几何画板二次函数案例
几何画板二次函数案例
几何画板二次函数案例二次函数在几何画板中的应用非常广泛，下面我将为你提供一个案例，详细解释如何使用二次函数来构建一个几何图形。
案例：构建一个抛物线喷泉喷泉是一种常见的城市景观和装置，它通过一个喷水装置将水以特定的形式喷射出来，形成美丽的水柱。
在这个案例中，我们将使用二次函数来模拟喷泉的形状。
首先，让我们定义一个二次函数来描述喷泉的形状。
假设水柱的高度(h)是和喷射距离(x)相关的，我们可以使用以下二次函数来描述这种关系：h(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是需要确定的常数。
喷泉的形状通常是一个开口朝下的抛物线，所以a的值应该小于0。
接下来，我们将确定a、b和c的值。
为了简化问题，我们假设喷泉的最高高度是10米，并且喷射的最远距离是20米。
我们可以选择两个点来确定这个二次函数的值。
假设我们选择喷泉的两个关键点分别是(0,0)和(20,10)。
将这两个点带入二次函数的方程，我们可以得到以下两个方程：0=a*0^2+b*0+c=>c=010=a*20^2+b*20+0=>400a+20b=10通过解这个方程组，我们可以得到a和b的值。
解方程组可以得到a=-0.0125和b=0.25、所以二次函数的方程为：h(x)=-0.0125x^2+0.25x现在，我们可以使用这个二次函数来绘制喷泉的形状。
通过在几何画板上画出一系列点，然后使用平滑曲线连接这些点，我们可以得到整个喷泉的形状。
首先，我们选择几个x的值，例如x=0,2,4,...,20。
然后，我们使用二次函数计算对应的h(x)的值。
最后，在几何画板上画出这些点，并使用平滑曲线连接它们。
通过加入适当的颜色和细节，我们可以使这个几何图形更加真实和立体感。
我们还可以添加其他元素，如水柱顶部的喷雾效果。
通过调整二次函数的参数，我们可以自由地改变喷泉的形状和高度。
这使得几何画板成为优秀的工具，用于设计和模拟各种喷泉的形状，并选择出最佳的设计。
探索二次函数性质(几何画板动态)
几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。
具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。
完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。
也可以再绘制y=x2图形作为参考。
用几何画板研究二次函数性质
用几何画板研究二次函数性质迄今为止，绝大部分教师都是利用几何画板来探讨二次函数开口方向、开口大小、对称轴等. 本文是利用几何画板从二次函数的重要点之间形成的关系来展开研究和探讨.二次函数中的重要点主要指与x轴的交点、与y轴的交点、顶点. 为方便起见，下面研究二次函数y=ax2+bx与x轴的交点、顶点之间形成的关系. 对y=ax2+bx+c假设（1）c=0；（2）与x轴的交点为A，B；（3）顶点为C；（4）b≠0.一、用几何画板探求问题蕴涵的规律性1. 确定系数a和ba和b是二次函数y=ax2+bx的系数，它们的值是可以任意变化. 在坐标轴x 轴上任取一点t，过t点作x轴的垂线l，在垂线l上任取一点B’，度量B’的纵坐标，并更改结果的标签为b. 这样就确定了系数b. 然后，度量点t的横坐标，并与任一个大于零的数作为纵坐标，在垂线l上画点m，过点t和m作射线r，最后在射线r上任取一点A’并度量A’的纵坐标，并更改结果的标签为a，这样就确定了系数a（在这里只讨论a>0的情况）.确定了系数a和b之后，然后为动点a和动点b建立动画，并分别改标签为“动点a”和“动点b”. 如图1所示.2. 计算并画点首先，根据系数a和b绘制函数y=ax2+bx的图象. 如图2所示.其次，根据系数a和b计算与x轴交点A，B及抛物线顶点C的坐标.然后，绘制点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），并连结AC和BC，度量∠ACB的度数.3. 度量角的度数以上操作完成之后，度量∠BCA的度数. 下面用几何画板来探求这个角度与系数a和b的关系. 提出以下问题：（1）当b取某个值时，使a发生变化时，∠BCA的度数如何变化？（2）当a取某个值时，使b发生变化时，∠BCA的度数又如何变化？对于第一种情况，单击“动点a”按钮，可以看到不管a是不断减小还是a是不断增大，∠BCA的度数未发现任何变化. 如图3和4所示.对于第二种情况，单击“动点b”按钮，可以发现当b的绝对值越来越大时，∠BCA的度数越来越小，反之，当b的绝对值越来越小时，∠BCA的度数越来越大. 如图5和6所示.因此，函数与x轴的两个交点和顶点构成的∠BCA的度数与系数a和b的关系借助几何画板，可以得出以下结论：结论1系数b固定，无论系数a怎么变化，∠ACB的度数不变.结论2系数a固定，则∠ACB的度数随着b的绝对值的增大而减小；∠ACB 的度数随着b的绝对值的减小而增大.二、代数方法验证结论通过讨论，得出了∠ACB与系数a，b的变化. 其实，以上结论也可以用代数方法进行验证.由此可见，∠ACB只与系数b有关，而与系数a无关. 因此，只要确定了b 值，不管a如何变化，∠ACB永远保持不变.对于a<0，结论同样成立.针对以上结论，教师在教学过程中或者让学生进行数学实验时，就可以设计一些思考题，开阔学生思考问题的空间，全方位认识二次函数y=ax2+bx蕴涵的有趣的规律.三、拓展与延伸1. 根据结论确定b值借助以上结论，可以展开进一步的思考，b取何值时，∠ACB是直角或等于60°？可以做以下实验：（1）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化，当∠ACB=90°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于2或-2. 如图7和8所示.（2）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化？当∠ACB=60°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于3.4或-3.4. 如图9和10所示.根据以上实验，可以得出以下结论：结论3函数y=ax2+bx中的b=2或-2时，△ACB为等腰直角三角形.结论4函数y=ax2+bx中的b=3.4或-3.4时，△ACB为等边三角形.2. 坐标平移对角的影响坐标平移包括横坐标上（下）平移和纵坐标左（右）平移. 由此，可进一步思考如下问题：坐标平移对以上结论将造成什么影响？利用几何画板，可以继续做以下实验：（1）纵坐标左（右）平移：设将y轴向左（右）平移h个单位，∠ACB如何变化？（2）横坐标上（下）平移：设将x轴向上（下）平移h个单位，∠ACB如何变化？对于第（1）种情况，当y轴向左（右）平移了h个单位后，函数图象与x 轴的交点未发生变化，顶点也不变，因此，∠ACB的度数也不改变. 但是，函数的表达式由y=ax2+bx变成了y=a（x±h）2+b（x±h），该表达式可变形如下：y=ax2+（b±2ah）x+ah2±bh，令a’=a，b’=b±2ah，c’=ah2±bh，则该表达式为y=a’x2+b’x+c’ ，根据上述结论，可以得出：结论5 当二次函数y=a’x2+b’x+c’中的系数满足a’=a，b’=b±2ah和c’=ah2±bh 关系时，以上结论同样成立.对于第（2）种情况，当x轴向上（下）平移h个单位，函数图象与x轴的交点位置则发生了变化，∠ACB也跟随变化. 根据图象可以看出，可以得出以下结论：结论6 当x轴向上平移h个单位时，∠ACB不断减小.结论7 当x轴向下平移时，当且仅当h<|-|时，∠ACB不断增大，否则图象与x轴无交点.著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验. ”同时，《数学课程标准》中指出：“20世纪以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展. ”因此，利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动，已越来越显示了现代教育技术手段在数学教学中的创造性应用.。
