长度的相对论效应 相对论速度变换 相对论2

1− u2 / c2
在一个惯性系测得同时发生的两事件， 在另一个惯性系中测量不一定同时发生的。
对于沿运动方向上，位 置坐标不同的两件事而 言，同时性是相对的
sb b
s′ u
∆t = 0,∆ x ≠ 0 → ∆t′ ≠ 0
对于沿运动方向上，位置 坐标相同的两件事而言， 同时性是绝对的。
y, z相同－－同地 y, z不同－－不同地
∆x1′ =
l
1− β 2
例.已知:火车静长为 0.5 km,速度为 100 km/h,
地面观察者看到两个闪电同时击中火车的头尾,
求:火车上的观察者看到这两个闪电的时间差。 【解】事件1（击中车尾）:（x1 ,t1）, （ x1′, t1′）
事件2（击中车头）:（x2 , t2）, （x′2 , t2′）
∆t = L t 2′ < t′1 乙u
地
L u
−
u c2
L
的
车= L
−3
1
−
u2 c2
先u
出 发
S : 地球
S ': 飞船
L = 9×109 m
u
空间站
∆t′ = ∆t − 3 = L u
u = 0.198c
例：列车沿x轴以u的速度运动。站台上发射空距离为l的两个激光 器，同时发射光脉冲垂直射向列车，在车厢外留下两个点迹。求
根据狭义相对论理论，判断对错：
（1）相对于任何惯性系，一切运动的物体的速度都不可 能达到真空中的光速。
（2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观测者 的相对运动状态而改变的；
（3）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事 件，在其他相对此惯性系运动的任何惯性系中一定不是 同时发生的。
（4）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事 件，在其他相对此惯性系运动的任何惯性系中，可能不 是同时发生的。
例. 一列车以恒定速度 u = 3c / 2 通过隧道， 列车的静长为20m，隧道的静长为10m。 从地面上看，当列车的前端 a 到达隧道 A端的 同时，有 一个闪电正击中隧道的 B 端。
试问：（1）从地面参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
（2）从列车参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？
站的钟读数为t，宇航员的钟读数为t’。则
S : 地球
L = 9×109 m
S ': 飞船
u
已知t-t’=3，所以
空间站
t= L u
t′ = L′ − L u
1−
u2 c2
u
L−L u
1−
u2 c2
=3
u
u = 0 .1 9 8 c
由洛伦兹变换求：
∆t′ =
∆t −
u c2
∆x
1−
u2 c2
∆x = L,
1
−
u2 c2
∆x = ∆x′
1−
u2 c2
∆t′
=
t2′
−
t1′
=
∆t
− u∆x /
1− β 2
c2
∆t′ = −u∆x′ / c2
∆x′ = 0.5 km u = 100 km/h
= -100×103×0.5×103/[3600×(3×108)2] = - 1.54×10 -13 s
负号表示 t2′小,即车头先被击中。
运动尺的缩短是相对论的效应，并不是运动尺的结构发生了改变。
与尺一起运动的观测者感受不到尺的变短。
由洛仑兹变换证明尺缩效应
S S′ u
棒静止在 S ′系中， 静长 l 0
S′
(
x
′
1
,
t
′
1
),
(
x
′
2
,
t
′
2
)
l0
l0
=
x
′
2
−
x1′
=
∆x′
与
t
′
1
t
′
2
无关
事件1：测棒的左端
S : ( x1 , t1 ), ( x 2 , t2 )
L = L′ 1 − u 2 / c 2 = 5 1 − [( 9 × 10 3 ) / 3 × 10 8 ]2 ≈ 5[1 − 1 × ( 3 × 10 − 5 ) 2 ] = 4 .999999998 m 2
例2：讨论长度收缩对几何图形的影响。 l′ = l 1− β 2
