第十章三重积分练习题

第10章重积分自测题(答案)(1)

内容提要：一、二重积分1、二重积分的概念与性质2、二重积分的计算：（1）-x 型域：.)()(:21⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D ϕϕ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a x x Ddx dy y x f d y x f )()(21,),(ϕϕσ（2）-y 型域：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(:21y x y dy c D ψψ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d cy y Ddy dx y x f d y x f )()(21,),(ψψσ当积分区域既是-x 型，又是-y 型域时，会交换积分次序。

（3）极坐标：⎩⎨⎧≤≤≤≤βθαθϕθϕ)()(:21r D ，⎪⎩⎪⎨⎧→→→θσθθrdrd d r y r x sin cos⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=βαθϕθϕθθθd rdr r r f )()(21)sin ,cos ( 二、三重积分1、三重积分的概念与性质2、三重积分的计算：（1）-xy 型域：()()}),(,,,|),,{(21xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω 先一后二：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΩxyD y x z y x z d dz z y x f dv z y x f σ,,21,,,,先二后一：，若被积函数不含变量y x ,，且积分区域Ω被平面0z z =所截平面区域面积容易计算，可先计算此面积，再计算定积分即可。

（2）球坐标：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x其中，πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<≤r()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ωππθϕθϕϕϕθϕθϕ200,02sin cos ,sin sin ,cos sin ,,d d dr r r r r f dv z y x f r 三、重积分的应用：空间曲面的面积设∑：D ∈=),(),,(y x y x f z 为光滑曲面．⎰⎰++=Dσd f f S y x 221《高等数学》单元自测题答案第十章重积分一、填空题：1．已知积分区域10,10:≤≤≤≤y x D ，则二重积分=+⎰⎰Dd y x σ)(___1________。

三重积分、重积分习题(供参考)

三重积分1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将Ω投影到xoy 平面上，由22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω :2222221111,2,x x y x x y z x y -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪+≤≤--⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dzd d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y2与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。

三重积分重积分习题(供参考)

三重积分1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将Ω投影到xoy 平面上，由22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω :2222221111,2,x x y x x y z x y -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪+≤≤--⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dzd d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y2与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。

三重积分题

三重积分题一、计算三重积分∫∫∫_V (x2 + y2 + z2) dV，其中V是由x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1定义的圆柱体。

A. π/2B. πC. 3π/2D. 2π（答案：D）二、三重积分∫∫∫_V xyz dV，在区域V: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1/2C. 1D. 3/2（答案：A）三、计算三重积分∫∫∫_V (x + y + z) dV，其中V是由0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1定义的立方体。

A. 0B. 1C. 3/2D. 2（答案：C）四、三重积分∫∫∫_V (sin(x)cos(y)z) dV，在区域V: 0 ≤ x ≤π, 0 ≤ y ≤π, 0 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1C. -1D. 2（答案：A）五、计算三重积分∫∫∫_V e(x+y+z) dV，其中V是由0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤z ≤ 1定义的立方体，并假设e的近似值为2.718。

A. e - 1B. e2 - 1C. e3 - 1D. e4 - 1（答案：C）注：此题需要用到e的幂次性质进行积分。

六、三重积分∫∫∫_V (x2y2z2) dV，在区域V: -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1/8C. 1/4D. 1（答案：A）七、计算三重积分∫∫∫_V (1/(1+x2+y2+z2)) dV，其中V是由x2 + y2 + z2 ≤ 1定义的球体。

A. π2/2B. π2C. 2π2D. 4π2（答案：A）注：此题需要用到球坐标变换进行积分。

八、三重积分∫∫∫_V (cos(x2+y2+z2)) dV，在区域V: 0 ≤ x ≤√π, 0 ≤ y ≤√π, 0 ≤ z ≤√π，且假设cos的近似值在积分中可直接使用，其值为？A. 0B. (π(3/2))/2 * (sin(π) - sin(0))C. π(3/2) * (cos(π) - cos(0))D. -π(3/2) * (sin(π) - sin(0))（答案：B）注：此题需要注意到cos函数的周期性，并正确计算积分上下限。

