高一入学考试数学试题
南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题(答案)
南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。
南充高中高一入学考试数学试卷
南充高中高一入学考试数学试卷
一、选择题：（每题2分，共20分）
1.设函数f(x)=x2+2x−3，则f(2)=（）。
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
2.若直角三角形的斜边为5，另外两条边分别为3和4，则这个三角形
的面积是（）。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3.在一个几何图形中，角A的度数是角B的度数的三分之一，如果角
B的度数是60度，那么角A的度数是（）。
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
4.已知正比例函数y=kx的比例常数k=2，那么当x=3时，y等于
（）。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.若a+b=7，ab=10，则a2+b2=（）。
A. 25 B. 37 C. 49 D. 61
二、填空题：
1.过点A（1, 2）作与直线3x−4y+5=0垂直且交于点A的直线方程
为_______。
2.若函数$y = \\sin(x)$在$[0, \\pi]$上单调递增，则$x \\in$ _______。
三、解答题：
1.已知等差数列$\\{a_n\\}$中a5=15，S5=45，求a1和公差d的值。
2.计算不等式|2x−1|>1的解集。
四、综合题：
某班级学生参加数学竞赛，其中有20名学生参加了数学竞赛A和B两项，10
名学生只参加了数学竞赛A，15名学生只参加了数学竞赛B，若共有35名学生参
加了数学竞赛A或B，请问这个班级一共有多少名学生？
以上是南充高中高一入学考试的数学试卷，请认真作答，祝你考试顺利！。
雅礼中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
雅礼教育集团2022级新高一入学考试试卷数学时量：120分钟满分：100分一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）1.一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．2.计算22tan 602--︒++=___________.3.化简：2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷-= ⎪ ---+⎝⎭⎝⎭________．4.=________．5.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.6.如图，在ABC 中，40A ∠=︒，B C ∠=∠，BP CE =，BD CP =，则DPE ∠=________.7.已知2310x x -+=，求3313x x ++的值________．8.如图，边长为20的正方形ABCD 中，以BC 为直径画一个半圆，直线DE 与半圆相切，交AB 于E 点，则DE=________．9.不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．10.若方程2(2)(4)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m 的取值范围是______________.11.如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是________．12.如图，已知P 的半径是1，圆心P 在抛物线21122y x x =--上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______.13.如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S △P AB =________．14.因式分解：326114x x x -++=________．15.二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2-，9a -），下列结论：①0abc >；②420a b c ++<；③90a b c -+=；④若方程()()511a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-，其中正确的结论有__________个．16.若二次函数2y x mx =-+在21x -≤≤时的最大值为3，那么m 的值是________．17.如图，在菱形ABCD 中，边AB=5，E ，F 分别在BC 和AD 上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE ，则BF 的长为________．18.已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab ++的值为________．二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）19.随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．20.已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且124x x -=，求m 的值．21.如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A=∠EBC ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG ·BA=48，，DF=2BF ，求AH 的值．22.平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点A 的坐标为（1，0），OB=OC ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；-=，求点Q的坐标和（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若QA QB此时△QAA'的面积．23.在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．第6页/共6页。
安徽省宣城市宁国中学2023-2024学年高一上学期实验班新生入学考试数学试题
安徽省宣城市宁国中学2023-2024学年高一上学期实验班新生入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式正确的是（ ） A ．623a a a ÷= B ．22133x x -=C 2= D ．=2．将抛物线2241y x x =-+向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（ ） A ．()2221y x =++ B ．()2241y x =-+ C ．()2223y x =+-D ．()2243y x =--3．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ） A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x -<<D ．{2x x <-或}1x >4 ）A ．6B C ．D ．5．设一元二次方程()()2230x x p ---=的两实根分别为(),αβαβ<，则,αβ满足（ ） A ．23αβ<<≤ B ．2α≤且3β≥ C ．23αβ≤<< D ．2α<且3β>6．已知311x y x +=-则y的取值范围是（ ） A ．3y > B ．3y < C ．3y ≠D ．3y ≥7．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图所示，在边长为1⎫+⎪⎪⎝⎭的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A B C D二、多选题9．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 10．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴是直线=1x -，且过点()3,0-，下列说法正确的是（ ）A ．0abc <B ．20a b -=C ．30a c +=D ．()()125,,3,y y -是抛物线上两点，12y y >三、填空题 11．不等式21x≤的解集是12．已知函数223y x x =-+，当04x ≤≤时，y 有最大值a ，最小值b ，则a b +的值为 13．若2310x x -+=，则331x x +的值为. 14．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =四、解答题 15．因式分解 (1)2524x x +- (2)22121115x xy y -- (3)3232x x y y +-- (4)3223x x +-16．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值． 17．解下列不等式 (1)417x -< (2)22350x x +->(3)解关于x 的不等式210x ax a ---≤18．若1x ，2x 是关于x 的方程()222110x k x k -+++=的两个实数根，且1x ，2x 都大于1.(1)求实数k 的取值范围； (2)若1212x x =，求k 的值.。
高一新生入学考试数学试题及答案
高一新生入学考试数学试题及答案
一、选择题
1.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且经过点(-1, 4)，则a,
b, c的符号关系是：
A. a > 0, b < 0, c > 0
B. a > 0, b < 0, c < 0
C. a > 0, b > 0, c > 0
D. a > 0, b > 0, c < 0
解答：由题意可知，二次函数的图像开口向上，所以a > 0。
又因为经过点(-1, 4)，代入得4 = a(-1)^2 + b(-1) + c，化简得a - b + c = 4。
由于a > 0，所以a的系数为正，所以b的系数b为负。
而c则有可能是正数或负数，所以选项A和B均可以排除。
综上所述，答案为选项D。
二、填空题
1.解方程2x + 5 = 3 - x的解为x = ______。
解答：将方程化简得3x + 5 = 3，然后移项得3x = -2，最后除以3得x = -2/3。
所以方程的解为x = -2/3。
三、解答题
1.已知函数y = x^2 - 2x + 1。
求函数在x = 1处的切线方程。
解答：首先求得函数的导数为y' = 2x - 2。
然后代入x = 1得y' = 2(1) - 2 = 0。
所以函数在x = 1处的切线斜率为0。
由于切线经过点(1, 0)，所以切线方程为y - 0 = 0(x - 1)，即y = 0。
所以函数在x = 1处的切线方程为y = 0。
