两角差的余弦公式教案(示范课)
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
目标：学生能够理解和应用两角差的余弦公式解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 使用举例的方式引起学生对两角差的兴趣，并引导他们思考两角差的概念。
2. 提问学生：你们知道两角差的余弦公式是什么吗？有什么用途？
二、理论介绍（15分钟）
1. 介绍两角差的概念和符号表示。
2. 说明两角差的余弦公式的推导过程。
3. 引导学生理解公式的意义，并提供实际应用案例。
三、示范与实践（20分钟）
1. 通过具体的示范问题，展示如何使用两角差的余弦公式。
2. 导引学生解决练习题，巩固所学知识。
3. 现场纠正学生的错误答案，并让他们讲解正确答案的解题方法。
四、归纳总结（10分钟）
2. 与学生讨论公式的实际应用，并回答他们的问题。
五、拓展延伸（10分钟）
1. 提供更具挑战性的问题，让学生思考扩展形式。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题作为课后作业。
评估方法：
1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 作业完成度：检查学生完成的作业，看是否能正确运用两角差的余弦公式。
教学资源：
1. 投影仪或白板，用于展示教学内容。
2. 复印的练习题和答案。
注意事项：
1. 确保教学步骤的顺序和时长合理，以确保学生的学习效果和兴趣。
2. 鼓励学生互动与讨论，以促进他们的思考和理解。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。
两角差的余弦公式优秀教学设计1
两角差的余弦公式一、教学目标知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。
过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。
二、教学重点两角差的余弦公式及公式的灵活应用三、教学难点余弦公式的探索，推导和证明四、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。
我们主要采用引导探索的教学方法，引导学生自主探索，合作交流去发现，探求两角差的余弦公式（关键在于如何引导学生通过大胆猜想，类比得出公式）。
五、教学过程：（一）回顾复习在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？问题引入: 我们在前面所学三角函数值时就知道，21cos45,cos302==，而cos15cos(4530)=-，大家猜想一下，cos15等于多少呢？是不是等于cos45-cos30？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是cos()α β不会等于cos -cos αβ问：那么会是多少呢？（学生大胆猜测两角差余弦的表达式）（二）得出新知所以，cos()α-β=cos cos sin sin αβ+αβ（三）定义解析1 成立条件：是不是对于任意的α，β都适用于差的余弦公式?等价于α-β不属于[0，π]时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”（四）定义巩固例1 利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．(2)cos15cos105sin15sin105+= ．(3)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)θ+θ-+θ+θ-= ．例2 已知45sin ,(,),cos ,5213πα=α∈πβ=-β是第三象限角，求cos(α-β)的值． 分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件(,)2πα∈π去掉，结果又如何？ 例3 公式逆用 求13cos15sin152+的值 ［（五）回顾提高刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启 发和感悟？（引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高）公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：例4 对于任意的α，β cos()α+β=cos cos sin sin αβ-αβ分析：可以把+β看成是-（-β）；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角和的余弦公式；（六）课堂练习例5 α，β都是锐角 111cos ,cos(714α=α+β)=-，求cos β的值。
教学设计1：3.1.1 两角差的余弦公式
必修四第3章 三角恒等变形 3．1.1 两角差的余弦公式教学目的：知识目标：掌握应用两角差的余弦公式求三角函数值 能用所学知识解决有关综合问题能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学过程： 一、复习准备：上节课我们学习了两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
这节课我们将学习一下如何应用两角差的余弦公式求三角函数值 例一： 用两角差的余弦公式证明问题（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β证明（1） cos(π—β) ＝ cosπ·cosβ＋sinπ·sin β＝－1·cosβ +0·sinβ＝－cosβ 左边=右边 所以cos(π—β)＝－cosβ得证证明（2） cos(2π—β) ＝ cos2π·cosβ + sin 2π·sinβ＝1·cosβ + 0·sinβ＝cosβ 左边=右边 所以cos(2π—β)＝cosβ得证 前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 例二: 用两角差余弦公式求cos15°.解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°12⨯+解法二: cos15°= cos(60°—45°)= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45° （分成17°-2°是否可行?） 