高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版

【基础知识】

1.导数定义：在点处的导数记作k =

相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-

2.常见函数的导数公式:

①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则：

（1） （2） （3）

4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性：

①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。

（3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】

一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率

()()00f x x f x y x x +∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x y

f x x

→∆'=∆V 。

例1..已知x

f x f x x f x ∆-∆+=→∆)

2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）

A. 41-

B. 2

C. 4

1

D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430

--='→（ ）

A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3

D ．1

二、导数的几何意义

()f x 0x x

x f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)

()(lim

)(|000

00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a

=x

x 1

)(ln '=

)()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '

-'='

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛'

⋅'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ⇒>')(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡')(x f '0)(='x f

函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒：

（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '；（3）公切线的问题 例2. 已知曲线y=.

3

43

13+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

解（1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4.

∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

（2）设曲线y=3

43

13+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭

⎫

⎝

⎛+343

1,30

0x x A ，则切线的斜率k='y |0

x x ==20

x .

∴切线方程为),(343

102030

x x x x y -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-即.34323020

+-

⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,3

43223020

+-x x 即,044,0432020302030

=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(0002

0=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 例3．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切

线，则 ．

【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +．

则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221

ln(1)()1

y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =

⋅++，()22221ln 111

x

y x x x x =++-++， 依题意，()1

22

122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨

⎪+=+-⎪+⎩

，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-． 变式训练（1）设函数32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =

（1）求,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性。

变式训练（2）若函数ax x x g x x f +==2)(ln )(与的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则实数=a 三、单调性：

（1）多项式函数的导数与函数的单调性：

①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。

②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数

()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为

12,,n x x x L ；（3）12,,n x x x L 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的

符号，由此确定每一子区间的单调性。

例4 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或

'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法

获解.

解析：2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增

2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-

在xt [－1,1]的最大值为1

3

- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1

[,]3

-+∞

变式训练（1）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______ 变式训练（2）设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间