高一入学考试试卷数学
高一入学考试试卷数学一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0}，则集合A中的元素为（）A. 1，2B. -1，-2C. 1，-2D. -1，22. 函数y=√(x - 1)的定义域为（）A. [1, +∞)B. (1, +∞)C. (-∞,1]D. (-∞,1)3. 若a > b，则下列不等式一定成立的是（）A. a + c > b + cB. ac > bcC. (1)/(a)<(1)/(b)D. a^2 > b^24. 已知函数y = f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=x^2 - 2x，则当x∈(-∞,0)时，f(x)=（）A. x^2 - 2xB. x^2+2xC. -x^2 - 2xD. -x^2+2x5. 计算log_28的值为（）A. 3B. - 3C. (1)/(3)D. -(1)/(3)6. 若直线y = kx + b过点(1,2)和(-1,4)，则k，b的值分别为（）A. k=-1，b = 3B. k = 1，b=-3C. k=-1，b=-3D. k = 1，b = 37. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x=（）A. -2B. 2C. -(1)/(2)D. (1)/(2)8. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，d = 2，则a_5=（）A. 9B. 11C. 13D. 15二、填空题（每题5分，共20分）1. 分解因式x^2 - 9=_ 。
2. 函数y = 3sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是_ 。
3. 已知圆的方程为(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 9，则圆心坐标为_ 。
4. 在等比数列{a_n}中，a_1=2，q = 3，则a_3=_ 。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 解不等式2x - 3 < 5x + 1。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。
精品解析：四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题(原卷版)
绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷题本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2.选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3.请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.）A.3± B.9± C.3D.32.下列各式，运算正确的是（）A.()235a a-= B.3339a a ⎛⎫=⎪⎝⎭C.246a a a ⋅= D.33222ab a b ab-=3.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记数字6对面的数字为a ，数字2对面的数字为b ，那么a b +的值为（）A .3B.7C.8D.114.点()11,M x y ，()22,N x y 在反比例函数3y x=-的图象上，且120x x <<，则（）A.120y y >> B.120y y << C.120y y >> D.120y y <<5.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2 B.{}4,6 C.{}1,3,5 D.{}4,6,7,86.在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A 的半径长为3，若D 与A 相切，且点B 在D 内，则D 的半径长度为（）A.2或8B.5或8C.5D.87.数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工()*3,n n n N≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入数据1n x +，则对这()1n +个数据，下列说法正确的是（）A.年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B.年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C.年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知4CA =米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A.4sin θ米2B.4cos θ米2C .n 44ta θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭米2 D.()44tan θ+米29.有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，朝上的面的点数记为x ，计算3x -，则其结果大于2的概率是（）A.13B.14C.16D.1210.若关于x 的不等式组213(2)x x x m->-⎧⎨<⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A.5m > B.5m ≥ C.5m ≤ D.5m <11.已知集合{}2N 20A x x x =∈--≤，则满足条件A B B = 的集合B 的个数为（）A.3B.4C.7D.812.对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220232023AB A B A B ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值是（）A.20232022B.20222024C.20232024D.20232022第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.已知对任意的090α<< ，090β<< ，都有()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+则sin 75 的值为__________.14.底面圆半径为6cm ，高为8cm 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为_______.15.已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023a b +的值为__________.16.若2310x x -+=，则331x x +的值为__________.17.如果关于x 的分式方程312x m x x-+=-无解，则m 的值为__________.18.对于正数x ，规定()1f x xx=+，计算()()()()1111220222023202320222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（1）计算：()()023tan 60520192cos 45π--︒----⨯︒.（2）先化简，再求值：1114xx ⎛⎫+÷⎪-⎝⎭，其中2x =+.20.某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率6070x ≤<0.157080x ≤<m 0.458090x ≤<60n90100x ≤<请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）求上表中的数据m 、n 的值；（2）通过计算，补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？（4）如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？21.已知一次函数y kx b =+的图象经过()2,1A --，()1,3B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .（1）求tan OCD ∠的值；（2）求证：135AOB ∠=︒.22.为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造.根据预算，共需资金1575万元.改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元.（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案？23.如图，ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN 使MAC ABC ∠=∠.D 是弧AC 的中点，BD 交AC 于G ，DE AB ⊥于E ，交AC 于F .（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）求证：FD FG =.（3）若DFG 的面积为4.5，且3DG =，4GC =，求BCG 的面积.24.如图，抛物线()230y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧.点B的坐标为()1,0，3OC OB =.（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上.是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.25.如图1，已知直线EA 与x 轴、y 轴分别交于点E 和点()0,2A ，过直线EA 上的两点F 、G 分别作x 轴的垂线段，垂足分别为(),0M m 和(),0N n ，其中0m <，0n >.（1）如果4m =-，1n =，试判断AMN 的形状；的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明（2）如果4mn=-，（1）中有关AMN理由；ON=，求经过M、A、N三点的抛物线所对应（3）如图2，题目中的条件不变，如果4mn=-，并且4的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标.。
福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 求 的值.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点 在抛物线上.
15.如图，直线y＝ 3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝ (k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ (k≠0)上的点D1处，则a＝_____．
16.已知 中，点 ， ， .则 面积为________.
