塑性力学-屈服条件(精)
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弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
塑性力学论文
塑性力学中的屈服条件和本构关系摘要：塑性力学是研究材料在塑性变形状态下应力和应变关系的一门基础学科，它以大量的实验为基础，获得不同材料的本构关系，本文通过对材料屈服条件和本构关系的简单描述来增进对塑性力学的了解。
关键词：屈服条件，本构关系Abstract: Plastic mechanics is a basic subject focus on studing the relationship between the stress and the strain while the material is in a plastic state, it is based on a large number of experiments to obtain the constitutive model of different material. In this paper, we try to enhance the understanding of Plastic mechanics through learning the yield condition and the constitutive model of the material.Key word: yield condition、constitutive model.塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，其任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
在物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态，这就是所谓的材料的塑性变形，塑性力学主要研究的是材料在塑性变形时应力和应变的关系。
要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。
弹塑性力学10-6梁模型计算圆板和环板的塑形极限载荷(精)
r
o b
解：
o
z
r
b r a
z
a
m= 2Mp
2rM r 2 r b M p
2 r b r b 2rrq 2bq r b 2bq
b r b r 2b Mr 1 M p q r 6r
2
2
2
3
r
o
解：
o
z
r
r a
a
z
2rM r 2rM p r r 2rq 2 3
m= 2Mp
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
qa2 M p M p M 支圆板：
Mr
r a
0
ql 6
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单 位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
i 1
ai bi
( n 2) 2n 2 n
Pl M P cota i cot b i
i 1
n
正多边形（集中力作用在板中心）： a i b i
( n 2) 2n 2 n
Pl M P 2 tan
i 1
n
n
Pl 2nM P tan
r
o b
解：
o
b c a
z
a
m= 2Mp
z
2 r b M p brc 2rM r 2 r b M p P r c c r a
Mr
r a
0
Pl
2 a b M p ac
弹塑性力学-15 屈服理论
●应力空间
3 P(1, 2 , 3 )
以应力分量为坐标轴—空间坐标系
主应力空间：主应力分量为坐标轴
2 1
●应力路径 一点应力状态的变化：应力点 在应力空间的运动轨迹来描述
应力空间既非几何空间又非物理空间
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
材料屈服与否取决于其所受 的应力状态和材料特性参数
S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
3. 屈服条件的一般形式
由于
f (1, 2 , 3, k) 0
I1 ii x y z 1 2 3 3 m
I2
x y
y z
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
I3
x
y
z
2 xy
yz
zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
15.1 屈服理论分析
怎样建立屈服理论？
●根据屈服现象与机制，提出理论假设； ●基于理论假设建构屈服模型，即给出包含 屈服参数的理论公式； ●根据简单条件下的屈服试验结果，确定其 中的屈服参数； ●通过复杂应力状态下的屈服试验结果，对 理论进行检验。
塑性力学02屈服条件
1. Lode实验 1926年W.Lode在软钢,铜和镍的薄壁筒上做实验, 薄壁筒受轴向力 P 和内压 p 的作用.
Tresca条件有: 1 3 1 S
Mises条件有:
1 3 2
S
32
应力状态为:
1
pr t
13
2
z
pr P
2t 2rt
S
3r 0
P r2p
1 .1 5
实验表明Mises条件较符合.
(2) 应力应变是非线性关系
(3) 应力应变之间不存在单值关系
• 塑性力学考虑的材料的简化的应力应变关系有
s
理想弹
s
塑性体
o
o
s
线性硬 s 化弹塑
o
性体
o
理想刚 塑性体
线性硬 化刚塑 性体
2-2 初始屈服条件和屈服曲面
• 初始屈服条件. 对于单向拉伸时拉伸应力等于材料的屈服应力 时开始屈服, 但是在一般情况下一点的应力状态时六个应力分 量, 我们不能简单地说哪一个分量达到屈服应力,这一点开始屈 服. 但有一点可以肯定, 屈服条件应该和这六个分量有关, 把它
力点仍应满足屈服条件, 因而
o
在三维主应力空间中, 屈服面
是一个等截面柱体, 它的母线
1
与L直线平行(图中深黄色线).
