流体力学典型例题

利用连续方程，由上式得
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此外细管有液柱上升，说明 p1 低于大气压，即 式中，ρˊ是水的密度，因此
压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为 p∏Dh ，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力
故压力机对重物的压力为
4 流体运动的基本概念及方程 【3－1】已知平面流动的速度分布为
， 试计算点（0，1）处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。
，
再求偏心距 e，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为 C，它到圆柱体下表面的距离设 为 hC ，则
根据浮体稳定的要求
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有
化简得 r，h 的值已经算出，代入其它数据，有 z<1.1074m 【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径 D＝25cm，水泵柱塞直径 d＝5cm，密 封圈高度 h＝2.5cm，密封圈的摩擦系数 f＝0.15，压力机柱塞重 G＝981N，施于水泵柱塞上 的总压力 P1=882N，试求压力机最后对重物的压力 F。 【解】：P1 所形成的流体静压力
不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为 h。现根据液面边界条件进行计算。 当 r＝R1，z＝h 及 r＝R2，z＝h＋Δh 时
； 两式相减得
所以
【2－10】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮 在水面的均质圆柱体，高度 H＝0.5m，底半径 R＝0.6m， 自重 G＝1500N，航灯重 W=500N，用竖杆架在灯座上， 高度设为 z。若要求浮体稳定，z 的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径 r 大于偏心距 e，即 r>e 先求定倾半径 r＝J/V，浮体所排开的水的体积 V 可根据吃水深度 h 计算。
【2－5】盛水容器底部有一个半径 r＝2.5cm 的圆形孔口，该孔口用半径 R＝4cm、自重 G ＝2.452N 的圆球封闭，如图所示。已知水深 H＝20cm，试求升起球体所需的拉力 T。 【解】用压力体求铅直方向的静水总压力 Fz：
由于
，
因此
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，
，
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，
【2－6】如图所示的挡水弧形闸门，已知 R＝2m，θ＝30o，h＝5m，试求单位宽度所受到 的静水总压力的大小。 【解】水平方向的总压力等于面 EB 上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为 CABEDC 。
设大、小气泡的密度、体积分别为ρ、V 和ρ1、V1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即
合成过程是一个等温过程，T=T1 。球的体积为 V＝4/3πR3，因此
令 x＝R/R1，将已知数据代入上式，化简得 上式为高次方程，可用迭代法求解，例如，
以 xo = 2 作为初值，三次迭代后得 x＝2.2372846，误差小于 10－5，因此，合成的气泡的半 径为
由此可见，只要测出压差为 po－p，就可以求出速度 u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为 l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流， 沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，
式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh 的单位应该是用 m 表示， Δh＝0.06m，得速度为 u＝4.3391m/s。 【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一 个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压 强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度 ρ＝1.25kg/m3，管径 d1＝400mm，d2＝600mm， 水柱 h＝45mm，试计算体积流量 Q。 【解】截面 1－1 的管径小，速度大，压强低；截面 2－2 接触大气，可应用伯努利方程， 即
同样，打开阀门 2 时，
两式相减并化简得
代入已知数据，得
所以有
2 基本概念及参数 【1－3】测压管用玻璃管制 成。水的表面张力系数σ＝ 0.0728N/m，接触角θ＝8º，如 果要求毛细水柱高度不超过 5mm，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于
因此
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【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡 合并在一起，减少气泡的危害。现将 10 个半径 R1＝0.1mm 的气泡合成一个较大的气泡。已 知气泡周围的水压强 po＝6000Pa，水的表面张力系数σ＝0.072N/m。试求合成后的气泡半 径 R。 【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是
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将
，
，
代入，得
所以有：
在点（0，1）处， ，
算得 ，
【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1）
， （2）
，
（3）
，
【解】: （1）
，
，
（2）
（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关 计算，但求导过程较为复杂。
，
【3－3】已知平面流场的速度分布为
将 z 的单位换成 m，代入数据，得
【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程 h。打开阀门 1，调整压缩空 气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下 U 形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭 阀门 1，打开阀门 2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知 a＝1m，求深度 h 及油的密度ρ。 【解】水银密度记为ρ1。打开阀门 1 时，设压缩空气压强为 p1，考虑水银压差计两边液面的 压差，以及油箱液面和排气口的压差，有 同样，打开阀门 2 时， 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有
所以力矩 另一方面，从摩擦阻力 F 的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为：
为线性分布。 则
摩擦阻力矩应等于 M，即 T=M 即
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所以 3 流体静力学 【2－1】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差 p1－p2，已知液面高程读数 z1＝18mm， z2＝62mm，z3＝32mm，z4＝53mm，酒精密度为 800kg/m3。 【解】设管轴到水银面 4 的高程差为 ho，水密度为ρ，酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2，则