①
④
②
⑤
③
A.①或③B.②或③C.①或④D.以上选项都可以
7.如图，平面直角坐标系中.直线 分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边 ，以AO为边向左作等边 ，连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为（）
A. B. C. D.
8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图的Rt△ACB，∠C=90°.∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以 类比这种方法，若已知锐角α的正弦值为 锐角β的余弦值为 则α+β=（）
20.如图，斜坡AB长130米，坡度 现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建 斜坡BE的坡角为 求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为 他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为 此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin 3）
山东省聊城市运河高级中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题
山东省聊城市运河高级中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题一、单选题1．()25-的倒数是（ ）A ．25-B ．25C ．125-D ．1252．下列各数：3.1415926，17，π2，其中是无理数的是（ ） A ．3.1415926 B ．π2C ．17D ．3．春季百花盛开，“花粉症”也进入发病高峰期.容易引起花粉过敏的杨树花粉的直径约为0.000025米，数据0.000025用科学记数法表示为（ ）A ．42.510⨯B ．42.510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．圆柱D ．长方体 5．如图，数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则a b +的值可能为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．3-6．如图，某技术人员用刻度尺（单位：cm ）测量某三角形部件的尺寸.已知90ACB ∠=︒，点A ，B ，D 对应的刻度分别为1，7，4.若120ADC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，点()()0,3,1,0A B ，将线段AB 平移得到线段DC .若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点C 的坐标为（ ）A ．()7,2B ．()7,5C ．()5,6D ．()6,58．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y ax b =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．下列运算正确的是（ ）A ．2m m m +=B ．236m m m ⋅=C ．633÷=m m mD ．()2239m m -=- 10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则x y +的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14二、填空题11．若关于x 的方程220x x a ++=没有实数根，则a 的取值范围是.12．因式分解：2882y xy x y -+=.13．观察给出的一列数：23，35，107，159，2611，…，根据其中的规律，那么第n 个（用含有n 的式子表示）14. 15．已知2x y +=，5xy =-，则y x x y +=. 16．现有一个圆心角为120︒的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为2cm ，该扇形的半径为cm .三、解答题17．化简并求值：222114244x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭，其中1x .18112cos301tan 602-⎛⎫︒---︒ ⎪⎝⎭ 19．如图，在平行四边形ABCD 中，BE AD ⊥于点E ，BF CD ⊥于点F ，AC 与,BE BF 分别交于点,G H .(1)求证：BAE BCF ∽△△；(2)若BG BH，求证四边形ABCD是菱形.。
高一入学考试试卷数学
高一入学考试试卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(-1)的值。
A. 10B. 8C. 6D. 42. 集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}3. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求该数列的通项公式。
A. an = n + 1B. an = 3n - 1C. an = 2nD. an = 3n4. 计算复数z = (1 - i)^2的模。
A. √2B. 2C. √5D. 15. 已知圆的标准方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标。
B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)6. 函数y = sin(x)的图像在区间[0, π]上是单调递增的。
A. 正确B. 错误7. 若a > b > 0，求a^3 - b^3与a^2b - ab^2的大小关系。
A. a^3 - b^3 > a^2b - ab^2B. a^3 - b^3 < a^2b - ab^2C. 无法确定8. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，判断三角形的形状。
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 无法确定9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求导数f'(x)。
A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 3xD. x^3 - 9x^210. 已知点P(1, 2)在直线l: 2x + 3y - 6 = 0上，求直线l的斜率。
A. -2/3B. 2/3C. -3/2二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知等比数列的前三项分别为3, 9, 27，求该数列的公比。
__________12. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0有两个实根，求这两个实根的和。
南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题
数学测试满分：120分考试时间：120分钟一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．()22a b a b+=+B ．()3326a a -=C ．235a b ab +=D ．268a a a ⋅=2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°3．已知17a a -=，则1a a +=（）A ．3B ．3±C ．11D ．11±4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。
这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。
我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）A ．6B ．10C ．12D ．165．如果0a b c ++=，且a b c >>．则下列说法中不可能成立的是（）A ．b 为正数，c 为负数B ．a 为正数，b 为负数C ．a 为正数，c 为负数D ．c 为正数，a 为负数6．在线段AB 上有P 、Q 两点，AB =26，AP =14，PQ =11，求BQ 的长（）A ．1B ．23C ．1或23D ．127．一条抛物线2y ax bx c =++的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（）A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b 8．反比例函数1k y x-=与一次函数()1y k x =+（0k ≠，1k ≠）在同一坐标系中的图象只能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为（）A ．252B ．253C ．336D ．33710．如图所示，已知三角形ABE 为直角三角形，∠ABE =90°，BC 为圆O 切线，C 为切点，CA =CD ，则△ABC 和△CDE 面积之比为（）A ．1：3B ．1：2C 2：2D ．)21-：1第10题图第17题图二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）11．按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017，…按此规律排列，则第30个数是________．12．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a b >时，min{a ，b }=b ；当a b<时，min{a ，b }=a ．例如：min{2-，1}=2-，若关于x 的函数y=min{31x -，2x -+}，则该函数的最大值为________．13．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．14．直线1l 过点A （0，2）、B （2，0），直线2l ：y kx b =+过点C （1，0），且把△AOB 分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线2l 的方程为________．15．已知：0a b >>，且226311a b ab +=，求a b=________．16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．17．如图，已知直角三角形ABO 中，AO =1，将△ABO 绕点O 点旋转至△A'B'O 的位置，且A'在OB 的中点，B'在反比例函数k y x=上，则k 的值为________．18．在△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB =________．三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）19．解方程：322x x -=+．20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得∠ADC=31°，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得∠AFC=42°．求凉亭AB 的高度．（A ，C ，B 三点共线，AB ⊥BE ，AC ⊥CD ，CD=BE ，BC=DE ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使得∠CDE=15°，连接BE ．（1）证明：BE =DE ；（2）延长BE 至F ，使CF =BC ，连接CF ，求证：CE +DE =EF ．22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．（1）当0≤x ≤10时，求y 关于x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？23．若一元二次方程()()2250x a x a --+-=的两个根都大于2，求实数a 的取值范围．24．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB ⊥CD ，连接AC ，OD ．（1）求证：∠BOD=2∠A ；（2）连接DB ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，延长DO ，交AC 于点F ．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线．25．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接AC ．（1）求点B ，点C 的坐标；（2）如图1，点E （m ，0）在线段OB 上（点E 不与点B 重合），点F 在y 轴负半轴上，OE=OF ，连接AF ，BF ，EF ，设△ACF 的面积为S 1，△BEF 的面积为S 2，S=S 1+S 2，当S 取最大值时，求m 的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D ，连接CD ，BC ，点P 在第一象限的抛物线上，PD 与BC 相交于点Q ，是否存在点P ，使∠PQC=∠ACD ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
四川省成都市石室天府中学2023-2024学年高一上学期新生入学考试数学试题
三、填空题
13．已知集合 A m 1,m 12 ，若1 A ，则集合 A 的子集有
个.