完整版)《几何画板》在初中数学教学中的应用实例
完整版)《几何画板》在初中数学教学中的应用实例几何画板》是一种有效的辅助教学工具，能够帮助初中数学教师实现“数形结合”的教学理念。
它具有很强的实用性，不仅能够减轻教师的工作负担，同时也能够改变教学环境，为问题的有效解决提供便利。
通过利用《几何画板》的大信息量储备，学生可以根据自身的需求进行查阅和研究，从而更好地掌握数学知识。
二、《几何画板》的主要功能几何画板》提供了多种绘图功能，包括画点、画圆、画线等，可以准确制作各种图形。
此外，它还提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，并且具有强大的度量和计算功能，能够动态演示数据变化，制表等。
此外，它还提供了图表功能，可以建立直角坐标系、极坐标系，方便作出直线、二次曲线，绘制点和函数图象。
总之，《几何画板》是一种非常实用的辅助教学工具，可以帮助学生更好地掌握数学知识。
教师可以将其融入到几何学科的教学中去，使原本抽象的知识形象化、生活化，从而提高数学教学质量。
提供了一般软件所具备的编辑功能，同时能为所绘图形添加颜色。
最新版新增加了常用符号及数学公式编辑功能，并支持插入对象功能，如BMP位图、PowerPoint幻灯片、声音（.wav）、电影（.avt）、Excel表格、Word文档等。
甚至可以通过打“包”直接调用应用程序，进行超级链接（网），并可利用剪贴板将绘制图形转换到其它Windows应用程序中，以达到交换信息的目的。
教学中应用实例：例1：在《轴对称》这一节中，通过操作按钮，使学生更直观地感受轴对称的概念与性质。
如图所示，通过将图形沿着轴对称线进行翻转，可以得到对称的图形。
例2：对于“一次函数y=kx+b（k≠0）的性质”的研究，学生需要清楚y=kx+b（k≠0）在k>0或k0时，它的图象经过第一、三象限；当k<0时，它的图象经过第二、四象限。
在老师的演示下，学生可以自己动手作图与观察比较老师作图，从而更轻松地理解一次函数的图及性质。
例3：验证勾股定理。
用《几何画板》探究函数f(x)=ax2+bx+c的性质2014.12修改2
2
（图 1）
2
（图 2）
2
由上图可得:连续改变 a 的取值，形如函数 y=ax （a>0 或 a<0）的图像是抛物线，其图像呈动态连续变 化状态，并在几何画板的界面上会出现当 a>0（a<0） ，b=c=0 时，得到二次函数 y=ax 的图像（图 1）所示： “千手观音”的形状，很容易发现 a 的大小决定抛物线的开口方向， 性质 1：当 a>0 时,抛物线的开口向上，且 a 越大，开口越小，a 越小，开口越大。 当 a<0 时,抛物线开口向下，a 越大，开口越大，a 越小，开口越小。 综上｜a︱越大，开口越小，｜a︱越小，开口越大。 性质 2：抛物线 y=ax 的对称轴是 y 轴（直线 x=0）.顶点坐标是（0,0）. 性质 3：一般的（图 2） ，当 a>0 b，c 取任意值时,函数图像是抛物线，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；图像有最低点，函数有最小值。 当 a<0，b，c 取任意值时时, 函数图像是抛物线，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小；图像有最高点，函数有最大值。 性质 4：抛物线的对称轴方程是: x＝－
a>0 2 2 2 2
a=0
a<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
b<0
1
c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0
如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像
如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像函数图像时不能被反射的，只是使用自定义变换或者构造轨迹实现你的要求。
假设二次函数是y=x²。
1、绘制函数y=x²。
2、绘制直线y=x。
（不能是函数图像，必须是绘制直线，否则不能成为镜面）。
3、在抛物线上任意绘制一点A，以直线为镜面反射A，得到点B。
4、选定点A和B，“变换”-“创建自定义变换”。
5、选定抛物线，“变换”-执行“新创建自定义变换”。
如何利用几何画板动画显示二次函数y=x2和函数y=1/x图象的对称性以函数y=1/x为例进行讲解。
1、“绘图”-“绘制新函数”，绘制y=1/x；2、作直线y=-x；（不能用绘制图像方法，而是选中原点和点（1，-1）构造直线）3、在直线上任画一个可动点A，选中动点A和直线，做垂线；4、构造直线和y=1/x图像的两个交点B和C；5、度量点A和点B、点A和点C的距离，度量值尽量靠近；6、在直线上拖动点A，可以直观观察到点B和点C到对称轴线的距离始终相等，且直线BC与对称轴线垂直。
如何用几何画板做二次函数图像课件1、可以绘图---绘制新函数---输入函数解析式2、可以建立三个参数,利用三个参数在新建函数（或绘制新函数）建立参数函数解析式,改变参数就可以改变图形.如何用几何画板动态演示二次函数函数图像1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景.你是需要哪种动态平移翻折因点而动每个都不太一样如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
二次函数y=ax^2+b的图像及性质
想一想：y=－2x 、y=－2x +3和y=－2x －
2 2 2
2的图像,它们的开口方向如何？位置关系如何？
教师几何画板演示a<0情况
jkjj ff ff ff ff ff ff ff ff f
函数y=-2x2+3的图象可由y=2x2的图象沿y轴向上平移3个 单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-2x2+3
当x=0时，函数取得最大 值， y最大值＝0，且y没 有最小值，即y≤0
问题1：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x2、
y=2x2+1和y=2x2－1的图像？ 一、填表：
x
... ... ... ... -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 ... ... ... ...
