位置随动系统建模与分析--自控课设教材

课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位： 自动化学院题 目: 位置随动系统建模与分析 初始条件：图示为一位置随动系统，放大器增益为8=a k ，电桥增益2=εk ,测速电机增 益15.0=t k V.s ，Ω=5.7a R ，La=14.25mH ，J=0.0006kg .m 2， C e =Cm=0.4N.m/A, f=0.2N.m.s, 减速比i=10 。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 求出系统各部分传递函数，画出系统结构图、信号流图，并求出闭环传递函数；2、 当Ka 由0到∞变化时，用Matlab 画出其根轨迹。

3、 Ka ＝10时，用Matlab 画出此时的单位阶跃响应曲线、求出超调量、超调时间、 调节时间及稳态误差。

4、 求出阻尼比为0.7时的Ka ，求出此时的性能指标与前面的结果进行对比分析。

时间安排：指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录1 位置随动系统原理 (3)１.1 位置随动系统原理框图 (3)１.2 元件结构图分析 (3)1.3 位置随动系统各元件传递函数 (5)1.4 位置随动系统的结构框图 (5)1.5 位置随动系统的信号流图 (6)1.6 相关函数的计算 (6)2根轨迹曲线 (7)2.1参数根轨迹转换 (7)2.2绘制根轨迹 (7)3单位阶跃响应分析 (8)3.1单位阶跃响应曲线 (8)3.2单位阶跃响应的时域分析 (9)4系统性能对比分析 (11)4.1 新系统性能指标计算 (11)4.2 系统性能指标对比分析 (11)5 总结体会 (12)参考文献 (13)位置随动系统建模与分析1 位置随动系统原理１.1 位置随动系统原理框图图1.1位置随动系统原理框图工作原理：用一对电位器作为位置检测元件，并形成比较电路。

两个电位器分别将系统的输入和输出位置信号转换成与位置比例的电压信号，并做出比较。

当发送电位器的转角r θ和接受电位器的转角c θ相等时，对应的电压亦相等，因而电动机处于静止状态。

假设是发送电位器的转角按逆时针方向增加一个角度，而接受电位器没有同时旋转这样一个角度，则两者之间将产生角度偏差εθ，通过电桥产生一个偏差电压εu ，与测速机反馈回电压比较后得到电压u ，然后经放大器放大到电压a u ，供给直流电动机，使其带动负载和接受电位器的动笔一起旋转，直到两角度相等为止，即完成反馈。

１.2 元件结构图分析1.电桥：电桥作为角位移传感器，在位置随动系统中是成对使用的。

作为常用的位置检测装置，它的作用是将角位移或者直线位移转换成模拟电压信号的幅值或相位。

指令轴相连的是发送机，与系统输出轴相连的是接收机。

该元件微分方程是：()()()[]()t k t t k t u c r εεεεθθθ=-=；在零初始条件下，其拉氏变换为)()(s k s u εεεθ=；结构框图如图1.2.1所示。

图1.2.1 电桥2.放大器：放大器的作用将微弱的电流信号或者电压信号放大，该元件的微分方程是：()()t u k t u a a =；结构框图如图1.2.2所示。

图1.2.2 放大器3.直流电机：直流电机是一个转动装置，在差压u 的作用下带动负载和接收电位器的动笔一起旋转，该元件的微分方程是：)()()(22t u k dtt d dt t d T a m m m m =+θθ （1）在零初始条件下，其拉氏变换为2()()()m m m a T s s s k u s θ+=；结构框图如图1.2.3所示。

图1.2.3 直流电机4.测速电机：使用测速机在整个系统中构成PD 控制器，反映m θ的变化趋势，产生有效的早期修正信号，改善了系统的稳定性，该元件的微分方程是：()()m t t d t u t k dtθ= （2）在零初始条件下，其拉氏变换为()()t t m u s k s s θ=；结构框图如图1.2.4所示。

图1.2.4 测速电机5.减速器：减速器将直流电机的速度降下来以加在接收电位器上，其中i 为元件总减速比，该元件的微分方程式：21()()m t t i θθ= （3）在零初始条件下，其拉氏变换为21()()m s s iθθ=；结构框图如图1.2.5所示。

图 1.2.5 减速器1.3 位置随动系统各元件传递函数电桥1()()()u s G s k s εεεθ== （4） 放大器2()()()a a u s G s k u s == （5） 测速机3()()()t t m u s G s k s s θ== （6）电机4()()()(1)m ma m s k G s u s s T s θ==+ （7）减速器25()1()()m s G s s iθθ== （8）1.4 位置随动系统的结构框图图1.4 结构框图1.5 位置随动系统的信号流图图1.5 信号流图1.6 相关函数的计算各元件传递函数消去中间变量，得到系统闭环传递函数如下：mma m tm a mma r c iT k k k s T k k k s iT k k k s s s εεθθ+++==Φ)1()()()(2 （9）开环传递函数如下：2()()1m mm t mk k k iT G s H s k k k s s T εαα=++ （10）其中 me a a m C C fR JgR T +=是电动机机电时间常数;me a mm C C fR C k +=是电动机传递系数（a L 很小，忽略不计）。