试卷第 2 页，共 4 页
14．设集合 A x y 9 x2 ，集合 B y y 9 x2 ，则 (CU A) B =
.
15．记函数 y 在 x 处的值为 f x （如函数 y = x2 也可记为 f x x2 ，当 x 1时的函数
四、解答题
17．已知集合 A x | x2 3x 18 0 , B x | 2m 3 x m 2.
（1）当 m 0 时，求 A (ðR B) ；
（2）若 B (ðR A) ，求实数 m 的取值范围.
18．已知集合
A
x
|
a
2
x
2a
1
，
B
x
|
x
x
7
0
.
(1)若 a 1，求 A B ；
值可记为 f 1 1）.已知 f x
x x
，若 a b c 且 a b c 0 ， b 0 ，则
f a f b f c 的所有可能值为
16．如图是一个数表，第 1 行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的 和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这 个数表中的第 11 行第 7 个数为 （用具体数字作答）.
R(
x)
40 280
800 , 0 x„ 30 x x 1000 , x 30 x
.
（1）求年利润 y (万元)关于年产量 x (台)的函数解析式；
（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润.
21．当 t x t 1时，设函数 f (x) 1 x2 x 5 的最小值为 g(t) ，试求 g(t) 关于 t 的表达
四川省成都市锦江区2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题含答案
成都市锦江区2024-2025学年新高一数学入学测试（答案在最后）测试时间：120分钟满分：150分一，单项选择题.（每题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？A.斜率之积为-1时B.两条直线有1个公共点的时候C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候D.以上答案均不正确【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.【详解】对于A ：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确对于B ：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误对于C ：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误对于D ：错误故选：A2.关于数的分类，以下说法正确的是（）A.无理数相加不可能是有理数B.π是无限不循环小数C.0不属于自然数集D.若抛物线2y ax bx c =++的系数,a b 均不是整数，那它的对称轴x t =，t 也不是整数【答案】B【解析】【分析】由0=，可判断A ；π是无限不循环小数可判断B ；0属于自然数集可判断C ；由11,42a b =-=，求得对称轴判断D.【详解】对于A ：由0=，故两个无理数的和可能是有理数，故A 错误；对于B ：π是无限不循环小数，故B 正确；对于C ：0属于自然数集，故C 错误；对于D ：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-，当11,42a b =-=时，对称轴为1x =，故D 错误.故选：B.3.下面说法正确的是（）A.两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线B.如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的C.函数2y ax bx c =++的对称轴只有一条D.反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的【答案】B【解析】【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A ，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其解析式，判断B ，取0,1a b ==，函数y x c =+没有对称轴，判断C ；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.【详解】因为点()()()2,2,1,4,2,2--都在抛物线24y x x =-++上，点()()()2,2,1,4,2,2--也都在反比例函数4y x=的图象上，所以三个不同的点不能确定一条曲线，A 错误；若抛物线的解析式为2y ax =，且抛物线过点()1,1，则1a =，此时抛物线的解析式为2y x =，故如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B 正确；当0,1a b ==，函数2y ax bx c =++的解析式可化为y x c =+，该函数的图象没有对称轴，C 错误；设反比例函数的解析式为k y x=，设函数k y x=的图象上存在三个不同的点共线，则该直线方程不可能为x t =，设其解析式为y mx n =+，联立y mx n k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，化简可得200mx nx k x ⎧+-=⎨≠⎩，因为方程20mx nx k +-=至多只有2个解，所以方程组至多只有2组解，矛盾，D 错误.故选：B.4.下面说法正确的是（）A.借助两点间距离公式，可以知道甲地到乙地的路程B.两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的C.满足()()222x a y b t -+-=这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点(),x y 到定点距离(),a b 为定值t 的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学语言，就是()()222x a y b t -+-=D.以上选项均不正确【答案】D【解析】【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，所以A 选项错误.B 选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可以通过向量法、解析几何法、坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B 选项错误.C 选项，当0t =时，满足()()2220x a y b t -+-==的点(),x y ，即点(),a b ，所以C 选项错误.故选：D5.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（）A .任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果B.不努力学习也可能有好结果C.努力学习一定有好结果D.如果没有取得好结果，那么一定没有努力【答案】A【解析】【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.【详解】对于A ，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A 正确.对于B ，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B 错误；对于C ，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C 错误；对于D ，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D 错误.故选：A6.抛物线与圆相交形成的交点（）A.横坐标相加之和为0B.可能有3个C.将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线D.以上说法均不正确【答案】B【解析】【分析】由抛物线2(1)y x =-与圆22(1)(1)1x y -+-=有三个交点可判断每个选项的正确性.【详解】若抛物线方程为2(1)y x =-，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，联立方程组解得0y =或1y =，当0y =时，1x =，当1y =时，0x =或2x =，故此时抛物线与圆有三个交点(1,0),(0,1),(2,1)，故B 正确；故横坐标之和不为0，故A 错误；连接交点可得一个三角形，故C 错误.故选：B.7.请结合计算和画图，判断22sin cos αα+=（）A.1B.2C.3D.无法确定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.【详解】在Rt ABC △中，令锐角α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，则222c a b =+，sin ,cos a b c c αα==，所以2222222sin cos ()()1a b a b c c c αα++=+==.故选：A8.已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（）A.(1,2)- B.(1,2)C.(1,2)- D.(1,2)--【答案】A【解析】【分析】由题意可得(1)(2)0a x b y -++=，可得定点坐标.【详解】因为2b a c =+，所以2c b a =-，由0ax by c ++=，可得(2)0ax by b a ++-=，所以(1)(2)0a x b y -++=，当1,2x y ==-时，所以(11)(22)0a b -+-+=对,a b 为任意实数均成立,故直线过定点(1,2)-.故选：A.二.不定项选择题.（每题6分，共18分）9.当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（）情况A.若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的B.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.【详解】对于A ，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；若二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A 正确；对于BC ，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC 错误；对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值和最大值相等，D正确.故选：AD10.下面图形是矩形的是（）A.长方形B.正方形C.菱形D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定义可得结论.【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.故选：AB.11.一个直角三角形，直角边分别是1,aa，那么下面说法正确的是（）A.B.斜边长度最小值是2C.将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆D.这个直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合直角三角形的性质逐项判断即可.【详解】对于A A正确；对于B=≥1aa=，即1a=取等号，B错误；对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转一周，另一端点的轨迹是圆，C 正确；对于D，当1a=时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确.