一维单原子链

03_02 一维单原子链 1. 格波的研究—物理模型（简谐近似） 一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平
衡位置的位移 —— 第n个原子和第n＋1个
原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
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当
VElasticq VElastic a / m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
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2) 格波 —— 短波极限
t 2
x 2
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波动方程的通解：
• 它是一个简谐波，q=2π/λ是波矢。从物理上讲，视为 “连续”，要求波长λ>>原子间距;
•如果 λ～a，――不连续。必须直接求解方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
x na 试探解：
寻求格波色 散关系！
6. 波矢的取值和布里渊区 格波 相邻原子相位差 格波1的波矢q1 相邻原子相位差：
格波2的波矢q2 相邻原子的位相差
—— 原子的振动状态相同
1
4a 2
5
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
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—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值: q
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色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
频率在
之间的格波才能在晶体中传播
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
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1) 格波 —— 长波极限
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
—— 常数 —— 平衡条件
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简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
—— 恢复力常数
等效
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2. 原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
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n Aei(tnaq)
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动 —— 格波相速度
—— 不同原子间相位差
—— 相邻原子的相位差
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—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
如何解决这一问题？ 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件解决了这 一问题
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—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动
每个波矢在第一布里渊区占的线度
aa
q 2 / Na
q
第一布里渊区状态数 2 / a N 2 / Na
2
a
O
2
a
N也是一维单原子链的自由度数，得到了链的全部振动模
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8. 格波的色散关系 格波相速度
2 sin( aq )
m2
— 不同波长的格波传播速度不同 色散关系 频率是波数的偶函数
—— 处理问题时考虑 到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移 则有
q 2 h —— h为整数
Na
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q 2 h —— h为整数
Na
波矢的取值范围
N h N
2
2
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3L , N )
——原子运动之间的耦合
—— 每一个原子运动方程类似
—— N个方程组成的方程组(方程的数目和原子数相同)，可有N
个解，而此时晶体的总自由度也为N。
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对应于连续情况下的解式，这里仅以na代替x，这也是 一个简谐行波，称它为一个格波。可见，一个格波是晶 体中全体原子都参与的一种简单的集体运动形式。
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4. 色散关系--振动频率与波矢的关系
得到
2 4 sin2( aq) ----色散关系
m
2
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5. 格波的意义 连续介质中的机械波
Ae 格波 n
Ae i(tnaq)
i
t
2
na (2 /q)
晶体中的格波波长
格波波矢
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
——连续介质波中x表示空间任意一点，而格波中只取 na格点
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
3.解方程
把晶体看作是连续媒质，即. na x
(x x,t) (x,t) x 1 2 x2
x
2 x2
(x, t)
x
a
1 2
2
x 2
a2
(x
Baidu Nhomakorabea
x, t )
( x, t )
x
a
1 2
2
x2
a2
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m d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
a
a
j
波矢的取值范围，第一布里渊区
aa
—— 只研究清楚第一布里渊区 的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物 2
O
理内容
a
q
2
a
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7. 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=?
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样
m
2 ( x, t )
t 2
(x
x, t )
(x
x, t )
2 ( x, t )
(x
x, t)
(x, t)
x
a
1 2
2
x 2
a2
(x
x, t )
( x, t )
x
a
1 2
2
x2
a2
m
2(x, t)
t 2
2(x, t)
x 2
a2
令v2= a2β/m
2( x, t) v2 2( x, t) ----波动方程