§3-5 理想流体及其运动规律 (2)
合集下载
第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
理想流体的运动
(3) 动能Ek和势能Ep的变化 1 1 2 2 E k mv2 mv1 ② 2 2 ③ E p mgh 2 mgh 1
(4) 功能原理
1 1 2 2 p1 V mgh1 mv1 p2 V mgh2 mv2 2 2
A Ek E p
(2) 外力的合力所作的总功A: 两端面压力分别为： 两端面压力做功分别为：
F1 p1 S1 F2 p2 S2 S1 v1 t S2 v2 t V
A1 F1 v1 t A2 F2 v2 t
A A1 A2 p1 S1 v1 t p2 S2 v2 t A ( p1 p2 )V ①
SA=6102 m2
hA=0.7 m
S Adh S Adh dt S BvB S B 2gh
整个水箱的水流尽所需时间为
0
SB=1 cm2
0 0 S Adh 6 1 02 dh 6 1 02 t 2 h 2 2 7 (s) 4 hA 0.7 SB 2gh 0.7 1 0 2 9.8 h 19 .6
(9) 特殊情况下方程的简化
① 不均匀水平管, h1=h2=h
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2 ② 均匀管, S1=S2, v1= v2= v
竖直: p1 gh1 p2 gh2 水平:
p, h, v C
③ 若某处与大气相通, 则该处的压强为大气压 p0
（10）伯努利方程的应用 1. 空吸作用 水平管: h1=h2=h
p1 gh1 1 1 2 2 v1 p2 gh2 v2 2 2
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
S2<S1
(4) 功能原理
1 1 2 2 p1 V mgh1 mv1 p2 V mgh2 mv2 2 2
A Ek E p
(2) 外力的合力所作的总功A: 两端面压力分别为： 两端面压力做功分别为：
F1 p1 S1 F2 p2 S2 S1 v1 t S2 v2 t V
A1 F1 v1 t A2 F2 v2 t
A A1 A2 p1 S1 v1 t p2 S2 v2 t A ( p1 p2 )V ①
SA=6102 m2
hA=0.7 m
S Adh S Adh dt S BvB S B 2gh
整个水箱的水流尽所需时间为
0
SB=1 cm2
0 0 S Adh 6 1 02 dh 6 1 02 t 2 h 2 2 7 (s) 4 hA 0.7 SB 2gh 0.7 1 0 2 9.8 h 19 .6
(9) 特殊情况下方程的简化
① 不均匀水平管, h1=h2=h
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2 ② 均匀管, S1=S2, v1= v2= v
竖直: p1 gh1 p2 gh2 水平:
p, h, v C
③ 若某处与大气相通, 则该处的压强为大气压 p0
（10）伯努利方程的应用 1. 空吸作用 水平管: h1=h2=h
p1 gh1 1 1 2 2 v1 p2 gh2 v2 2 2
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
S2<S1
3理想流体流动基本规律
3-6 伯努利方程——思考、习题
• 思考题 3-（ 9. 10. 11. ） P103 • 习题 3-（ 5. 7. ） P104 • 小结：
2 u12 p1 u2 p2 + + z1 = + + z2 = C 2g ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g
复习
• 重力场中不可压理想流体微元管伯努利方程
u p1 u p2 + + z1 = + + z2 = C 2g ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g
ρ1 ⋅ c1 ⋅ A1 = ρ 2 ⋅ c 2 ⋅ A2
• 对于不可压流体：
c1 ⋅ A1 = c2 ⋅ A2
• 同时适用于理想流体和实际流体（不涉及 作用力和流动损失）。 • 例题3-4.小、大圆管流速。 （P82） • 课堂练习：习题 3-（3. 4.）P104 习题
3-（1 ～ 5） 小结0
3-6 伯努利方程应用举例
• 四．典型应用举例 1．求管道流速和流量 自学例题3-（5. 6. 7.）文丘里流量计、水 箱出流、皮托管测烟气流速。P87-90 2．求管道压力或真空 例题3-（8. 9.）前题有误需更正！！！后 题虹吸。P91 • 课堂练习：思考3-15. 习题3-（6. 9. 12.）
3-（1 ～ 5）思考题与习题
• 思考题 3-（1. 2. 3. 4. 5. 7.） P103 • 习题 3-（ 1. 3. ） P104 • • • 迹线 流线 流管、流束、总流 水力要素 运动要素 一元管流的连续性方程
ρ1 ⋅ c1 ⋅ A1 = ρ 2 ⋅ c 2 ⋅ A2
几何意义 总能头 速度能头 压力能头 位置能头 测压管能头
2 g
p ρ⋅g z
理想流体的流动
（1）适用于理想流体的定常流动。
（2）对实际流体，只要其黏滞性很小，就可应用伯努利方程。 如空气、水和酒精。
（3）伯努利方程广泛应用于水利、造船、化工、航天等领域。
三、伯努利方程的应用
（1）等高流线中流速与压强的关系
P 1 v2 C
2
Sv qV 常量 C
当S较小时，v 较大，P较小。
由 S1v1 =S2v2
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1
又由
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
得
p1
p2
1 2
v22
v12
1 1.0103 42 12 7.5103 Pa 2
粗管内的压强高于细管
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。
如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,
管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，
求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
（3）管1、4中的压强差.
