《排队论》习题解答

2014-11-8
解( 续)
平均发生故障的计算机数
N jpj p1 2p 2
j 0 m
(1 p0 pபைடு நூலகம் ) 2p2 (1 0.4 0.2) 2 0.2 0.8
系统中平均运行的计算机数为2-0.8＝1.2(台)
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9 20
3 4 ( 1 4 ) 3 1 e e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
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18－4
习题2
一台计算机有 2 个终端，假定计算一个题目
的时间服从负指数分布，平均20分钟。假定题目
是以泊松流到达，平均每小时到达 5 个。求积压
2
11 29
1 c 1 9 11 891 pc p0 2 10 29 5800 c! 平均等待时间
c 891 891 Wq p 0.13(分钟) c 2 9 9 2 5800 7018 (1 c ) (1 ) 5 20
m 1
2! 1 i ( ) i 0 ( 2 i )! 2
2
1
2 0. 4 5
P{计算机损坏无法运行}＝p2
2! 1 2! 1 ( ) 2 p0 ( ) 2 0.4 0.2 ( 2 2)! 2 ( 2 2)! 2
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1
习题3
考虑一个 M/M/1/K排队系统， λ＝10 人/小
时，μ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务 机构，提出了两个方案。方案 I ：增加等待空 间，K＝3；方案II：提高服务率，μ＝40人/小 时。假设在单位时间内单位服务成本 5 元和每
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解
方案1 ＝9/5(个/分钟)，＝4(个/分钟), ＝9/20＜1，该系统按M/M/1/∞型处理，平均等 待时间
Wq (1 )
9 0.20 (分钟) 9 44 4 (1 ) 20
9 20
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1
1
3 0.75 4
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18－14
解( 续)
对M/M/1/1+1/1型系统
m i 1 m i m m! p 0 ic c! i c c c! i 0 i!
c 1 i K 1 i K K m
1 i ic ( m i K )! iK c
题目的概率及平均积压的题目数。
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解
由题设知， ＝5(题/小时)，＝3(题/小时)，c＝2，
该系统按M/M/c/型处理。 5 3 , c 5 6
j cc 1 21 (5 3)j 2 (5 3)2 1 p 0 [ ] [ ] c!(c ) j! 2! (2 5 3) j 0 j! j 0
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18－17
解( 续)
方案2 ＝9/5(个/分钟)，＝2(个/分钟)，＝
1
9/10，该系统按M/M/c/∞型处理， c＝2，c＝9/20
＜ 1，
9 2 2 ( ) c 1 j c c 9 10 p 0 [ ]1 1 9 c! (c ) j 0 j! 10 2 ( 2 ) 10
(1 1 3)(1 3) 3 f 8 10 (1 ) 5 30 72 4 1 (1 3)
方案II(λ ＝10人/小时，μ ＝40人/小时，K＝2):
(1 1 4)(1 4) 2 f 8 10 (1 ) 5 40 123.8 3 1 (1 4)
＝0.25。
即平均有2.25个病人等待看医生
3/ 4 3 0.75 c) 平均等待时间 Wq (1 ) 4(1 3 / 4) 4
即病人的平均等待时间为 0.75 小时，即 45 分钟。
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解( 续)
d) P{等待超过一个小时} ＝P{Wq＞1} ＝1－P{Wq≤1} ＝1－Wq(1) ＝e-(1-)
＝ 1/3 ，该系统按 M/M/c/m+k/m 型处理， c ＝ 1 ，
m＝1，k＝1。 若无备用机器，即 K ＝ 0 ，化为 M/M/c/m/m 型系统： P{无备用机而正常运转}＝p0
m! i i 0 ( m i )!
m 1
1! 1 i ( ) i 0 (1 i )! 3
c 1
5 25 9 1 1 0.0909 11 3 13 P{积压题目}＝ P{题目到达时需要等待} c (5 3)2 1 25 pj p0 0.7576 (1 c ) c! (1 5 6) 2! 11 33 j c 平均积压的题目数 c (5 6) (5 3)2 1 125 Nq p 3.7879 2 c 2 (1 c ) (1 5 6) 2! 11 33
1
1
11 11 1 i 11 1! 11 1 1 i ( ) ( ) i 1 1! i 1 1 (1 i 1)! 3 i 0 i! 3
9 1 1 1 ( )2 0.6923 13 3 3
1
P{由于停机无法发射}＝p2
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@uestc.edu.cn 2014年11月8日星期六
习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院，假
设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟。
（a) 医生空闲时间的比例？ （b) 有多少病人等待看医生？ （c) 病人的平均等待时间？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
服务一个顾客收益 8 元不变得情况下，哪个方
案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什 么结果？
2014-11-8
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18－7
解
单位时间内的纯收入为
(1 ) K f 8 (1 p K ) 5 8 (1 ) 5 k 1 1
方案I(λ ＝10人/小时，μ ＝30人/小时，K＝3)：
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18－12
习题5
某电视台有 2 部发射机， 1 部发射 1 部备用。
如果 1 部正常工作时间服从负指数分布，平均 9 天，而调整维修1部机器的是负指数分布的，平
均3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停
机无法发射的概率。
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18－13
解
由题设知，＝1/9(台/天)， ＝1/3(台/天)，
11 1! 1 2 9 1 ( ) 0.0769 2 1 (1 2 1)! 1 1! 3 13 13
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习题6
在一商店，顾客以泊松流到达收银台， 平均5分钟到达9个顾客；而服务员每5分钟能 服务 10 个顾客，服务时间服从指数分布。商 店经理希望将顾客等待时间不超过 1分钟。他 有两个方案： 1) 增加一名服务同样效率的服务员 ,即提高服 务率一倍。 2) 增加一新柜台。 试分析选择那种方案？
(1 3 4)( 3 4) 2 f 8 30 (1 ) 5 40 31.35 3 1 ( 3 4)
故方案I比方案II好。
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习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。
如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均 10 天，而计算机损坏时由 1 名 工程师维修，维修 1 台计算机的时间是负 指数分布的，平均5 天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
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解
由题设知， ＝3(人/小时)，＝4(人/小时)，
3 ＝ ，该系统按M/M/1/型处理。 4
1 a) P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－＝ 4
2 (3 / 4)2 9 b) 平均等待对长 Nq 2.25 1 1 3 / 4 4
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18－10
解
由题设知，＝1/10(台/天)，＝1/5(台/天)，
＝ 1/2 ，该系统按 M/M/c/m/m 型处理， c ＝ 1 ， m
＝ 2。
P{2台计算机都正常运行}＝p0
m! i i 0 ( m i )!
故方案I比方案II好。
2014-11-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－8
解( 续)
当λ＝30人/小时： 方案I(λ＝30人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)：
1 f 8(1 p K ) 5 8 30 (1 ) 5 30 30 31
方案II(λ＝30人/小时，μ＝40人/小时，K＝2):