24.6(1)实数与向量相乘(一)
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3 BC AD 2 C 5 FE AD 4
3
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 1 A 解: AB AD DB m a 2 1 CA CD DA a m 2
注意:
1.省略乘号，数字在前；
AB 4a
=4 a
2．数字上方无箭头
a
(- a ) + (- a ) + ( - a ) + (- a ) = (- a ) · 4 =-4 a
B A
-a
-a
-a
-a
AB 方向与 a 相反 AB =4 a
-4 a 方向与 a 相反
-4 a
=4 a
2 a 与 a 的关系是什么? 3 2 a 方向与 a 相同 3 2 2 a a 3 2 3 a 与 a 的关系是什么? 3 2 方向与 a 相反 a 3 2 2 a a 3 3
1 F H O OE b B 2 C G 1 OF a 2 与OE相等的向量有： BF、 FA 、 GO 、 CH、 HD.
D
例3. 如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上， DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
O
a mAB a m(b a ) mb (m 1)a
7. 在⊿ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点， G为重心，求证：GD+GE+GF=0. A ，CA c 解:设 AB a， BC b 1 F D AE AB BE a + b G 2 1 BF BC CF b c C B 2 E 1 CD CA AD c a 1 1 2 GD GE GF ( AE BF CD) (a b c) 0 3 2
A
解:
∵DE∥BC，AD=4DB
DE AD 4 BC AB 5 4 即DE BC 5
D B E C
又 ∵DE与BC同向
4 DE BC 5
练习.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，
4 DE∥BC, ， S四边形BCED 5 S ADE
试用向量CB表示向量DE．
（5）向量的模： 向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
1.向量的加法运算
三角形法则
AB+BC= AC
A B
C
平行四边形法则
B C
OA+OB= OC
O A
首尾相接首尾连
E
多边形法则
F
D
AB + BC+ CD+ DE+ EF = AF A
2.向量的减法运算
C B
B
1）减法法则： OA－OB = BA
练习：如图：梯形ABCD中，AD∥BC,EF是的中位线， AD=2,BC=3,设AD=a,能将向量BC,FE用a表示出来吗？ 3 5 ∵AD=2，BC=3 BC AD，EF 2 2
A E B
2
5 D EF AD 4
BC与AD方向相同 F FE与AD方向相反
ka 与a同方向； 3. ka 的方向：1)当k＞0时，
2)当k＜0时， ka 与a反方向；
ka ＝0. 3)若K＝0或a＝0，则：
1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB (m为实数）， O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP． A B P
OP OA AP
A
SADE 4 解: S BCED 5 SADE 4 SABC 9
D B E C
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
SADE DE 2 4 ( ) SABC BC 9
DE 2 2 即DE BC BC 3 3
又 ∵DE与CB反向
2 DE CB 3
BE BA AE 1 1 1 m a ( a m) 2 2 2 1 3 m a 2 4
F E G
B
D
C
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
B A
F
E G
D
C
五、课堂小结:
1.实数与向量相乘的意义及表示法；
2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
ka
a
四、例题解析:
5 例1. 已知非零向量a，求作： (1) a ，(2) 3 b． 2 b a 5 (3) a 3 b 2
思考：
| a |= 3， | b |= 4，若c = 2a - 3b，则| c | 的取值范围是 _____
例2.如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各 边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出 E 图中与OE相等的向量． A
24.6（1）实数与向量相乘
一、课前复习:
向量定义： 既有大小 又有方向 的量叫向量。
向量的表示：
几何表示： 有向线段
字母表示： a 、 AB 等
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
（4）相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
百度文库
共起点，连终点，指向被减向量
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
O
A
二、探究新知:
a
a是实数 a+a+a+a +……+a =na n个a
a + a + a + a = AB 4a
A a a a a
AB 4 a 方向与 a 相同
B
4=4 a AB = a ·
三、归纳总结
设k是一个实数，是向量，那么 k与 a 相乘所得的积 a 是一个向量，记作： k a ⑴若k≠0，且a ≠ 0， 则 k a 的长度 k a ＝ k a k a 方向为：k＞0时，k a 与 a 同方向； k a 与 a 反方向； k＜0时， ⑵.若k＝0 或 a ＝ 0，则 k a ＝ 0 .