故选：ACD三.填空题：（每题5分，共15分）12.若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________个元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合,A B 公共元素个数即可得解.【详解】集合A 有3个元素，集合B 有4个元素，则集合,A B 的公共元素个数最多为3个，所以集合A 和集合B 的交集可能有0或1或2或3.故答案为：0或1或2或313.已知一元二次方程23440x x -+=的两根分别为,a b ，那么a b +=_________.【答案】43-【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为一元二次方程23440+-=x x 的两根分别为,a b ，所以43a b +=-.故答案为：43-.14.函数()223y ax a x a =+-+（a 为确定的实数）的因变量取值范围是__________.【答案】当0a =时，因变量的取值范围是R ；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎛⎤+--∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】对a 进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】当0a =时，2y x =，则y ∈R ；当0a ≠时，二次函数()223y ax a x a =+-+，则顶点的纵坐标为()22432114444a a a a a a a⋅--+-=，所以，当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.故答案为：当0a =时，因变量的取值范围是；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）15.已知2()34f x x x =-，请作出(||)f x ，|()|f x ，(1)f x -的图象，并说说你是怎么作出的.【答案】作图见解析.【解析】【分析】利用函数()f x 利用变换法作出图象，并叙述作图过程.【详解】当0x ≥时，(||)()f x f x =，此时(||)f x 的图象为函数()f x 图象在y 轴及右侧图象，当0x <时，)(||)(f x f x =-，此时(||)f x 的图象为函数()f x 在y 轴右侧图象关于y 轴对称而得，函数(||)f x 的图象，如图，当()0f x ≥时，|()|()f x f x =，此时|()|f x 的图象为函数()f x 图象在x 轴及上方图象，当()0f x <时，|()|()f x f x =-，此时|()|f x 的图象为函数()f x 在x 轴下方图象关于x 对称而得，函数|()|f x 的图象，如图：函数(1)f x -的图象是将函数()f x 图象向右平移1个单位而得，如图.16.请利用3种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.【答案】证明见解析，举例见解析.【解析】【分析】方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，证明ACB CDB ∽，由此可得2BC AB BD =⋅，同理可得2AC AB AD =⋅，由此证明结论；方法二：以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，证明ABC BEN EFM FAG ≅≅≅ ，再证明四边形CNMG 为正方形，结合面积关系证明结论；方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，证明BC 为圆A 的切线，结合切割线定理证明结论.再举例说明勾股定理在生活中的应用.【详解】如图，在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，求证：222AC BC AB +=.方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则90A ACD ︒∠+∠=，90BCD ACD ︒∠+∠=，故A BCD ∠=∠，又ACB CDB ∠=∠，所以ACB CDB ∽，所以BC BD AB BC=，即2BC AB BD =⋅，同理：2AC AB AD =⋅，所以()222AC BC AB AD AB BD AB AD BD AB +=⋅+⋅=+=，所以222AC BC AB +=.方法二：如图，以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，由已知，90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以90MGC ∠= ，故90AGF ∠= ，因为90ABC EBN ∠+∠= ，90BEN EBN ∠+∠= ,所以ABC BEN ∠=∠，又ACB BNE ∠=∠，AB BE =，所以ABC BEN ≅ ,同理可证BEN EFM ≅ ，EFM FAG ≅ ，所以AB EN FM AG ===，AC BN EM FG ===，所以CN NM MG GC BC AC ====-，又90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以四边形CNMG 为正方形，设正方形ABEF 的面积为S ，正方形CNMG 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S ，则124S S S +=，所以()22142BC AC BC AC AB -+⨯⋅=，所以222BC AC AB +=.方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，则AC AQ AP ==，因为90ACB ∠= ，点C 在圆A 上，所以BC 为圆A 的切线，所以()()()()222BC BQ BP BA AQ BA AP A B AC AB AC AB AC =⋅=-+=-+=-，所以222BC AC AB +=.家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出30cm 40cm ，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是50cm ，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.17.请讨论方程()2223430a a x ax --+-=解的个数.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据a 的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.【详解】当()()223310a a a a --=-+=，即3a =或1a =-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元一次方程，有一个解；当()()223310a a a a --=-+≠，即3a ≠且1a ≠-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元二次方程，()()()222Δ44233282436a a a a a =----=--，令22824360y a a =--=，即27690a a --=，解得37a ±==，所以当37a ±=时，0∆=，方程()2223430a a x ax --+-=有一个解，当3377a -+<<时，0∆<，方程()2223430a a x ax --+-=无解，当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，0∆>，方程()2223430a a x ax --+-=有两个解，综上，当3a =或1a =-或37a ±=时，方程有1个解，当3377a -+<<时，方程无解，当当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，方程有两个解.18.已知抛物线C 的顶点在原点，开口向上，且经过点(,)m n .（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；（2）当m ，n 是方程28150x x -+=的两根的时候，求抛物线C 的解析式；（3）求经过(,)m n 的切线方程，并说明这样的切线有几条.【答案】（1）22(3)1n y x m =++；（2）259y x =或2325y x =；（3）2n y x n m =-，1条.【解析】【分析】（1）求出抛物线C 的解析式，利用平移变换求出解析式.（2）求出,m n ，再分类求出解析式.（3）求出过点(,)m n 的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.【小问1详解】依题意，设抛物线C 的解析式为2,0y ax a =>，则2n am =，解得2n a m=，因此抛物线的解析式为22,0n y x n m =>，将抛物线C 向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为22(3)1n y x m=++.【小问2详解】解方程28150x x -+=，得123,5x x ==，当3,5m n ==时，抛物线C 对应的解析式为259y x =，当5,3m n ==时，抛物线C 对应的解析式为2325y x =，所以抛物线C 的解析式为259y x =或2325y x =.设过点(,)m n 的切线方程为y kx b =+，则n km b =+，解得b n km =-，即切线方程为y kx n km =+-，由22n y x m y kx n km⎧=⎪⎨⎪=+-⎩消去y 得220n x kx n km m --+=，22224()(0n n k km n k m m ∆=-⋅-=-=，解得2n k m =，所以经过(,)m n 的抛物线切线方程为2n y x n m =-，这样的切线方程只有一条.19.在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbond 数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a ，b ，c ，三个角为A ，B ，C ，那么222cos 2b a c B ac-++=，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；（2）证明这个公式；（3）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）无数个；（4）见解析.【解析】【分析】（1）由题意求出49cos 142B =>，即可判断；（2）以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.（3）如图，设2,1AD AB ==，由题意可得254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.（4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，由题意可知平行四边形的角不固定.【小问1详解】设3,3,7a b c ===，所以222994949cos 1223742b ac B ac -++-++===>⨯⨯，所以边长为3，3，7的三角形是不存在的.如图，以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,,0,cos ,sin B A c C a B a B ，所以b AC ===，所以b =，所以2222cos b a c ac B =+-，所以222cos 2b a c B ac-++=.【小问3详解】无数个.如图，设2,1AD AB ==，则2222125cos 2124BD BD A +--==⨯⨯，所以254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，这样的平行四边形有无数个.【小问4详解】三角形的三边长是固定的，由222cos 2b a c B ac-++=可知，三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，但是平行四边形的四个角不固定，所以平行四边形没有稳定性.。