考研数学三重积分练习

习题9 三重积分一、填空题1、若{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则d z v Ω⎰⎰⎰= 。

2、d z v Ω⎰⎰⎰＝，其中222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥3、曲面z =被1z =截下部分的面积为。

4、曲面22z x y =+被1z =截下部分的体积为。

5、锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积为。

二、解答题1、I=d x v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=与三个坐标平面所围的闭区域。

2、()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 其中Ω：由平面1x y z ++=及三坐标面所围成的区域。

3、I=22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++= 所围成的闭区域。

4、I＝⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，其中Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。

5、⎰⎰⎰Ω++dvzyx)(222，Ω＝｛2224,0x y z z++≤≥｝。

6、⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。

7、⎰⎰⎰Ω++dvzyx222，Ω是由球面zzyx2222=++所围成的闭区域。

8、求函数22y x z +=在区域D ：x 4y x x 222≤+≤上与z=0所围成的体积。

9、求由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体的体积。

10、在由椭圆1422≤+y x 绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。

三重积分习题

0所围成的闭区域
x 1}
于是
于是
{(x,y,z)|x2y2
z 1,-.1x2y \ 1x2,1 x
1<1x2
I dx:_dy
1v1 x2丿x2y由曲面z x22y2及z曲积分区域可表示为
1}
1
2w2
{(x,y,z)|x22y2z
提示
x2+y2=1
i
dx
i
曲面
由曲面cz
区域
解
于是
f (x,y,z)dz
y z)是三个函数
f2( y)>f3( z)的乘积
{(x y z)| a x
即
fi(x)、
区域
等于三个单积分的乘积
即f(
b
z)
d
fi(x)
zn}
f2(y) fa(z)积分
证明这个三重积分
b
afi(x)dx「f2(y)dylf3(z)dz
acl
化三重积分I f (x, y, z) dxdydz为三次积分
其中积分区域分别
是
(1)
解
于是
由双曲抛物面xy z及平面x y 10 z
积分区域可表示为
{(x y z)| 0 z xy 0 y 1 x11 x xy
I dx dy f (x, y, z)dz
由曲面z x2y2及平面z 1所围成的闭区域积分区域可表示为
2 x2所围成的闭2
2
z x
xy(c
2 x2,d
x2y 1 x2,
1 x 1}
f (x, y,z)dz
2y2与z
的交线在xOy面上的投影曲线为
0)
a2
0所围成的在第一卦限内的闭

三重积分习题

931 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域解积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y 1x 0x 1} 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dzz y x f dy dx I 01010),,((2)由曲面z x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域解积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域解曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I提示曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1(4)由曲面cz xy (c 0) 12222=+by a x z 0所围成的在第一卦限内的闭区域解曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a ab yc xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22提示区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 02 设有一物体占有空间闭区域{(x y z )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z 计算该物体的质量解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x3如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (xy z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积即f (x y z ) f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x b c y d l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmldcbadzz f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321证明 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f ba dcml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adzz f dy y f dx x f )()()(3214计算⎰⎰⎰Ωdxdydzz xy 32 其中是由曲面z xy 与平面y x x 1和z 0所围成的闭区域解积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x5 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0x y z 1所围成的四面体解积分区域可表示为 {(x y z )| 0z 1x y 0y 1x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=提示⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=6计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz其中为球面x 2y 2z 21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是 ⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=7计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域解积分区域可表示为 {(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx)1(61116=-=⎰-dx x x8计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz其中是由锥面22y x Rh z +=与平面zh (R 0h 0)所围成的闭区域解当0z h 时过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面截得立体的截面为圆D z 222)(z h R y x =+ 故D z 的半径为z h R 面积为222z h R π 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==h h R dz z hR 0223224ππ9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωzdv其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为 021222ρρ-≤≤z于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d(2)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为02 02222≤≤z ρ于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=22123202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d10 利用球面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ω++dvz y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的闭区域解在球面坐标下积分区域可表示为 02 00r 1于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=(2)⎰⎰⎰Ωzdv其中闭区域由不等式x 2y 2(z a )2a 2 x 2y 2z 2 所确定解在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰11 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωxydv其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0 x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ于是 ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ别解用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x (2)⎰⎰⎰Ω++dvz y x 222 其中是由球面x 2y 2z 2z 所围成的闭区域解在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 022020sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d(3)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d(4)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中闭区域由不等式Az y x a ≤++≤<2220 z所确定解在球面坐标下积分区域可表示为Ar a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z 6x 2y 2及22y x z +=解在柱面坐标下积分区域可表示为0 2 02 z 62于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分)解在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 2024020sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰(3)22y x z +=及zx 2y 2解在柱面坐标下积分区域可表示为 02 01 2z于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V(4)225y x z --=及x 2y 24z解在柱面坐标下积分区域可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z于是 ⎰⎰⎰-=22541220ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd13 球心在原点、半径为R 的球体在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比求这球体的质量解密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ 在球面坐标下积分区域可表示为02r R于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 2224220sin R k dr r kr d d R πϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰。