L(123)
2
(2) 现在我们来进一步研究在 平面上的屈服曲线. 首先因为
材料是均匀各向同性的, 则 1,2,3 互换时也会屈服, 所以
这条屈服曲线应对称于直线1,2,3. 另外可以假设拉伸和压缩时 的屈服极限相等(没有Bauschinger效应),因此当应力符号改变 时, 屈服条件仍不变. 这就是说, 这条屈服曲线应关于原点对称.
塑性力学2屈服条件
1 3 1 2 2 z 4 z 2 2
z 2 z 2 ( ) 4( ) 1 s s
• Mises屈服条件为
J2
(
1 1 2 2 2 2 6 ( z 3 2 z z z ) 6 3
z 2 ) 3( z ) 2 1 s s
Mises圆
外切 Tresca六边形
内接 Tresca 六边形
e '
e '
2 4 两种屈服条件的简单算例1 2.4
设一应力状态为σ1=30， σ2=25， σ3=10，材料的强度极限 σs=20. 试用Tresca条件和Mises条件判断材料是否屈服。
* *
对Tresca条件： σ1-σ3=30-10=20，2k= σs =20 即σ1-σ3 = 2k 材料开始屈服 对Mises条件： 条件
2 2 初始屈服条件和初始屈服面1 2.2
2 2 初始屈服条件和初始屈服面2 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面3 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面4 2.2
几何意义
屈服条件 服条件 f ij 0 在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。
称为屈服曲面。 屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。
中性变载 加载准则
2 6 几种硬化法则1-1 2.6 1 1
实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。 1、等向强化（各向同性强化）模型 认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。 等向强化模型的表达式可写成：
f ( ij ) K 0
其中f是初始屈服函数，
其中f 是初始屈服函数，
ˆ ij 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置，它是 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置 它是 h 的函数。 的函数
塑性力学之屈服条件与破坏条件
第三章 屈服条件(yield criteria)
3.1 屈服条件的概念 3.2 描述屈服条件的坐标体系 3.3 屈服条件的研究历史 3.4 常用的几种屈服条件
强度极限
屈服上限
屈服下限 弹性极限
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
残余变形
弹性变形
图3.1 低碳钢的应力应变曲线
◆ 理想弹塑性力学模型
理想弹塑性力
学模型亦称为弹
性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。
tan 1 E
其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性 强化弹塑性 力学模型亦 称为弹塑性 线性强化材 料或双线性 强化模型。 其数学表达 式为：
1 2 2 4 k 2 2 3 2 4 k 2 3 1 2 4 k 2 0 或 3 2 4J2 27 J 32 36k 2 J 2 96k 4 J 2 64k 6 0
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
四种常见强度理论及强度条件
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处 于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值， 就会发生脆性断裂。 1 0 1－构件危险点的最大拉应力 强度条件
3.1 屈服条件的概念 3.2 描述屈服条件的坐标体系 3.3 屈服条件的研究历史 3.4 常用的几种屈服条件
强度极限
屈服上限
屈服下限 弹性极限
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
残余变形
弹性变形
图3.1 低碳钢的应力应变曲线
◆ 理想弹塑性力学模型
理想弹塑性力
学模型亦称为弹
性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。
tan 1 E
其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性 强化弹塑性 力学模型亦 称为弹塑性 线性强化材 料或双线性 强化模型。 其数学表达 式为：
1 2 2 4 k 2 2 3 2 4 k 2 3 1 2 4 k 2 0 或 3 2 4J2 27 J 32 36k 2 J 2 96k 4 J 2 64k 6 0
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
四种常见强度理论及强度条件
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处 于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值， 就会发生脆性断裂。 1 0 1－构件危险点的最大拉应力 强度条件
第五章：屈服准则与塑性应力应变关系
2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。 注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。 因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以 下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条 件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准 则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑 性变形，对于Mises屈服准则：
第三章 屈服准则
• 这一章研究材料的屈服. 我们已经知道,对于单向拉伸情况比 较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线, 应力应 变关系是一目了然. 但对于复杂应力状态, 材料在什么情况下 屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件 就是解决这个问题的.