2024—2025学年河南省信阳高级中学高一上学期入学考试数学试卷
2024—2025学年河南省信阳高级中学高一上学期入学考试数学试卷一、单选题(★) 1. 三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果（）A．B．C．D．(★★) 2. 若三角形的三条边长分别为且，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形(★★) 3. 给出下列式子：（a），（b），（c），（d）.其中正确的是（）A．（a）（c）B．（b）（d）C．（a）（d）D．（c）（d）(★★★) 4. 已知集合，则集合A的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5(★★) 5. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（）A．B．C．D．2(★★★) 6. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线.则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．若直线与相交，其交点个数为2或3或4(★★) 7. 已知直线向下平移2个单位后经过点，若点关于轴的对称点为，则点位于直线（）上A．B．C．D．(★★) 8. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（）A．3B．C．D．(★★) 9. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（）A．B．C．1D．-1二、填空题(★) 11. 石墨烯目前是世界上最薄､最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，则数0.00000000034用科学记数法表示为 __________ . (★★) 12. 同时掷两枚骰子，点数一共有 __________ 种可能，掷的点数都是2的可能性是 __________ .(★) 13. 设是方程的两个实数根，则的值为______ .(★★★) 14. 已知二次函数的图象与轴交于不同的两点，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 __________ .(★★) 15. 如图，为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点处，已知入射角为，则的度数是 __________ 度.三、解答题(★) 16. 计算：(1)(2)(★★) 17. 宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地.已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一种函数关系，售价（元/件）与（万件）的对应关系如表：202628313520(1)求该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式；(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元.（i）求2023年该特产的售价；（ii）该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？(★★★) 18. 如图，一次函数与函数的图象交于两点，轴于轴于.(1)求的值：(2)连接，求的面积：(3)在轴上找一点，连接，使周长最小，求点坐标.(★★) 19. 游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人.随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表：140根据以上信息解答下列问题：(1)填空，为该组男生成绩的中位数，则__________；(2)应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩；(3)若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示.(★★★) 20. 已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围：(★★) 21. 如图，内接于为的直径，过点作的切线，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点，延长，交于点.(1)求证：；(2)若，求的长.(★★) 22. 小蕾同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形.如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形.(1)求反比例函数的解析式；(2)求弧EG的长；(3)直接写出图中阴影部分面积之和.(★) 23. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：(1)图象初探（i）列表如下.请直接写出的值；（ii）请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.(2)性质再探请结合函数的图象，写出当__________，有最小值为__________；(3)学以致用某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米.设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得到与的函数关系式为：.根据以上信息，请回答以下问题：（i）水池总造价的最低费用为__________千元：（ii）若该农户预算不超过千元，请直接写出的值应控制在什么范围？。
长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)
长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
甘肃省庄浪县紫荆中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题
甘肃省庄浪县紫荆中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题一、单选题1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =-，则x 的值可以是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．点(sin 60,cos 60)-︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．下列等式成立的是（）A 4=±B 2=C．-=D ．8=-5．如图，BC 为O 的直径，AC 为O 的切线，连结AB 交O 于点D ，连结OD ．若50DOC∠=︒，则A ∠的大小为（）A ．75︒B ．65︒C ．60︒D ．50︒6．若1x ，2x 是方程2630x x ++=的两个根，则2112x x x x +=（）A ．4B ．6C ．8D ．107．函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,1(1,3)-⋃C ．()3,3-D ．()(),33,∞∞--⋃+8．函数()2605y x x x =-+≤≤的值域是（）A ．[]0,5B ．[]0,9C ．[]5,9D ．[)0,+∞二、多选题9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数=的图象的是（）A ．B ．C ．D ．10．下列公式正确的是（）A ．()2222a b a ab b +=++B ．()()22a b a b a b+-=-C ．()()2233a b a ab b a b-++=-D ．()2222222a b c a b c ab ac bc+-=++--+11．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中，正确的是（）A ．0abc >B ．()220a cb +-=C ．940a c +<D ．若m 为任意实数，则224am bmb a++≥三、填空题12．不等式组230350x x +>⎧⎨-+>⎩的所有整数解的和为是．13．方程组33224355x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩的解集为．14．若多项式3x x m ++含有因式22x x -+，则m 的值是．四、解答题15．计算或求值：213tan 3022-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭．(2)0112cos 60(π2024)()5sin 453︒-︒+---+．(3)已知22214a b c ++=，6a b c ++=，求ab bc ac ++的值．16．把下列各式因式分解：(1)21336x x ++(2)33x y -(3)()()222812x x x x +-++(4)22414xy x y +--17．解下列不等式：(1)2320x x -+-≥；(2)134x x -+-≥；(3)11.21x x -≤+18．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.(1)甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？19．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；260x x --=①；2210x -+=②；(2)已知关于x 的方程2(1)0x m x m ---=（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程210ax bx ++=（a 、b 是常数，0a >）是“邻根方程”，令212=-t a b ，试求t 的最大值．。
2024年秋季高一数学入学分班考试模拟卷数学试题(解析版)