当x<0时，函数值y随 x值的增大而减小； 当x>0时，函数值y随 x值的增大而增大
3.
y=ax2(a>0)
4.
顶点就是原点（0，0），顶 点是图像的最低点，开口向 上，图像向上无限延伸
几何画板在教学中的应用——以二次函数y＝a(x－h)２＋k_教学为例
信息技术２０２２年４月下半月㊀㊀㊀几何画板在教学中的应用以二次函数y＝a(x－h)２＋k教学为例◉武汉市恒大城学校㊀王华峰◉武汉市吴家山第三中学㊀万建光㊀㊀摘要:二次函数的图象与性质是初中阶段的重点与难点,利用几何画板去剖析性质的形成过程,使学生认识到函数就是研究运动变化的重要数学模型,体验知识产生㊁发展㊁形成的过程．在九年级数学的课堂上,几何画板的应用研究应该更加普及,通过数形结合的方式,使二次函数y＝a(x－h)２＋k的教学更加自由与开放,能够让学生的积极性被充分调动起来,并且可以培养学生的沟通与协作能力,逐步培养学生抽象概括能力,激发学生的求知欲,把课堂还原给学生．关键词:二次函数;几何画板;教学设计㊀㊀１ 几何画板 在二次函数y＝a(x－h)２＋k图象与性质教学中的优势㊀㊀(１)学生可以观察到二次函数图象动态化的过程,对教师在各个参量变化时提出的问题,学生可以更为直观地回答．(２)操作性强,效率高．相比于编程软件,教师不需要强大的编程能力作为基础,只要熟悉 几何画板中菜单栏里的各项功能,便可做到画出函数图象．(３) 变到不变 的转化与总结．学生可以从变化的图象当中总结出不变的量,也实现了 动静结合 的教学效果．２ 几何画板具体教学案例分析图１２．１打开几何画板,定义平面直角坐标系如图１,点击菜单栏中的ʌ绘图Gɔ功能中的 定义坐标系(D) ,便会生成带有网格状的平面直角坐标系,为了使学生看起来更加清晰与直观[１]．可以继续选择ʌ绘图Gɔ中 隐藏网格(G) ．图２２．２定义二次函数顶点式中的各项参数a,h,k㊀㊀如图２,选择左侧工具栏的ʌ点工具ɔ,分别在x轴上点击一个点,y轴上点击两个点．再选择左侧工具栏的ʌ文本工具ɔ,点击坐标轴上生成的三个点,此时便会出现相应的字母,为了与二次函数顶点式中各项参数保持一致,故把x轴上的点用字母h代替,y轴上的点用字母a和k表示．点击点h,选择菜单栏中的ʌ度量Mɔ中 横坐标(x) ,点h的横坐标便自动生成．运用类似的方法,可以生成点k与点a的纵坐标．备注:其中,a,k两点可在y轴上任意移动,点h可在x轴上任意移动,点移动的同时 几何画板 会自动计算数据,这就为本节课让学生互相学习从而总结出二次函数的顶点坐标与对称轴奠定了基础．２．３绘制二次函数y＝a(x－h)２＋k的各项参数如图３,和点h一样,在x轴上定义二次函数的自变量x,选中a,h,k三个参量和自变量 x ,选择菜单图３栏ʌ数据Nɔ中的ʌ新建函数Nɔ,会弹出新建函数窗口,点击新建函数窗口的 方程 模块,选择 符号y＝ ,再选择数值 ,在 新建函数窗口 输入a(x－h)２＋k,几何画板便会自动生成二次函数y＝a(x－h)２＋k．并且可在坐标轴上移动参数a,h,k和自变量x,函数值y都可计算出来．图４２．４绘制动点(x,y)和二次函数y＝a(x－h)２＋k的图象㊀㊀如图４,选择各项参数中的x＝２．９９,y＝８．７０,并选择菜单栏中ʌ绘图Gɔ的 绘制点(x,y) 功能,便在已构建的４９Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀信息技术㊀㊀㊀㊀平面直角坐标系中生成一个点,命名为点P ．在坐标系中同时选中 点P 和 自变量x 之后,在菜单栏中的ʌ构造C ɔ模块中选择 轨迹U 功能,二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的图象便绘制成功．备注与反思预设:教学设计演示,此时二次函数的图象虽然初步绘制完成,但是学生对于解析式中的各项参数意义理解必然不够深刻,甚至于不理解a ,h ,k 各参数在二次函数中代表的意义．所以模仿在物理实验中也经常用到的 控制变量法 来研究二次函数中各项参数a ,h ,k 的含义．２．５二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的开口方向保证参数h ,k 不变,移动几何画板中参数a 的位置,观察a 的变化会引起图象怎样的改变．教师引导学生直观地发现:①如图５,当a ＞０时,抛物线开口方向向上;如图６,当a ＝０时,图象为一条平行于x 轴的直线;如图７,当a ＜０时,抛物线开口方向向下．图５㊀㊀图６②当a ＞０时,随着a 的减小,抛物线的开口越来越大;如图７,如图８,当a ＜０时,随着a 的减小,抛物线开口越来越小．故发挥学生主体作用,总结出:在二次函数y ＝a (x －h )２＋k 中,a 越大,开口越小．图７图８２．６二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的对称轴如图９~１０,保证参数a ,k 不变,在x 轴上移动参数h ,会给学生呈现出抛物线的开口方向与开口大小程度都没有改变,改变的是图象整体的平移．在图象中选中x 轴和点h ,接着在菜单栏中选择ʌ构造C ɔ的 垂线D ,抛物线上出现一条垂直于x 轴的直线,命名为直线l ,为了使学生看得更加清晰,把直线设置为虚线．图９图１０此时,学生可以轻易看出垂线l 为二次函数图象的对称轴．但作为教师更要用严谨的方式来说明 垂线l 为抛物线的对称轴．我们可以先双击垂线l ,将其作为对称轴,再在图象中选择点P ,菜单中选择ʌ变换T ɔ的 反射F 功能模块,图象中会自动生成一个点P ᶄ,此时,带动学生一起发现点P ᶄ恰好在二次函数的图象上．紧接着在图象中移动自变量x ,发现点P 的对称点P ᶄ依然在二次函数的图象上,这就充分说明二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的对称轴为垂线l ,也就是对称轴为x ＝h ．如图１１~１２．图１１㊀图１２２．７二次函数y ＝a (x －h )２＋k的顶点坐标图１３教师可以设问:通过图象你可以发现这个抛物线的顶点在哪呢相信大部分学生可以回答出是对称轴l 与抛物线的交点．如图１３,与此同时,教师要帮助学生进行验证．选择几何画板左侧工具栏中的ʌ点工具ɔ,将抛物线与对称轴l 的交点设置为点Q ,选中点Q ,再次选择ʌ度量M ɔ里的 坐标T ,便会计算出Q 点坐标Q (１．９６,１．１１)．５９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.信息技术２０２２年４月下半月㊀㊀㊀图１４此时教师可以再次进行设计问题让学生回答:点Q的横坐标,纵坐标和目前的参数a,h,k的值有没有什么数量关系?细心的同学会发现点Q的横坐标与参数h的值相等,都为１．９６,点Q的纵坐标与参数k的值相等,都为１．１１．故引发学生猜想抛物线顶点坐标为(h,k),为验证此结论成立,教师可在图中任意移动参数a,h,k的值包括自变量x的位置,我们发现上述的猜想依然成立．如图１４,这就充分说明二次函数y＝a(x－h)２＋k的顶点坐标就是点(h,k)．２．８二次函数的增减性与最值从如上展示的图象中可以发现:当a＜０时,在对称轴的左边,函数值y随着自变量x的增大而增大;在对称轴右边,函数值y随着自变量x的增大而减小．当a＞０时,在对称轴的左边,函数值y随着自变量x的增大而减小;在对称轴右边,函数值y随着自变量x的增大而增大．