【2－3】人在海平面地区每分钟 平均呼吸 15 次。如果要得到同 样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶 （海拔高度 8848m）需要呼吸多 少次？ 【解】:海平面气温 T0=288,z=8848m 处的气温为 峰顶压强与海平面压强的比值为
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峰顶与海平面的空气密度之比为
呼吸频率与空气密度成反比，即 ，
【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖 管液面上升。 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为 h1，竖管的液面高度设为 H1。此时，液体总 压力等于盖子重量，设为 G： 旋转时，活塞盖下降高度为 h，两支竖管的液面上升高度为 H。 液体压强分布的通式为 将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数 C。当 r ＝R，z＝H1-h1＋H + h 时，p＝pa， 因此，液体压强分布为 旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量， 即 因盖子下表面的相对压强为 代入 G 式并进行积分，得到
，
， 试求 t＝1 时经过坐标原点的流线方程。
【解】对于固定时刻 to，流线的微分方程为
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积分得
这就是时刻 to 的流线方程的一般形式。 根据题意，to＝1 时，x＝0，y＝0，因此 C＝2
【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600 kg/m3，水银压差计的读数Δh ＝60mm，求该点的流速 u。 【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线 1－0。这条流线从 上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流 线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为 u。当流体靠近管口时，流速逐渐 变小，在管口处的点 0，速度变为 0，压强为 po，流体在管口的速度虽然变化为 0，但流体 质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点 0 开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管 口之后，速度逐渐加大至 u。 综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点 1，速度为 u，压强为 p，在点 0，速度为 0， 压强为 po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是
【2－7】如图所示，底面积为 b×b＝0.2m×0.2m 的方口容器，自重 G＝40N，静止时装水高 度 h＝0.15m，设容器在荷重 W＝200N 的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系 数 f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。 【解】解题的关键在于求出加速度 a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量 M 和外力分别为
因此，系统的重力加速度为 容器内液面的方程式为
代入数据得 a = 5.5898 m/s2
坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见，当 x＝－b/2 时，z＝H－h，代入上式，
可见，为使水不能溢出，容器最小高度为 0.207m。
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【2－8】如图所示，液体转速计由一个直径为 d1 的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为 d2 两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为 R，当转速为ω时，活塞比静 止时的高度下降了 h，试证明：
p 为绝对压强。
E np0 ( p / p0 B)
当地大气压未知，用标准大气压 p0 1.01325 10 5 Pa 代替。
p1 p0 G1 / A 1.76325 10 5 Pa p2 p0 G2 / A 3.01325 10 5 Pa
因 p1 / p0 和 p2 / p0 不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用 p2 / p0 来计算体积弹
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代入上式，化简得
由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此
所以有
【2－9】如图所示，U 形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为 R1 和 R2，其液面高差为Δh， 试求ω的表达式。如果 R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω的值。 【解】两竖管的液面的压强都是 pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线 所示。设液面方程为
【2－4】如图所示，圆形闸门的半径 R＝0.1m，倾角α＝45o，上端有铰轴，已知 H1＝5m， H2＝1m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力 T。 【解】设 y 轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强 p1，右侧 受下游水位的压强 p2，其计算式为
平板上每一点的压强 p1－p2 是常数，合力为（p1－p2）A，作用点在圆心上，因此 代入已知数据，求得 T＝871.34N。
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典型例题 1 基本概念及方程 【1－1】底面积 A＝0.2m×0.2m 的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个 重量为 G1＝3000N 的铁块，测得水深 h＝0.5m，如图所示。如果将铁块加重为 G2＝8000N， 试求盖板下降的高度Δh。 【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率：
v / v p / E
性系数：
E np0 ( p2 / p0 B) 2.1299 10 9 Pa 在工程实际中，当压强不太高时，可取 E 2.1109 Pa
h / h v / v p / E ( p2 p1) / E 6.4827 10 5 h 604827105 h 3.2413105 m
【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程 h。打开阀门 1，调整压缩空 气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下 U 形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭 阀门 1，打开阀门 2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知 a＝1m，求深度 h 及油的密度ρ。 【解】水银密度记为ρ1。打开阀门 1 时，设压缩空气压强为 p1，考虑水银压差计两边液面的 压差，以及油箱液面和排气口的压差，有
还可以算得大、小气泡的压强分布为
，
。
【1－5】一重 W＝500N 的飞轮，其回转半径ρ＝30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞 轮以速度 ω＝600 转/分旋转时，它的减速度 ε＝0.02m/s2。已知轴套长 L＝5cm，轴的直径
d＝2cm，其间隙 t=0.05mm，求流体粘度。 【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩 M＝Jε,飞轮的转动惯量 J