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷数学•全解全析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅【答案】C【解析】因为{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，所以A B = {}2,3.故选：C.22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．2【答案】D【解析】由已知有220x x −==−≥，故20x −≥，解得2x ≥.符合题意的选项只有D 选项的2.故选：D ．3．“2x =”是“24x =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为2x =可以推出24x =，即充分性成立；但24x =不能推出2x =，例如2x =−，即必要性不成立； 综上所述：“2x =”是“24x =”的充分不必要条件.故选：B.4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 【答案】A【解析】因为二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，所以设2(2)1y a x =−−，令0,11x y ==，代入得211(2)141a a =−−=−，解得：3a =， 所以23(2)1y x =−−，即231211y x x =−+.故选：A.5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−− D ．()()11x y x y +++−【答案】D【解析】2212x xy y −++()2221x xy y =++−2()1x y =+−()()11x y x y =+++−．故选：D ．6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤【答案】B【解析】方法一：使用命题取否定的通法：将命题p 的特称量词x ∃改为全称量词x ∀，论域()1,∞+不变， 结论210x 改为其否定的结论210x +≤. 得到命题p 的否定p ¬是：1x ∀>，210x +≤.方法二：命题p 的含义是，存在一个()1,∞+上的实数x 满足210x . 那么要使该结论不成立，正是要让每个()1,∞+上的实数x 都不满足210x . 也就是对任意的()1,∞+上的实数x ，都有210x +≤. 所以p 的否定p ¬是：1x ∀，210x +≤.故选：B.7．函数y =） A ．[]3,3− B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞【答案】C【解析】由题知290−>x ，解得33x −<<，所以函数的定义域为()3,3−，故选：C.8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ） A ．-20 B ．2 C ．2或-20 D ．2或20【答案】A【解析】因为2850a a −+=，2850b b −+=，故,a b 为方程2850x x −+=的两个根，故8,5a b ab +==.又()()()()()()22211222111111b a a b a b ab b a a b ab a b ab a b −+−+−+−+−−+==−−−++−++641610220581−−+==−−+，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】根据函数的定义可知，一个x 有唯一的y 与其对应，所以AC 选项错误，BD 选项正确.故选：BD10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数【答案】AC【解析】对于A 项，因∀∈R ，2221(1)0x x x +++≥恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A 正确；对于B 项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B 不正确； 对于C 项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C 正确；对于D 项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确．故选：AC.11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+【答案】ABCD【解析】对于A ，()43y x x =−的对称轴为23x =，所以()43y x x =−取得最大值时x 的值为23，故A 错误； 对于B ，令111111y x x x x =+=++−++ 若1x <−，10x +<，()10x −+>，()1121x x −+−≥+，当2x =−时，取等号, 所以()1121x x ++≤−+，则11131y x x =++−≤−+.则11y x x =++的最大值为3−，故B 错误；对于C ，函数()f x =令2t =≥，当12t t+=时，1t =，不满足题意，故C 错误； 对于D ，若0a >，0b >，且2a b +=， ()12112121222b a a b a b a b a b +=++=+++ ，当2b a a b =时，即2,4a b −=−时，取等号. 所以12a b +D 错误.故选：ABCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ． 【答案】2【解析】由题意可设：另一个因式为x a +，则()()()()32322122++=+−+=+−+−+x x m x a x x x a x a x a ，可得10212a a m a−=−== ，解得12a m = = ， 所以m 的值是2.13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ．【答案】1|12x x<<【解析】不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)，∴a<0，且1，2是方程20ax bx c ++=的两个实数根，∴1212b a c a+=− ×=，解得3b a =−，2c a =，其中a<0；∴不等式20cx bx a ++>化为2230ax ax a −+>，即22103x x −+<，解得1,12x ∈ ，因此所求不等式的解集为1|12x x<<.14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .【答案】6【解析】函数16y x =−+，22246y x x =−++的图像如图，函数y 取两个函数的较小值， 图像是如图的实线部分，两个函数图像都过()0,6点. 当0x ≤时，12y y ≤，函数y 的最大值是6，当0x >时，函数y 无论在16y x =−+上取得，还是22246y x x =−++上取得， 总有6y <，即0x >时，函数y 的图像是下降的. 所以函数y 的最大值是6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+ 【答案】(1)1 2.x ≤≤；(2)0x ≤或4x ≥；(3)2x ≤−或12x >−【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤，所以解为1 2.x ≤≤（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥， 此时不等式解为0x ≤；当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解；当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥， 此时不等式解为4x ≥；综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥. （3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，与()()2120210x x x ++≥+≠同解， 所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)7a ≥；(2)13a <.【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7≥.（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆， 当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，， 则11225a a ≤−−≤−≤，无解， 所以实数a 的取值范围13a <.17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式. 【答案】(1)1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；(2)212b a a=−+ 【解析】（1）若{}3∩=A B ，则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=， 所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−， 所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==， 又A B B ∪=，所以A B ⊆，即{}2120x x x b a ∈−+=，所以2120440b a a b −+= ∆=−≥ ，所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值． 【答案】(1)1a >；(2)①1a ≥；②32. 【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+，即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<， 又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈， ∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >，即实数a 的取值范围是1a >. （2）方程为220y x ax a =−+=，①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得1000a a a a ≥≤> > 或，故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−， 则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=， 即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =，由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x 立方米，水费为y 元． (1)试求y 关于x 的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a 立方米，乙用户用水b 立方米，若,a b 之间符合函数关系：247530b a a =−+−．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？【答案】(1)3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −> ；(2)25立方米；(3)144元【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米，按收费标准可知，当020x <≤时，3y x =； 当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=， 解得25x =． 所以该月的用水量为25立方米． （3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤． 当24a =时，()46max a b +=，此时22b =． 所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．。
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任丘一中 2017 级高一新生入学考试
数学试卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题；试卷满分100 分，考试时间90分钟；考生一律在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效
一、选择题：( 本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项 .)