当a＜０时,二次函数有最大值,最大值也是顶点的纵坐标,可记为:a＜０时,当x＝h时,y m a x＝k．当a＞０时,二次函数有最小值,最小值也是顶点的纵坐标,可记为:a＞０时,当x＝h时,y m i n＝k．３ 几何画板 在教学中的效果分析３．１数形结合,增加学生参与度新课标提倡:积极培养学生主动构建知识的能力和动手能力[２]．这也是核心素养背景下,数学教育教学的主要方向．同时, ２０＋２５ 的课堂教学模式的得到了充分且有效的体现,能够让更多的学生参与到本节课的教学活动中．通过几何画板中各项参数的变化,学生可尝试总结出二次函数图象变化的特点,最重要的是可以提高学生自主学习的动力．３．２有效运用,提高课堂实效一般性的课堂教学中,教师必然是课前充分备课,使课堂教学按照自己的预设进行,课堂中设计的学生活动多半是以给学生提问并且让学生回答的方式来呈现,教学目标的达成并不是一节课教师所追求的最终目标,可以运用现代化多媒体工具使课堂教学更为丰富,真正做到把课堂还原给学生．在几何画板演示二次函数图象的过程中,让学生自主总结图象的变化规律以及所蕴含的相关知识点,既可以提高学生学习效率,又能够把课堂还原给学生．３．３寻真教学,启发思维学校要求每一位教师按照 寻真课堂 的教学方式来进行教学活动, 导学寻趣,独学寻疑,互学寻路,展学寻法,评学寻悟 ．导学以各类教学资源为载体,教师在课堂上通过创设情境㊁营造氛围㊁情感渲染等手段,激发学生的学习兴趣,充分调动学生进入学习的状态．独学要让学生独立思考㊁独立看书㊁独立练习,教师摸清独学中的困难重点问题．互学注重学习探究活动,目的在于通过教师与学生㊁学生与学生围绕学习中的困难重点问题之间开展互动式对话㊁交流,达到逐渐深入问题本质,探索解决问题路径的目的．展学过程中,教师可根据课堂生成对核心的概念㊁问题的本质以及关键点进行精讲升华,以达到促进学生举一反三的目的．评学的价值在于了解学生的学习效果,让学生体悟学习,消化学习．４教学反思本节课的课程设计重点在于教师引导学生自主发现在变化的过程当中,二次函数y＝a(x－h)２＋k中的图象与性质,此过程中,学生是主体,教师引导并进行阶段性的总结．作为教师,二次函数顶点式中基本的问题,例如,二次函数顶点式开口方向㊁对称轴㊁顶点坐标㊁增减性与函数最值需让学生有最基本的认识,为后续的具体学习奠定基础．在几何画板中变换参数与绘制图象的形成过程,进一步引导学生通过图象的变化发现各参数中变与不变的量,鼓励学生提出自己的猜想．如文献[３]中所阐述,二次函数图象如同盖着红布的新娘,至于新娘的音容笑貌很早就在新郎的梦想中千万次思寻．其本质在于本节课二次函数顶点式y＝a(x－h)２＋k的教学有了之前二次函数y＝a x２的知识储备,学生对二次函数有了一定的逻辑认知,再结合教师在课堂上的动态演示,对于本节课的知识点就会大胆的猜测与验证,并且能够结合几何画板证实自己的猜想,以便得出结论．但使用通过现代化工具之余,教师要充分明白课堂的本质在于学生,学生的互动与落实是目的,教学方法是手段,作为教育者,我们既要充分且合理地运用几何画板,体现现代化工具在初中数学教学中的优势,又要回归课堂,把课堂交还给学生．参考文献:[１]万剑．几何画板在初中二次函数教学中的应用研究[D]．南昌:南昌大学,２０１３．[２]刘清．数学教学的利器:几何画板 以 二次函数 为例[J]．数学教学通讯,２０１９(１１):４７Ｇ４８．[３]张安军,蒋华灵．函数性质的教学要基于整体视角下的设计 以二次函数y＝a x２的图象和性质为例[J]．中学数学,２０１９(２):３．Z ６９Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
《几何画板》在二次函数教学中的应用举例
《几何画板》在二次函数教学中的应用举例
李燕清;张红霞;任莎莎
【期刊名称】《长春理工大学学报》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】几何画板能准确、动态地生成函数图像,生动形象地演示抽象的代数关系,引导学生探索与发现,让学生获得'做数学'的亲身体验。
本文以二次函数的基本形式f(x)=a(x-b)2+c(a≠0)为例,探讨《几何画板》在二次函数教学中的应用,为培养学生的猜想、实验、归纳等合情推理能力做一个新的尝试。
【总页数】2页(P71-72)
【作者】李燕清;张红霞;任莎莎
【作者单位】钦州学院;广西师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O185
【相关文献】
1.几何画板在数学教学中的应用举例 [J], 黄建炽
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几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （a ≠0）中的应用【摘要】几何画板在二次函数y=ax²中的应用，是一个有趣而实用的工具。
通过几何画板，我们可以直观地展示二次函数的图像绘制过程，以及开口方向的改变和顶点的坐标变化。
几何画板还能帮助我们观察二次函数的对称性和轴对称图形，以及与直线的交点。
通过几何画板的应用，学生可以更深入地理解二次函数的特性，提高学习效率和兴趣。
几何画板为学习二次函数y=ax²提供了直观、可视化的工具，让抽象概念变得具体易懂。
通过这种实际操作，学生能够更好地掌握二次函数的相关知识，从而提升数学学习的效果。
【关键词】几何画板、二次函数、y=ax²、图像绘制、开口方向、顶点、对称性、轴对称图形、交点、学习、可视化、理解、学习效率、兴趣。
1. 引言1.1 介绍几何画板的基本概念几何画板是一种用于绘制几何图形和数学函数图像的工具。
它通常由一个平面表面和一支可移动的笔组成，通过在平面表面上移动笔来绘制各种图形。
几何画板可以帮助学生更直观地理解数学概念，尤其是在几何和代数方面的应用中。
在数学中，二次函数y=ax²是一种常见的函数类型，其中a代表非零常数。
这种函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，其特点在于顶点坐标、轴对称性和与直线的交点等。
通过几何画板，我们可以更清晰地呈现二次函数的各种特性，使学生能够直观地感受到数学概念的含义。
几何画板的基本概念包括平面上的坐标系、直线和曲线的绘制方法，以及如何利用这些基本元素来展示数学函数图像。
通过在几何画板上绘制二次函数y=ax²的图像，学生可以更直观地理解函数的性质，比如开口方向、顶点坐标以及与直线的交点。
几何画板为学习二次函数提供了一个直观、可视化的工具，帮助学生更快速地理解和掌握这一数学概念。
1.2 二次函数y=ax²的定义二次函数y=ax² 是一种形式为y=ax² 的二次多项式函数，其中a 不等于0。
几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （a ≠0）中的应用作者：柳银兄来源：《读天下》2019年第19期摘要：研究目的：通过几何画板在二次函数作图中的应用，激发学生兴趣，提高课堂效率。
研究方法和过程：学法突出自主学习、研究发现，通过学生自己动口、动脑、动手、积极思考、主动探索获得知识，学生在讨论、交流、合作、探究活动中总结方法和规律，在活动中体会数形结合的方法扩展知识的过程，根据《课标》要求，“对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要”。
