 40
计算转动刚度： 分配系数：
SAB=4iAB=4
AB
4 43
2
4 9
SAC=iAC=2
AC
2 432
2 9
4m
B
i=1
20
设i =EI/l
20 A
i=1 D 30
i=2 M图（kN.m)
SAD=3iAD=3
AD
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与 近端支承无关。
如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度
SAB的数值不变。
2
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度S不同）。
下列哪种情况的杆端弯矩MAB=SAB
i=1
DD
MA 10
80
mAB
M=15 i=2
mAD
mAC
CC
22mm
22mm
M图（kN.m) 44mm
A （15）
MA=mAB+mAD+mAC =50-80=-30 体系外力偶（直接分配）=15 实际分配=30+15=45
结点
B
杆端
BA
AB
分配系数
4/9
固端弯矩
－ 50
50
分配与传递
10
20
最后弯矩
－ 40
70
4 4mm
70
40
100kN 100kN
100 100
B B
i=1
1155kkNN AA
40kN/m ↓↓↓↓4↓↓0↓↓k↓↓N↓↓↓↓/m↓↓↓↓
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 6 8
150kN m
C MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
A -150
A -17.2 A -150
200kN 60 20kN/m
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
BA BC 0.571 0.429
MBA = MBAP+ M B A
MBC = MBCP+ M B C
M B A
M B C
MB A BA (MB ) M B C BC (M B )
MAB= MABP+ M AB 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
9
总结： 应用条件： 只有角位移的刚架和连续梁
三概念：
刚度系数、分配系数、传递系数
MAB
MAB
θ
√ ① ②
1
MAB
MAB
1
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
3
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD
SAB = 4i
D
MA
B
如用位移法求解：
1 于是可得
iAD
i A
AB
iAC
M AB 4iAB A SAB A
-34.3
-25.7
115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
0 (3) 最后结果。合并前面两个过程
11
例3.用力矩分配法计算,画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9
μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求m
mAB= 50
mBA= － 50
mAD= － 80
不平衡力矩（负向分配）
第六章
1
§6-3 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
4i
2i
力矩分配法
计算对象：杆端弯矩；
θ=1
A
计算方法：逐渐逼近的方法；
B
一、转动刚度S： 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
SAB=4i
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=3i
1
1
SAB=i
M
A
A
Aj
S Aj S
M Aj Aj M
A
1
分配系数
4
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MAB = 3iABA
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
1 2
B
CAB
M BA M AB
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iA分配与传递，故该方法只是用于无侧移结构（即无C 结点线位移）。
MAB
MBA
MBC
MB
=
固定约束，约束上产
生不平衡弯矩
MB
MBAP
MBCP
A
MABP
MBAP B MBCP
放松约束，相当于加
一个反向力偶
-MB
+
C
MB= MBAP+ MBCP -MB
A
M AB
M B A B M B C
最后杆端弯矩：
C 0
3 43
2
3 9
2）求杆端弯矩
C
2m
2m
4m
mAB= 40 mAC= 20 mAD= 30
传递弯矩
mBA= 20 mCA= 10
mBA B
mDA= － 30
结点弯矩
mAB A mAB
A M=90 mAD
mAC
3) 最后弯矩
8
§9-26-3 单结点的力矩分配 非结点力偶分配
力矩分配法的局限：由于B力矩分配法只讨论力矩的分配与传递问固题端，弯没矩有带涉本及身剪符力号
符号规定： 与位移法一致 单结点力矩分配法基本原理：
加刚臂——去刚臂——叠加
步骤：
1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数 3、分配传递 4、绘内力图
10
例2. 用力矩分配法作图示连续梁
的16弯7.矩2 图。 200kN 115.7 300
M图(kN·m) 20kN/m
90
A
EI
B
M AC iAC A S AC A
SAB= 3i
M A1B
SAB M S
SAB= i
A
MAD
C
M MAB
m 0
M AD 3iAD A SAD A
M (S AB S AC S AD ) A
1
M AC
S AC S
A
M
MAC
A
A
S AB
M SAC
SAD
M S
M AD
S AD S
1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别 等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
5
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度S和传递系数C如下表。
远端约束
S
C
固定
4i
0.5
铰支
3i
0
滑动
i
-1
6
符号规定: 外力偶---绕杆端顺时针为正 杆端弯矩---绕杆端顺时针为正 杆端剪力---使杆轴顺时针转为 正 杆端转角---顺时针为正 杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
150 B -90
=
+
0
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
C 设i =EI/l
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：
BA
4i 4i 3i
0.571
BC
3i 7i
0.429
分配力矩:
C
M B A 0.571 (60) 34.3
-17.2 -167.2
结点力偶分配 §6-3 单结点的力矩分配