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
工程塑性力学-屈服准则
Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即
xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：
塑性力学课件 第三章 屈服条件
理想塑性材料：进入塑性阶段以后，在应 力空间中代表应力状态的点均位于屈服曲面 f（σij）= C上。由于没有强化现象，应力状态 变化时，尽管塑性变形还可以不断增长，而屈 服函数的值却不再增长。即不可能有df＞0的情 况出现。代表应力状态的点只能在屈服面上移 动，这时有df = 0，属于加载；当代表应力状态 的点移向屈服面以内时，df＜0，属于卸载。即 df＜0，卸载 （3—34） df = 0，加载 由实验结果得知，加载及中性变载时产生 新的塑性变形，卸载及时不产生新的塑性变形， 其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规 律。
§3.5 Mises屈服条件
Tresca屈服条件完全忽视了居于中间大 小的主应力对材料屈服的影响，这是和实际 有出入的。 Mises用Tresca屈服条件的屈服轨迹正六 边形ABCDEF的外接园作为屈服轨迹。 2 由（3—23）式知圆的半径为 σs，
3
2 2 圆的方程为： R2 = s 3
（3—25）
简单加载定理：对小变形的受力物体，满足 下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简 单加载（充分条件）： （1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体 积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是 零位移边界条件； （2）应力强度和应变强度呈幂关系 i A in ; 1 （3）材料不可压缩，即泊松比μ= 。
S
s
2
二、各主应力不按大小顺序排列时的 Tresca屈服条件 （3—16）可改写为： σmax－σmin =σs （3—19） （3—19）等价于下式中至少有一个式子成立： 1 3 s 0 0 3 s 1 1 2 s 0 （3—20） 1 2 s 0 2 3 s 0 2 3 s 0
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
塑性力学-屈服条件
第二章屈服条件第二节初始屈服条件和初始屈服曲面初始屈服条件的应力表示形式：简单应力状态=−s σσ0=−s ττ单拉纯剪()0ij f σ=与应力状态的各分量有关；一般应力状态),,(321=I I I f 与坐标选取无关：屈服与静水应力无关：),(32=J J f 屈服函数在应力空间表示一个曲面代表材料屈服各种可能的应力状态(4)讨论和评价 屈服条件的常数：s s στ5.0=Tresca:Mises:ss στ577.0=实际工程材料：ss στ)6.0~56.0(= 中间主应力和平均应力Tresca:Mises:2σm σ不包含未考虑未考虑包含使用方便Mises:光滑曲线或曲面，数学上运用方便Tresca:能预先判明主应力的代数值大小时，方程简单结论Tresca和Mises条件主要适用于韧性金属材料，材料性质对静水压力不敏感这两个条件差别不大，使用各有方便之处，在实际工程问题广泛应用后继屈服条件的一般形式后继屈服面是以为参数的一族曲面K 硬化材料：随着塑性变形的发展不断变化。
后继屈服面不仅与应力有关，而且与变形历史有关(),0ij f K σ=K 称为硬化参数，表示塑性变形的大小及历史后继屈服函数、硬化函数确定后继屈服面的形状以及随塑性变形发展的变化规律重要任务，一大难题是后继弹性阶段的界限，是判断材料处于后继弹性还是塑性状态的准则在应力空间中，材料的应力不可能位于屈服面外2. 加、卸载准则材料进入塑性以后，加、卸载适用不同的变形规律单向应力状态，通过应力本身的大小变化复杂应力状态，六个应力分量可独立变化(1)理想塑性材料的加载、卸载准则fσ=无硬化，初始屈服面和后继屈服面重合()0ij9基本概念（定义）：载荷变化过程中加载：应力点保持在屈服面上，产生新的塑性变形卸载：应力点退回屈服面内，不产生新的塑性变形(2)硬化材料的加、卸载准则后继屈服面和初始屈服面不重合, 与塑性变形的大小和历史有关.