2
v2
1
v1
4
v4
3
v3
解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 ∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1
v2
所以流线不会相交。
流速大
流线密处，表示流速大。
四、流管（flow tube） 流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内、外的流体都不会穿越管壁。
通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积S 0 ，就称为流线。 作定常流动的液体可以视为由无数稳定的细流管组成，所以， 任一流管中的流动可以代表整个流体的流动。
（2）对实际流体，只要其黏滞性很小，就可应用伯努利方程。 如空气、水和酒精。
（3）伯努利方程广泛应用于水利、造船、化工、航天等领域。
三、伯努利方程的应用
（1）等高流线中流速与压强的关系
P 1 v2 C
2
Sv qV 常量 C
当S较小时，v 较大，P较小。
由 S1v1 =S2v2
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1
又由
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
得
p1
p2
1 2
v22
v12
1 1.0103 42 12 7.5103 Pa 2
粗管内的压强高于细管
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。
如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,
管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，
求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
（3）管1、4中的压强差.
2
v2
1
v1
4
v4
3
v3
解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 ∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1
v2
所以流线不会相交。
流速大
流线密处，表示流速大。
四、流管（flow tube） 流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内、外的流体都不会穿越管壁。
通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积S 0 ，就称为流线。 作定常流动的液体可以视为由无数稳定的细流管组成，所以， 任一流管中的流动可以代表整个流体的流动。
工程流体力学理想流体流动的基本规律
述流体质点运动随时间的变化规律。
描
述
流
位置： x = x(x,y,z,t)
速度： u=u（x,y,z,t）=dx/dt
体
y = y(x,y,z,t)
v=v（x,y,z,t） =dy/dt
流 动
z = z(x,y,z,t)
w=w（x,y,z,t）=dz/dt
的
方
同理： p=p（x,y,z,t） ，ρ=ρ(x,y,z,t)
法
到整个流场的运动规律。
a,b,c,t, 拉格朗日变数 a,b,c，t=to 时质点的坐标 ，质点标号
rr rr(a,b,c,t)
xx(a,b,c,t)
y
y(a,b,c,t)
zz(a,b,c,t)
(a,b,c,t) T T(a,b,c,t)
理想流体流动的基本规律
欧拉法
着眼于空间点，在空间的每一点上描
理想流体流动的基本规律
迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹
t5
迹
t1
t2
t3
t4
线
与
流线：在某一时刻, 流场中的一系列线，其上每一点的切
流
线方向就是该点流动速度方向
线
V
V
V
理想流体流动的基本规律
流线方程的微分形式：
dx dy dz dL 常数 u v wU
迹 线
udy vdx 0
hw
能 量
说明
守
1. 为动能修正系数，表示速度分布的不均匀性，恒大于1
恒 定
2. 粘性流体在圆管中作层流流动时，＝2
律
3. 流动的紊流程度越大，越接近于1
4. 在工业管道中 =1.01～1.1，通常不加特别说明，均取 ＝1
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
理想流体流动的基本规律
T T (a,b,c,t)
a,b,c，t=to 时质点的坐标 ，质点标号
理想流体流动的基本规律
欧拉法
着眼于空间点，在空间的每一点上描
述流体质点运动随时间的变化规律。
描
述
流
位置： x = x(x,y,z,t)
速度： u=u（x,y,z,t）=dx/dt
体
y = y(x,y,z,t)
v=v（x,y,z,t） =dy/dt
三、三个结论
理想流体流动的基本规律
流 场 的 分 类
理想流体流动的基本规律
可压缩流体非定常三元流动的连续方程
(u)(v)(w )0
质
x y z t
量 守
对定常流动 (u)(v)(w )0
