圆周角定理及圆的内接四边形-练习题 含答案解析
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又AD平分 ，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍， 正确． ， ， ， ，故 错误． ， ，
又 ，
故 错误．
故答案为： ．
先利用等腰三角形的性质求出 、 的度数，即可求 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出 、 ．
本题利用了： 等腰三角形的性质； 圆周角定理； 三角形内角和定理．
7. 如图，AB为 直径，点C、D在 上，已知 ， ，则 ______度
【解析】解： 连接EO． ， ， ， ， ， ， ， ，
故选D．
连接EO，只要证明 即可解决问题．
本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若 ，则 等于
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解： 圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O， ， ， ， ， 过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M， ， ， ， ， ；
故选：A．
由圆内接四边形的性质求出 ，由圆周角定理求出 ，得出 ，由弦切角定理得出 ，由三角形的外角性质得出 ，即可求出 的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
【答案】40
【解析】解： ， ，
又 ， ， ．
首先由 可以得到 ，又由 得到 ，由此即可求出 的度数．
此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
8.如图，AB是 的直径，C、D是 上的两点，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论：半圆 或直径 所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径 根据圆周角定理的推论由AB是 的直径得 ，再利用互余计算出 ，然后再根据圆周角定理求 的度数．
故选D．
过O作 于D交 于E，由垂径定理得到 ，于是得到 ，推出 ，根据三角形的三边关系得到 ，故C错误；根据三角形内角和得到 ， ，推出 ，故A错误；由点A，B，C在 上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于 ，故B错误；根据余角的性质得到 ，故D正确；
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
圆周角定理及圆的内接四边形
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）
1. 如图，A，B，C是 上三个点， ，则下列说法中正确的是
A.
B.四边形OABC内接于
C.
D.
【答案】D
【解析】 解：过O作 于D交 于E，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故A错误； 点A，B，C在 上，而点O在圆心， 四边形OABC不内接于 ，故B错误； ， ， ，故D正确；
【解答】
解： 是 的直径， ， ， ， ．
故答案为 ．
9. 如图，已知圆周角 ，则圆心角 ______．
【答案】
【解析】解： ， ．
故答案为 ．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
10. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心， ，则 的度数为______．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
6. 如图，AB是 的直径， ，BC交 于点D，AC交 于点E， ，给出下列五个结论： ； ； ； 劣弧AE是劣弧DE的2倍； 其中正确结论的序号是______．
【答案】
【解析】 解：连接AD，AB是 的直径，则 ， ， ， ， ，AD平分 ， ， ， ，故 正确， ， ，故 正确， ， ，
解得： ， ， ，
故选：Fra Baidu bibliotek．
设 的度数 ， 的度数 ，由题意可得 ，求出 即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4. 如图，已知AC是 的直径，点B在圆周上 不与A、C重合 ，点D在AC的延长线上，连接BD交 于点E，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【答案】 证明： 为 的直径， ， ， ， ， ， ；
解： ， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ．
【解析】 由AB为直径， ，易得 ，然后由垂径定理证得， ，继而证得结论； 由 ， ，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得 ，然后由圆周角定理，证得 ，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理 此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
故选：B．
根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是平行四边形，则 的大小为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设 的度数 ， 的度数 ； 四边形ABCO是平行四边形， ； ， ；而 ， ，
【答案】
【解析】解： ， ， 、B、C、D四点共圆， ， ，
故答案为： ．
根据圆周角定理求出 ，根据圆内接四边形性质得出 ，即可求出答案．
本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出 的度数和得出 ．
三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）
11. 如图， 是 的外接圆，AB为直径， 交 于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD． 求证： ； 若 ， ，求 的值．
2. 如图，四边形ABCD内接于 ，AC平分 ，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：A、 与 的大小关系不确定， 与AD不一定相等，故本选项错误；
B、 平分 ， ， ，故本选项正确；
C、 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误；
D、 与 的大小关系不确定，故本选项错误．
又 ，
故 错误．
故答案为： ．
先利用等腰三角形的性质求出 、 的度数，即可求 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出 、 ．
本题利用了： 等腰三角形的性质； 圆周角定理； 三角形内角和定理．
7. 如图，AB为 直径，点C、D在 上，已知 ， ，则 ______度
【解析】解： 连接EO． ， ， ， ， ， ， ， ，
故选D．
连接EO，只要证明 即可解决问题．
本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若 ，则 等于
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解： 圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O， ， ， ， ， 过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M， ， ， ， ， ；
故选：A．
由圆内接四边形的性质求出 ，由圆周角定理求出 ，得出 ，由弦切角定理得出 ，由三角形的外角性质得出 ，即可求出 的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
【答案】40
【解析】解： ， ，
又 ， ， ．
首先由 可以得到 ，又由 得到 ，由此即可求出 的度数．
此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
8.如图，AB是 的直径，C、D是 上的两点，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论：半圆 或直径 所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径 根据圆周角定理的推论由AB是 的直径得 ，再利用互余计算出 ，然后再根据圆周角定理求 的度数．
故选D．
过O作 于D交 于E，由垂径定理得到 ，于是得到 ，推出 ，根据三角形的三边关系得到 ，故C错误；根据三角形内角和得到 ， ，推出 ，故A错误；由点A，B，C在 上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于 ，故B错误；根据余角的性质得到 ，故D正确；
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
圆周角定理及圆的内接四边形
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）
1. 如图，A，B，C是 上三个点， ，则下列说法中正确的是
A.
B.四边形OABC内接于
C.
D.
【答案】D
【解析】 解：过O作 于D交 于E，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故A错误； 点A，B，C在 上，而点O在圆心， 四边形OABC不内接于 ，故B错误； ， ， ，故D正确；
【解答】
解： 是 的直径， ， ， ， ．
故答案为 ．
9. 如图，已知圆周角 ，则圆心角 ______．
【答案】
【解析】解： ， ．
故答案为 ．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
10. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心， ，则 的度数为______．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
6. 如图，AB是 的直径， ，BC交 于点D，AC交 于点E， ，给出下列五个结论： ； ； ； 劣弧AE是劣弧DE的2倍； 其中正确结论的序号是______．
【答案】
【解析】 解：连接AD，AB是 的直径，则 ， ， ， ， ，AD平分 ， ， ， ，故 正确， ， ，故 正确， ， ，
解得： ， ， ，
故选：Fra Baidu bibliotek．
设 的度数 ， 的度数 ，由题意可得 ，求出 即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4. 如图，已知AC是 的直径，点B在圆周上 不与A、C重合 ，点D在AC的延长线上，连接BD交 于点E，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【答案】 证明： 为 的直径， ， ， ， ， ， ；
解： ， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ．
【解析】 由AB为直径， ，易得 ，然后由垂径定理证得， ，继而证得结论； 由 ， ，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得 ，然后由圆周角定理，证得 ，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理 此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
故选：B．
根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是平行四边形，则 的大小为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设 的度数 ， 的度数 ； 四边形ABCO是平行四边形， ； ， ；而 ， ，
【答案】
【解析】解： ， ， 、B、C、D四点共圆， ， ，
故答案为： ．
根据圆周角定理求出 ，根据圆内接四边形性质得出 ，即可求出答案．
本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出 的度数和得出 ．
三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）
11. 如图， 是 的外接圆，AB为直径， 交 于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD． 求证： ； 若 ， ，求 的值．
2. 如图，四边形ABCD内接于 ，AC平分 ，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：A、 与 的大小关系不确定， 与AD不一定相等，故本选项错误；
B、 平分 ， ， ，故本选项正确；
C、 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误；
D、 与 的大小关系不确定，故本选项错误．