S
= 45 0
S' > 45 0
（所以能到地面，与实验一致）
二、 “长度” 的相对论效应
u
A
c
B
u∆t1′
u
A
B
列车相对于地面做匀速直线运动，
在车上：车长L由光一次往 返时间求出：
∆t = 2L （原时） c
由相对论时间延缓效应， 在站台上：
设在站台上测得车长为L′。
∆t′ = ∆t = 2L
1− β 2 1− β 2
在站台上测得光脉冲往返时间不一样，分别记为：∆t1′ 、∆t2′
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
【解】设地面为 S 系，列车为 S’ 系， ♦在地面系S中看：列车的长度要缩短为
l车 = l车静
1
−
u2 c2
= 20
1− (
3c / 2)2 c2
= 10 m
a与 A相遇时，b 恰好进入隧道， 闪电不会留下痕迹。
列车 B 隧道 A
b
a
u
隧道
a，A相遇的事件先发生 B 处打闪的事件后发生（想一想。）
B处打闪时列车的 b 端可能已经进入隧道了。
下面来定量计算，检验一下：
S’系中定量计算：
u
S x2t2 x1t1
列车 B 隧道 A x
S’
b
a x’
隧道
设：
x’2t’2 x’1t’1
S系
S’系
事件1（aA相遇） （ x1t1 ）（ x’1t’1）
将运动参考系S’建立在µ -上,
原时 △t ’= 2×10-6s
在地面参考系S上看,
µ -的寿命是两地时,记作△t
x′
∆ t = ∆ t′ = 2×10−6
x
1
−
u2 c2
1 − (0.998)2
= 3.16 × 10−5 s
它比原时 2×10-6 s 约长16倍！ 按此寿命计算,它在这段时间里，在地面系走的距离 为 u△t =2.994×108×3.16×10-5 = 9461 m
例 某空间站相对地球静止，相距9.0×109m，且两处的
钟校正、同步。一飞船匀速飞经两地，当飞船经过地球 时宇航员将钟与地球上的钟校准，当飞船飞经空间站
时，宇航员发现飞船上的钟比空间站的钟慢了3s。求飞
船相对地球的速率。
解 设地球为S参考系，飞船为S’参考系。飞船经过地球时
飞船的钟和地球上的钟都为0点；飞船经过空间站时，空间
去： c∆t1′ + u∆t1′ = L′
返：
c
∆
t
′
2
−
u∆t
′
2
=
L′
∆
t1′
=
c
L′ +u
∆t′ = ∆t1′ + ∆t2′
∆
t
′
2
=
L′ c−u
∆t′ = L′ + L′ c+u c−u
∆t′ = ∆t = 2L
1− β 2 1− β 2
∆t′ = L′ + L′ c+u c−u
L′ = L 1− u2 c2
u
地面上测量 ∆t = t2 − t1 = 0
( x1′t1′) ( x1t1 )
(
x′2
t
′
2
)
( x2t2 )
由洛仑兹变换，火车上看
x′ x
∆t′
=
t2′
−
t1′
=
∆t
− u∆x /
1− β 2
c2
按题意,已知 静长（车上看） ∆x′ = x2′ − x1′ = 0.5km
根据尺缩效应
动长 = 原长 ×
t1=t2
设在S‘系，甲地开出火车的时刻为t’1，乙地开出 火车的时刻为t’2 ∆ t′ = t2′ − t1′
t
′
2
−
t1′
=
t2
−
t1
−u c2 1−
( x2
u2 c2
−
x1 )
=
−10−7
s
t
′
2
<
t1′
乙地的车先出发
时间延缓效应的实验验证 µ 介子的寿命实验
在大气上层九千米处,宇宙射线中有 µ - 介子,速度约 为 u = 2.99×108 m/s= 0.998c，µ - 介子静止时,平
上次课小结：
一.狭义相对论的基本假设（基本原理） 1.狭义相对性原理：一切彼此作匀速直线运动的 惯性系中，物理规律的描述都是等价的
2.光速不变原理：在彼此相对作匀速直线运动 的任何惯性系中测得的真空中的光速都相等
二.洛仑兹变换
S ′系以速度u 相对S
系沿X方向作匀速直线运动
S S′
y y′
u• P
ut x'
s
b b
u
☺ s′
∆t = 0,∆ x = 0 → ∆t′ = 0
S '系
A
B
但是，沿垂直于相对运 动方向上发生的两个事件 的同时性是绝对的