最佳线性滤波器PPT讲稿
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e(n) sˆ(n)
而sˆ(n)= h(i)x(n i)，故
i
e(n) x(n i) i， 或 E[e(n)x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述 Wiener-Hopf方程及其求解 Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
x
(n)]
T
E[ x(n) x
(n)]1
x(n)
sˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)， x(N 1)}上的正交投影。
例：设信号s(n)的自相关序列为：Rs (m) 0.8|m|, m 0, 1,
观测信号为：x(n) s(n) v(n) ，试中v(n)是方差为0.45的零 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
1)s(n)
2)s(n)
Rs (0)
Rs
(1)
Rs (2)
Rs (m) 0.8|m|
Rs (0) 1, Rs (1) Rs (1) 0.8, Rs (2) Rs (2) 0.64
输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵：
T
R E x(n)x (n)
Rx (0)
Rx (1)
Rx (2)
Rx (N 1)
Rx (1) Rx (0) Rx (1)
Rx (N 2)
Rx (2) Rx (1) Rx (0)
Rx (N 3)
Toeplitz 对称阵
Rx (N 1) Rx (N 2)
由正交方程 Wiener Hopf 方程：
E[e(n)x(n m)] 0 m
E[(s(n) h(i)x(n i))x(n m)]
i
E[s(n)x(n m)] h(i)E[x(n i)x(n m)]
i
Rsx (m) h(i)Rx (m i) 0
i
Rxs (m) h(i)Rx (m i) 0 m ——Wiener Hopf 方程 i Rxs (m)—输入x(n)与信号s(n)的互相关函数； Rx (m)—输入x(n)的自相关函数。
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
最佳线性滤波器的主要应用场景：
10. 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR；
最佳线性滤波器课件
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机 矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随 机变量或随机矢量作出估计。
——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”； ——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) sˆ(n)恢复s(n)。
解： x(n) [x(n) x(n 1) x(n 2)]T
T来自百度文库
R E[x(n)x (n)]
h [h(0) h(1) h(2)]T
s(n) v(n)
E
ss((nn21))
v(n v(n
1)
2)
s(n)
v(n)
s(n 1) v(n 1) s(n 2) v(n 2
Rs (0)
…+
e(n)
+
- y(n) sˆ(n)
+
s(n)
有限单位脉冲响应序列：h＝h(0), h(1), , h(N 1)T
输入时间序列（与h(n)等长）：x(n) x(n), x(n 1), , x(n N 1)T
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）：
P E x(n)s(n) Rxs (0), Rxs (1), , Rxs (N 1)T
(n) E[e2(n)] E[(s(n) sˆ(n))2] Min
LTI 滤波器的类型：
FIR：h(n), n [0, N -1]; 因果IIR：h(n), n [0, ）; 非因果IIR：h(n), n (-, )。
由信号正交性理解最优设计准则：
s(n)=sˆ(n)+e(n（) 正交分解定理）
Rs (1)
Rs (2)
Rs (1) Rs (0) Rs (1)
Rs (2) Rs (1)
2 v
0
0
2 v
0
0
Rss (0) 0
0
2 v
P E[x(n)s(n)]
E
s(n) ss((nn21))
v(n)
v(n
1)
v(n 2)
s(n)
E
s(n)s(n)
s(n s(n
+
输入序列：x(n)
s(n)
v(n)——
s(n)为源信号，是获取的对象；
v(n)
~
N
(0,
2 v
)为加性噪声。
输出序列：y(n) sˆ(n) h(n) x(n)
x(n) h(n) h(i)x(n i) i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H (z)。
设计准则：最小均方误差准则，即
Rx
(
N
3)
Rx (0) NN
Wiener Hopf 方程的矩阵形式：
T
T
P h R
或
P RT h Rh
滤波器单位脉冲响应的最优解：
hopt R-1 P
滤波器输出：
y(n)
sˆ(n)
T
hopt
x(n)
T
P
(R-1)T
x(n)
T
E[s(n)x
(n)]
R -1
x(n)
E[s(n)
T
Wiener Hopf 方程的求解：
求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数Hopt (z)
hopt (n)
Z Z 1
Hopt (z)
10. FIR型Wiener滤波器
x(n)
x(n 1)
z 1
z 1
x(…n N 2) z1 x(n N 1)
h0
h1
+
… hN 2
hN 1
20. 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR；
30. 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
最佳线性滤波器结构
x(n)
LTI(h(n))
d(n) s(n)
y(n) sˆ(n)