研究结果：利用几何画板能快速、准确做出函数图像，激发学生求知欲望，体现老师主导，学生主体的课标要求，引导学生探究未知知识的欲望，大大提高了课堂实效。
关键词：几何画板;二次函数;参数a的大小;抛物线开口大小学情分析：二次函数涉及的知识点多，联系的范广，试题难度大历来都以压轴题的形式出现，因此学生学习畏难情绪重，教师方面要注意在新课学习中布置一些基础性的试题，保护好学生学习的信心，再由浅入深、循序渐进地提高学生的解题能力;另一方面多鼓励学生，多做积极的评价，认真分析出错的原因，及时消除学生的困惑.教学的重点是利用描点法画出二次函数的图象，根据图像的动态变化总结参数a的大小对抛物線开口大小的影响。
建构数形结合的数学思维体系，教学难点是运用数形结合的思学分析、描述函数，据解析式判断函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
基于以上对教材的认识，根据数学课程标准，考虑到学生已有的知识结构与心理特征，在教学中应该解决二次函数y=ax2（a≠0）的图像是抛物线，不是直线，让学生尝试连接感悟平滑的曲线，感悟|a|的大小决定了抛物线的开口大小。
教学困惑：二次函数y=ax2中，|a|的大小决定了抛物线的开口大小，但是传统教学中手工作图费时、费力，而且效果不好。
图像不具备动态效果，图像性质达不到一目了然的效果，因而大部分学生形成“谈函数色变”的现状，甚至开始恐惧函数的学习，为此思考改进传统教学，激发学生学习兴趣，引进几何画板，起到激发兴趣、活跃课堂、达到高效课堂的目的。
初中二次函数教学中几何画板的应用研究
初中二次函数教学中几何画板的应用研究在初中数学教学中，二次函数是一个非常重要的内容，它是一种常见的代数函数，也是一种常见的几何图形，因此，在二次函数的教学过程中，可以通过几何画板来进行应用研究。
一、二次函数的图像几何画板是一种辅助教学的工具，它可以帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律，特别是对于二次函数的图像绘制来说，几何画板具有非常大的优势。
通过画板，可以直观地观察二次函数 y=ax^2+bx+c 的图像，并探讨其与 a、b、c 之间的关系。
例如，当 a>0 时，二次函数的图像将开口向上，当 a<0 时，图像将开口向下；当 b>0 时，图像将向左平移，当 b<0 时，图像将向右平移等等。
通过几何画板，学生可以自己调整 a、b、c 的值，观察图像的变化，并总结二次函数图像与参数 a、b、c 之间的规律。
二、二次函数的根与零点二次函数的根或者零点是指满足函数值为0的自变量值，即对于二次函数 y=ax^2+bx+c 来说，根或者零点就是方程 ax^2+bx+c=0 的解。
在初中阶段，学生已经学过二次方程的解法，但是通过几何画板，可以让学生直观地看到二次函数的图像与方程的解之间的关系。
通过画板，可以绘制二次函数的图像，并使用标记工具找到对应的根或者零点。
通过多次绘制不同函数的图像，并找到它们的根，学生可以发现零点与图像的交点恰好是方程的解，这种直观的方法可以加深学生对二次函数根的理解。
三、二次函数的最值在初中数学中，学生已经学过求解二次函数的最值的方法，但是通过几何画板，可以让学生更加直观地看到二次函数的最值与图像之间的关系。
通过画板，可以绘制二次函数的图像，并使用标记工具找到图像的最高点或者最低点。
通过比较不同二次函数的最值，学生可以发现，最值与a的值有关，当a>0时，最值为最小值，当a<0时，最值为最大值。
通过这种直观的方式，可以帮助学生更好地理解二次函数的最值的概念。
二次函数几何画板课件
复习导入
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
平移前解析式
Hale Waihona Puke 平移后解析式简记向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
探究新知
画出二次函数 =
,
=
(−) ,
=
(−) +3的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x
0
2
3
4
=
0
2
8
x
1
2
3
4
5
(−)
0
2
8
x
1
2
3
4
5
= (−) +3
3
5
11
=
1
探究新知
描点和连线：画出图
象在对称轴右边的部
分．利用对称性，画
第一章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质4
复习导入
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
几何画板作二次函数的图像
如何用几何画板作二次函数图像几何画板作为数学方面的得力工具，首先体现在各种函数图的制作上，下面我们以二次函数图为例，讲一讲几何画板的使用。
具体步骤：1.新建一个绘图，选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。
2.选择工具栏里的“画点”工具，鼠标指针变成十字形，在坐标轴的横轴上点击一下，画出一个点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。
确保C点处于被选中状态，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。
3.选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。
如果用鼠标拖动点C 的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。
4.下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。
再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。
经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了，下面我们再来构造二次函数的系数a、b、c。
系数a、b、c的构造过程是完全一样的，故我们只详细介绍系数a的构造过程。
5.选择工具栏里的“画点”工具，在坐标轴的横轴上画一个点，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“D”）。
然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击坐标轴的横轴，使D点和坐标轴的横轴同时处于选中状态（如果要选择多个对象，要先按住Shift 键，再用鼠标进行选择。
几何画板在初三专题复习课中的应用——以“二次函数图象”为例