x
y
z
恒
定 对不可压流体， 律
u v w0 x y z
理想流体流动的基本规律
一元管流连续方程
1c1A 1 2c2A 2
着眼于个别流体质点运动的研究（即跟踪流体质 点）。
x x (a ,b ,c,t)
y
y
(a
,b
,c ,t )
方
研究流体内个别流体质点在不同时间，其位置、流
z z ( a , b , c , t )
速、压力的变化，综合所有流体质点的运动，即可得
法
到整个流场的运动规律。
(a,b,c,t)
a,b,c,t, 拉格朗日变数
质
量
守
c1A1 c2A2
恒
定
对不可压流体的定常流动，沿任意有效截面的体积流量不
律
变。对定常流动，流管类似于真实管道，C大，A小，反之
亦然。
理想流体流动的基本规律
流体的运动 理想流体的定常流动
药学物理学
第三章 流体的运动
概述 第一节 理想流体的定常流动 第二节 伯努利方程及其应用 第三节 粘性流体的流动 第四节 粘性流体的运动规律 第五节 斯托克司定律
树欲静风不止
疾风知劲草
概述
物体的形态：固体、液体、气体 流体：具有流动性的物体
特点：具有流动性 流体静力学：研究流体处于静止状态 时的力学规律 流体动力学：研究流体运动规律
例题：设有流量为 0.12m3s-1的水流过如 图所示的管子。A点的压强为 2 x 105Pa， A点的截面积为100cm2,B点的截面积为 60cm2。假设水的粘性可以忽略不计，求 A、B两点的流速和B点的压强。
解：水可近似认为不可压缩、没有粘滞性 的理想流体，根据连续性方程有
S AVA SBVB Q
S1 V1
V2
流量Q：单位时间内通过某一流管内任意横截面的流体的体
积叫体积流量（简称流量）
S2
平均流速：V=Q/S
定常流动的特征 流线形状不变 流线与流体粒子的轨迹重合 流体只能在管内流动，不能流出管外
那么，定常流动的流量、流速 有什么规律呢？
三、连续性方程
设截面积S1、S2处的流速分别为V1和V2，流体的密度为1 、 2，流体经过时间△t
流体
二、定常流动
流场中各点的流速不随时间变化，这样的 流动称为定常流动
v＝f（x，y，z）
即流速仅仅是空间坐标的函数
流场：流体流动时，流速随空间的分布称为流场
流线：在任一瞬间，曲线上每一点的切线方向与流 经该点的流体粒子的速度方向一致。
流管：在运动的流体中画 出一个小截面，则通过其 周边各点的流线所围成的 管状区域称为流管
伯努利方程的推导
功能原理：
第三章 流体的运动
概述 第一节 理想流体的定常流动 第二节 伯努利方程及其应用 第三节 粘性流体的流动 第四节 粘性流体的运动规律 第五节 斯托克司定律
树欲静风不止
疾风知劲草
概述
物体的形态：固体、液体、气体 流体：具有流动性的物体
特点：具有流动性 流体静力学：研究流体处于静止状态 时的力学规律 流体动力学：研究流体运动规律
例题：设有流量为 0.12m3s-1的水流过如 图所示的管子。A点的压强为 2 x 105Pa， A点的截面积为100cm2,B点的截面积为 60cm2。假设水的粘性可以忽略不计，求 A、B两点的流速和B点的压强。
解：水可近似认为不可压缩、没有粘滞性 的理想流体，根据连续性方程有
S AVA SBVB Q
S1 V1
V2
流量Q：单位时间内通过某一流管内任意横截面的流体的体
积叫体积流量（简称流量）
S2
平均流速：V=Q/S
定常流动的特征 流线形状不变 流线与流体粒子的轨迹重合 流体只能在管内流动，不能流出管外
那么，定常流动的流量、流速 有什么规律呢？
三、连续性方程
设截面积S1、S2处的流速分别为V1和V2，流体的密度为1 、 2，流体经过时间△t
流体
二、定常流动
流场中各点的流速不随时间变化，这样的 流动称为定常流动
v＝f（x，y，z）
即流速仅仅是空间坐标的函数
流场：流体流动时，流速随空间的分布称为流场
流线：在任一瞬间，曲线上每一点的切线方向与流 经该点的流体粒子的速度方向一致。
流管：在运动的流体中画 出一个小截面，则通过其 周边各点的流线所围成的 管状区域称为流管
伯努利方程的推导
功能原理：
流体的运动
L1__直管，管口A的截面与流体的流线平行
L2__直角弯管，管口B的截面与流体的流线垂直
17
（1）测量液体的流速
PA
1 2
v 2A
PB
1 2
vB2
1
2
v2A
PB
PA
vA
2( PB PA )
PB PA gh
流速: vA v 2gh
vB 0
vA v
18
（2）测量气体的流速
vA 0 vB v
动
v1 v2 v，h1 h2 w P1 P2
结论：黏性流体在均匀水平管中作定常流 动时能量的损失表现为压强的减小。
27
感谢下 载
感谢下 载
PA PB gh
风速管
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
流速
vB v
2 gh
19
• 伯努利方程的应用小结
流量计、流速计、空吸作用、小孔流速等
问题归类：
a．求流体在管中某处的流速； b．流体在管中某处的压强； c．流体在管道中的流量。
解题的方法：
—运用连续性方程和伯努利方程联立解
题
20
第三节 黏性流体、层流、湍流
结论：同一流管中截面积大处流速小， 截面积小处流速大
适用条件： (1)不可压缩的流体; (2)作定常流动，同一流管。
7
• 对于不可压缩的密度为r的均匀流体
S1v1 S2v2