(),0ij f K σ=9基本概念（定义）：载荷变化过程中加载：应力点过渡到相邻的屈服面上，产生新的塑性变形，硬化参数变化卸载：应力点退回屈服面内，不产生新的塑性变形，硬化参数不变化中性变载：应力点沿着屈服面滑动，不产生新的塑性变形，硬化参数不变化2. 等向硬化模型没有考虑静水应力、Bauschinger 效应后继屈服面形状、中心位置不变，等向相似扩大初始屈服Mises 条件，同心圆；Tresca 条件，同心正六边形0)(=−k K i σ 后继屈服函数形式简单，包含内变量平面图形由函数决定，半径由含内变量的函数确定i σ)(k K πsk K σ=)(初始屈服条件：后继屈服条件：?)(=k K 内变量的演化对于复杂加载（非简单加载）的情况，如何寻找材料硬化条件？内变量－－单位体积的塑性功)(p i W F =σ∫∫==pijij p p d dW W εσ3. 随动硬化模型一个方向硬化，相反方向同等软化 屈服面大小、形状不变，整体平移4. 混合硬化模型随动硬化和等向硬化模型结合 屈服面大小、形状、位置变化。
塑性力学3到5章、屈服条
简单拉伸： s f ( ij ) s 0
纯剪切：
s f ( ij ) s 0
一般应力状态： f ( ij ) f ( x , y , z , xy , yz , xz ) 0
f ( i , i ) f ( 1 , 2 , 3 ,1 , 2 , 3 ) 0
各向同性
应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服。
J2'
1 6
[(
1
2 )2
(
2
3 )2
( 3
1)2 ]
4 3
k22
说明： ①、由等效应力
可得到3用J 2等'效应力表示的Mises条件：
2k2
②、屈服面的形状
J2'
1 6
[(
1
2 )2
(
2
3 )2
( 3
1)2 ]
4 3
k22
r
线性关系 非线性关系
③上式描述的全量应力－应变关系单值对应。
二、全量理论的适应范围、简单加载定理
1、全量理论的适用范围——小变形、简单加载条件下
2、简单加载：在加载过程，材料内任一点的应力状态
ij
的各分量都按同一比例增加，即
ij
0 ij
t
Sij Si0j t
t—单调增大的正参数
说明：①简单加载条件下，各主应力分量之间也是按同一 比例增加，且应力主方向和应变主方向始终不变。
⑥、 平面，Tresca屈服条件与Mises屈服条件的关系：
规定拉伸时一致：
k1
s
2
,Tresca条件下：xs
2 2
(
1
3
)
2k1＝
2 s
【弹塑性力学】5-屈服准则
(3Rt a 1) (3Rt a 1)
• 其中 R t 为单轴抗拉强度,a为系数
2
a 1
mm1
1 Rt
mRc /Rt
R c 为单轴抗压强度
32
双剪应力屈服准则（俞茂鋐,1961）
f
(13,12 )
13
12
1
1 2
( 2
3) kb
0
当12
23或 2
1 2
( 1
3 )时
f
(13, 23)
p 3st/R
对于Tresca屈服条件: 13 =k=2s p = 2st/R
39
（2）管段的两端是封闭的:
应力状态为,z= pR/2t， = pR/t，r=0， zr=r=z=0
1 J2 = +66([(2zrzr2r)2+(2rz)]=)162+23((pR/tz))22
13 = = pR/t
（1）单轴拉伸:屈服时 1 =s,2 =3 =0，代入屈 服条件
J23s2 k2,
ks
3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2s2k2, ks
12
两种屈服条件比较
• 如假定单轴拉伸时
两个屈服面重合,则
Tresca六边形内接于
MisesБайду номын сангаас;
外 切 T resca六 边 形
• （1）圆外接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
• （2）圆内接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
29
Zienkiewicz-Pande条件:
塑性力学课件王仁
在 (1, 2)平面上，（4-13）式给出的屈服轨
迹呈斜六边形，如图。这相当于正六边形柱
面被 ( 3 0) 的平面斜截所得的曲线。
s s
常数k 一般由实验确定：
在单向拉伸时，k s / 2
在纯剪切时， k s
比较这二者可知，采用Treca条件就意味着 s 2 s
3
cos
,
1 2
3
cos
则屈服曲线上任一点S的坐标：
2 O 3/2
1
等斜面
A1
A3
y
S
O
x
