两角差的余弦公式教案(示范课)

《3.1.1两角差的余弦公式》教案

玉林高中数学科 授课人：饶蔼

教学目标

1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.

2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.

3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.

教学重、难点

1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.

2. 难点：探究过程的组织和适当引导.

学情分析

学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法

1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.

2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.

教学过程

（一）创设情境，引入课题

金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？

设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米

提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？

8 m x

︒30

答：2445cos 8=︒=x 米

提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？

答：︒=15cos 8x 米

问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？

【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；

（二）探究归纳，提出猜想

问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？

1. 思考：︒15能否用特殊角表示？

预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒

问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？

【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。

2. 探究：︒

15cos 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？

提示：利用单位圆、向量知识

在右图中，

得出结论：30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(︒+︒︒=︒-︒

提出猜想：对任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.

【

设计意图】通过求︒

15cos 的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。

（三）小组合作，证明猜想

问题3：以上探究︒15cos 值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？

探究：证明对任意的βα,都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(

+=-. )45︒ )30sin ,︒︒ =•OB OA sin ,30(cos )45sin ,45(cos ︒•︒︒︒+︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos =•OB OA 又θcos )3045cos(cos ︒-︒==θ︒+︒︒=︒-︒∴45sin 30cos 45cos )3045cos(

方案1：利用单位圆、向量知识。

问题4：如何探讨βα,的任意性？

若 则

而

方案2：利用三角函数线 此时，过P 点作垂线PA ⊥OP 1于点A ， PM ⊥Ox 于点M. 过A 点作垂线AB ⊥OM 于点B ，

过P 点作垂线PC ⊥ AB 于点C.

则 PAC ∠=∠α

定义： βα,∀，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，称为差角余弦公式。 记为：ss cc C +=-)(βα，特征：任意角、同名积、符号反

【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验（探究︒15cos ）去证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究角的任意性过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。

O x y O x

y )sin ,(cos αα=OA )sin ,(cos ββ=OB )sin ,(cos )sin ,(cos ββαα•=•OB OA βαβαsin sin cos cos +=)cos(AOB OB OA OB OA ∠•=•又β

αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴βα-θ

βα-=-θθπβαcos )2cos()cos(=±=-∴k β

αβαθsin sin cos cos )cos(+=-θπβα±=-k 2βαβαsin sin cos cos +=β

α-=∠∴xOP OM

=-∴)cos(βαCP OB BM OB OM +=+=∴ααsin cos AP OA +=αβαβsin sin cos cos +=β

αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