说明：流体在流动中质量守恒
有分支管道的连续性方程：
Q Q1 Q2 ...... Qn S0v0 S1v1 S2v2 ...... Snvn
23
一、泊肃叶定律
理想流体的流动课件
二、连续性原理（The principle of continuity）
在任何流管中，流体的质量 是守衡的，容易推出：
S1v1 S2v2 C
此称连续性方程
讨论
Sv
称为体积流量（volume flow rate），用 qV 表示
连续性原理表明，单位时间内通 过液体中任一横截面的流量相等。
一路顺风，还是一路逆风？
汾丘里管
2 2 ghS A vB 2 2 S S A B qV S B vB S B S A
S AvA S B vB
2 gh 2 2 SA SB
3. 流速的测定（皮托管）
对于驻点B，满足 vB 0
1 1 2 2 p A v A gh A pB vB ghB 2 2
(2) 毛细现象中液面的高度(height )
pB p0 2 / R
pA pB gh pA pC p0
R r cos
2 cos h gr
毛细管越小，毛细现ຫໍສະໝຸດ 越显著。【例】已知小管半径 r，大管半径R，表面 张力系数，密度，接触角，求 h。
【解】
PB gh PA
PB PA h g
( P0 2 /( R / cos )) ( P0 2 /( r / cos )) g 2 cos 1 1 ( ) g r R
(3) 应用(applications ) 砖块吸水、毛巾吸汗、粉笔吸水及毛笔吸墨汁 都是常见的毛细现象。在这些物体中有许多细 小的孔道,起着毛细管的作用.
h d+h B
hA hB d
pA p0 gd
vA
A
d
第三章流体的运动
（2）流体动力学 —— 研究流体运动规律以及 运动着的流体与流体中的物体之间的相互作用 的学科。
2
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体
实际流体 ——具有粘性和可压缩的流体。
理想流体 —— 绝对不可压缩、完全没有粘 性的流体。
二、 定常流动
研究流体的运动的两种方法： (1)拉格朗日法 —— 以流体的各个质元为研 究对象，根据牛顿定律研究每个流体质元的 运动状态随时间的变化。
1
2 gh
25
26
图(b)是测量气体的流速，设液体的密度为 ，压强计中两液面的高度差为ｈ， 则 P2 P 1 gh ，因此
1 2 1 gh 2
故
1
2 gh
27
４、虹吸管
虹吸管是用来从不能倾斜的 容器中排出液体的装置。
（1）流体流速
视液体为理想流体，且排水管均匀，对容器内 液面A和管口D，应用伯努利方程得：
d F d F S 也可以写成： S dx dx
令τ=F/S，它表示作用在单位面积上与流体层 相切的内摩擦力，叫做切应力。
35
位移bb 与垂距ab之比叫做切应变， bb td 用来表示，即： ab tg d 。 切应变对时间的变化率叫做切变率，
表示，即 以 因此
5
流体做定常流动时流线的特点：由于空间各点 的流速不随时间变化，则流线的形状保持不变， 此时流线与流体粒子的运动轨迹相重合。
流管——在稳定流动的流体中划出一个小截面 S1，并且通过它的周边各点作出许多流线，由 这些流线所组成的管状体就称为流管。
6
三、 连续性方程
流量——单位时间内通过某一流管内任意横 截面的流体的体积。 流量用Q来表示,其单位为（m3· s-1）。
2
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体
实际流体 ——具有粘性和可压缩的流体。
理想流体 —— 绝对不可压缩、完全没有粘 性的流体。
二、 定常流动
研究流体的运动的两种方法： (1)拉格朗日法 —— 以流体的各个质元为研 究对象，根据牛顿定律研究每个流体质元的 运动状态随时间的变化。
1
2 gh
25
26
图(b)是测量气体的流速，设液体的密度为 ，压强计中两液面的高度差为ｈ， 则 P2 P 1 gh ，因此
1 2 1 gh 2
故
1
2 gh
27
４、虹吸管
虹吸管是用来从不能倾斜的 容器中排出液体的装置。
（1）流体流速
视液体为理想流体，且排水管均匀，对容器内 液面A和管口D，应用伯努利方程得：
d F d F S 也可以写成： S dx dx
令τ=F/S，它表示作用在单位面积上与流体层 相切的内摩擦力，叫做切应力。
35
位移bb 与垂距ab之比叫做切应变， bb td 用来表示，即： ab tg d 。 切应变对时间的变化率叫做切变率，
表示，即 以 因此
5
流体做定常流动时流线的特点：由于空间各点 的流速不随时间变化，则流线的形状保持不变， 此时流线与流体粒子的运动轨迹相重合。
流管——在稳定流动的流体中划出一个小截面 S1，并且通过它的周边各点作出许多流线，由 这些流线所组成的管状体就称为流管。
6
三、 连续性方程
流量——单位时间内通过某一流管内任意横 截面的流体的体积。 流量用Q来表示,其单位为（m3· s-1）。
流体的运动
火山爆发
核爆蘑菇云
36
层流与湍流的特点与区别 特点
湍流：流动过程有声，
伴有漩涡。
区别
流速较大
判别
实际流体
雷诺数 层流：流动过程无声。 流速较小
37
雷诺系数
雷 诺 (O·Reynolds) 1883 年通过大量的实验,证 实了流体在自然界存在 两种迥然不同的流态, 层流和湍流.