π平面
xs
1 2
(1
3 ),
ys
1 6
(2
2
1
3)
当采用极坐标表示时：
屈服条件
r
xs2 ys2
1 2
(
1
3
)2
1 6
(2
2
1 3)2
(1
3)
得： xs 2k const
可见：在 300 300 的范围内，屈服曲线为与y轴平行的直线段。
§4.2 两种常用的屈服条件
屈服条件
一、Tresca屈服条件
由对称性拓展后，得到π平面上的一个正六边形。 2 3 1 2 1 3
如不规定1 2 3（4-11）应写成：
由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与 OP无关。
因此当P点达到屈服时， 线上的任一点也都达到屈服。
屈服曲面是一个柱面，其母线平行于L直线。
换言之，这柱面垂直于 平面。
屈服条件
迹呈斜六边形，如图。这相当于正六边形柱
面被 ( 3 0) 的平面斜截所得的曲线。
s s
常数k 一般由实验确定：
在单向拉伸时，k s / 2
在纯剪切时， k s
比较这二者可知，采用Treca条件就意味着 s 2 s
3
cos
,
1 2
3
cos
则屈服曲线上任一点S的坐标：
2 O 3/2
1
等斜面
A1
A3
y
S
O
x
π平面
xs
1 2
(1
3 ),
ys
1 6
(2
2
1
3)
当采用极坐标表示时：
屈服条件
r
xs2 ys2
1 2
(
1
3
)2
1 6
(2
2
1 3)2
(1
3)
得： xs 2k const
可见：在 300 300 的范围内，屈服曲线为与y轴平行的直线段。
§4.2 两种常用的屈服条件
屈服条件
一、Tresca屈服条件
由对称性拓展后，得到π平面上的一个正六边形。 2 3 1 2 1 3
如不规定1 2 3（4-11）应写成：
由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与 OP无关。
因此当P点达到屈服时， 线上的任一点也都达到屈服。
屈服曲面是一个柱面，其母线平行于L直线。
换言之，这柱面垂直于 平面。
屈服条件
塑性力学第三章-屈服条件
R P σ θ = q ,σ z = ,σ r ≈ 0 h 2πRh
P q
σ1 σ2
P
令
σ 1 = σ θ ,σ 2 = σ z ,σ 3 = σ r = 0
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − π R 2 q = µσ = σ1 − σ 3 πR 2 q
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − πR 2 q = µσ = σ1 −σ3 πR 2 q
_____ p
_____ p
2 p p dε ij dε ij 3
K = ϕ ( ∫ dW p ) , dW p = σ ij dε ijp
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
φ =σ −K = 0
简单拉伸时， 简单拉伸时，
σ = σ s + E pε p
第三章
一维问题的屈服
屈服条件
应力应变状态
三维应力状态的屈服
初始屈服条件 初始屈服曲面 初始屈服曲线
Tresca 屈服条件 Mises屈服条件
实验验证
初始屈服条件
初始弹性状态的界限为初始屈服条件
ɺ φ (σ ij , ε ij , ε ij , t , T ) = 0
影响因数： 应力 影响因数： 1应力、2应变、3应变率、4时间、5温度 应力、 应变 应变、 应变率 应变率、 时间 时间、 温度
1.15 1.10 1.05 1
M
µσ
用下的实验(Taylor,1931) 薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Taylor,1931)
T
T P
τ
P T , τ zθ = σz = 2πRh 2πR 2 h
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理想刚 塑性体
线性硬 化刚塑 性体
s
o
线性硬 化弹塑 性体
s
o
第二节 初始屈服条件和初始屈服曲面
初始屈服条件的应力表示形式：
简单应力状态
单拉
s 0
纯剪 s 0
一般应力状态
f ij 0
与应力状态的各分量有关； 屈服函数在应力空间表示一个曲面 代表材料屈服各种可能的应力状态 与坐标选取无关：
第二章 屈服条件
第一节 简单拉伸时的塑性现象
