第4章陈鹤鸣激光原理高斯光束

一、 高斯束的自再现变换与稳定球面腔
高斯光束被匹配反射镜作自再现变换这一事实在谐振腔理 论中有重要意义。
如果将高斯束的两个等相位面用相同曲率半径的球面反射 镜来代替，则构成一个稳定腔，而且由于该光束被腔的两个 反射镜作自再现变换，所以它将成为腔的自再现模。
反之。对任意稳定腔而言，只要适当选择高斯束的光腰位 置及大小，就可使它成为该稳定腔的本征模。
腰斑大，光束发散角小，发散得慢。
1. 单透镜准直
0
2 0
,
0
0F
(l F )2 f 2
0
2
1
02
(1
l F
)2
1 F2
(0
)2
原则上说，不可能用单透镜将高斯光束转换成平面波。
l
F
时，
0
达到极大值
0
达到极小值
0(max)
0
F，0(min)
2 0
20
F
0
0
F
0
02
f
0 F F
f 1 时，有较好的准直效果。 F
0 0，l l
1. 利用透镜实现自再现变换 当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波面曲率
半径一半时，透镜对该高斯光束作自再现变换。
F 1 R(l) 2
2. 球面反射镜的自再现变换
当入射在球面镜上的高斯束波面曲率半径等于球面镜的曲 率半径时，在反射时高斯光束的参数不发生变化。
4.4 高斯束的匹配
R2
AR1 CR1
B D
（3）经过球面镜反射
R2
AR1 CR1
B D
A C
B D
1 2
R
0 1
2. 高斯光束的传输与变换规律
（1） 高斯光束在自由空间的传输
束腰处： z 0，q(0) if i 02
自由空间变换矩阵：
1 TL 0
Z
1
由ABCD法则：q(z) if z
1
1
z if
变换前后的束腰位置关系
F
l
(F
F 2(F l)2
l)
( 0 2
)2
F l F l
02 02
f f
(F l)(F l)F 2 f f
其中：f
2 o
，f
o2
几何光学中牛顿公式: (F l)(F l) FF
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
0 的情形 0
特例：若入射束腰在物方焦点处，l F ：
像方腰斑的位置处在透镜后焦点以内。
（2）l F
0随 l 的增大而单调减小
当 l 时：0 0，l F
当
l F，l
f
时：0
F l
0
结论 l F，时， l 越大， F 越小，聚焦效果越好。
（3）l F 0达到极大值
0
0
F
F f
0
且： l F
结论 F f 无聚焦作用；F f 有聚焦作用。
A处：qA q0 l
B处：1 qB 1 qA 1 F C处：qC qB lC
1
1
RC
Re
qC
1
C
2
Im
1
qC
方法二：
Aq B
q
1
2 Cq D
1
D
D i D
C
(C )
1
q
R 2
q 2
A
1
B
(A
1
B )
1
i B
q
R 2
1
1
1
2
1 1 i
q2
R2
2 2
2 2
R(
z
)
0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 (z及) 等相面曲率半径 R(z)
(
R(
z) z)
z0
3. 高斯光束的 q 参数
u00 ( x,
y, z)
c
0 (z
)
exp
x2 y2
2(z)
exp
i
k(
z
x2 2R(
y2 z)
)
(
z
)
u00
(
x
,
y,
z
)
c
0 (z)
exp
2.
l
一定时，
0
随
F
的变化情况
l
F
F 2(l F (F l)2
) f
2
,
2
F 2 2 0
0 (F l)2 f 2
R(l) l[1 ( f )2 ] l
（1）F
1 2
R(l )
时：0
0，l
l
透镜对高斯光束实现自再现变换
（2）F
1 2
R(l )
时：0
0
有聚焦作用
（3）F 1 R(l) 2
q(z) if
z
f 2 z2
1
i
R(z) 2( )
2
(z
)
02
1
z 02
2
R(z) z
1
f z
2
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
（2）高斯光束经过薄透镜的变换
M1
M2
1 1 1 R2 R1 F
1 2
R1 F R2
11
11
q2
当透镜的焦距 F 一定时，若入射高斯光束的束腰处在透
镜的前焦面上，则光束发散角达到极小。
F
越大，
0
越小；
0
越小，
0
越小。
2. 望远镜准直 先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以获得极小腰斑； 再用一个长焦距透镜改善其方向性。
l F 时： 将高斯光束聚焦于L1透镜后焦面上得一极
小光斑
0
F1 (l )
{ik z
x2
2
y2
(1 R(z)
i k 2(
z
)
)
i
(z)
11
i
q(z) R(z) 2(z)
q( z )复曲率半径
u00
(
x,
y,
z)
c
0
(z)
exp
i
k(z
x2 y2 2q(z)
)
(z)
均匀球面波：
u( x,
y, z)
u0 R
exp i
k(z
x2 y2 2R
A
B R
1
1
2
2
2
B2
1
R 2
A
B R1
B
A
R 1
C
2
2 1
2
B2
D R
1
2 1
2
BD
入射光束的光腰处：
R 1
C 2
A2
(
0
2
)2
2 0
B2
(1
lC F
)2
(
0
2llC F
)2
(
0
2
)2
RC
A2q 2 0
ACq 2 0
B2 BD
等相位面为球面； 曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
幅度非均匀的变曲率中心的球面波。
4.1.3 高斯光束的特征参数
(z) 0
z 2
1
f
R(z)
z
1
f z
2
0
f
f
2 0
（共焦参量）
1. 腰斑 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
(z)
0，z
x2
y2 )]
R
2R
3. 高斯光束 激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波，
而是一种比较特殊的高斯球面波。
E( x,
y, z)
A0 exp[
(z)
(x2
2
(z
y2 )
)
]
e
xp
ik[
x2 y2 2R(z)
z]
i
(z)
振幅因子
相位因子
0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径
2. 波面曲率半径
光波面
(z) F
0
0
F
R(z)
z
z
1
f z
2
z
1
(
02 z
)2
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ (束腰处等相面为平面）
z
2 0
| z | 02
| z | 02
Z=± ∞
|
R( z )
|
2
2 0
（极小值）
|
R(z) |逐渐减小，曲率中心在
(,
02
（1）自由空间传 输
R(z2 ) R(z1 ) z2 z1
A B 1 L
TL
C
D
0
1
R2
AR1 CR1
B D
（遵循ABCD变换法则）
（2）经过薄透镜的变换规律
R1 (z) R2 (z)
O1
O2
F
（遵循ABCD变换法则）
1 11
R2 R1 F
A
TF
C
B D
1 1
F
0
1
设高斯光束从腔内某一位置（参考面）出发的q参数为 ，
往返qm一次变为 ，则 qm
qm
Aqm Cqm
B D
利用qm
qm