ρ vr Re = η
1
流体力学的分类
流体静力学—研究流体处于
静止状态时的力学规律
流体力学
流体动力学——研究流体处于
运动状态时的力学规律 (本章内容）
2
第一节 理想流体的定常运动 一、理想流体
1.流体的性质
流动性 ——主要因素 黏性 可压缩性
次要因素
2.理想流体
(1) 绝对不可压缩 (2) 完全没有黏性（内摩擦力）
3
41
二、黏性流体的运动规律
设黏性力所做的功为：
N N′
A′ = − w V
S2
M M′
S1
v2
w____单位体积的
黏性流体从截面S1 流到截面S2时，黏 性力所做的功。
v1
h2
h1
42
1. 黏性流体的伯努利方程
根据功能原理有 ΔＥ＝Ａ＋Ａ＇
1 2 1 2 = （PV + − wV ） （ mv1 + mgh1 ） （ mv2 + mgh2 ）− 1 − PV 2 ）（ 2 2
33
T一定，η 值与流体的性质有关:
• 液体的η 值随T升高而减小， • 气体的η 值随T升高而增大。 ¾ 一般说来，液体的内摩擦力小于固体之间 的摩擦力. 古人开凿运河,用于运输；用机油 润滑机械,减少磨损,延长使用寿命,都 是这一原理的应用. ¾ 气体的黏性则更小 气垫船的使用就是利用了气体的这一特性.
核爆蘑菇云
36
层流与湍流的特点与区别 特点
湍流：流动过程有声，
伴有漩涡。
区别
流速较大
判别
实际流体
雷诺数 层流：流动过程无声。 流速较小
37
雷诺系数
雷 诺 (O·Reynolds) 1883 年通过大量的实验,证 实了流体在自然界存在 两种迥然不同的流态, 层流和湍流.
ρ vr Re = η
1
流体力学的分类
流体静力学—研究流体处于
静止状态时的力学规律
流体力学
流体动力学——研究流体处于
运动状态时的力学规律 (本章内容）
2
第一节 理想流体的定常运动 一、理想流体
1.流体的性质
流动性 ——主要因素 黏性 可压缩性
次要因素
2.理想流体
(1) 绝对不可压缩 (2) 完全没有黏性（内摩擦力）
3
41
二、黏性流体的运动规律
设黏性力所做的功为：
N N′
A′ = − w V
S2
M M′
S1
v2
w____单位体积的
黏性流体从截面S1 流到截面S2时，黏 性力所做的功。
v1
h2
h1
42
1. 黏性流体的伯努利方程
根据功能原理有 ΔＥ＝Ａ＋Ａ＇
1 2 1 2 = （PV + − wV ） （ mv1 + mgh1 ） （ mv2 + mgh2 ）− 1 − PV 2 ）（ 2 2
33
T一定，η 值与流体的性质有关:
• 液体的η 值随T升高而减小， • 气体的η 值随T升高而增大。 ¾ 一般说来，液体的内摩擦力小于固体之间 的摩擦力. 古人开凿运河,用于运输；用机油 润滑机械,减少磨损,延长使用寿命,都 是这一原理的应用. ¾ 气体的黏性则更小 气垫船的使用就是利用了气体的这一特性.