练习：证明: cos(α＋β)= cosα·cos β－sinα·sinβ思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β）证明:∵ cos (α＋β)= cos [α－(- β）]=cosα·cos( -β) +sin α ·sin(-β)= cosα·cosβ－sinα·sin β ∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ 课后作业1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3、利用和、差角余弦公式求、的值.解：6cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304-=+=-=6cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15cos(6045)=-，要学会灵活运用.4、已知4sin 5α=，(,)2παπ∈5,cos 13β=-是第三象限角， 求cos()αβ-的值. 解：因为(,)2παπ∈，4sin 5α=由此得3cos5α==- 又因为5cos 13β=-，β是第三象限角，所以12sin 13β==- 所以33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ-=+=-课后小结：cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ板书设计：cos 75cos15。
两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科 授课人：饶蔼教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？8 m x︒30答：2445cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？答：︒=15cos 8x 米问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？1. 思考：︒15能否用特殊角表示？预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
两角差的余弦公式说课稿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
在教学过程步骤，采取先提出问题，再逐 步展开方式，能够充分调动学生学习主动 性，让学生探索含有明确目标性，降低盲 目性。在得到两角差余弦公式后，使学生 深入体会代数思想深刻性。经过对公式对 比，能够加深学生对公式特征印象，同时 体会公式线形美与对称美，给学生以美陶 冶。作业布置中，突出了学生学习个体差 异现实，使学有余力学生产生挑战心理感 受，也为下一节内容学习做准备。
3、经过本节学习使学生体会探究乐趣，认识世间万物联络与 转化，养成用辨证与联络观点看问题。创设问题情景，激发 学生分析、探求学习态度，强化学生参加意识，从而培养学 生分析问题、处理问题能力和代换、演绎、数形结合等数学 思想方法。
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三、教法学法分析
1、教法分析： 依据学生情况，本节课特点，按照高中学生认知规律，
D
射塔视角（∠CAD)约为45°.求这座
电视发射塔高度.
C
45°
A B
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2.问题串引导教学：
（1）请学生猜测cos( ) ?
（2）利用前面学过单位圆上三角函数线，怎样
用 、三角 函数来表示
cos(呢 ？) ?
（3）利用向量知识，又能怎样推导发觉
cos( ) ?
（4）细心观察公式 cos( )结构，它有哪些特征？ 其中角取值范围怎样？
（5）怎样正用、逆用、灵活利用公式进行求值计 算？
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3.例题讲解：
例1、利用差角余弦公式求 cos15 ,cos75
例2、化简
（1）cos 42 cos18 sin 42 sin18
（2）cos 70 sin 40 sin 70 cos 40
例3、已知sin 象限角，求
co54s，( 2)
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念和意义。
掌握两角差的余弦公式的推导过程。
1.2 教学内容引入两角差的余弦公式的概念，即对于任意实数α和β，两角差的余弦公式可以表示为cos(αβ) = cosαcosβ+ sinαsinβ。
解释两角差的余弦公式的意义，即求两个角的差的余弦值可以通过求两个角的余弦值和正弦值的乘积来计算。
1.3 教学方法通过举例和实际问题引入两角差的余弦公式，让学生感受到公式的实际应用。
通过图形和几何解释两角差的余弦公式的推导过程，让学生直观地理解公式。
1.4 教学活动举例说明两角差的余弦公式的应用，如计算一个角度与参考角度的差的余弦值。
引导学生通过图形和几何推理来推导两角差的余弦公式。
第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程。
理解两角差的余弦公式的几何意义。
2.2 教学内容推导两角差的余弦公式，通过构造一个直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理。
解释两角差的余弦公式的几何意义，即两个角的差的余弦值等于这两个角的余弦值的乘积加上这两个角的正弦值的乘积。
2.3 教学方法通过图形和几何推理推导两角差的余弦公式，让学生直观地理解公式的推导过程。
通过实际例子和计算，让学生巩固两角差的余弦公式的应用。
2.4 教学活动引导学生通过构造直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理推导两角差的余弦公式。
让学生通过实际例子和计算，运用两角差的余弦公式计算角度的差的余弦值。
第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用。
能够灵活运用两角差的余弦公式解决实际问题。
3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数的和差问题、计算向量的夹角余弦值等。
通过实际例子和计算，展示两角差的余弦公式的应用方法和步骤。
3.3 教学方法通过实际例子和计算，让学生掌握两角差的余弦公式的应用方法。
3.1.1两角差的余弦公式(教、优秀教案)
五、教学方法
1. 自主性学习法：通过自学掌握两角差地余弦公式
.