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n)
而sˆ(n)= h(i)x(n i)，故
i
e(n) x(n i) i， 或 E[e(n)x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述 Wiener-Hopf方程及其求解 Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
x
(n)]
T
E[ x(n) x
(n)]1
x(n)
sˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)， x(N 1)}上的正交投影。
例：设信号s(n)的自相关序列为：Rs (m) 0.8|m|, m 0, 1,
观测信号为：x(n) s(n) v(n) ，试中v(n)是方差为0.45的零 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
1)s(n)
2)s(n)
Rs (0)
Rs
(1)
Rs (2)
Rs (m) 0.8|m|
Rs (0) 1, Rs (1) Rs (1) 0.8, Rs (2) Rs (2) 0.64
输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵：
T
R E x(n)x (n)
Rx (0)
Rx (1)
Rx (2)
Rx (N 1)
Rx (1) Rx (0) Rx (1)
Rx (N 2)
Rx (2) Rx (1) Rx (0)
Rx (N 3)
Toeplitz 对称阵
Rx (N 1) Rx (N 2)
由正交方程 Wiener Hopf 方程：
E[e(n)x(n m)] 0 m
E[(s(n) h(i)x(n i))x(n m)]
i
E[s(n)x(n m)] h(i)E[x(n i)x(n m)]
i
Rsx (m) h(i)Rx (m i) 0
i
Rxs (m) h(i)Rx (m i) 0 m ——Wiener Hopf 方程 i Rxs (m)—输入x(n)与信号s(n)的互相关函数； Rx (m)—输入x(n)的自相关函数。
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
最佳线性滤波器的主要应用场景：
10. 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR；
最佳线性滤波器课件
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机 矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随 机变量或随机矢量作出估计。
——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”； ——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) sˆ(n)恢复s(n)。
解： x(n) [x(n) x(n 1) x(n 2)]T
T来自百度文库
R E[x(n)x (n)]
h [h(0) h(1) h(2)]T
s(n) v(n)
E
ss((nn21))
v(n v(n
1)
2)
s(n)
v(n)
s(n 1) v(n 1) s(n 2) v(n 2
Rs (0)
…+
e(n)
+
- y(n) sˆ(n)
+
s(n)
有限单位脉冲响应序列：h＝h(0), h(1), , h(N 1)T
输入时间序列（与h(n)等长）：x(n) x(n), x(n 1), , x(n N 1)T
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）：
P E x(n)s(n) Rxs (0), Rxs (1), , Rxs (N 1)T
(n) E[e2(n)] E[(s(n) sˆ(n))2] Min
LTI 滤波器的类型：
FIR：h(n), n [0, N -1]; 因果IIR：h(n), n [0, ）; 非因果IIR：h(n), n (-, )。
由信号正交性理解最优设计准则：
s(n)=sˆ(n)+e(n（) 正交分解定理）
Rs (1)
Rs (2)
Rs (1) Rs (0) Rs (1)
Rs (2) Rs (1)
2 v
0
0
2 v
0
0
Rss (0) 0
0
2 v
P E[x(n)s(n)]
E
s(n) ss((nn21))
v(n)
v(n
1)
v(n 2)
s(n)
E
s(n)s(n)
s(n s(n
+
输入序列：x(n)
s(n)
v(n)——
s(n)为源信号，是获取的对象；
v(n)
~
N
(0,
2 v
)为加性噪声。
输出序列：y(n) sˆ(n) h(n) x(n)
x(n) h(n) h(i)x(n i) i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H (z)。
设计准则：最小均方误差准则，即
Rx
(
N
3)
Rx (0) NN
Wiener Hopf 方程的矩阵形式：
T
T
P h R
或
P RT h Rh
滤波器单位脉冲响应的最优解：
hopt R-1 P
滤波器输出：
y(n)
sˆ(n)
T
hopt
x(n)
T
P
(R-1)T
x(n)
T
E[s(n)x
(n)]
R -1
x(n)
E[s(n)
T
Wiener Hopf 方程的求解：
求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数Hopt (z)
hopt (n)
Z Z 1
Hopt (z)
10. FIR型Wiener滤波器
x(n)
x(n 1)
z 1
z 1
x(…n N 2) z1 x(n N 1)
h0
h1
+
… hN 2
hN 1
20. 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR；
30. 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
最佳线性滤波器结构
x(n)
LTI(h(n))
d(n) s(n)
y(n) sˆ(n)
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n)