2021 年第1 期中学数学月刊・ 51 ・几何画板在初三专题复习课中的应用——以“二次函数图象”为例**本文为江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“条理与想象:几何画板提升数学思维能力的实践研究”（编号:Ba/ 2020/02/38）及苏州市教育科学“十三五”规划2019年度立项课题“妙用几何画板,提升学生思维品质途径研究”（编号：192011372）的 研究成果.冯伟（江苏省苏州市景范中学校215000）张 骅（江苏省苏州市第一初级中学校215000）《义务教育数学课程标准（011年版）》指 出：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响.数学课程的 设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术,要注意信息技术与课程内容的整合,注重实 效•要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源—巴现 代信息技术作为学习数学和解决问题的有力工具9有效地改进教与学的方式9使学生乐意并有可 能投入到现实的、探索性的数学活动中去• ”1如 何在数学教学中应用信息技术？经过多年的探索和实践，我们认为几何画板是一个很好的平台.本文以一节关于含参二次函数的区级公开课为例,谈谈在教学中如何通过合理运用几何画板 提升学生的数学思维能力1教学片断题目 已知二次函数—=mX 2 — 6x +8） ）m 为大于0的常数）.师:请同学们仔细研究二次函数的解析式,思 考这个函数的图象有什么特点生1我发现二次项系数大于0,所以抛物线的开口向上.师:很好，还能发现什么？生2：我把括号里面的式子进行因式分解，得到—=mX — 2） （x —4）,当—=0 时x =2 或4,所以这条抛物线与x 轴的交点为（2,） , （4,）.生3：根据这条抛物线与x 轴的交点为（2,0）,4,）,我们可以知道抛物线的对称轴是直线x = 3.师:大家回答得非常好，现在我们借助于几何 画板把这条抛物线画出来操作作直线犾卄—轴，点M 为直线2上且 在x 轴上方的任意一点,度量点M 的纵坐标m ,利 用m 的值作出函数—=mX 2—6x +8）的图象，交x 轴于点A 、点B ,交—轴于点C ,拖动点M 的时候,函数图象也随之变化，可以发现，抛物线在运动的过程中经过定点A , B （图1）图1 图2问题1以AC 为对称轴,将原点O 反射得到点。
利用几何画板研究二次函数图像
利用几何画板研究二次函数图像二次函数在初中数学中是比较难学的内容，而在中考中所占比例比较大，要解决二次函数问题，首先要解决二次函数的图像问题，用几何画板研究二次函数图像，加强了直观性、生动、形象，效果良好，能够引起学生的兴趣，教学事半功倍。
一、利用参数建立二次函数，画出二次函数的图像演示图像的开口大小与二次项系数的关系做法：建立参数a，b,c,然后用几何画板画出函数y=ax2+bx+c图像，改变a的取值观察得知；当a的绝对值变大时（选中a按数字键盘中的“+”号），图像的开口变小，当a的二、利用已经建立的参数二次函数函数的图像演示二次函数的图像形状与二次项系数a有关，而b,c的值影响图像的位置具体做法：选定a的取值，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，可以看到图像的形状变化，当选定b或c，或同时选中b,c,按数字键盘中的“+”或“-”号，变换b,c的取值,发现图像的形状没有发生变化，只是位置移动了，并且只变化c时，图像只做上下平移。
操作如图:三、用几何画板验证函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像的关系做法：建立参数a，h，k，用几何画板在同一坐标系内画出函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像,然后选中a，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，发现四只图像的形状都在变，但是仍然保持相同；再取消选a，选中h，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换h的取值，发现图像的形状都不变，h的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k接近抛物线y=ax2+k；抛物线y=a(x-h)2接近抛物线y=ax 2；若只选中k，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换k的取值,图像的形状也不变，k的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k 接近抛物线y=a(x-h)2，抛物线y=ax2+k接近抛物线y=ax2，当h、k 的值同时取0时，四条抛物线归一，都重合于抛物线y=ax2处，这说明四者之间可以相互平移得到。
利用几何画板探究二次函数问题
2013-02课堂内外在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.所以，在研究二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，可以用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察—比较、猜想、探索—抽象和概括”，和学生共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多.利用几何画板分析二次函数图象、性质等，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.一、引入情景，体验操作通过利用几何画板先让学生动手体验操作过程，以激发学生做数学的兴趣.例1.利用几何画板探究y=ax2（a≠0）的图象、性质与系数a的关系.学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，在多媒体教室进行教学.首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A为x轴上的动点，y=ax2（a≠0）中系数a的值等于点A 的横坐标.探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了y= ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了y=ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.归纳发现：系数a的作用是：a>0时，抛物线开口向下；a<0时，抛物线开口向上.a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.在学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，使用图1这个几何画板，目的是让学生探究和体会a值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化.例2.利用几何画板探究y=ax2+c（a≠0）的图象、性质以及上、下平移.首先，在学生会画y=x2+1、y=x2-2的图象，为了上课的顺便进行，将事先做好的几何画板文件（如图2、图3）分发给学生，图中点C为y轴上的动点，y=x2+c中c的值等于点C的纵坐标.探究序列：（1）如图2，用鼠标上下移动点C，体会c的值变化时函数y= x2+c图象的变化，与函数y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=ax2+ c（a≠0）的图象和性质吗？