第二章 流体的运动规律
vD 2 gh
'
三、重力作用下人体各部位的血压 头部、心脏、脚
PB hB PH hH PF hF
PH ghH PF ghF
PB ghB
P F P H g (hH hF )
PB PH g (hB hH )
平卧位：PB=PH=PF
站立：PB<PH；PH<PF
( E X Y EY Y ) ( E XX E X Y )
EYY E XX
E XX 1 2 Vgh1 Vv1 2 1 2 Vgh2 Vv2 2
EYY
1 1 2 2 E Vgh2 Vv2 Vgh1 Vv1 2 2
例题2-1 水在压强4x105pa的作用下经内径为2.0cm的水管流入用户，管中的的 流速为4m/s，被引入5m高处的浴池。浴池内小水管内径为1.0cm。求浴池小管 中水的流速和压强？
解：设外水管对应的分别为S1，v1， p1, h1；内水管对应的分别为S2，v2， p2 , h2
2 S1 r12 d1 2.0 2 v2 v1 2 v1 2 v1 ( ) 4m / s 16m / s S2 1.0 r2 d2 1 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
例：
P3 P2 P4 P1 P5
二、柏努利方程的应用 The application of Bernoulli equation 1小孔流速:在一大容器底下或侧壁上h处有一孔，液 体由小孔处流出，求出小孔流速。
v1 0
p1 gh1
1 1 2 v12 p2 gh2 v2 2 2
若将小水管的水龙头关闭，水龙头受到的压强为多少？
'
三、重力作用下人体各部位的血压 头部、心脏、脚
PB hB PH hH PF hF
PH ghH PF ghF
PB ghB
P F P H g (hH hF )
PB PH g (hB hH )
平卧位：PB=PH=PF
站立：PB<PH；PH<PF
( E X Y EY Y ) ( E XX E X Y )
EYY E XX
E XX 1 2 Vgh1 Vv1 2 1 2 Vgh2 Vv2 2
EYY
1 1 2 2 E Vgh2 Vv2 Vgh1 Vv1 2 2
例题2-1 水在压强4x105pa的作用下经内径为2.0cm的水管流入用户，管中的的 流速为4m/s，被引入5m高处的浴池。浴池内小水管内径为1.0cm。求浴池小管 中水的流速和压强？
解：设外水管对应的分别为S1，v1， p1, h1；内水管对应的分别为S2，v2， p2 , h2
2 S1 r12 d1 2.0 2 v2 v1 2 v1 2 v1 ( ) 4m / s 16m / s S2 1.0 r2 d2 1 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
例：
P3 P2 P4 P1 P5
二、柏努利方程的应用 The application of Bernoulli equation 1小孔流速:在一大容器底下或侧壁上h处有一孔，液 体由小孔处流出，求出小孔流速。
v1 0
p1 gh1
1 1 2 v12 p2 gh2 v2 2 2
若将小水管的水龙头关闭，水龙头受到的压强为多少？
理想流体、稳定流动、粘性流体
【例1】 一大容器中 盛有水，其 侧壁下方开 有小孔，求： 水从小孔中 流出的速度。
【解】取a、b截面处列伯努利方程
Sb 由连续原理 Sava=Sbvb ， va va Sa
因Sa＞＞Sb， ∴
va≈0
又Pa=Pb=P0， 且hb=0 ha=h
化原方程为
1 2 gh b 2
m2 2 S2v2 t
则有
m1 m2
即
1S1v1t 2 S2v2t
∴
1S1v1 2 S2v2
或
Sv 常数
— 稳定流动时的连续性方程
流体作稳定流动时，同一流管中任一截面处的流体 密度 ρ 、流速 v 和该截面面积 S 的乘积为一常量。
Sv —单位时间内通过任一截面 S 的流体质量,称为质量流
f浮
4 3 R g 3
f 6vR
当三力达到平衡时，小球将以匀速度
vT下落，
4 3 4 3 由 G f 浮 f 即 R g R g 6vT R 可得 3 3
2 gR 2 —— 收尾速度（沉降速度） vT 9
2 gR 2 vT 9
2.湍流： 当流体流速超过某一数值时，流体不再保持分层流 动，而可能向个方向运动，有垂直于管轴方向的分 速度，各流层将混淆起来，并有可能出现涡旋，这 种流动状态叫湍流。
K
K
层流与湍流之间的区别：湍流能发出声音，速度比层 流大。
4、过渡流动:介于层流与湍流之间的流动。
二、牛顿粘滞定律
1. 粘性力（内摩擦力）：
通常将流速随空间的分布,称为流场.
2. 稳定流动 若流场各点流速不随时间变化，即 v v(x,y,z) 则称该流动为稳定流动或定常流动。 3. 流线、流管 （1）流线： 曲线上任一点切线方向与 该点流速方向一致
流体力学课件之理想流体流动
2 g
D1 D2
2
H h
10/46
§５.1 理想流体微分形式动量方程与伯努利方程 §５.2 伯努利方程简单应用 §５.3 理想流体积分形式控制方程
§５.4 理想流体微分方程解析解
11/46
理想流体积分形式控制方程
质量方程
dV
dA 0
V t
( A)
动量方程
dV
dA
121kkxy22
2
f1 f
(
2
y) (x)
整理后，得势函数 1 x2 y 2 C 2
x
y
y x
ky kx
kxy kxy
f1 ( y) f2 (x)
合并两式，得流函数 kxy B C, B 为常数。
36/46
势流问题的数学提法
1、以速度势函数为未知数（Neuman问题） 寻求物体C外无界区域内速度势函数，求解方程及初边条件
2. 控制方程与边界条件
dV
dA 0
V t
( A)
dV
dA
gdV
PdA
V t
( A)
V
( A)
E gz p 2 const 2
入口条件 vout Q A2 , p ?