2. 探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差地余弦公式地过程
.
3. 反馈练习法：以练习来检验知识地应用情况，找出未掌握地内容及其存在地差距
六、课前准备
1.学生准备：预习《两角差地余弦公式》 ，理解两种方法地推理过程 .
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案
②怎样作出角
地余弦线 OM
③怎样利用几何直观寻找 OM 地表示式 . 设计意图： 尽量用动画课件把探索过程展示出来， 结构形式地认识 .
使学生能从几何直观角度加强对公式
Y
p1 A
C
P
β α
α- β
X
O
B
M
（ 1） 设角 终边与单位圆地交点为 P1 ， POP1 ,则 POx
.
（ 2） 过点 P 作 P M⊥ X 轴于点 M，那么 OM就是
).
3 / 11
个人收集整理 仅供参考学习
于是对于任意角 、 都有
简记 C（ ）
例 1. 利用差角余弦公式求 cos150 地值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法 1：
cos150 cos(450 300) cos450 cos300 sin 450 sin 300 … = 6 2
4
O若coA 解法2：
cos150 cos(600 450 ) cos60 0 cos450 sin 600 sin 450 … =
变式训练：利用两角差地余弦公式证明下列诱导公式：
26 4
（ 1） cos( 2
) sin ；
（ 2） cos(2
教学设计2：5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式
5.5.1 第1课时两角差的余弦公式【教学目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．【要点梳理】两角差的余弦公式温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．【思考诊断】1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案]利用公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√【课堂探究】题型一给角求值【典例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引](1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解](1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.[名师提醒]利用公式C (α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝32，故选B. [答案] B2．化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[解析] cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝cos(α＋45°－α)＝22. [答案] 22 题型二 给值求值【典例2】 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值． [思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解] ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，∴0<α<π6， 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， ∴－π2<α－β<－π6， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. [名师提醒]给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465[解析] 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. [答案] A4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，则cos α的值为________． [解析] 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，所以π3＋α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513. 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526. [答案] 123－526题型三 给值求角【典例3】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3. [答案] π3[变式] 若本例变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3 314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， 因为0<β<π2，所以β＝π3. [名师提醒]解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．[针对训练]5．已知0<α<π2，－π2<β<0，且α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α－β. [解] 因为0<α<π2，－π2<β<0， 且sin α＝55，cos β＝31010， 故cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝－1－cos 2β＝－1－910＝－1010， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π， 又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4. 【课堂小结】1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.【随堂验收】1．cos165°等于( )A.12B.32C ．－6＋24 D ．－6－24[解析] cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°) ＝－⎝⎛⎭⎫22·32＋22·12＝－6＋24.[答案] C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12 C.22 D.32[解析] cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝cos π4＝22.[答案] C3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝12.故选A.[答案] A4．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6[解析] ∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255. 