高等数学三重积分例题

高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。

1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。

锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。

由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。

2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。

先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。

再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。

最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。

所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。

二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。

1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。

则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。

2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。

三重积分练习

6. 求三重积分 zdxdydz,其中是由曲面x 2 y 2 z 2 4

1 2 及z x y 2 所围成的区域. 3
解
设x r cos ，y r sin ，z z r 2 z 2 4 2 r 3z

即
z 1，r 3
z
x2 y 2 z2 1
1 2
z x2 y2
zdxdydz

2
0
d
1 2
1 2
0
rdr
1 r 2
r
zdz
o x
y
2
0
1 r 1 2r 2 dr 2
1 2
1 1 r2 r4 2 0 8 2
1 1 r 2
zrdz
2
3 2
0
3 2
0
2r
2 1 2 2 r 1 r 1 1 r dr 2

1 r 2 r dr

3 3 2 1 2 1 r 2 d r 2 r 2 0 2 0 14 3 5 24 8 24
解
运用柱面坐标: x r cos , y r sin , z z. 区域在xy平面上的投影区域为在柱面坐标系下区域可表示为 D x, y x 2 y 2 1 r, 0 2 ,0 r 1
r, , z 0 2 ,0 r 1, r z 1

3. 求 zdxdydz, 其中为两个球x 2 y 2 z 2 1和

x 2 y 2 z 2 2 z的公共部分.

三重积分习题

.
c1
0 y
“先二后一”
x
二、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z)
x r cos
y r sin
z
z
z=z
. .
M(x, y, z) M(r,, z) z
0
y

y
x
x
r
P(x, y, 0)
柱面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面；平面 z及 z+dz；
2 2
x y 与
2 2
z 1 1 x y 所围成的．（画图）
解
关于 yoz 面为对称，奇函数，
有
f ( x, y, z) x 为 x 的

xdv 0 .

( x z ) dv

zdv
利用球面坐标
2

0
2
d
0
4
d
0
2cos

dV
r

0
f ( x , y , z )d x d y d z
x

d
.
y

f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sin d r d d
2
重积分在几何上的应用
(一)平面区域的面积设有平面区域D, 则其面积为: D d (二)体积
1 y z
(1 - y ) e
0
1 y z

重积分练习题含答案

重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

三重积分计算详解例题

三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。

下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。

假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。

首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。

球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。

接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。

首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。

具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。

其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。

对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。

因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。

这就是对三重积分计算的详细解释。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。

希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。

三重积分、应用习题

一、三重积分的计算 1、直角坐标（投影法、截面法） 2、柱面坐标投影：圆或圆的一部分，被积函数
3、球面坐标立体：球或圆锥，被积函数
例1
解 1、直角坐标：投影法：
o
z
y
x
例1
解 1、直角坐标：截面法：
z
o
y
x
例1
解 2、柱面坐标：投影法：
z
o
y
x
例1
解 3、球面坐标：
z
oyx源自2解zyx
例3
解对称性=0
轮换对称性
例4
解
设立体密度均匀，则立体质心在
.
1、求曲面 x y z 包含在 x y 2 x内的那部分面积 .
2 2 2 2 2
2、曲面x 2 y 2 3 z与z 4 x 2 y 2 所围均匀立体，求立体质量.
3、：2( x y ) z 6 x y ,
D xy : x y 2 2 x
2