3
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 1 A 解: AB AD DB m a 2 1 CA CD DA a m 2
注意:
1.省略乘号，数字在前；
AB 4a
=4 a
2．数字上方无箭头
a
(- a ) + (- a ) + ( - a ) + (- a ) = (- a ) · 4 =-4 a
B A
-a
-a
-a
-a
AB 方向与 a 相反 AB =4 a
-4 a 方向与 a 相反
-4 a
=4 a
2 a 与 a 的关系是什么? 3 2 a 方向与 a 相同 3 2 2 a a 3 2 3 a 与 a 的关系是什么? 3 2 方向与 a 相反 a 3 2 2 a a 3 3
1 F H O OE b B 2 C G 1 OF a 2 与OE相等的向量有： BF、 FA 、 GO 、 CH、 HD.
D
例3. 如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上， DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
O
a mAB a m(b a ) mb (m 1)a
7. 在⊿ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点， G为重心，求证：GD+GE+GF=0. A ，CA c 解:设 AB a， BC b 1 F D AE AB BE a + b G 2 1 BF BC CF b c C B 2 E 1 CD CA AD c a 1 1 2 GD GE GF ( AE BF CD) (a b c) 0 3 2
A
解:
∵DE∥BC，AD=4DB
DE AD 4 BC AB 5 4 即DE BC 5
D B E C
又 ∵DE与BC同向
4 DE BC 5
练习.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，
4 DE∥BC, ， S四边形BCED 5 S ADE
试用向量CB表示向量DE．
（5）向量的模： 向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
1.向量的加法运算
三角形法则
AB+BC= AC
A B
C
平行四边形法则
B C
OA+OB= OC
O A
首尾相接首尾连
E
多边形法则
F
D
AB + BC+ CD+ DE+ EF = AF A
2.向量的减法运算
C B
B
1）减法法则： OA－OB = BA
练习：如图：梯形ABCD中，AD∥BC,EF是的中位线， AD=2,BC=3,设AD=a,能将向量BC,FE用a表示出来吗？ 3 5 ∵AD=2，BC=3 BC AD，EF 2 2
A E B
2
5 D EF AD 4
BC与AD方向相同 F FE与AD方向相反
ka 与a同方向； 3. ka 的方向：1)当k＞0时，
2)当k＜0时， ka 与a反方向；
ka ＝0. 3)若K＝0或a＝0，则：
1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB (m为实数）， O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP． A B P
OP OA AP
A
SADE 4 解: S BCED 5 SADE 4 SABC 9
D B E C
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
SADE DE 2 4 ( ) SABC BC 9
DE 2 2 即DE BC BC 3 3
又 ∵DE与CB反向
2 DE CB 3
BE BA AE 1 1 1 m a ( a m) 2 2 2 1 3 m a 2 4
F E G
B
D
C
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
B A
F
E G
D
C
五、课堂小结:
1.实数与向量相乘的意义及表示法；
2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
ka
a
四、例题解析:
5 例1. 已知非零向量a，求作： (1) a ，(2) 3 b． 2 b a 5 (3) a 3 b 2
思考：
| a |= 3， | b |= 4，若c = 2a - 3b，则| c | 的取值范围是 _____
例2.如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各 边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出 E 图中与OE相等的向量． A
24.6（1）实数与向量相乘
一、课前复习:
向量定义： 既有大小 又有方向 的量叫向量。
向量的表示：
几何表示： 有向线段
字母表示： a 、 AB 等
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
（4）相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
百度文库
共起点，连终点，指向被减向量
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
O
A
二、探究新知:
a
a是实数 a+a+a+a +……+a =na n个a
a + a + a + a = AB 4a
A a a a a
AB 4 a 方向与 a 相同
B
4=4 a AB = a ·
三、归纳总结
设k是一个实数，是向量，那么 k与 a 相乘所得的积 a 是一个向量，记作： k a ⑴若k≠0，且a ≠ 0， 则 k a 的长度 k a ＝ k a k a 方向为：k＞0时，k a 与 a 同方向； k a 与 a 反方向； k＜0时， ⑵.若k＝0 或 a ＝ 0，则 k a ＝ 0 .