由cos2α＝1010，得sin2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. [答案] C5．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. [解析] 由cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，得 sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝210. [答案]210。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案一、教学目标1.理解余弦公式的基本概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法；3.能够灵活运用余弦公式解决实际问题；4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.余弦公式的概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法。
三、教学难点1.理解余弦公式的原理和推导过程；2.能够灵活运用余弦公式解决实际问题。
四、教学过程步骤一：导入新知识1.引入：通过一个例子引入余弦公式的概念和应用，例如：已知三角形的两边长度和它们夹角的余弦值，求第三边的长度。
2.提问：学过正弦定理的同学，你们能说说余弦公式和正弦定理有什么区别吗？步骤二：讲解余弦公式的原理和推导过程1.从图形的角度解释余弦公式的原理：已知三角形的三个边长度a、b、c，求它们对应的角A、B、C的余弦值。
2.利用余弦定理，推导出两角差的余弦公式。
步骤三：讲解应用举例1.通过具体的例子和计算过程，讲解如何利用余弦公式解决两角差问题。
例如：已知两角和一条边的长度，求另一条边的长度。
2.提供更多的练习题，让学生通过练习提高运用余弦公式的能力。
步骤四：梳理归纳知识点1.整理余弦公式的公式表达；2.归纳余弦公式的适用条件和注意事项。
步骤五：拓展延伸1.提供更多的实际问题让学生运用余弦公式解决；2.引导学生思考如何利用余弦公式解决更复杂的问题。
步骤六：小结概括1.总结余弦公式的基本原理和应用方法；2.强调学生在实际问题中的应用能力和解决问题的思维方式。
五、教学反思通过引入例子、讲解原理、举例解题等多种教学方法，能够帮助学生更好地理解和应用余弦公式。
同时，在教学中提供大量的练习题和实际问题，可以提高学生运用余弦公式解决问题的能力。
在讲解过程中，要注重对学生的巩固和拓展，引导学生提高解决问题的思维方式和能力。
《两角差的余弦公式》教案
高一数学必修4第三章第1节《两角差的余弦公式》教案作者：何源麟一、教材分析本小节教材以本章开头的电视塔为实际问题引出关于两角角和、差的三角函数值的计算，首先从差角余弦公式开始，引用第一章中借助单位圆探究三角函数的想法，在单位圆中建立两角差，并寻找它的余弦线，用数形结合的方式探究两角差的余弦公式，然后，又应用刚刚学习的向量知识探究任意角的两角差的余弦公式，让同学们体会向量的在数学其他领域上的作用，最后以两个例题的求解过程展现两角差的余弦公式的实际应用价值。
二、教学目标1.知识与技能(1)掌握运用单位圆上三角函数基本知识和向量知识推出两角差的余弦公式的探索过程。
(2)了解两角差的余弦公式的意义，并能应用与简单计算。
2.过程与方法(1)通过参与运用向量知识和三角函数基本知识推出差角余弦公式的过程，进一步理解函数与向量的内在联系。
(2)通过运用两角差的余弦公式技巧性的计算常见角度的余弦值，理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用广度，为学习其余三角函数公式打下根基。
3.情感态度与价值观经过本节课的学习，对该公式有个全面透彻的了解，进一步感受三角函数与其他函数的区别，并通过实例，体会三角函数的应用价值。
三、教学重难点1.教学重点：差角余弦公式在实例运算中的应用。
2.教学难点：差角余弦公式的推导过程与方法。
四、教学过程（一）导入新课问题1：我们已经学习了cos60°=12，cos30°=√32，cos45°=√22,但没有学习其他角的余弦值，比如：cos15°，cos75°那么，我们能否用学过的60°，30°，45°的余弦、正弦去表示cos15°，cos75°呢？通过学生自主探究，板书cos15°=cos(60°−45°)，cos75°= cos(120°−45°)。
两角差的余弦公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、教学目标知识与技能在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．过程与方法通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．二．重点难点重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．三、教材与学情分析1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程1、导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝55，α∈(0，π2)，cosβ＝1010，β∈(0，π2)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．2、新知探究①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)推导cos(α＋β)＝？③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上，这样就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.所以有如下公式cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α＋β)．对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α－β)进行记忆，并填空cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式 实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6) 化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α＋cos 2α＝1 互化，此法让学生课下进行)，因此有sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.在上述公式中，β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α＋β)、S (α－β)．Sin （α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sin 2π7cos 5π7＋cos 2π7sin 5π7＝__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α＋β)、S (α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样 推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出 ．