2 1 zx z2 y d
2 2d
D xy
2 2
2、曲面x 2 y 2 3 z与z 4 x 2 y 2 所围均匀立体，求立体质量 .
3、：2( x 2 y 2 ) z 6 x 2 y 2 ,
( x, y , z ) f ( x 2 y 2 z 2 ) 求对z轴的转动惯量的柱面坐标、球面坐标下累次积分.
4、
解
z
o
y
x
2 2 2 2
( x, y, z ) f ( x 2 y 2 z 2 ) 求对 z轴的转动惯量的柱面标坐、球面坐标下累次分积.

三重积分例题

三重积分例题
1. 嘿，来看看这道三重积分例题呀！就像在一个复杂的迷宫里找宝藏，比如求一个奇形怪状的立体体积，那可真得好好琢磨琢磨呢！
2. 哇哦，这道三重积分例题可有意思啦！好比要给一个不规则的大蛋糕算出它的大小，你不想试试怎么解吗？
3. 嘿呀，瞧瞧这道三重积分例题！就像是要弄清楚一个神秘盒子里到底装了多少东西，是不是很有挑战性？
4. 哎呀，这道三重积分例题真不简单呢！仿佛是在破解一个超级难的密码锁，谁能解开它呀？
5. 嘿，这道三重积分例题很特别哟！好像是要给一片乱七八糟的云朵计算它的质量，你能想明白怎么算吗？
6. 哇，这道三重积分例题够厉害的！就如同要给一个歪歪扭扭的建筑算出它的用料，这可不容易啊！
7. 嘿哟，这道三重积分例题挺有趣的呢！好比要搞清楚一个奇怪形状的水池能装多少水，有意思吧？
8. 哎呀呀，这道三重积分例题有点难搞哦！仿佛是要从一堆乱麻中找出关键线索，你敢挑战吗？
9. 嘿，快来看这道三重积分例题！就像要给一个奇幻世界里的魔法物品计算能量，是不是很神奇？
10. 哇塞，这道三重积分例题太有迷惑性了！简直就是要在一个迷雾森林里找到正确的路，谁能解得开呀？
我的观点结论：三重积分例题真的是丰富多彩，每一道都有它独特的魅力和挑战，让人忍不住想要去探索和求解。

第10章三重积分

第十章习题二三重积分一．选择题1．设2222:(0)x y z a z Ω++≤≥，1Ω为Ω在第一卦限的部分，则有（ C ）（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdv dv x ；（B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydv dv y ；（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdv dv z ；（D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdv zdv xy ．2．设dv z y x f t f t z y x )(41)(2222222⎰⎰⎰≤++++=π在),0(+∞上恒正且可微，则（ B ）（A ）t t f t f =')()(；（B ）2)()(t t f t f ='；（C ）3)()(t t f t f ='；（D ）4)()(t t f t f ='．二．填空题1．⎰⎰⎰≤++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅1222222222)sin sin sin sin sin sin sin sin (sin z y x dv z y x z y x z y x 0 ．2．=⎰⎰⎰Ωθϕϕd drd r 22sin 261π ，其中Ω：10≤≤r ，πθ20≤≤，20πϕ≤≤．三．计算题（每题均请画出积分区域） 1．将11000(,,)x x yI dx dy f x y z dz -+=⎰⎰⎰的积分顺序调整成先对x 、再对z 、最后对y 做积分。

解：先交换x,y ，易见1100(,,)y x yI dy dx f x y z dz -+=⎰⎰⎰再交换z ，x ，1100(,,)y x yI dy dx f x y z dz -+=⎰⎰⎰111110(,,)(,,)yy yyz ydy dz f x y z dx dy dz f x y z dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

2．计算22221201sin(1)x y x y dxdy z dz --+≤-⎰⎰⎰．解：交换积分顺序，先二后一：=-⎰⎰⎰--≤+dz z dxdy y x y x 22221021)1sin()1cos 1(2-π3．计算dxdydz y x ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为三个坐标面及平面12=++z y x 所围成的闭区域。