随机过程与马尔可夫链习题答案
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信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链
1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析：
天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知
已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P
即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率
[][][][]0,0|00|000===⋅==⋅===X Y Z P X Y P X P Z P
[][][]0,1|00|10===⋅==⋅=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===⋅==⋅=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===⋅==⋅=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有
[][][][]0,0|0000===⋅=⋅===X Y Z P Y P X P Z P
[][][]0,1|010===⋅=⋅=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===⋅=⋅=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===⋅=⋅=+X Y Z P Y P X P
[]5.02.03.00⨯⨯==Z P 1.08.03.0⨯⨯+9.02.07.0⨯⨯+1.08.07.0⨯⨯+ =?
注意：全概率公式的应用
2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示，
且()Y X Y X g Z +==2
11,，()Y X Y X g Z /,22==，求：
1）1Z 的分布律与数学期望
2）2Z 的分布律与数学期望 3）1Z 大于10的概率
4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。 分析： 1）
[]()()()()()22
22
22112212221111212
12
1
11,p y x p y x p y x p y x p y x g Z E j i ij j i ⋅++⋅++⋅++⋅+==∑∑==()()()()4.0621.0523.0612.0512222⨯++⨯++⨯++⨯+=?=
2）
[]()()()()()22
22211212211111212
1
22////,p y x p y x p y x p y x p y x g Z E j i ij j i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑∑==()()()()4.06/21.05/23.06/12.05/1⨯+⨯+⨯+⨯=?=
说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系 3）
[]0101=>Z P
4）()[]()∑==i
i i p x g Y E then
X g Y if 11
()[]()∑∑==i
j
ij j i p y x g Z E than
Y X g Z if ,,22
()[]()∑∑∑==k
i
j
ijk k j i p z y x g A E than
Z Y X g A if
,,,,33
and so on.
3、已知随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥<>=-a
x b a
x or b x x f a
b X 1
0)(，其中
10,3==b a ，()2X X g Y ==为X 的函数，求：
1）随机变量X 小于或等于5的概率 2）随机变量Y 的概率密度函数 3）随机变量Y 大于10的概率 4）随机变量Y 的数学期望 分析
1）[]()7
25
37
15
5===
≤⎰
⎰
∞
-dx dx x f X P X 2）假设用()()()y F y f x F Y Y X ,,分别表示随机变量X 的分布函数、随机变量Y 的概率密度函数和分布函数，则有：
()[][]
y X P y Y P y F Y ≤=≤=2 [
]
⎩⎨
⎧
≥≤
≤-<=0
00y y
X y P y
()⎪⎩⎪
⎨
⎧≥<=⎰-
00
y dx
x f y y y
X
()()
⎩⎨⎧≥--<=0
00
y y F y F y X
X
有
()()()()[]
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
≥--<==0
y dy
y F y F d y dy y dF y f X
X
Y Y
()()
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥⋅-+⋅
<=0
02121y y f y f y y
X y X
3）[][][]
()⎰
--=≤≤--=≤-=>10
10
11010110110dx x f X P Y P Y P X
7
3
101110
3
7
1--
=-
=⎰
dx 4）[][]()?10
37
1222
====⎰⎰
∞
∞
-dx x dx x f x X E Y E X
4、已知随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为
⎩⎨⎧≥≥≥≥=others y and x y x f XY 0
0231),(41，()Y X Y X g Z 2,2
+==。
1）求随机变量Z 的数学期望 2）求随机变量Z 的概率密度函数
3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。 分析： 1）