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有 tan(α－β)＝tan α＋tan －β1－tan αtan －β＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1 tan tan -+， tan （α－β）＝βαβαtan tan 1 tan tan +-. 对问题⑥，学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋ π( ∈ )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆． 对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意 不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β )处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如 化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sinπ2－βcos π2－β＝cos βsin β 处理等．3. 应用示例例1已知sin α＝－35，α是第四象限角，求sin(π4－α)，cos(π4＋α)，tan(π4－α)的值． 活动 教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α，tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．解 由sin α＝－35，α是第四象限角，得cos α＝1－sin 2α＝1－－352＝45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34. 于是有sin(π4－α)＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝－34－11＋－34＝－7.点评 本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯． 变式训练1. 不查表求cos75°，tan105°的值． 解 cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30° ＝22×32－22×12＝6－24， tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－(2＋3)． 2．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2sin(α＋π4)等于( ) A.75 B.15 C.72D ．4 答案 A例2已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活动 教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S (α－β)、C (α＋β)、T (α＋β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．解 由sin α＝23，α∈(π2，π)，得cos α＝－1－sin 2α＝－1－232＝－53，∴tan α＝－255. 又由cos β＝－34，β∈(π，3π2)，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－342＝－74， ∴tan β＝73.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×(－34)－(－53)×(－74)＝－6－3512. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝(－53)×(－34)－23×(－74)＝35＋2712. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－255＋731－－255×73＝－65＋5715＋235＝－325＋27717. 点评 本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2.引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识．解 设电视发射塔高CD ＝x 米，∠CAB ＝α，则sin α＝3067， 在Rt △ABD 中，tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α. 于是x ＝30tan 45°＋αtan α－30， 又∵sin α＝3067，α∈(0，π2)，∴cos α≈6067，tan α≈12. tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α≈1＋121－12＝3，∴x ＝30×312－30＝150(米)． 答 这座电视发射塔的高度约为150米.例3在△ABC 中，sin A ＝35(0°<A <45°)，cos B ＝513(45°<B <90°)，求sin C 与cos C 的值． 活动 本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．解 ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )．又∵sin A ＝35且0°<A <45°，∴cos A ＝45. 又∵cos B ＝513且45°<B <90°，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35×513＋45×1213＝6365， cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－45×513＝1665. 点评 本题是利用两角和差公式， 解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.六、课堂小结。
第1课时 两角差的余弦公式(经典公开课)
=cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45°
=- ×
+×
=
-
.
(2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°= .
探究二 给值(式)求值
【例 2】 (1)已知 cos α= ,α∈
, ,求 cos
= × + × = .
1.在例 2(1)中若去掉 α∈
, ,如何求解?
解:∵cos α=,∴α 是第一象限角或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,sin α=,
可得 cos - = × + ×
当 α 是第四象限角时,sin α=-,
(2)当 α,β∈R 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.( √ )
(3)cos +
cos
- +sin +
sin
-α =cos 2α.( √
)
探究一 两角差的余弦公式的简单应用
例：求下列各式的值:
(1)cos 105°;
(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.
又 cos(α+β)= ,∴0<α+β< .
∴0<2α+β<π.