（2）c的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗？图2、图3主要是让学生体会上下移动点C时，函数y=x2+c、y=-x2+c图象的变化以及与y=x2、y=-x2的关系，解决上下平移问题.例3.利用几何画板探究y=a（x-h）2+c（a≠0）的图象、性质以及左、右平移.将事先做好的“几何画板”文件（如图4）分发给学生，图中点H为x轴上的动点，y=a（x-h）2+c（a≠0）中h的值等于点H的横坐标.2探究序列：（1）用鼠标左右移动H点，看函数y=（x-h）2图象的变化，与y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=a（x-h）2（a≠0）的图象和性质吗？（2）h的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗？发现：h值在变化，图象在左右平移，h值增大，图象____移（填“左”或“右”）；h值减小，图象____移（填“左”或“右”）.图4主要是让学生体会左右移动点H时函数y=（x-h）2图象的变化以及与y=x2的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性.二、自主探究，其乐无穷信息技术，“时”半功倍。
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说明： 本案例是苏科版九年级（下）数学第6章二次函数如何运用“几何画板”教学的案例，其他版本的教材也可参考使用。
运用“几何画板”教学二次函数的案例江苏省泰兴市黄桥初级中学 马京城函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，在研究二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，我用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察----比较、猜想、探索---抽象和概括”，和学生们共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多。
现按照教学顺序，将我在教学中的案例片段一一展示，供老师们参考。
一、 探究)0(2≠=a ax y 图象、性质与系数a 的关系学生会用描点法画二次函数2x y =的图象后，在多媒体教室进行以下教学。
首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A 为x 轴上的动点，)0(2≠=a ax y 中系数a 的值等于点A 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了)0yax=a(2≠中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了)0axy中(2≠=aa的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（3）归纳发现：系数a的作用是a>0时，抛物线开口向（填上或下）；a<0时，抛物线开口向（填上或下）；a越大，抛物线开口越（填大或小）；a越小，抛物线开口越（填大或小）。
教师将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，图中点P为抛物线上的动点，探究序列：(1) a>0时,拖动点P，当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小（2）a<0时，拖动点P ，当点P 在抛物线上从左到右运动（即点P 的横坐标逐渐增大），观察点P 的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小 （3）归纳：当自变量变化时，函数值如何变化以及函数的最大（或小）值情况。
（4）验证图象的对称性：如图2，标记y 轴为镜面，作出点P 关于y 轴的对称点P ’，有什么发现拖动点P 时，它的对称点P ’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：在学生会用描点法画二次函数)0(2≠=a ax y 的图象后，使用图1这个课件，目的是让学生探究和体会a 值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化. 使用图2这个课件，目的是让学生直观认识函数增减性和验证图象的对称性。
运用规律，解决问题：（1）二次函数(a)23x y -=；(b)232x y =(c) 234x y =的图象的开口大小顺序应为（ ）A ．（a ）＞（b ）＞（c ）B ．（a ）＞（c ）＞（b ）C ．（b ）＞（c ）＞（a ）D ．（b ）＞（a ）＞（c ） （2）下列说法错误的是（ ）A.二次函数22x y -=中，当x=0时，y 有最大值是0；B.二次函数24x y =中，当x>0时，y 随x 的增大而增大； C.在三条抛物线22x y =，25.0x y -=，2x y -=中，22x y =的 图象开口最大，2x y -=的图象开口最小；D.不论a 是正数还是负数，抛物线)0(2≠=a ax y 的顶点一定是坐标原点(3) 已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（3，3y ）都在函数2x y =的图象上，则正确的是（ ） A ．1y <2y <3y B ．1y <3y <2y C ．3y <2y <1y D ．2y <1y <3y设计意图：及时训练，可以巩固所学，加深理解。
二、探究)0(2≠+=a c ax y 图象、性质以及上、下平移在学生会画12+=x y 、22-=x y 的图象后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图3、图4）分发给学生，图中点C 为y 轴上的动点，c x y +=2中c 的值等于点C 的纵坐标。
探究序列：（1）如图3，用鼠标上下移动点C ，体会c 的值变化时函数c x y +=2图象的变化，与函数2x y =的图象有什么关系你能归纳)0(2≠+=a c ax y的图象和性质吗（2）c的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗发现：c值在变化，图像在左右平移。
c值增大，图像____移（填上或下）；c值减小，图像____移（填上或下）。
设计意图：图3、图4主要是让学生体会上下移动点C时函数c=2xy+图象的变化以及与2xy=的关系，解决上下平移问题。
运用规律，解决问题：（1）函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（）A.（2，0）B.（－2，0）C.（0，4）D.（0，－4）（2）抛物线y＝－2x2的开口方向_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______；（3）函数的122+y的图象沿y轴向=x-22--=xy图象可以由函数3____平移 ____个单位而得到。