代入常数计算可得，闭环传递函数：15.142875.4715.1428)(2++=Φs s s （11） sθk εcθ1i mk u a um θ2根轨迹曲线2.1参数根轨迹转换根据参数根轨迹的的定义，将系统的开环传递函数2()()1m mm t mk k k iT G s H s k k k s s T εαα=++代入常数转化为：12(0.036 4.82)()0.027as K G s s s+=+2.2绘制根轨迹用MATLAB 绘制出开环传递函数的根轨迹代码如下： num=[0.036 4.82];den=[0.027 1 0];rlocus(num,den); title(‘根轨迹图’)用MATLAB 绘制出开环传递函数的根轨迹如图2.1所示。

图2.1 根轨迹图3单位阶跃响应分析3.1单位阶跃响应曲线当10a k =代入式（9）中得到闭环传递函数19.178537.5019.1785)(2++=Φs s s 用MATLAB 做出其阶跃响应曲线代码如下：num=1785.19 den=[1,50.37,1785.19]sys=tf(num,den) %系统表示法 t1=0:0.005:0.35 y1=step(num,den,t1) plot(t1,y1) grid用MATLAB 做出其阶跃响应曲线如图3.1所示。

图3.1 单位阶跃响应曲线3.2单位阶跃响应的时域分析当10a k =代入式（9）中得到闭环传递函数19.178537.5019.1785)(2++=Φs s s 根据闭环传递函数算出此二阶系统的阻尼比6.0=ξ,自然频率)/(25.42s rad n =ω 欠阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为:0,111)()sin(2≥--=+-t e t h t t d n βωξωξ (12)式中，ξβarccos =。

1.上升时间r t 的计算在式(12)中，令()1=r t h ，求得011)sin(2=-+-βωξωξr d r n t t e (13)由于0≠-r n t e ξω，所以有:s t n dr 065.012=--=-=ξωβωβππ2.超调量%σ的计算因为超调量发生在峰值时间上，所以将峰值时间21ξωπ-=n p t得输出量的最大值21/2111)(ξπξξ----=e t h p按照超调量的定义式%100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σ，并考虑到1)(=∞h ，求得:%48.9%100%21/=⨯=--ξπξσe3.调节时间s t 的计算由教材可知，调节时间与闭环极点的实部数值成反比，选取05.0=∆，可以得到结论n s t ξω/5.3≤，在分析问题时常取:s t ns 138.05.35.3===σξω4.稳态误差)(∞ss e 的计算影响系统稳态误差的因素有：系统的型别，开环增益，输入信号幅值和形式等，该系统开环增益19.1785=p K ，阶跃输入幅值1=R ，则系统稳态误差为:40() 5.6101lim ()()1ss ps R Re G s H s K -→∞===⨯++4系统性能对比分析4.1 新系统性能指标计算若a k 未知，系统的闭环传递函数整理为：aa ak s k s k s 5.178027.0036.015.178)(2+++=Φ (13)由式(13)可以得到a n k 5.178=ω，aak k 5.178054.0036.01+=ξ令7.0'=ξ，代入解得69.5'=a k ，得到此时系统的闭环传递函数为：67.101562.4467.1015)(2++=Φs s s上升时间：s t n r 033.01'2=--=ξωβπ超调量：%59.4%100%'21/=⨯=--ξπξσe调节时间：s t ns 157.05.3'==ξω (取误差带05.0=∆)稳态误差：40()'9.8101lim ()()1ss ps R Re G s H s K -→∞===⨯++4.2 系统性能指标对比分析通常，用r t 评价系统的响应速度，用%σ评价系统的阻尼程度，而s t 是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。

阻尼比ξ由0.6增大到0.7，系统的性能指标发生变化，表1为前后结果的对照：表1 系统性能指标对照表前后结果对比分析，得出以下结论：上升时间变短，系统响应变快；阻尼比变大，超调量变小；稳态误差变大，说明系统抗扰动能力下降。

5 总结体会为期两周的《自动控制原理》课程设计就要结束了。

回想两周的课程设计，虽然有不少辛苦，然而在辛苦背后更多的还是欢乐与收获。

对于本次课程设计，我是本着检验自己的原则，在紧张与期待中开始的。

整个课程设计分为四个部分，随动系统建模、传递函数的求解、根轨迹绘制、系统性能比较。

每一部分的完成，都需要我们下一番功夫。

在随动系统的建模上，经过讨论、分析、仿真，找出了符合要求的随动系统模型。

同时根据课设的初始条件，选择参数，计算传递函数。

在模型建立好，参数选择合适的前提下，传递函数的计算还是比较简单。

在根轨迹的绘制过程中，由于课本知识掌握得不是很扎实，经过几次资料的查阅，才明白了解题方法，最后绘制出了正确的根轨迹图。