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念掌握两角差的余弦公式的推导过程1.2 教学内容回顾角度的概念和单位引入两角差的概念引导学生思考如何表示两角差的余弦值1.3 教学方法使用图形和实例来引导学生理解两角差的余弦公式的概念通过推导过程培养学生的逻辑思维能力1.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程能够应用两角差的余弦公式进行计算2.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推导过程引导学生通过图形和实例理解两角差的余弦公式的推导过程2.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的推导过程通过练习题培养学生的计算能力2.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推导过程的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标能够应用两角差的余弦公式解决实际问题能够应用两角差的余弦公式进行角度计算3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用方法引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的应用方法3.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的应用方法通过练习题培养学生的应用能力3.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的应用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第四章：两角差的余弦公式的拓展4.1 教学目标理解两角差的余弦公式的拓展内容能够应用两角差的余弦公式的拓展内容解决实际问题介绍两角差的余弦公式的拓展内容引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的拓展内容4.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的拓展内容通过练习题培养学生的应用能力4.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的拓展内容的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第五章：总结与复习5.1 教学目标总结两角差的余弦公式的知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力5.2 教学内容回顾两角差的余弦公式的概念、推导过程和应用方法通过练习题巩固学生的理解和应用能力5.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力5.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第六章：两角差的余弦公式的图形解释理解两角差的余弦公式可以通过图形来解释学会使用图形来帮助记忆和理解两角差的余弦公式6.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的图形解释方法通过图形展示两角差的余弦公式的推导过程6.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的图形解释方法通过观察和分析图形，加深学生对两角差的余弦公式的理解6.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的图形解释方法的理解程度第七章：两角差的余弦公式在不同角度下的应用7.1 教学目标学会在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算理解在不同角度下应用两角差的余弦公式时的注意事项7.2 教学内容介绍在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过实例展示在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算的步骤7.3 教学方法使用实例引导学生理解在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过练习题培养学生的计算能力通过提问和讨论的方式检查学生对在不同角度下应用两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第八章：两角差的余弦公式在实际问题中的应用8.1 教学目标学会将两角差的余弦公式应用于实际问题中培养学生的实际问题解决能力8.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过实例展示两角差的余弦公式在实际问题中的解题步骤8.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过练习题培养学生的实际问题解决能力8.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在实际问题中的应用程度通过练习题评估学生的实际问题解决能力第九章：两角差的余弦公式的推广9.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行推广学会应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推广形式通过实例展示如何应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的推广形式通过练习题培养学生的应用能力9.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推广形式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十章：总结与复习10.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力10.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和推广通过练习题巩固学生的理解和应用能力10.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力10.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十一章：两角差的余弦公式的综合应用11.1 教学目标能够综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题培养学生的综合分析和解决问题的能力11.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在解决复杂角度问题时的综合应用通过实例展示如何综合运用两角差的余弦公式解决实际问题11.3 教学方法使用实例引导学生综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题通过练习题培养学生的综合应用能力11.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式综合应用的理解程度通过练习题评估学生的综合应用能力第十二章：两角差的余弦公式的逆用12.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行逆用学会应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的逆用方法通过实例展示如何应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的逆用方法通过练习题培养学生的应用能力12.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的逆用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十三章：两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用13.1 教学目标理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用学会应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力13.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十四章：两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用14.1 教学目标理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用学会应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力14.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十五章：总结与复习15.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力15.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和拓展通过练习题巩固学生的理解和应用能力15.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力15.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力重点和难点解析重点：掌握两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用方法和拓展内容。