曲线的基本特征 应变硬化 应变软化 •比例、弹性 L b •非弹性、初始屈服 D s •硬化、软化 C e B 1初始屈服 p A •Hooke定律 s 1 •材料常数 tan E 2应变硬化 O O D 硬化规律 p e 3后继屈服 s •后继弹性 •后继屈服应力 D 反向屈服点 •非材料常数 s s A 4反向加载 Bauschinger效应 s •Bauschinger效应
2 k
k 2 s
3 k
k 3 s
(4)讨论和评价 屈服条件的常数：
Tresca:
Mises:
s 0.5 s
s 0.577 s
实际工程材料： s (0.56 ~ 0.6) s 中间主应力和平均应力
2
Tresca: Mises: 不包含 包含
Tresca条件:
1 3 1 S
Mises条件:
1 3 2 2 S 3
1 3 S
1.15 1.00 1
Mises条件
Tresca条件
0
1
实验表明Mises条件较符合
2. Taylor 、Quinney 实验(1931) 软钢、铜和铝薄壁圆管的拉扭联合实验 拉力 P , 扭矩 T 管壁处于平面应力状态 P T x xy 2 rt 2 r 2t r是管的平均半径， t 管的壁厚
• 塑性变形规律的重要特点 (1) 要有一个判别材料是处于弹性阶段还是塑性阶段的判断 式, 即屈服条件: 初始屈服条件 s 和后继屈服条件 '
s
(2) 应力应变是非线性关系
(3) 应力应变之间不存在单值关系
• 塑性力学中，材料的简化应力应变关系 s s 理想弹 塑性体 o o
Mises条件：(应力强度不变条件) 应力强度达到一定值时，材料开始进入塑性状态。
Mises条件的物理解释：
形状变形比能： 应力偏量第二不变量：
Wd
1 2 k 3E
1 2 J2 k 3
oct
2
八面体剪应力：
剪应力均方值:
2 k 3
2 2 k 15
(3)常数的确定 屈服条件对各种应力状态都适用，用简单应力状态确定常数 简单拉伸 不为零的应力 1 屈服判断： 1 s
m
未考虑
未考虑
实验验证 1. Lode实验(1926)
采用钢、铜和镍的两端封闭的薄壁圆管, 受轴向拉力 P 和内压 p 的作用。
应力状态为：薄壁近似均匀应力(柱坐标系，z沿着管的轴向) pr pr P 1 2 z t 2t 2 rt
3 r 0
r是管的平均半径， t 管的壁厚 P 2 r p 通过改变轴向拉力和内压的比值，改变应力状态
30
1
30
y
2
x
2 k 2
2 rk 3
(2) Mises屈服条件(1913) 用外接圆柱面来代替正六棱柱面，屈服曲线就是正六边形的外 2 接圆 2 2 2 x y k 3 主应力表示：
1 x ( 1 3) 2
2
1 y 2 2 1 3 6
常数确定： Tresca: Mises: 简单剪切
1 k 1 k
1
k s k s
平面上由屈服 轨迹的几何关系决定？
3
屈服判断： s Tresca: s 0.5 s 1 s Mises: s 3
常数确定： Tresca: Mises:
f ( I1 , I 2 , I 3 ) 0
屈服与静水应力无关： f ( J 2 , J 3 ) 0
初始屈服面及在 平面上的轨迹 在应力空间中，初始屈 服面是母线平行于L线 的柱面
3
L( 1 2 3 )
o
2
(2) 在 平面上的初始屈服 曲线 •基本假设 •屈服与平均应力无关 •材料是均匀各向同性的
6
y
30
x
5
3
1 s , 2 0, 3 s 0, 0
p
4
2
中间其他点的实验测定？
第三节 Tresca条件和Mises条件
（1）Tresca屈服条件(1864) 金属挤压实验观测, 发现当最大剪应力达到一个固定值, 材料 开始屈服
最大剪应力条件：
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx k / 2
1 2 3
1 3 k
主应力代数值大小未明确的一般情况下：
1 2 k
3 1 k
2 3 k
六个平面在主应力空间形成正六棱柱面
Tresca屈服条件在 平面上的轨迹是一个正六边形
3
外接圆的半径为:
2 k 3
o
内切圆的半径为:
2 k 2
2 2
1 2 2 3 3 1 2k 2
2 2 2 2 6 2 k x y y z z x xy yz zx 2 2 2
应力强度（Mises等效应力）表示： i k
1
•没有Bauschinger效应
•几何特性： •包围原点的外凸曲线 •分别关于 1 , 2 , 3 对称 •关于原点对称
实验确定 平面上30度 范围的初始屈服曲线
3
4 2
5
1
单拉：A点
1 s , 2 3 0
6
1
o
1, 30
A B
纯剪：B点