1.﹣的倒数的绝对值是（）
A. ﹣ 2017
B.
C. 2017
D.
2.下列计算中，结果是a 6
的是（）
A. a2+a4
B.a2?a3
C.a12÷a2
D.（ a2）3
3.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）
A. B. C. D.
4.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有
0.000000076 克，将数0.000000076 用科学记数法表示为( )
A. 7.6 × 10﹣9
B. 7.6× 10﹣8
C. 7.6 × 109
D. 7.6× 108
5.已知点P（ a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
6.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次
数分别为10 次、 50 次、 100 次， 200 次，其中实验相对科学的是（）
A.甲组
B.乙组
C.丙组
D.丁组
7．如图，从①∠ 1=∠2 ②∠ C=∠ D③∠ A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）
A. 0
B.1
C. 2
D.3
8.如图，PA、PB是⊙ O的切线，切点分别为 A 、B，若 OA=2 ，∠ P=60°，则劣弧
的长为（）
高一数学试题第1页（共4页）第7题图
A ．
π B
．π C ． D ．
第 8题图
9. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图）
，原空地一边减少了 1m ，
另一边减少了
2m ，剩余空地的面积为
18m 2
，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为
xm ，
则可列方程为（
）
A ．（ x+1）（x+2） =18
B ． x 2﹣ 3x+16=0
C ．（ x ﹣ 1）（ x ﹣2） =18
D ． x 2+3x+16=0
10. 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门
AB 的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正
方形网格中，点 A ， B ， C ，D ， E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在
（
）
A. 点C
B. 点D 或点E
C. 线段 DE （异于端点）
上一点
D. 线段 CD （异于端点） 上一点
11. 已知二次函数 y=ax 2
+bx+c （ a ≠0）的图象如图所示， 并且关于 x 的一元二
次方程 ax 2
+bx +c ﹣ m=0 有两个不相等的实数根，下列结论：
① b 2
﹣ 4ac ＜ 0；② abc ＞ 0；③ a ﹣ b+c ＜ 0；④ m ＞﹣ 2，
其中，正确的个数有（）
A ．1
B
．2
C
．3
D
．4
12. 如图，从一张腰长为 60cm ，顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个
最大的扇形 OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），
则该圆锥的高为（ ）
A ． 10cm
B ． 15cm
C ． 10 cm
D ．20
cm
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
将正确答案写在答题纸上。
）
13. |
﹣ 0.3| 的相反数等于
.
14. 把多项式 a 2
﹣ 4a 分解因式为
.
15．若实数 m ， n
2
-10
满足 |m ﹣ 2|+ （ n ﹣ 2014） =0，则 m +n =
高一数学试题
第2页
（共4页）
16.有一列式子，按一定规律排列成﹣3a2，9a5，﹣ 27a10，81a17，﹣ 243a26，⋯．则上列式子中第n 个式子为（ n 为正整数） .
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 52 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . ）
17.（本小题满分 6 分）一辆出租车从 A 地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向
东为正）记录如下（x＞ 9 且 x＜ 26，单位： km ）
第一次第二次第三次第四次
x x
﹣
5 2 9x
）
（﹣
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续 4 次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
18. （本小题满分 8 分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A ，B 两种型号的健身器材若干套，
A ，
B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310 元， 460 元，且每种型号健身器材必须整套购买．
（ 1）若购买 A ， B 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求 A ，B 两种型号健身器材各购
买多少套？
（ 2）若购买 A ，B 两种型号的健身器材共50 套，且支出不超过18000 元，求 A 种型号健身器材至少要购
买多少套？
19. （本小题满分8 分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图 1 中 a 的值为；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的
平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低
确定9 人进入复赛，请直接写出初赛
成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．
20.（本小题满分8 分）甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而行，匀速行驶，
高一数学试题第3页（共4页）
甲车距 B 地的距离 y（ km ）与行驶时间 x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速
度是 60km/h
（1）求甲车的速度；
（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a（ km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持
不变，结果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值．
21. （本小题满分10 分）如图，点 C 为△ ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在
上，且不与点 B ，D 重合），∠ ACB= ∠ ABD=45°
（ 1）求证： BD 是该外接圆的直径；
（ 2）连结 CD ，求证：AC=BC +CD；
22.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx 2+4mx ﹣ 5m（ m＜ 0）与 x 轴交于点 A 、B（点 A 在点 B 的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x 相交于点 E，与 x 轴相交于点D，点 P 在直线y=x 上（不与原点重合），连接 PD，过点 P 作 PF⊥ PD 交 y 轴于点 F，连接 DF ．
（ 1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；
（ 2）求 A 、 B 两点的坐标；
（ 3）如图②所示，小红在探究点P 的位置发现：当点P 与点 E 重合时，∠ PDF 的大小为定值，进而猜想：
对于直线y=x 上任意一点P（不与原点重合），∠ PDF 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说
明理由．
高一数学试题第4页（共4页）。