1）计算转动刚度及分配系数求μ
90kN 40
计算转动刚度： 分配系数：
SAB=4iAB=4
AB
4 43
2
4 9
SAC=iAC=2
AC
2 432
2 9
4m
B
i=1
20
设i =EI/l
20 A
i=1 D 30
i=2 M图（kN.m)
SAD=3iAD=3
AD
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与 近端支承无关。
如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度
SAB的数值不变。
2
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度S不同）。
下列哪种情况的杆端弯矩MAB=SAB
i=1
DD
MA 10
80
mAB
M=15 i=2
mAD
mAC
CC
22mm
22mm
M图（kN.m) 44mm
A （15）
MA=mAB+mAD+mAC =50-80=-30 体系外力偶（直接分配）=15 实际分配=30+15=45
结点
B
杆端
BA
AB
分配系数
4/9
固端弯矩
－ 50
50
分配与传递
10
20
最后弯矩
－ 40
70
4 4mm
70
40
100kN 100kN
100 100
B B
i=1
1155kkNN AA
40kN/m ↓↓↓↓4↓↓0↓↓k↓↓N↓↓↓↓/m↓↓↓↓
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 6 8
150kN m
C MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
A -150
A -17.2 A -150
200kN 60 20kN/m
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
BA BC 0.571 0.429
MBA = MBAP+ M B A
MBC = MBCP+ M B C
M B A
M B C
MB A BA (MB ) M B C BC (M B )
MAB= MABP+ M AB 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
9
总结： 应用条件： 只有角位移的刚架和连续梁
三概念：
刚度系数、分配系数、传递系数
MAB
MAB
θ
√ ① ②
1
MAB
MAB
1
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
3
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD
SAB = 4i
D
MA
B
如用位移法求解：
1 于是可得
iAD
i A
AB
iAC
M AB 4iAB A SAB A
-34.3
-25.7
115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
0 (3) 最后结果。合并前面两个过程
11
例3.用力矩分配法计算,画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9
μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求m
mAB= 50
mBA= － 50
mAD= － 80
不平衡力矩（负向分配）
第六章
1
§6-3 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
4i
2i
力矩分配法
计算对象：杆端弯矩；
θ=1
A
计算方法：逐渐逼近的方法；
B
一、转动刚度S： 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
SAB=4i
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=3i
1
1
SAB=i
M
A
A
Aj
S Aj S
M Aj Aj M
A
1
分配系数
4
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MAB = 3iABA
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
1 2
B
CAB
M BA M AB
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iA分配与传递，故该方法只是用于无侧移结构（即无C 结点线位移）。
MAB
MBA
MBC
MB
=
固定约束，约束上产
生不平衡弯矩
MB
MBAP
MBCP
A
MABP
MBAP B MBCP
放松约束，相当于加
一个反向力偶
-MB
+
C
MB= MBAP+ MBCP -MB
A
M AB
M B A B M B C
最后杆端弯矩：
C 0
3 43
2
3 9
2）求杆端弯矩
C
2m
2m
4m
mAB= 40 mAC= 20 mAD= 30
传递弯矩
mBA= 20 mCA= 10
mBA B
mDA= － 30
结点弯矩
mAB A mAB
A M=90 mAD
mAC
3) 最后弯矩
8
§9-26-3 单结点的力矩分配 非结点力偶分配
力矩分配法的局限：由于B力矩分配法只讨论力矩的分配与传递问固题端，弯没矩有带涉本及身剪符力号
符号规定： 与位移法一致 单结点力矩分配法基本原理：
加刚臂——去刚臂——叠加
步骤：
1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数 3、分配传递 4、绘内力图
10
例2. 用力矩分配法作图示连续梁
的16弯7.矩2 图。 200kN 115.7 300
M图(kN·m) 20kN/m
90
A
EI
B
M AC iAC A S AC A
SAB= 3i
M A1B
SAB M S
SAB= i
A
MAD
C
M MAB
m 0
M AD 3iAD A SAD A
M (S AB S AC S AD ) A
1
M AC
S AC S
A
M
MAC
A
A
S AB
M SAC
SAD
M S
M AD
S AD S
1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别 等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
5
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度S和传递系数C如下表。
远端约束
S
C
固定
4i
0.5
铰支
3i
0
滑动
i
-1
6
符号规定: 外力偶---绕杆端顺时针为正 杆端弯矩---绕杆端顺时针为正 杆端剪力---使杆轴顺时针转为 正 杆端转角---顺时针为正 杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
150 B -90
=
+
0
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
C 设i =EI/l
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：
BA
4i 4i 3i
0.571
BC
3i 7i
0.429
分配力矩:
C
M B A 0.571 (60) 34.3
-17.2 -167.2