随机变量的相互独立性

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由
2 1 2 1 f X ( x) e 2 1 ( y 2 )2 2 1 2 2 fY ( y ) e 2 2
( x1 1 ) 2
xR
y R 于是:
“” 把=0代入
1 f ( x, y ) e 2 1 2 2 ( x u1 ) ( y u 2 ) 2 2 2 1 1 2 1 2 2 e e f X ( x) f Y ( y ) 2 1 2 2
∴ X与Y独立
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1 ( x u1 ) 2 ( y u 2 ) 2 2 2 2 2 1
“”
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∵X和Y相互独立 ∴ (x,y) R2.有 f(x,y)= fX(x)fY(y) 特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2) 即:
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例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 5 y 为: 5e , y 0
求 P{Y≤X}
fY ( y ) 0,
D
其它
解: P{Y≤X} f ( x , y )dxdy
1 5 , 0 x 0 .2 0 .2 0 f X ( x) 其它 0,
7
f(x,y)=fX(x)fY(y)
25e 0
5 y
,0 x 0.2, y 0 y ,其它
D o
P{Y≤X} dx f ( x , y )dy
dx 25e
0 0 0.2 x 5 y

x
0.2
x
dy =0.3697
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例3 设:(X ,Y )∼N(1,2,1,2 ,)
3
离散型: X与Y相互独立 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj} 即pij=pi. p.j (i,j=1,2,…) 连续型: X与Y相互独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y 相互独立=0
4
例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为:
( x y )
问X和Y是否独立？
0


xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
1 21 2 1
2

1 1 2 1 2 2
对比两边 ∴ =0
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例4 设(X,Y)的概率密度为
xe f ( x, y )
解：f X ( x )
( x y )
,y , 均有： , x 对一切 0, y x 0 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 0, 其它 故X,Y 独立
2
用分布函数表示,即
定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数 为F(x, y), X和Y的边缘分布函数分别为 FX(x), FY(y),若x,y ,有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y相互独立 其意义:事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立
它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
求证: X与Y独立 =0
证明: f ( x, y )
1 21 2 1 x , yR
2
e
( x u1 )( y u 2 ) ( y u 2 ) 2 1 ( x u1 ) 2 2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 2 1
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若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
情况又怎样？
解： f X ( x )
fY
( y)
1
x y 0
2dy 2(1 x ), 2dx 2 y,
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 故X和Y不独立 .
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
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解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 1 1 , 15 x 45 , 0 x 60 f X ( x ) 30 fY ( y ) 60 其它 其它 0, 0, 由独立性 先到的人等待另一人 甲先到 1 到达的时间不超过 , 5分钟 15 x 45,0 y 60 的概率 f ( x, y ) 的概率 1800 0, 其它 所求为P( |X-Y | 5) 及P(X<Y)
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例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
X
1 2
Y
1
2
3
1 1 6 9 1 3
1 18

若X与Y相互独立,求 , 之值
5
解: =P{X=2,Y=2} =P{X=2}P{Y=2} 1 1 ( )( ) 3 9 =P{X=2,Y=3}=P{X=2}P{Y=3}
1 1 ( )( ) 3 18 又由 pij 1 1 3 i j 解得: 2 , 1 9 9
3.3随机变量的独立性
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随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两随机变量独立的定义是：
设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y, 有
P( X x, Y y) P ( X x ) P (Y y)
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .