第六章___二阶线性常微分方程的幂级数解法.

将 w1(z) z 代入方程得 p(z) q(z) z 0 即 p(z) z q(z) (1) 将 w2 (z) e z代入方程得 e z p(z) e z q(z) e z 0
即 1 p(z) q(z) 0 (2)
(1)代入(2)得 1 q(z) z q(z) 0
q(z) 1 z1
p(z) z 1 z
即所求方程为 (z 1)w zw w 0
6.2 方程常点邻域内的解
定理
若 p(z) 和 q(z) 在圆 z z0 R 内单值解析，则在此圆内常微分
方程初值问题
m1 n1
m0 n2
l0 n1
l0 n2
c3 f (c0 , c1 , c2 ) f2 (c0 , c1 ) 以此类推 cn 均可用 c0 和 c1 表示
cn f (c0 , c1 )
例题 求勒让德方程 (1 z2 )w 2z w l(l 1)w 0
amcnn(z z0 )mn1
bl cn (z z0 )ln 0
n2
m0 n1
l0 n0
可知幂次项 (z-z0)n 的系数全为0
考察各幂次项系数
常数项系数为 2c2 a0c1 b0c0 0 c2 f1(c0 , c1 ) 一次项系数为 3 2c3 a1c1 a0 2c2 b0c1 b1c0 0

p(z) dw dz

q(z)w

0
可以化为
t
4

d2 dt
w
2

2t
3

dw dt

p 1 t 2 dw q 1 w 0
t
dt t
标准形式为
d2 dt
w
2


2 t

1 t2
p
1 t

dw dt


数学物理方法——
第六章 二阶线性常微分方程 的幂级数解法
来自百度文库
数学物理问题中的二阶线性常微分方程的标准形式为
dw 2 ( z) dz2

p(z) dw(z) dz

q(z)w(z)

0
方程的系数→解的解析性
级数解法得到的解总是指某一指定点 z0 的邻域内收敛的无穷级数。
p(z)、q(z) 在 z0 点的解析性

z
2
)
d 2w dz2

2z
dw dz

l(l

1)w

0
p( z )


1
2z z
2
q(z)

l(l 1) 1 z2
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 1 和 z = -1 。
所以，z = 0 和 z = 1 是勒让德方程的奇点，有限远处 的其它点为方程的常点。
要判断 z = ∞ 是否为方程的奇点，作自变量变换 z 1

q(z) bl (z z0 )l l0

w(z) cn (z z0 )n n0
其中an，bn 已知，c0，c1 已知，确定出 cn 可求出方程的解。 将展开为级数的 p(z)，q(z) 和 w(z) 代入方程：



cnn(n 1)(z z0 )n2
在 z = 0 邻域内的解，l 为已知参数。

解 z = 0 为常点，有 w(z) ck zk , z 1 k0
代入方程得



(1 z 2 ) ck k(k 1)z k2 2z ck k z k1 l(l 1) ck z k 0
dz


1 t2
dt
dt t 2 dz
t
dw dw dt t 2 dw
dz dt dz
dt
d 2w
dz2

d dz
dw dz


d dz

t2
dw dt

d dz
t2
dw dt
t2
d dw dz dt
d
dz
t2

d dz
1 z2


2 z3

2t 3
d dw
dz dt

d dw dt dt dt dz

d2 dt
w
2

t2
d 2w dz2

2t
3

dw dt

t4

d 2w dt 2
二阶线性齐次常微分方程
dw2 dz2
1 t4
q
1 t
w

0
若 t = 0 是常点/奇点，则 z = ∞ 就是常点/奇点。
t = 0 ( z = ∞ )为方程常点的条件
2 t

1 t2
p
1 t

和
1 t4
q
1 t

不含
t
负幂项
p
1 t


2t

a2t
2

a3t
3


q
w p(z)w q(z)w 0
w(z0 ) c0 ,
w(z0 ) c1
(c0，c1 为任意常数) 有唯一的一个解 w(z) ，且 w(z) 在这个圆内单值解析。
求解方法说明
∵ p(z) 和 q(z) 在圆 z z0 R 内单值解析，
∴ 均可展开为幂级数：

p(z) am (z z0 )m m0
级数解在 z0 点的解析性。
6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点
定义 若 p(z)、q(z) 在 z0 点解析，称 z0 点为方程的常点。
若 p(z)、q(z) 中至少有一个在 z0 点不解析，称 z0 点为方程的奇点。
举例
超几何方程
z(z

1)
d 2w dz2
[
(1

)z]dw
dz
w

0
p(z) (1 )z
z(1 z)
q(z)
z(1 z)
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 0 和 z = 1 。
所以，z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点，有限远处 的其它点为方程的常点。
举例 勒让德方程
(1
1 t


b4t
4

b5t
5


pz

2 z

a2 z2

a3 z3

qz

b4 z4

b5 z5

可见， z = ∞ 是勒让德方程和超几何方程的奇点。
例题 求二阶线性常微分方程，使其解为 w1(z) z 和 w2 (z) e z。
解 设所求方程为 w p(z)w q(z)w 0