出口条件 物面条件
vin ?, p pa
v A 0 F pd A pad A
r
r r
r
r
z
r z
2 r
gr
1
p r
t
r
r
r
z
z
r r
g
1 r
p
z t
r
z r
r
z
z
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
′ S1
h2
整个流体块从位置S1-S2流到位置 S1 ′-S2′的过程
中，机械能的增量E为
11
E ( Ek Ep ) 2 ( Ek Ep )1 1 1 2 [ (m)v 2 (m) gh2 ] [ (m)v 12 (m) gh1 ] 2 1 2 1
( v gh2 v gh1 )m 2 2
v B ghB
2
其中水面上点A和孔口处点B都与大气接触, 所以 那里的压强都等于大气压p0 。
19
取小孔处的高度为零，则 hA=h。容器的横截面 比小孔的截面大得多, 根据连续性方程, vA<<vB ,故 认为vA=0。将以上条件代入上式, 即可求得小孔处 的流速为 vB 2 gh 可见, 小孔处水的流速，与物体从h处自由下落 到小孔处的速率是相同的。 这个结论叫做托里拆利定理。对开在容器底部 的小孔，结论仍然正确。小孔流速是一个很重要的 实际问题，例如水库放水，就需要计算出水管道处 的流速和流量，上述结论可以近似用于实际问题。
对于不可压缩流体
S 1 v 1= S 2 v 2 或
S v = 恒量
上式称为理想流体的连续性方程。 理想流体作定常流动时, 速率与流管截面积的乘
积为恒量, 或者说速率与流管的截面积成反比。 由流线分布图样判断流速的分布情况：流线的
走向表示速度的方向, 疏密表示速度的大小。 在方程两边同乘以流体密度, 即
(hydrodynamics)。
1
一、流体的压强 (Pressure of fluid ) 容器的器壁总要受到盛在其中的流体所施加 的作用力。流体与容器器壁之间， 流体各部分 之间，都存在相互作用。
在静止流体内取出一部分,
包围它的闭合曲面将其与其 它流体分隔开。曲面内、外 的流体存在的相互作用力矢 量和等于零。 如图所示。
同程度上具有两种性质：可压缩性和黏性。
理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。 流场(field of flow) 在流动过程中的任一瞬间，流体所占据的空间每 一点都具有一定的流速v(x，y，z)，这个空间称为 流体速度场，简称流场。
5
2. 定常流动（steady flow） 一般情况下，同一时刻流体各处的流速不同，但 有些场合，流体质点流经空间任一给定点的速度是 确定的，且不随时间变化，称为定常流动。 这是否说明：空间中各点的流速即方向和大小 都一定相同？（液体在流动时，液体要时刻不停地 流经空间中各点。）即va=vb=vc
S v = 恒量
上式是一般流体的连续性方程。
9
如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等, 流量可以表示为
QV = S v
如果截面上各点流速不相等，通过面元dS的流量为
d QV = v d S
通过整个截面的流量
引入平均流速的概念
QV v dS
S
QV v S
v dS
S
S
10
上式在处理具体问题时经常采用。
例2 求水从容器壁小孔中流出时的速率。 解 水从小孔中流出时的流速可 以根据伯努利方程求解。设水面距 离小孔的高度为h，ABC为一条流 线(见图)。A和B分别是这条流线在 水面和小孔处的两点, 在这条流线 上运用伯努利方程, 得
A
B
C
pA
1 2
v A ghA p B
2
1 2
和hB , 列出伯努利方程
p A gh A p B ghB
或者
p A p B g (hB h A )
15
如果A、B两点的高度相等, 则由上式得
pA = pB
这表明静止流体中同高度两点的压强相等。 例1 皮托管是测定流体流速的
Q
A
B
仪器, 常用来测定气体的流速。 o 它由两个同轴细管组成，内管的开口在 正前方。外管的开口在管壁上，如图中B 所示。两管分别与U型管的两臂相连，在 U 型管中盛有液体 ( 如水银 ) ，构成了一个 压强计，由 U 型管两臂的液面高度差 h 确 定气体的流速。
h
16
解 在A 处气流速率为零, 在流线OA上运用伯努 利方程，得到
p A ghA pO ghO
对于流线QB
1
2
vO
1
2
2 2 点O和点Q非常接近，可认为各量相等。又因皮托 管一般都很细，点A与点B的高度相差很小，hA=hB。 考虑到这些条件，得 1 2 p A pB vB 2 其中vB 是待测气流的流速。 17
20