三、探究)0h=aay图象、性质以及左、右平移x()(2≠-在学生会画)0xahy的图象后，进行以下活动。
)((2≠-=a将事先做好的“几何画板”文件（如图5）分发给学生，图中点H 为x 轴上的动点，)0()(2≠-=a h x a y 中h 的值等于点H 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标左右移动H 点，看函数2)(h x y -=图象的变化，与2x y =的图象有什么关系你能归纳)0()(2≠-=a h x a y 的图象和性质吗 （2）h 的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗发现：h 值在变化，图像在左右平移。
h 值增大，图像____移；（填左或右）h 值减小，图像____移（填左或右）。
（3）验证图象的对称性：如图5，在抛物线上任取一点P ，过顶点H 作x 轴的垂线，标记该垂线为镜面，作出点P 关于该垂线的对称点P ’，有什么发现拖动点P 时，它的对称点P ’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：图5主要是让学生体会左右移动点H 时函数2)(h x y -=图象的变化以及与2x y =的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性。
运用规律，解决问题：（1）函数2)2(--=x y 的开口方向_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______；（2）函数的2)4(2+-=x y 图象可以由函数22x y -=的图象沿x 轴向____平移 ____个单位而得到。
四、探究)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数的关系在学生会画)0(2≠++=a c bx ax y 的图象后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图6）分发给学生，图中点A 、B 、C 分为坐标轴轴上的动点，点A 、B 的横坐标和点C 的纵坐标分别对应)0(2≠++=a c bx ax y 中的系数a 、b 、c 。
拖动点A 、B 、C 就可改变a 、b 、c 三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。
探究序列：（1）拖动点A ，观察函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的变化，体会影响图象开口方向和开口大小的因素是什么归纳a 的作用； （2）用鼠标拖动点B ，观察图象的变化，发现b 的作用是:由对称轴的位置和a 的符号决定，对称轴在y 轴的左侧时，a 和b 符号_____；对称轴在y 轴的右侧时，a 和b 符号______。
（3）用鼠标拖动点C ，观察图象沿怎样的路径运动发现c 的作用是：确定抛物线与y 轴的交点的位置，交与正半轴则c 为_____（填正或负），交与负半轴，则c 为_____（填正或负）。
（4）缺项探究：拖动点A 、B 、C 通过改变a 、b 、c 参数，观察a 、b 、c 中有一个或若干个为0的情况下函数图象形状的改变。
探究后完成下表：a=0,b=0,,c=0,设计意图：图6中改变a 、b 、c 三个参数，从而引起二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的形状改变。
分别体会a 、b 、c 的变化带来图像的变化，归纳a 、b 、c 的作用。
五、探究)0()(2≠+-=a k h x a y 以及图象平移规律可在学生会将一般式)0(2≠++=a c bx ax y 转化为顶点式)0()(2≠+-=a k h x a y 后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图7）分发给学生，图中点A 、H 、K 分为x 轴上的动点，点A 、H 、K 的横坐标分别对应)0()(2≠+-=a k h x a y 中的a 、h 、k 。
拖动点A 、H 、K 就可改变a 、h 、k三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。
探究序列：（1）拖动点K ，观察k 的变化和图象移动情况，你有什么发现（2）拖动点H ，观察h 的变化和图象移动情况，你又有什么发现（3）绘制出顶点（h ，k ），追踪顶点，慢慢拖动点K 、H ，观察顶点的运动路径，有什么发现（4）你认为是什么因素决定了图象的上下移动又是什么因素决定了图象的左右移动你能用简洁的语言归纳出抛物线平移的规律吗设计意图：图7中改变k 、h 两个参数，从而引起二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的形状改变。
分别体会k 、h 的变化带来图像的变化，归纳k 、h 的作用。
运用规律，解决问题：（1）将抛物线y =21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是____；（2）将抛物线y =3422+-x x 向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的抛物线表达式是____；（3）将抛物线y =3422+-x x 向____平移____个单位，再向____平移____个单位后得抛物线y =5622+-x x 。
六、验证)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点情况在学生理解了判断图象与x 轴交点情况就是判断方程)0(02≠=++a c bx ax 有无实数根的前提条件即ac b 42-的符号的前提下进行。
将事先做好的“几何画板”文件（如图8）分发给学生，图中点A 、B 、C 分为坐标轴轴上的动点，点A 、B 的横坐标和点C 的纵坐标分别对应)0(2≠++=a c bx ax y 中的系数a 、b 、c 。
通过拖动点C 上下移动图象，观察代数式ac b 42-的值改变，同时观察图象与x 轴交点情况进行验证。
设计意图：验证ac b 42-的符号和图象与x 轴交点情况之间关系 问题：在平面直角坐标系中，抛物线y =3422+-x x 与x 轴的交点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0七、以抛物线为载体的动点问题问题：（2011年山东威海改编）如图9，抛物线c+=2交x轴y+axbx于点A(-3,0)，点B(1,0),交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；对问题（2）用“几何画板”探究如下：（1）如图10，度量出点K的横坐标和线段HG的长；（2）以点K的横坐标和线段HG的长分别作为点M的横坐标和纵坐标，绘制出点M；（3）追踪点M,用鼠标拖动点K，当点K在线段AB上运动时，点M的轨迹图是抛物线的一部分，发现线段HG的长与点K的横坐标存在二次函数关系，且线段HG的长度的最大值就是二次函数图象的顶点的纵坐标的值；（4）由学生讨论完成线段HG长度的最大值的求法（提醒学生注意自变量取值范围）。