初三相似三角形讲义

初三相似三角形讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

相似三角形知识点总结

知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比

相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，

这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△

A /

B /

C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1

k

知识点2、相似三角形与全等三角形的关系

（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比

例。

知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：

在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c

d

a b c d a d b c a c ==()

b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=

c ，那么b 叫做a 、

d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：

a b c d

ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d

d =⇒=

③等比性质：

……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b

===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3,

A D l1

B E l2

C F l3

可得

EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A

D E

B C

由DE ∥BC 可得：AC AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或.此推论较原定理应

用更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

知识点4：相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点5：相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

A

B

C

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角

形相似。

点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。

注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS ”

三边对应成比例的两个三角形相似。 知识点六：摄影定理

AD 2=B D ·CD AB 2=BD ·BC AC 2

=CD ·BC

特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC=90°

∴

AD 2=B D ·CD AB 2=BD ·BC AC 2=CD ·BC

知识点七：相似三角形的周长和面积

（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方

AD BC

⊥BAC BDA ADC ∆∆∆∽∽

补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所

构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 相似三角形的基本图形：

A

B

C

D

E

A

B

C D

E