〖2021年整理〗《1.1 两角差的余弦公式 》优秀教案
第十章三角恒等变换两角差的余弦公式通过推导两角差的余弦公式，以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式的过程，让学生在经历和参与数学发现活动的基础上，体验数学的发现与创造过程，体会向量与三角函数的联系、三角恒等变换公式之间的联系，理解并掌握三角变换的基本方法，发展学生的运算能力和推理能力．课程目标学科素养1通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程；2熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算a逻辑推理: 通过差角余弦公式的正用、逆用、变形用，重点提升学生的逻辑推理素养b数学运算: 能利用两角差的余弦公式进行求值、计算1教学重点：能熟练利用两角差的余弦公式进行求值、计算2教学难点：通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程多媒体调试、讲义分发。
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角∠CAD约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度设电视发射塔的高度CD＝＝AC·co 15°＝60co 15°，BC＝AC in 15°＝60in 15°，BD＝AB·tan 60°＝60·co 15°·tan 60°＝60错误!co 15°，∴＝BD－BC＝60错误!co 15°－60in 15°，如果能求出co 15°，in 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了公式：对于任意角α，β都有coα－β＝coαcoβ＋inαinβ题型一两角差的余弦公式的简单应用【例1】1co－15°的值是2coα－35°coα＋25°＋inα－35°inα＋25°＝________3错误!＝________解析1co－15°＝co30°－45°＝co 30°co 45°＋in 30°in 45°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2原式＝co[α－35°－α＋25°]＝co－35°－25°＝co－60°＝co 60°＝错误!3原式＝错误!＝错误!＝错误!＝co 15°＝co60°－45°＝错误!答案1D2错误!3错误!规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路1把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解2在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值【训练1】求下列三角函数式的值：1in错误!；2co 15°co 105°＋in 15°in 105°解1原式＝co错误!－错误!＝co错误!＝co[错误!－－错误!]＝co错误!co－错误!＋in错误!in－错误!＝错误!2原式＝co15°－105°＝co－90°＝co 90°＝0题型二给值求值【例2】已知α，β为锐角，且co α＝错误!，coα＋β＝－错误!，求coβ的值1β＝α＋β－α2在求inα＋β时需注意α＋β的范围，注意符号的选取解∵0<α，β<错误!，∴0<α＋β<π由coα＋β＝－错误!，得inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!又∵co α＝错误!，∴in α＝错误!∴co β＝co[α＋β－α]＝coα＋βco α＋inα＋β·in α＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!规律方法给值求值问题的解题策略1从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换2常见角的变换：①α＝α－β＋β；②α＝错误!＋错误!；③2α＝α＋β＋α－β；④2β＝α＋β－α－β【训练2】已知in α＝错误!，α∈错误!，co β＝－错误!，β∈错误!，求coα－β的值解∵α∈错误!，in α＝错误!，∴co α＝－错误!＝－错误!又β∈错误!，co β＝－错误!，∴in β＝－错误!＝－错误!∴coα－β＝co αco β＋in αin β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!题型三给值求角【例3】已知co α＝错误!，coα＋β＝－错误!，且α，β∈错误!，求β的值错误!解∵α，β∈错误!且co α＝错误!，coα＋β＝－错误!，∴α＋β∈0，π，∴in α＝错误!＝错误!，inα＋β＝错误!＝错误!又∵β＝α＋β－α，∴co β＝co[α＋β－α]＝coα＋βco α＋inα＋βin α＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!又∵β∈错误!，∴β＝错误!规律方法已知三角函数值求角的解题步骤1求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数2结合三角函数值及角的范围求角【训练3】已知inπ－α＝错误!，coα－β＝错误!，0<β<α<错误!，求β的大小解∵inπ－α＝in α＝错误!，0<α<错误!，∴co α＝错误!，又∵0<β<α<错误!，∴0<α－β<错误!，又coα－β＝错误!，∴inα－β＝错误!∴co β＝co[α－α－β]＝co αco α－β＋in αinα－β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!＝错误!又∵0<β<错误!，∴β＝错误!56°co 26°＋in 56°co 64°的值为B－错误!D－错误!解析原式＝co 56°co 26°＋in 56°in 26°＝co56°－26°＝co 30°＝错误!答案C－75°的值解析co－75°＝co－30°－45°＝co－30°co 45°＋in－30°in 45°＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，故选C答案C3已知α是锐角，in α＝错误!，则co错误!－α＝________解析因为α是锐角，in α＝错误!，所以co α＝错误!，所以co错误!－α＝co错误!co α＋in错误!in α＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!答案错误!α－β＝错误!，则in α＋in β2＋co α＋co β2＝________解析原式＝2＋2in αin β＋co αco β＝2＋2coα－β＝错误!答案错误!5计算：错误!in 60°＋错误!co 60°＝________解析原式＝in 30°in 60°＋co 30°co 60°＝co60°－30°＝co 30°＝错误!答案错误!1给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：1求角的某一三角函数值；2确定角所在的范围找区间；3确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定。
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《3.1.1两角差的余弦公式》教案
玉林高中数学科 授课人：饶蔼
教学目标
1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.