去掉角标, 对于同一条细流管中的任一截面, 下 面的关系总是成立的
1 p v 2 gh 恒量 2
上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流
体作定常流动时的基本规律。
14
如果理想流体沿水平流管作定常流动，则
1 p v 2
2
恒量
当理想流体沿水平管道流动时, 管道截面积小的 地方流速大、压强小, 管道截面积大的地方流速小、 压强大。 这就是文丘里流量计的设计原理。 在密度为的静止流体中取A、B两点, 高度为hA
3
d F pd S dF p d S
· A
图中，d S1和 d S2 都通过点 A，d S1 的法线为 n1，d S2 的
n1
d S2
n2
A · ·
法线为 n2。两面所受压力大
d S1
小和方向各不相同 , 但压强 是相同的, 都是点A的压强。
四、伯努利(Bernoulli)方程
在重力场中作定常流动的理 想流体内任取一细流管， S1 和 S2 表示两个横截面的面积， h1 和 h2是它们相对同一个水平参 考面的高度。 S
S2
v2
S′ 2
v1
1
由于理想流体是不可压缩 h1 的，从S1到S1′之间的流体质量 等于从 S2到 S2′之间的质量m。
根据 S1 v1 = S2v2 , 并且
m S1v 1t S2v 2 t
得
A ( p1 p2 )
E = A
m
13
根据功能原理
即
1 2 1 2 1 v 2 gh2 v 1 gh1 ( p1 p2 ) 2 2
整理可得
1 1 2 2 p1 v 1 gh1 p2 v 2 gh2 2 2
§3-5 理想流体及其运动规律
物质三种聚集形态，即气、液、固态，统称为
凝聚态。 流体(fluid)是对处于液态和气态的物体的统称。 处于这两种形态的物体具有一个共同的特性—流动性， 即物体各部分之间很容易发生相对运动。
研究静止流体规律的学科称为流体静力学
(hydrostatics)；研究流体运动的学科叫流体动力学
压强单位 在SI中为Pa (帕斯卡, 简称帕) 1 Pa = 1 N m-2
另外还有 bar (巴)和atm (标准大气压，简称大气压)
1 bar = 105 Pa 1 atm = 101325 Pa
4
二、关于理想流体的几个概念 1. 理想流体 （ideal fluid） 实际液体和气体除具有共同的流动性外, 还在不
· · · ·
· · · ·
7
三、理想流体的连续性方程 (the equation of continuity) 在细流管中，流体流经截面 S1和S2的速率为v1和 v2，在 t时 间内流过这两个截面的流体体 积分别为
v1
v2
S2
V1 = S1 v1 t V2 = S2 v2 t
S1
体积流量（流量） 单位时间内流过某一截面的流 体体积。 流过截面S1和S2的流量为 V1 V2 S1 v1 S 2 v2 t t 8
2 2 2 1
如果作用于S1上的压力为
F1 , 在 t 内S1移动距离 v1t
S2
v2
S′ 2
到达S1′，则 F1作的功为
v1
S1
′ S1
A1 = p1 S1v1t
h1
h2
12
对于截面S2，F2对流体块所作的功
A2 = p2 S2v2t
周围流体的压力对流体块作的总功为
A A1 A2 ( p1S1v 1 p2 S2v 2 ) t
2
在闭合面任一点上, 内、外流体的作用力都与 该点处的面元相垂直。可见，在静止流体中各部 分之间的作用力必定为正压力。
压强 单位面积上所承受 的沿法线方向的压力的大小。
dS
n
或
d F 为压力，面元 d S 方向与点A的法向 n 一致。
压强是流体内点上的性质，为标量，其值与面元 的选取无关。
答：不一定。
稳定流动只是说明液体在流经任一定点（如a）时， 流速的大小和方向始终不变，即 va 恒定， vb 恒定， vc 恒定 …… ，但 va≠vb≠vc ，或者说，液体在空间的 速度分布不随时间变化的流动叫定常流动。 6
3. 流线(stream line) 为了形象地描述流体的 运动，在流体中画一系列 曲线，每一点的切线方向 与流经该点流体质点的速 度方向相同，称为流线。 定常流动中的流线 · 不随时间变化； · 流线就是流体质点的 运动轨迹； · 任何两条流线不相交。 4. 流管(tube of flow) 流线围成的管状区域。
p B ghB
1
v B pQ ghQ
பைடு நூலகம்
2
vQ
2
如果压强计中液体的密度为 , 则
p A p B gh
比较上面两式得
1 2
所以
v B gh
2
vB
2 gh
这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算 出待测气流速率。
18