2017最新概率论期末考试复习资料考点归纳缩印

n
n
N N2
( 1) 2 1 N N 2 ，,,
2N
2N
N
所以 P( Ai )
i1
N
( 1) i 1
N
n
i
i1
N
2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为
1、2、3、4、5，从中同时取出 3
只球，以 表示取出球的取大号码，求 的分布列。
k1
解 P( k)
2 , k 3,4,5 .
5
3
k
1.32 已知一个母鸡生 k 个蛋的概率为 e ( k!
求
的分布列。
n1
n)
P(
k1
k )P(
n k)
n1 1 k 1 2k
1 2n k
n1 2n
3.9 已知随机变数 的分布函数为
x
0 x1
p( x) 2 x 1 x 2
0
其它
（1） 求相应的分布函数 F (x) ；
（2） 求 P( 0.5), P( 1.3), P(0.2
1.2) 。
解： F ( x)
数。
解：因为 lim F (x) A B( ) 0
x
2
lim F (x) A B
1 ，所以 A
1 ,B
x
2
2
11
F ( x)
arctgx , p( x) F ( x)
2
1
，因而
1
。
(1 x2 )
2.28 设 与 为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为
P( 解 P(
n) P(
n)
1 2n
,n
1,2,
( p) r
[ (1 p )] k r
e
r!
k r (k r )!
( p)r e
r!
e (1 p)
(
p)r e
p
r!
1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1 ，它们在一
定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1 。当有一台机床需要修理时，问这台机
床是车床的概率是多少？
解 则 P( A1 ) 9 ， P( A2 ) 3 ， P( A3 ) 2 ， P( A4) 1
有实根的概率。 解：当且仅当
4x2 4 x
20
(4 ) 2 16( 2) 0
成立时，方程 4 x2 4 x
2 0 有实根。不等式（ 1）的解为：
2或
因此，该方程有实根的概率
p P( 2) P(
1) P(
51
3
2)
dx 。
25
5
（ 1）
1。
3.23 设二维随机变数 ( , ) 的密度
p( x, y)
0) ，而每一个蛋能孵化成小
r
鸡的概率为 p ，证明： 一个母鸡恰有 r 个下一代（即小鸡）的概率为 ( p) e p 。 r!
解 用 Ak 表示“母鸡生 k 个蛋”， B 表示“母鸡恰有 r 个下一代”，则
P(B)
P( Ak )P(B | Ak )
kr
ke k r k!
k p r (1 p)k r r
P(
n,
m)
n p m (1 p) n m e
(
0 , 0 p 1) m 0,1, , n n 0,1,2,
m! (n m! )
求边际分布列。
解 P(
n
n)
P(
n,
m)
ne
n
n!
p m (1 p)n m
m0
n! m 0 m! (n m)!
ne n 0,1,2,
n!
P( m)
P( n, m)
wk.baidu.com
n0
m
p
( p) e
15
15
15
15
1
2
3
1
P( B | A1 ) ， P( B | A2 ) ， P (B | A3) ， P(B | A4 )
7
7
7
7
由贝时叶斯公式得
P( A1 | B)
P( A1 )P(B | A1 )
9
4
22
P(Ak ) P( B | Ak )
k1
2.15 设二维随机变量 ( , ) 的联合分布列为：
0
x0
x
ydy
1 x2
0
2
0 x1
1
ydy
x
(2
y)dy
2x
1 x2
11
x
2
0
1
2
1
x2
1 P( 0.5) F (0.5)
8 P( 1.3) 1 P( 1.3) 1 F (1.3) 0.245
P( 0.2
1.2) F (1.2) F (0.2) 0.66
3.14
设随机变数 服从（ 0， 5）上的均匀分布，求方程
N
解 用 Ai 表示“第 i 张考签没有被抽到” ， i 1,2, , N 。要求 P( Ai ) 。
i1
P( Ai )
n
N 1 ， P( Ai Aj )
N
n
N 2 ，,, ，
N
P( A1 AN )
n
NN
0
N
N
N
P( Ai )
i1
1
n
N1 N
( 1)1 1 N 1
n
N1 N
P( Ai A j )
1i N
1 sin( x y)
2 0
求（ , ）的分布函数。
0 x ,0 y
2
2
其它
解：当 0 x
，0 y
时，
2
2
F ( x, y) P( x, y)
10 5
该数的最后两位数字，所以样本空间包含 102 个样本点。用事件 A 表示“该数的
立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数 字为 a ，则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3 a 的个位数， 要使 3 a 的个位数是 1，必须 a 7 ，因此 A 所包含的样本点只有 71 这一点，于是
m 0,1,2, 。
m!
p me
n!
p m (1 p) n m
m! n m m! (n m)!
2.50 设随机变量 1 ， 2 相互独立，分别服从参数为 1 与 2 的普哇松分布，
试证：
n
P( 1
k| 1
2 n)
k
k
1
1
1
2
nk 1
1
2
证明
P( 1
k| 1
2 n) P( 1 k , 1 2 n) P( 1 2 n)
P( 1 k) P( 2 n k) P( 1 2 n)
由普哇松分布的可加性知 1 + 2 服从参数为 1 + 2 的普哇松分布，所以
k
nk
1
e
1
2
e2
k
nk
k!
(n k )!
n
1
1
P( 1
k| 1
2 n) (1
2)n e ( 1
2)
1
k
1
2
1
2
n!
3.8 随机变数 的分布函数为 F ( x) A Barctgx ，求常数 A 与 B 及相应的密度函
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1) 该数的平方的末位数字是 1；(2) 该数的四次方的末位数字是 1；(3) 该数
的立方的最后两位数字都是 1；
解 (1) 答案为 1 。 (2) 当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的 5
末位数是 1，所以答案为 4
2 。 (3) 一个正整数的立方的最后两位数字决定于
1.17 在线段 AB 上任取三点 x1 , x2 , x3 ，求： (1) x2 位于 x1与 x3 之间的概率。
(2) Ax1, Ax2 , Ax3 能构成一个三角形的概率。
解 (1)
1 P( A)
(2)
3
11
13
P ( B)
32
1
1
2
1.26 某班有 n 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回， 在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？