2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.
3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.
教学重、难点
1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.
2. 难点：探究过程的组织和适当引导.
学情分析
学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法
1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.
2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.
教学过程
（一）创设情境，引入课题
金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？
设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
8 m x
︒30
答：2445cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？
答：︒=15cos 8x 米
问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？
【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；
（二）探究归纳，提出猜想
问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？
1. 思考：︒15能否用特殊角表示？
预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒
问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？
【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
2. 探究：︒
15cos 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？
提示：利用单位圆、向量知识
在右图中，
得出结论：30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(︒+︒︒=︒-︒
提出猜想：对任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.
【
设计意图】通过求︒
15cos 的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。
（三）小组合作，证明猜想
问题3：以上探究︒15cos 值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？
探究：证明对任意的βα,都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(
+=-. )45︒ )30sin ,︒︒ =•OB OA sin ,30(cos )45sin ,45(cos ︒•︒︒︒+︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos =•OB OA 又θcos )3045cos(cos ︒-︒==θ︒+︒︒=︒-︒∴45sin 30cos 45cos )3045cos(
方案1：利用单位圆、向量知识。
问题4：如何探讨βα,的任意性？
若 则
而
方案2：利用三角函数线 此时，过P 点作垂线PA ⊥OP 1于点A ， PM ⊥Ox 于点M. 过A 点作垂线AB ⊥OM 于点B ，
过P 点作垂线PC ⊥ AB 于点C.
则 PAC ∠=∠α
定义： βα,∀，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，称为差角余弦公式。
记为：ss cc C +=-)(βα，特征：任意角、同名积、符号反
【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验（探究︒15cos ）去证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。
通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。
在探究角的任意性过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。
O x y O x
y )sin ,(cos αα=OA )sin ,(cos ββ=OB )sin ,(cos )sin ,(cos ββαα•=•OB OA βαβαsin sin cos cos +=)cos(AOB OB OA OB OA ∠•=•又β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴βα-θ
βα-=-θθπβαcos )2cos()cos(=±=-∴k β
αβαθsin sin cos cos )cos(+=-θπβα±=-k 2βαβαsin sin cos cos +=β
α-=∠∴xOP OM
=-∴)cos(βαCP OB BM OB OM +=+=∴ααsin cos AP OA +=αβαβsin sin cos cos +=β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴
（四）.课堂巩固练习
例1：利用差角余弦公式求︒15cos 的值？
法1：︒︒+︒︒=︒-︒=︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(15cos
4
2621222322+=⨯+⨯= 法2：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 60sin 45cos 60cos )4560cos(15cos
4
6222232221+=⨯+⨯=
变式1：利用差角余弦公式求︒75cos 的值？ 法1：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 120sin 45cos 120cos )45120cos(75cos
22232221⨯+⨯-=4
26-= 法2：)30sin(45sin )30cos(45cos )]30(45cos[75cos ︒-︒+︒-︒=︒--︒=︒
︒︒-︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos
21222322⨯-⨯=
4
26-= 【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力。
（五）课堂小结，回顾反思
1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？
①学习了差角余弦公式；
②假设猜想—反证否定—用向量、三角函数线探究公式—证明结论—公式应用
2.学习与应用过程中，你有什么体会？
①证明一个假设不成立，只需举出反例即可。
②探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一般情况。
③公式应用中，可以有不同的解题方法。
【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的。
（六）布置作业。